Droites du triangle

Droites du triangle
Soit ABC un triangle quelconque.
Hauteurs Bissectrices Médianes Médiatrices
Définitions
La
hauteur
issue de A est la droite
perpendiculaire à (BC) passant par
A.
A
B
C
La bissectrice de l’angle CAB
ˆ
est
la droite passant par A, qui partage
l’angle CAB
ˆ
en deux angles égaux.
A
B
C
La
médiane
issue de A est la droite
passant par A, qui coupe [BC] en
son milieu.
A
B
C
La
médiatrice
du segment [BC] est
la droite perpendiculaire à (BC), qui
passe par le milieu de [BC].
A
B
C
Concours et
points de
concours
Les trois
hauteurs
d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
H, appelé orthocentre du triangle.
A
B
C
H
Les trois
bissectrices
d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
I, appelé centre du cercle inscrit
dans le triangle.
A
B
C
I
Les trois
médianes
d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
G, appelé centre de gravité du
triangle.
A
B
C
G
A'
Les trois
médiatrices
d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
O, appelé centre du cercle
circonscrit au triangle.
A
B
C
O
Propriétés
Soit A’ le pied de la médiane issue
de A, le point G est situé aux deux -
tiers du segment [AA’] par rapport
au sommet.
Càd : AG =
3
2
AA’ et GA’ =
3
1
AA’
(idem pour les deux autres sommets)
Un point de la médiatrice d’un
segment est équidistant des
extrémités de ce segment, et
réciproquement.

Triangles
Triangle rectangle
Soient A et B deux points, et M un point distinct de A et de B.
A
B
M
O
Si M appartient au cercle de diamètre [AB], alors le triangle AMB est rectangle en M.
Réciproquement :
Si le triangle AMB est rectangle en M, alors M appartient au cercle de diamètre [AB].
A
B
M
O
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de celle de
l’hypoténuse.
Réciproquement :
Si dans un triangle la longueur de la médiane issue d’un sommet est égale à la moitié de celle du côté opposé à ce sommet, alors
le triangle est rectangle en ce sommet.
MO =
2
AB = AO = OB
Droite des milieux
A
B
C
IJ
K
* Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Càd : (IJ) // (BC)
* Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté
du triangle.
Càd : IJ =
2
BC = BK = KC
* Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors cette droite passe par le milieu du
troisième côté du triangle.
Càd : si une droite passe par I et qu’elle est parallèle à (BC), alors elle passe par J.

Comment montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?
Si un quadrilatère est tel que…
ses côtés opposés sont deux à deux parallèles ses diagonales ont le même milieu deux côtés opposés sont parallèles ET de même longueur
… alors c’est un parallélogramme.
Comment montrer qu’un quadrilatère est un rectangle ?
Soit on part du quadrilatère, soit on montre d’abord que c’est un parallélogramme et on se sert des propriétés qui suivent :
Si un quadrilatère est tel que…
Il a trois angles droits
Si un parallélogramme est tel que…
Il possède un angle droit ses diagonales ont même longueur
…alors c’est un rectangle.
Comment montrer qu’un quadrilatère est un losange ?
Soit on part du quadrilatère, soit on montre d’abord que c’est un parallélogramme et on se sert des propriétés qui suivent :
Si un quadrilatère est tel que…
Ses quatre côtés sont de même longueur
Si un parallélogramme est tel que…
Deux côtés consécutifs sont de
même longueur
ses diagonales sont perpendiculaires
…alors c’est un losange.
Comment montrer qu’un quadrilatère est un carré ?
On montre que c’est un rectangle ET un losange avec les propriétés vues ci-dessus…