ALGORITHMES EN PROBABILITES

ALGORITHMES
EN PROBABILITES
Rappels du programme :
On peut simuler la loi géométrique
tronquée avec un algorithme.
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On peut simuler la loi binomiale avec
un algorithme
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EXEMPLE POUR LA LOI
GEOMETRIQUE TRONQUEE
1) Parmi les trois algorithmes
suivants, lequel :
simule des lancers de dés
jusqu’à l’obtention d’un 6 ,
et donne le nombre de lancers
nécessaires pour obtenir le
premier 6 ?
Pour i allant de 1 à 6
a ← Ent(6Alea + 1) ;
Si a = 6
alors donner i ;
FinSi ;
FinPour ;
a←0;
Pour i allant de 1 à 6
a ← Ent(6Alea + 1) ;
FinPour ;
Donner a ;
a←0;
i←0;
Tant Que a ≠ 6 faire
i←i+1;
a ← Ent(6Alea + 1) ;
FinTantQue ;
Donner i ;
2) On considère l’expérience aléatoire consistant à
lancer trois fois successivement un dé et à observer
les résultats.
On note A l’événement « le 6 est sorti au 3ème lancer
uniquement » .
a) Ecrire un algorithme qui simule l’expérience et qui dit
si l’événement A est réalisé.
b) Ecrire un algorithme qui :
simule 1000 fois cette expérience,
compte le nombre de fois où l’événement A est réalisé,
et donne la fréquence de réalisation de A .
c) A l’aide d’un arbre pondéré, déterminer la probabilité
de l’événement A .
a) On simule une expérience :
a←0; i←0;
Tant Que (a ≠ 6) et (i < 3) faire
i ← i + 1 ; a ← Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ;
Si (i = 3) et (a = 6) alors Afficher « A est réalisé » ; FinSi ;
b) On simule 1000 expériences :
S←0;
Pour k allant de 1 à 1000 faire
a←0; i←0;
Tant Que (a ≠ 6) et (i < 3) faire
i ← i + 1 ; a ← Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ;
Si (i = 3) et (a = 6) alors S ← S + 1 ; FinSi ;
FinPour ;
Afficher (S / 1000) ;
EXEMPLE POUR LA LOI BINOMIALE
Particule sur un écran
Sur un écran de contrôle, d’une largeur de 50 unités, on
repère une particule qui obéit à la loi suivante : à chaque
instant, la particule avance horizontalement d’une unité
vers la droite, et elle se déplace verticalement d’une
unité ou de zéro unité vers le haut, avec des probabilités respectives p et 1 – p .
On se demande à quelle hauteur « moyenne » la
particule sort de l’écran.
1) Simulation à l’aide d’un tableur.
a) Recopier le tableau suivant
b) Quelle formule faut-il placer en C3 pour obtenir par
recopie la hauteur de la particule sur l’écran ?
c) Obtenir la simulation de 50 déplacements, puis
représenter graphiquement la trajectoire.
d) Observer plusieurs simulations de trajectoires.
Arrive-t-il que la hauteur de sortie soit strictement
inférieure à 25 ?
e) Modifier la valeur de p.
2) Conjecturer à l’aide d’un
algorithme.
Voici un programme permettant de
simuler 1000 trajectoires et d’obtenir la
hauteur moyenne.
a) Comment le programme calcule-t-il
la hauteur moyenne ?
b) Utiliser le programme pour
conjecturer une formule liant p et la
hauteur moyenne, sur un grand
nombre de trajectoires.
c) Modifier le programme pour qu’il
détermine le nombre de trajectoires
pour lesquelles la hauteur de sortie est
inférieure à 25. Faire une simulation
pour p=0,8 , p=0,6 et p=0,5 .
Algobox
3) Etude théorique :
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre
de déplacements vers le haut, et H la hauteur de la
particule lorsqu’elle sort de l’écran.
a) Quelle est la loi de X ?
b) Quelle est l’espérance de X ?
c) Déterminer le lien entre X et H.
En déduire l’espérance de H. Interpréter.