Le dipôle rayonnant

Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
1) Modélisation de la source
Définition :
On généralise cette propriété en introduisant la notion
de dipôle oscillant qui représente un ensemble neutre
de particules chargées [qi ; Ai] dont le moment
dipolaire électrique est de la forme :
p(t) = qi.OAi = p0.cost.uz
où O est une origine fixe proche des charges Ai.
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
1) Modélisation de la source
2) Les conditions d’étude
Ce problème est caractérisé par trois distances :
•  la longueur d’onde du champ rayonné ;
• la distance r = OM du dipôle au point M ;
• a = max(OAi) l’extension géométrique du
dipôle au voisinage de l’origine O.
Nous limitons notre étude au cas : r >>  >> a.
Nous limitons notre étude au cas : r >>  >> a.
• r >> a constitue l’approximation dipolaire :
AiM  OM = r
•  >> a constitue l’approximation non relativiste :
v
 1
c
• r >>  définit la zone de rayonnement
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
Dans la pratique, l’approximation r >>  est justifiée par
les ordres de grandeurs usuels :
• En optique,   500 nm et r > 1 cm ;
• En radiodiffusion : en FM,   1 m et r >> 1 m
et en GO,   1 km.
Seuls les auditeurs à proximité immédiate de
l’émetteur ne sont pas dans la zone de
rayonnement.
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
1) Le champ électromagnétique rayonné
a) Le champ magnétique B
Le dipôle oscillant étant caractérisé par un
moment dipolaire de la forme :
p(t) = p0.cost, p0 = p0.uz
en se limitant à la zone de rayonnement,  << r,
on montre que le champ magnétique s’écrit dans
la base sphérique :
μ 0 .sinθ  r 
B (r,t) 
p  t   .uφ
4 πr.c  c 
En notation complexe :
p(t) = p0.expit.uz
2
μ 0 ω sinθ
B(r,t)  
p0 .expi(ωt  k.r).uφ
4π r.c
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
1) Le champ électromagnétique rayonné
a) Le champ magnétique B
b) Le champ électrique E
En se limitant à la zone de rayonnement,
on montre que le champ électrique s’écrit
dans la base sphérique :
μ 0 .sinθ  r 
1 sinθ  r 
E (r,t) 
p  t   .uθ 
p
t

.
u


θ
2
4 πr  c 
4 πε 0 r.c  c 
En notation complexe :
p(t) = p0.expit.uz
2
p0 ω sinθ
E(r,t)  
.expi(ωt  k.r).uθ
2
4πε0 r.c
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
1) Le champ électromagnétique rayonné
2) Les propriétés des champs rayonnés
Le champ électromagnétique rayonné par un dipôle
oscillant possède localement la structure d’une onde
plane progressive dans le vide se propageant avec la
célérité c dans la direction ur ;
E et B sont orthogonaux à la direction de propagation ur
l’ensemble (ur, E, B) forme un trièdre orthogonal direct ;
L’onde est transversale, E et B oscillent en phase
perpendiculairement à la direction de propagation ur.
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
1) Le champ électromagnétique rayonné
2) Les propriétés des champs rayonnés
3) Aspects énergétiques
a) Le vecteur de Poynting
Par définition du vecteur de Poynting dans le vide
en M, à la date t :
2
E B
E.B
E
Π 

ur 
ur
μ0
μ0
μ 0 .c
2
μ 0 .sin θ 2  r 
Π 
p  t   .ur
2 2
16π .r .c  c 
sin2θ
r
2
Π 
p  t   .ur
2
2 3
 c
16π ε 0 .r .c
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
3) Aspects énergétiques
a) Le vecteur de Poynting
b) La puissance rayonnée
La puissance élémentaire instantanée dP rayonnée par
le dipôle oscillant à travers la surface mésoscopique dS
dans le sens de dS est donnée par la relation :
dP = .dS
Dans ces conditions, la puissance instantanée
rayonnée par le dipôle oscillant à travers une
sphère (), de centre O, de rayon r est donnée par :
P(Σ, t) 
 Π.d S
Σ
dS = r2.sin.d.d.ur
En remplaçant le vecteur de Poynting
par son expression :
P(Σ, t) 
2π π
0 0
 
2
sin θ
r 2
2
p  t   .r .sinθ.dθ.dφ
2
2 3
 c
16π ε 0 .r .c
P(Σ, t) 
π
0

sin3θ 2  r 
p  t   .dθ
3
 c
8πε 0c
Comme sur (), r est constant on obtient :
r
p t  
π
c
3


P(Σ, t) 
sin
θ
.d
θ

8πε 0c 3 0
2
1
r
2
P(Σ, t) 
p t  
3
 c
6πε 0c
La puissance moyenne dans le temps que rayonne
le dipôle oscillant à travers la sphère (), de centre
O, de rayon r, est donnée par :
2
p
1 T
P(Σ, t)  0 P(Σ, t).dt 
T
6πε 0c 3
Or, p(t) = p0.cost :
2
p 
p
2
4 2
2
ω p0 .cos ωt
1 4 2
 ω p0
2
p20 ω4
P(Σ, t) 
12πε 0 c 3
I 
dP
dS
 Π.ur
sin2θ
2

p
16π 2ε 0 .r 2 .c 3
Indicatrice de rayonnement
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
Définition :
La diffusion électromagnétique : c’est le rayonnement
électromagnétique réémis par une substance soumise
à un rayonnement électromagnétique
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
1) Modèle de l’électron élastiquement lié
Le modèle de Thomson
. Les différents électrons liés de charges – e d'une
même molécule sont traités indépendamment ;
Le modèle de Thomson
. Les noyaux ayant une masse très grande devant
celle des électrons, on les suppose immobiles
dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;
Le modèle de Thomson
. Chaque électron est traité comme un oscillateur
harmonique amorti ; L'électron est soumis à une
force de rappel qui rend compte de l'action du
champ électrique créé par le noyau et les autres
électrons ; Il est soumis, en outre à une force de
frottements fluides qui rend compte des diverses
causes d'amortissement telles que les collisions
entre électrons et le rayonnement dipolaire.
fr   m.ω20 .r
fv   m.Γ.r
Le modèle de Thomson
. L’électron est placé dans le champ
électromagnétique créé par le soleil qu’on peut
ramener par superposition à une O.P.P.H. polarisée
rectilignement de pulsation , décrite par le champ
[Es ; Bs], avec 2.1015 rad.s–1 <  < 5.1015 rad.s–1
pour la lumière visible.
Le rayonnement
dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
1) Modèle de l’électron élastiquement lié
2) Les couleurs du ciel
m r   m.ω20 .r  m.Γ.r  e.E0 .cosωt


m ω20  ω2  iΓω r   e.Es
e
Es
r  
m ω20  ω2  iΓω
E0 .expiωt
e2
p   e.r 

p
.expi
ω
t
0
m ω20  ω2  iΓω
2
E0
e
p0 
m ω20  ω2  iΓω
La puissance moyenne dans le temps rayonnée à
travers la sphère () de rayon r, est donnée par :
p20 ω4
P(Σ, t) 
12πε 0 c 3
2
p0
2
E0
2 2
4
e
 2
m ω2  ω
0

2
e E0
2 3

 Γ 2 ω2
4
1
P(Σ, t) 
12πε 0 m c

ω
ω20
 ω
4

2 2
 Γ 2 ω2
Trois cas se dégagent :
•   0 : c’est la diffusion résonante (absorption)
•  >> 0 : c’est la diffusion de Thomson
•  << 0 : c’est la diffusion de Rayleigh qui
intervient dans la diffusion du
rayonnement solaire par l’atmosphère
Pour l’atmosphère, 0  1016 rad.s-1 et   108 rad.s-1
ce qui correspond au rayonnement ultraviolet :
2
ω 
2
ω0
Γ.ω 
2
ω0
Dans ces conditions :
1 e 4 E20 ω4
P(Σ, t) 
12πε 0 m2 c 3 ω04
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dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
II) Les champs rayonnés
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
1) Modèle de l’électron élastiquement lié
2) Les couleurs du ciel
3) Polarisation par diffusion