Miroirs sphériques - Jean

Miroirs sphériques
I64.
Un miroir concave est une calotte de diamètre 20 cm sur une sphère de rayon R = 1 m. Un disque lumineux de
même axe que le miroir et de diamètre d = 6 cm se trouve à mi-distance entre le centre et le sommet du miroir. Quel est
le diamètre y du faisceau de lumière qu'il produit par réflexion dans le miroir à une distance D = 1 km de celui-ci ?
II49.
1) Montrer que, si l’image d’un point A dans un miroir sphérique de centre C et
I
de rayon R existe, elle se situe sur la droite AC.
i
2) Soit I un point du miroir, θ l’angle (CS , CI ) et A1 l’intersection de la droite
AC et du rayon IA1 issu de la réflexion en I par le miroir sphérique du rayon AI.
Montrer que :
θ
1
1
2 cos θ
A
C
A1
S
−
=
CA1 CA
R
On pourra utiliser la propriété selon laquelle les longueurs des cotés d’un triangle
sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.
3) En déduire qu’il n’existe pas en toute rigueur d’image A’ de A.
4) Dans l’approximation de Gauss, on ne considère que les rayons voisins de CA. Montrer qu’alors il existe une
image A’ de A et précisez la relation de conjugaison reliant les positions algébriques de A et de A’, caractérisées par
CA et CA′ .
III48.
Une personne observe son œil, de rayon 1 cm, dans un miroir sphérique concave de rayon de courbure 20 cm. L’œil
n’accommode pas, donc l’image observée est à l’infini.
1) A quelle distance du miroir l’œil est-il situé ?
2) Quel est le diamètre apparent de l’œil dans ce miroir ?
3) Le plus petit détail que peut distinguer l’œil est vu par celui-ci sous un angle de 3.10-4 radian. Quel est la taille du
détail le plus fin de l’œil que celui-ci est capable de distinguer ?
4) On approche l’œil de 1 cm dans la direction du miroir. A quelle distance l’œil doit-il accommoder ?
IV33. Télescope.
Un télescope est constitué de deux miroirs M1 et M2 placés en regard.
Les rayons lumineux se réfléchissent successivement sur le miroir primaire M1, un miroir sphérique concave de foyer
F1 et de distance focale f1, puis sur le miroir secondaire M2, un miroir sphérique convexe de foyer F2 et de distance
focale f2. Une petite ouverture dans M1 permet de laisser passer au travers les rayons
M1
voisins de l’axe.
1) Où se trouve et quelle est la grandeur de l’image A1B1 que donne le miroir M1 d’un
M2
objet situé à l’infini et vu sous l’angle α.
2) Le miroir M2 donne de A1B1 une image réelle A’B’ située au niveau de M1.
2.a) Où peut se trouver un objet pour qu’un miroir convexe en donne une image réelle ?
2.b) En déduire un schéma qualitatif du système en indiquant les positions relatives des
deux miroirs et de leurs foyers et le trajet d’un rayon lumineux arrivant parallèle à l’axe.
2.c) On appelle distance focale φ du télescope la distance focale de la lentille qui donnerait d’un objet à l’infini une
image de même taille que celle donnée par le télescope. Exprimer φ en fonction de f1 et du grandissement γ2 de M2.
3) Pour le télescope du mont Palomar, φ = 80 m et f1 = 16,8 m. Calculer f2 et la distance e séparant les deux miroirs.
4) La Lune est vue à l’œil nu sous l’angle α = 30 minutes d’arc (un demi degré). Quelle est la taille de l’image qu’en
donne le télescope du mont Palomar ?
5) Pourquoi préfère-t-on observer les étoiles et galaxies très lointaines avec un télescope, utilisant deux miroirs,
plutôt qu’avec une lunette utilisant des lentilles ?
V9.
1) On veut que deux miroirs sphériques M1 et M2 équivalent à une
lentille mince L. Soit un rayon réfléchi en I1 par M1, puis I2 par M2.
Que peut-on dire sur ce rayon s’il passe par le centre optique O de L ?
Montrer que les centres C1 et C2 des miroirs sont confondus.
2) Montrer que les formules de conjugaison et de grandissement de
la lentille équivalente sont vérifiées pour la lumière réfléchie
successivement par les deux miroirs et déterminer le vergence de cette
lentille en fonction de CS1 et CS 2 .
3) On veut collecter la lumière émise par une étoile située dans la
DS : miroirs sphériques, page 1
étoile
+
r1
r2
C
r′
S2
R2
R1
S1
direction de l’axe. Soit r1 le rayon d’ouverture et R1 = CS1 = 10 m > 0 le rayon de courbure du miroir primaire, r2 le
rayon d’ouverture et R 2 = CS 2 = 3R1 / 4 le rayon de courbure du miroir secondaire, r ′ le rayon de l’ouverture
pratiquée dans le miroir primaire pour laisser passer la lumière réfléchie par le miroir secondaire. Quelles sont les
valeurs optimales de r2 et r ′ ?
4) Où faut-il placer le récepteur de la lumière de l’étoile ?
5) Chaque miroir réfléchit 95 % de la puissance lumineuse et en absorbe 5 %. Quel est le rapport des puissances
lumineuses reçues par le dispositif considéré et par un détecteur convenablement placé devant un miroir concave de
rayon d’ouverture r1 .
6) On observe aussi une autre étoile située dans une direction faisant l’angle α = 10 minutes d’arc avec l’axe. Quelle
est la distance entre les images des deux étoiles ?
VI11. Rétroviseur.
Un rétroviseur est constitué par un miroir convexe de rayon de courbure R = 1 m et délimité par un cercle de rayon
r = 0, 05 m . L’observateur est placé à 1 m de ce miroir. Quelle est le rayon D du champ visible 100 m derrière
l’observateur ?
Réponses
I. 120 m .
1
1
2
II 4)
.
+
=
CA′ CA CS
III. 1) f = R / 2 = 10 cm ; 2) α ′ = AB / f = 0, 2 rad ; 3) AB = f α ′ = 0, 03 mm ; 4) 99 cm.
IV. 1) dans le plan frontal de F1 ; A1B1 = f1α ; 2.a) entre le miroir et son plan
φf1
= 13, 9 m ; f2 = −3, 7 m ;
focal ; 2.b) voir figure ; 2.c) φ = γ2 f1 ; 3) e =
φ + f1
F2
F1
4) A′ B ′ = φα = 0, 7 m ; 5) l’avantage le plus important d’un grand miroir est de
collecter plus de lumière.
2
2
V. 2) V =
−
; 3) r2 = r1 / 2 ; r1 / 3 < r ′ < r1 / 2 ; 4) il faut placer le
CS 2 CS1
S1
M2
récepteur au foyer image F' de la lentille équivalente : CF ' = 15 m ; 5) 0, 95 ( 1 − ( r2 / r1 )2 ) = 71, 25 % ; 6)
CF ′.α = 0, 0436 m .
VI. D = 15, 2 m .
DS : miroirs sphériques, page 2
M1
Corrigé
I.
Le disque lumineux de diamètre AB = 6 cm est dans le plan focal du miroir. Son
AB
image, située à l’infini, a pour grandeur α ′ =
. Or, le plan à une distance D est
f
y
Dd
1000 × 0, 06
y 120 m .
presque à l’infini, donc α ′ ⇒y =
D
f
0, 5
Nous avons négligé le rôle du diamètre du miroir, car on regarde ce qui se passe entre
plans presque conjugués.
f = R / 2 = 0, 5 m
B
F=A
α′
B' à l’∞
II.
1) S’il existe une image de A, elle doit être sur le rayon réfléchi SCA issu du rayon incident ACS.
2) Utilisons les relations existant dans les triangles CAI et CA1I :
sin i sin(θ − i )
=
CA
R
sin i sin(θ + i )
=
CA1
R
R sin i
CA
R sin i
sin(θ + i ) = sin θ cos i + sin i cos θ =
CA1
Prenons la différence membre à membre :
R sin i R sin i
2 sin i cos θ =
−
CA1
CA
sin(θ − i ) = sin θ cos i − sin i cos θ =
1
1
2 cos θ
−
=
CA1 CA
R
3) Si A a une image, c’est A1, dont la position ne devrait pas dépendre de θ , contrairement à la relation trouvée en
2).
4) Pour θ petit, cos θ ≈ 1 −
rapport au point A’ défini par
θ2
2
1
CA′
; la position de A1 est stationnaire, elle ne varie que d’un infiniment petit en θ 2 par
+
1
2
=
.
CA CS
III.
1) L’œil est dans le plan focal du miroir, à f = R / 2 = 10 cm du miroir.
2) Le miroir donne de l’œil AB une image à l’infini, vue sous l’angle α ′ = AB / f = 2 cm/ 10 cm = 0,2 rad .
3) AB = fα ′ = 10 cm× 3.10 −4 = 3.10 −3 cm = 0 ,03 mm .
4) FA ⋅ FA′ = f
2
⇒ FA′ =
10 2
= −100 cm AA ′ = 100 − 1 = 99 cm . L’œil accommode
−1
F A
A’
donc à 99 cm.
IV.
1) A1B1 est dans le plan frontal de F1 ; sa taille est A1B1 = f1α .
2.a) L’image est réelle si l’objet est situé entre le miroir et son plan focal. Pour le
montrer, orientons l’axe vers l’extérieur du miroir (figure).
1
1
1
+
=
. D’où
Démonstration 1. L’image est réelle si SA ′ > 0 . Or
SF
SA SA ′
1
1
1
1
−
> 0 , soit
<
. Comme SF < 0 , SA < 0 , d’où SF < SA < 0 .
SF SA
SA SF
2
Démonstration 2. L’image est réelle si FA ′ > FS . Comme FA ⋅ FA ′ = FS ,
F
A'
S
2
FS
cette condition devient
> FS > 0 , soit 0 < FA < FS
FA
2.b) Voir figure.
DS : miroirs sphériques, page 3
F2
S1
F1
M2
M1
2.c) A ′ B ′ = γ2 A1B1 . Or A ′ B ′ = φα . Donc φ = γ2 f1 .
3) Exprimons à l’aide des formules de Descartes que F1 et S1 sont conjugués par rapport à M2 :
φ
φf1
S S
e
80 × 16, 8
γ2 = − 2 1 =
=
⇒e =
=
= 13, 9 m
φ + f1
f1 − e
f1
80 + 16, 8
S 2 F1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
⇒ f2 = −3, 7 m
f2
13, 9 − 16, 8 13, 9
S 2 F1
S 2 S1
Le signe négatif de f2 est conforme à ce que M2 est convexe.
π
4) A ′ B ′ = φα = 80 × 0, 5 ×
= 0, 7 m qui est trop grand ; pratiquement, on ne peut observer qu’une partie de
180
la Lune.
5) On sait faire des miroirs de 5 à 10 mètres de diamètre d’ouverture, alors que celui d’une lentille ne peut excéder 1
mètre. L’avantage le plus important d’un grand diamètre d’ouverture est de collecter plus de lumière : un télescope à
miroir permet d’observer des astres peu lumineux. En outre, la limitation du pouvoir séparateur par la diffraction est
améliorée par une plus grande ouverture.
La combinaison de deux miroirs est semblable à la combinaison de deux lentilles par le téléobjectif, elle réduit
l’encombrement de l’appareil. Cette réduction est aussi due au repliement par les miroirs du faisceau lumineux.
Un autre avantage des miroirs sur les lentilles est l’absence d’aberration chromatique.
x
I1
1) Pour une lentille, un rayon qui passe par le centre optique n’est pas dévié.
I2
Supposons que ce rayon soit le rayon xI1I2x' de la figure. Alors, I1x a pour support la
même droite que I2x, donc que I1I2. Comme I1x et I1I2 ont même support, ce support doit
x'
être perpendiculaire au miroir primaire : il contient le centre C1 du miroir primaire ;
comme I1I2 et I2 x' ont même support, ce support contient également le centre C2 du
miroir secondaire. Si C1 et C2, ne sont pas confondus, il n’a qu’un rayon qui pesse par
ces deux points, alors qu’il faut que tous les rayons passant par O passent par C1 et C2.
Donc C1 et C2 sont confondus.
Remarque : toute droite passant par le centre commun C des miroirs est axe de révolution des miroirs ; l’axe de la
lentille équivalente est donc indéterminé ; en pratique, cet axe est déterminé par les rayons utilisés, car l’approximation
de Gauss est d’autant mieux vérifiée que les rayons sont proches de l’axe.
2) Soit AB un objet, A1B1 l’image qu’en donne le miroir primaire et A'B' l’image que le miroir secondaire donne de
A1B1.
D’après les formules des miroirs sphériques avec origine au centre :
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
et
donnent par différence
.
+
=
+
=
−
=
−
CA1 CA CS1
CA′ CA1 CS 2
CA′ CA CS 2 CS1
V.
γ1 =
A1 B1
AB
=
CA1
A′B ′ CA′
A′B ′ CA′
=
=
et γ 2 =
donnent par produit γ = γ 1 γ 2 =
.
CA
A1 B1 CA1
AB
CA
Ce sont les formules d’une lentille de centre optique C et de vergence V =
2
CS 2
−
2
CS1
=
2
2
2
−
=
. Son
3R1 / 4 R1 3R1
foyer image F' est distant de C de f ′ = CF ′ = 3R1 / 2 = 15 m .
3) Soit B l’objet situé dans le plan frontal de C et tel que
B
CB = r1 . Comme le grandissement est –1 au niveau du centre, le
miroir primaire en donne une image B1 symétrique de B par
rapport à C ; le miroir secondaire donne de B1 une image B'
C
symétrique de B1 par rapport à C, donc confondue avec B ; ceci est
F'
F1
en accord avec l’idée que le plan frontal de C contient la lentille
équivalente, dont le grandissement est +1 au niveau de cette
lentille.
La figure ci-contre montre que le rayon issu de l’étoile et le plus
B1
éloigné de l’axe, après réflexion sur le miroir primaire, frappe le
miroir secondaire à une distance de l’axe r1 / 2 . Les autres rayons
le frappent plus près de l’axe, donc l’optimum de r2 est r2 = r1 / 2 ; si le miroir secondaire est plus grand, sa face
arrière intercepte davantage de la lumière émise par l’étoile.
Cette même figure montre que le rayon après deux réflexions passe dans le plan du miroir primaire à une distance
r1 / 3 de l’axe, donc que l’optimum est r ′ > r1 / 3 .
Enfin pour que tous les rayon non arrêtés par la face arrière du miroir secondaire atteignent le miroir primaire, il faut
que r ′ < r1 / 2 .
DS : miroirs sphériques, page 4
4) Il faut placer le récepteur au foyer image F' de la lentille équivalente : CF ' = 15 m .
5) Avec un seul miroir, on recueille 95 % de la lumière reçue par un disque de rayon r1 .
Avec ce dispositif, on recueille la fraction 0,95 2
πr12 − πr22
de cette puissance.
πr12
Le rapport de la puissance recueillie par ce dispositif à celle recueillie par un seul miroir est donc
0, 95 ( 1 − ( r2 / r1 )2 ) = 0, 95 ( 1 − ( 1/ 2 )2 ) = 71, 25 % .
6) Comme un degré vaut 60 minutes d’arc et comme π radians valent 180°,dix minutes d’arc valent
10
10 π
10 π
°=
rad . La distance entre les images est égale à CF ′.α =
15 = 0,0436 m .
60
60 180
60 180
VI.
Considérons des rayons faisant le trajet inverse de l’œil au spectacle
observé. L’image de l’œil dans le rétroviseur est situé en A' tel que
1
1
1
1
1
+
=
⇒ SA′ =
= − m . D’où le champ tel que
1
1
3
SA SA′ SF
−
−0, 5 1
D
0, 05
=
⇒ D = 15, 2 m .
100 + 1 + 1/ 3
1/ 3
DS : miroirs sphériques, page 5
D
A′