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Produits dérivés
Introduction
• Que fait-on avec des produits dérivés?
• On gère l’incertitude liée au futur:
• Avec des contrats à terme, on fixe le futur maintenant.
• Avec des options, on achète un contrat d’assurance
•
•
•
•
•
Mais également on spécule et accessoirement on fait de l’argent
Ils permettent de fixer un prix, de segmenter les risques et de les redistribuer.
Ils permettent la couverture des risques.
Ils peuvent agir comme précurseur des tendances futures des marchés.
Ils permettent de supprimer les opportunités d’arbitrage
• Ils permettent de changer la nature du passif et la structure des actifs sans engendrer de coûts
énormes.
• Ils constituent un élément de levier très important.
• Ils permettent aux opérateurs une flexibilité dans la gestion.
Forwards & Futures
• Quelle est la différence entre futures et forwards?
• Un forward est un contrat personnalisé entre deux parties : Over the counter
• Habituellement, l’intention est de transiger à la date d’échéance, et il n’est pas possible facilement d’annuler le contrat
• Un futures est un contrat standardisé et échangé sur une bourse, alors l’intention n’est pas
nécessairement de garder la position jusqu’à échéance : Exchanged Trade contract
• Il est relativement simple d’annuler le contrat avant l’échéance, on prend alors une position inverse
• Futures:
• Standardisation (échéance, quantité, etc.):
•
•
•
•
Accroît la "liquidité" des contrats (concentre les échanges dans quelques contrats);
Facilite la comparaison des prix;
Le contrat spécifie les points suivants: sous-jacent à livrer, lieu de livraison et date de livraison;
Élimine le counterparty risk car la bourse garantit le contrat.
• Centralisation des marchés
• Réglementation:
• Marking to Market
• Protège l’intérêt du public;
• Prévient les pratiques “douteuses”
• À l'échéance du contrat:
• Prix Futures = Prix spot
Forwards & Futures
Terminologie
• Open interest:
• Nombre total de contrats ouverts;
• Égal au nombre de positions courtes (ou longues -- mais ne comptez pas deux fois!).
• Settlement price:
• Prix Futures juste avant la fermeture du marché;
• Utilisé pour le “marking to market”.
• Volume:
• Nombre de transactions dans une journée.
Forward
Futures
Contrat privé entre 2 contreparties Contrat transigé sur place bours.
Contrat non-standard
Contrat standardisé
1 date de livraison
Un ensemble de date de livraison
$$ échangés à l'échéance
$$ échangés à tous les jours
Livraison à la date d'échéance
Contrat fermé avant l'échéance
Forwards & Futures
Vendeur
Acheteur
Position de base
Profit
Position contrat
à terme
Profit
F0
ST
ST
F0
Position contrat
à terme
Position longue dans sous-jacent
Position courte dans contrat à terme
Résultat: aucun risque
Position de base
Position courte dans sous-jacent
Position longue dans contrat à terme
Résultat: aucun risque
Forwards & Futures
Notation :
•
•
•
•
•
•
•
•
•
T: Date d’échéance du contrat
S0 : Prix du sous-jacent aujourd’hui
F0 :Prix Forward ou Futures
r : Taux d’intérêt sans risque annuel (ou sur la
durée du contrat)
q : Revenu ou dividende en %
I0 : Valeur présente des dividendes en $
rf : Taux sans risque étranger (f pour foreign)
u : Coût entreposage en %
y : Coût opportunité de détenir la matière pour consommation
F0 = S0 erT
S0 = F0 e-rT
F0 = (S0 - I0+U0) e (r – q - rf + u – y )T
• Les coûts entrent en positif
• Les bénéfices entrent en négatif
Forwards & Futures
Stratégie Cash and Carry
• F0M > F0S, on achète F0S et on vend F0M
• Emprunt et achat du sous-jacent;
• On vend le contrat à terme (position courte);
• Livraison et remboursement de l’emprunt à l’échéance
• Aucun risque
• Le prix forward s’ajustera jusqu’à ce qu’il n’y ait aucun profit possible
Stratégie Reverse Cash and Carry
• F0S > F0M, on achète F0M et on vend F0S
• Vente à découvert du sous-jacent et placement de l’argent
• Position longue dans le contrat à terme
• Achat du sous-jacent à l’échéance
• Toujours
• Aucun risque
• Le prix forward s’ajustera jusqu’à ce qu’il n’y ait aucun profit possible
Forwards & Futures
Contrats Futures sur Indices Boursiers
• Indices boursiers:
•
•
•
•
•
Canada : S&P TSX
US : Dow Jones, Nasdaq, S&P 500
Europe : FTSE (Angleterre), CAC 40 (France), DAX (Allemagne)
Asie : Shangaï composite, Hang seng (Chine), BSE (Inde), Nikkei (Japon), TSEC (Taiwan)
Amérique du Sud : IBOVESPA (Brésil), MEXBOL (Mexique), MERVAL (Argentine)
• Attention : la composition et le mode de calcul de ces indices varient
Valeur d’un contrat «f»: À ne pas confondre avec le prix Forward F0
• La valeur du contrat sert à connaître le gain ou la perte possible à une date donnée durant la vie
d’un contrat
• f = 0 à la signature du contrat
• f varie tous les jours tout au long de la vie d’un Forward
• Notation :
• f = valeur du Forward
• K = le prix du Forward lorsque le contrat a été créé
• Valeur d’une Position Longue:
f = (F0 – K) e-rT
Forwards & Futures
Arguments contre la couverture de risque:
• Les actionnaires sont en mesure de diversifier le risque eux-mêmes, probablement mieux que la
compagnie
• Gérer les risques est une opération coûteuse qui n’ajoute pas de valeur.
• Si la compagnie est la seule à gérer le risque dans son secteur, cela constitue une augmentation de
ses coûts face à ses compétiteurs.
• La gestion des risques est parfois (souvent) motivée par un lissage des résultats présentés aux états
financiers. Il peut alors être difficile de justifier des résultats décevants.
• Implique une décision stratégique au plus haut niveau
Arguments pour la couverture de risque:
• Les compagnies devraient se concentrer sur leur production et minimiser les risques associés au
mouvement des variables financières (taux d’intérêt, taux de change, etc.).
• La réduction des risques liés aux flux monétaires futurs améliore la planification des activités (choix
des investissements).
• La gestion des risques permet de minimiser la possibilité de se retrouver en détresse financière.
• Les gestionnaires ont un avantage comparatif par rapport aux actionnaires quant à la connaissance
réelle des risques.
• Il existe des imperfections dans les marchés qui font que les gestionnaires sont mieux placés que les
actionnaires pour gérer le risque de change.
Forwards & Futures
Risque de base:
• La base est la différence entre le prix spot et le prix Futures:
Baset = ( St – Ft )
• À la fermeture du contrat, il y a une incertitude quant à la base.
Prix
base
F
S
T
Forwards & Futures
• Il faut choisir le contrat dont la date de livraison est la plus proche de la date
de la fin de la stratégie de couverture.
• La date de livraison doit cependant être plus éloignée que la date de fin de la
stratégie de couverture.
• S’il n’y a pas de contrat Futures avec un actif sous-jacent identique au sousjacent à couvrir
• Choisir un contrat dont les prix Futures sont les plus fortement corrélés avec le prix
de l’actif à couvrir. (Cross Hedging)
Forwards & Futures
Ratio de variance minimum
• Le ratio de variance minimum dépend de la relation entre le changement du prix
spot DS et le changement du prix du futures DF
• C’est aussi le coefficient de la droite de régression entre DS et DF
• Couverture :
• h est la proportion du future (position courte)
•
•
•
•
On forme un portefeuille V = S – hF
On veut éliminer la variance DV = DS – hDF
La variance est
Pour trouver h mini, on dérive et on met égale à 0
• La proportion optimale d’exposition qui doit être couverte est:
 DS
h
 DF
•
•
•
•
•
S: prix spot
F: prix Futures
σΔS: écart-type de ΔS
σΔF: écart-type de ΔF
ρ: coefficient de corrélation entre ΔS et ΔF
Forwards & Futures
• Le nombre optimal de contrats à prendre
NA
N h
QF
*
*
• NA : Valeur (ou nombre d’unités) de la position spot à couvrir
• QF : Valeur (ou nombre d’unités) de chaque contrat Futures
• N* : Nombre optimal de contrat Futures
Forwards & Futures
• Couverture d'un portefeuille avec Futures sur indice boursier:
N* = b (S / F)
• b: Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur du portefeuille
aux variations du rendement du marché
• S: Valeur totale du portefeuille
• F: Valeur courante d’un contrat futures,
• i.e. prix Futures de l’indice × taille d’un contrat
• Lorsque l’on couvre le risque, cela est équivalent à changer le beta du portefeuille à zéro
• Pour changer le b à une valeur autre que 0, il faut procéder de la façon suivante:
− Si bnouveau < bactuel alors, on doit vendre le nombre de contrats:
N* = (bactuel - bnouveau) ×(S / F)
− Si bnouveau > bactuel alors, on doit acheter le nombre de contrats:
N* = (bnouveau - bactuel ) × (S / F)
Forwards & Futures
Calcul des taux Forward entre T1 et T2 en taux continu
r2T2  r1T1
rF 
T2  T1
• La théorie des anticipations rationnelles
• postule que les taux d’intérêt spot anticipés futurs sont égaux aux taux Forward.
• La théorie de la prime de liquidité
• postule que le taux Forward est plus élevé que le taux spot espéré futur.
• La théorie des marchés segmentés
• postule que les taux d’intérêt sont déterminés de façon indépendante par l’offre et la
demande pour des maturités différentes.
Forwards & Futures
• Un FRA (Forward Rate Agreement) est un contrat Forward dans lequel les deux
parties s’engagent à appliquer un certain taux pour une période future donnée.
• Un FRA est un engagement équivalent à échanger un taux d’intérêt prédéterminé
contre le taux du marché
• Cela implique un gain ou une perte…
• En pratique, le règlement du contrat se fait au net, en argent, au début de la période
où le taux garanti s’applique
Valeur du FRA à T1: VT1 = Q [e(rk–r12) (T2-T1) – 1]
Forwards & Futures
• Intérêts gagné entre deux dates :
nombre de jours entre deux dates
 intérêt gagné dans la période de référence
nombre de jours dans la période de référence
• Convention :
• Nombre exact / 360 :
Treasury bills
• Nombre exact / nombre exact : Treasury bonds
• 30 / 360 :
Corporate bonds
• Les T-Bills sont cotés avec un Discount rate
• Le Discount rate est l’intérêt qu’il reste a gagner pour obtenir la valeur de maturité
• Il se calcul à partir du Prix coté, le Quote price P observable sur les marché
• Le prix payé Y , le Cash Price est une fonction du Quote price
Swaps
• Un swap est une entente entre deux parties qui prévoit l’échange de flux monétaires à des dates futures selon des
modalités préétablies
• Un swap peut être considéré comme un portefeuille de contrats Forward
• Deux Catégories principales
• Swap de taux d’intérêt
• Swap de devises
• Marché très efficient avec de faibles frais de transaction
• Les banques gèrent principalement le marché
• Il n’y a pas de réglementation
• Il n’y a pas de marché secondaire
• Besoin de la contrepartie pour fermer la position
• Le risque de crédit n’est pas symétrique
Utilisations
• Gestion du risque
• On a besoin de convertir un passif de:
• Taux fixe en taux flottant
• Taux flottant en taux fixe
• On a besoin de convertir un actif de:
• Taux fixe en taux flottant
• Taux flottant en taux fixe
• Arbitrage de crédit
• Ex.: Une compagnie cotée BBB emprunte au taux flottant relativement moins élevé qu’au taux fixe
Swaps
• Most swaps are traded over-the-counter (OTC), "tailor-made" for the counterparties. Some types of swaps
are also exchanged on futures markets such as the Chicago Mercantile Exchange, the largest U.S. futures
market, the Chicago Board Options Exchange, IntercontinentalExchange and Frankfurt-based Eurex AG.
• The five generic types of swaps, in order of their quantitative importance, are: interest rate swaps, currency
swaps, credit swaps, commodity swaps and equity swaps.
• The most common type of swap is a “plain Vanilla” interest rate swap. It is the exchange of a fixed rate loan to
a floating rate loan. The life of the swap can range from 2 years to over 15 years. The reason for this exchange
is to take benefit from comparative advantage. Some companies may have comparative advantage in fixed
rate markets, while other companies have a comparative advantage in floating rate markets. When
companies want to borrow, they look for cheap borrowing, i.e. from the market where they have comparative
advantage. However, this may lead to a company borrowing fixed when it wants floating or borrowing floating
when it wants fixed.
• A currency swap involves exchanging principal and fixed rate interest payments on a loan in one currency for
principal and fixed rate interest payments on an equal loan in another currency. Just like interest rate swaps,
the currency swaps are also motivated by comparative advantage. Currency swaps entail swapping both
principal and interest between the parties, with the cashflows in one direction being in a different currency
than those in the opposite direction.
• Conceptually, one may view a swap as either a portfolio of forward contracts, or as a long position in one
bond coupled with a short position in another bond.
Swaps
Évaluation d’un swap de taux d’intérêt
• Approche du portefeuille d’obligations
• Un swap de taux d’intérêt peut être évalué comme la différence entre les valeurs d’une obligation
à taux fixe et une obligation à taux flottant.
Vswap = Bfix – Bvar
• Bfix est la valeur présente de l’obligation à taux fixe
• Bvar est la valeur présente de l’obligation à taux variable
• Dans ce cas-ci, Vswap correspond à la valeur de la partie qui reçoit le taux fixe (achat
de l’obligation) et qui paie le taux variable (vente ou émission de l’obligation)
• Approche de contrat FRAs
• On peut aussi évaluer un swap comme un portefeuille de contrat FRAs
Swaps
• L’obligation à taux fixe est évaluée de la manière habituelle, i.e.
n
B fix   Ce  ri ti  VNe  rntn
i 1
•
•
•
•
VN = valeur nominale de l’obligation
C = coupon
ti = échéance de chaque paiement
ri = taux LIBOR zéro-coupon correspondant à ti
• L’obligation à taux variable est évaluée en tenant compte qu’elle est à parité
immédiatement après la prochaine date de paiement.
B fl  VN  k e
• k = le paiement à taux variable
 r1t1
Swaps
Approche de contrat FRAs
• On peut aussi évaluer un swap comme un portefeuille de contrat FRAs
• Concept :
• une obligation avec coupons constitue un portefeuille d’obligations zéro-coupon
• un swap, qui correspond à un échange de flux monétaires dans le futur, peut être
considéré comme un portefeuille de FRA portant sur des dates différentes
• Construction:
• Calculer les taux forwards semestriels des taux LIBOR continu qui vont déterminer les
flux monétaires du swap.
• Calculer les flux monétaires du swap en faisant l’hypothèse que les taux de coupon
LIBOR seront les mêmes que les taux forwards calculés
• La valeur du swap égale la somme des valeurs présentes des flux monétaires calculés
Swaps
Swaps de devises:
• Approche du portefeuille d’obligations
• Notation
Vswap = BD – S0 BF
•
•
•
où BD = valeur présente de l’obligation en
BF = valeur présente de l’obligation en
S0 = taux de change (locale/étrangère)
devise locale
devise étrangère
• Vswap correspond à la valeur de la partie qui reçoit la devise locale et qui paie en devises
étrangères
• Approche du portefeuille de contrats forward
• De la même façon que pour le swap de taux d’intérêt, le swap de devises peut lui aussi être
considéré comme une série de contrats à terme d’échéance différente
• Construction
• Calculer les taux de change à terme pour chacune des échéances.
• Calculer les flux monétaires du swap en faisant l’hypothèse que les taux à terme seront les
taux en vigueur.
• La valeur du swap égale la somme des valeurs présentes des flux monétaires calculés
Options
• Option européenne:
• Option qui ne peut être exercée qu’à la date d’exercice.
• Option américaine:
• Option qui peut être exercée à tout instant jusqu’à la date d’exercice
• Valeur intrinsèque de la position longue
• Détenteur d’un call:
• Détenteur d’un put:
Max {0, ST – K}
Max {0, K – ST}
• Valeur intrinsèque de la Position courte
• Signataire d’un call:
• Signataire d’un put:
- Max {0, ST – K}
- Max {0, K – ST}
• Attention au signe « moins »
• K est le prix d’exercice et ST est le prix de l’actif sous-jacent au moment de
l’exercice de l’option
Options
• Valeur intrinsèque et fonction de profits
Position longue call
Profit
Position courte call
Profit
K
K
ST
Profit
ST
Profit
K
K
Position longue put
ST
ST
Position courte put
Options
• Ajustements au contrat d’option pour les dividendes en actions et les fractionnement des
actions (splits)
• Soit N options de prix d’exercice K:
• Il n’y a pas d’ajustement en cas de versement de dividendes en argent.
• Quand survient un fractionnement n-pour-m de l’action,
• le prix d’exercice est réduit de mK / n
• le nombre d’options augmente de nN / m
• Les dividendes en actions sont considérés de la même façon que les splits.
• Writing naked options
• Une naked option est une option pour laquelle le signataire ne détient pas le titre sous-jacent.
• La marge requise est le plus grand des deux montants suivants:
• 100% du montant de la vente + 20% du prix du sous-jacent moins le montant par lequel l’option est hors-jeu.
• 100% du montant de la vente + 10% du prix du sous-jacent
• Writing covered calls
• Dans ce cas, le signataire détient également le titre sous-jacent, de sorte que le risque est moindre.
• Il n’y a pas de marge requise avec un «covered call».
Options
• Les warrants sont des options émises (ou signées) par une entreprise ou une institution
financière.
• Attention au risque de crédit !
• Tout comme l’option, il confère à son détenteur le droit d’acheter des actions à un prix
convenu durant une période déterminée.
• Lorsque les warrants sont exercés, la compagnie doit émettre de nouvelles actions.
• Alors qu’avec les options boursières, si exercées, on vend ou achète des actions qui ont déjà
été émises
Les options pour dirigeants (employee stock options)
• Options d’achat émises pour encourager les dirigeants à travailler pour les intérêts des
actionnaires.
• Habituellement émises à parité.
• Elles ne peuvent être vendues.
• Lorsqu’elles sont exercées, la compagnie doit émettre de nouvelles actions.
Options
Les obligations convertibles
• Les obligations convertibles sont des instruments de dette avec une option émise par
l’entreprise.
• Le détenteur a le droit d’échanger les obligations contre des actions.
• Équivalent à une obligation avec un « embedded call » sur les actions.
• En général, ces obligations sont également rachetables.
Options
Bornes Inférieures en absence de dividendes
• Call
• CE ≥ Max {0, S0 – K e-rT}
• CA ≥ Max {0, S0 – K }
• Put
• PE ≥ Max {0, K e-rT – S0}
• PA ≥ Max {0, K – S0}
Bornes supérieures en absence de dividendes
• Call
• CE ≤ S0
• CA ≤ S0
• Put
• PA ≤ K
• PE ≤ K e-rT
Options
Parité Put-Call : Options européennes sans dividende
CE + K e-rT = PE + S0
Parité put-call: options américaines sans dividende
S0 - K ≤ CA - PA ≤ S0 - K e-rT
Effet des dividendes
• Le dividende fait baisser la valeur de S.
• On remplace donc S0 par (S0 – I0)
• où I0 est la valeur présente du dividende sur la durée de l’option
Sans dividende
CE > S0 – K e-rT
PE > K e-rT – S0
PE + S0 = CE + K e-rT
Avec dividende
CE > S0 – I0 – K e-rT
PE > K e-rT – (S0 – I0)
PE + S0 – I0 = CE + K e-rT
Options
Facteurs affectant le prix des options
Variable
CE
PE
CA
PA
↑ S0
+
-
+
-
↑X
-
+
-
+
↑σ
+
+
+
+
↑r
+
-
+
-
↑D
-
+
-
+
↑T
?
?
+
+
Stratégies d’options
Position de
base
Profit
Profit
Call
K
K
ST
Put
Position longue dans sous-jacent
Position longue dans put
Résultat: position longue dans call
ST
Position de
base
Position courte dans sous-jacent
Position longue dans call
Résultat: position longue dans put
Bull Spread avec calls
Profit
ST
K1
K2
Stratégie: achat d’un call à K1 et vente d’un call à K2
33
Bull Spread avec calls
• Pour contruire un bull spread avec des calls, le plus simple est de décomposer le
graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à l’achat ou à la vente
d’un call.
• Dans le cas d’un bull spread, si on regarde la partie gauche du graphique, on constate
qu’elle ressemble à l’achat d’un call avec un prix d’exercice de K1.
• Comme la stratégie finale cesse de croître après K2, il faut donc limiter le gain illimité
provenant de l’achat de notre call à K1. Pour ce faire, on doit trouver un moyen d’avoir
une perte correspondant au gain pour que l’effet total après K2 soit nul.
• Comme on n’utilise que des calls dans cette stratégie, notre seul choix est de vendre une
option d’achat à K2, ce qui annulera le gain du call à K1 lorsque le prix de l’action sera
supérieur à K2.
• Remarquez que la vente de l’option d’achat à K2 procurera un revenu qui viendra
diminuer le coût d’achat du call à K1. C’est d’ailleurs l’intérêt de cette stratégie, car elle
permet de profiter de la hausse du sous-jacent (tout comme un call) mais elle coûte
moins cher parce qu’on sacrifie une partie du gain qu’on pourrait faire si le sous-jacent
atteint une valeur supérieure à K2.
34
Bull Spread avec puts
Profit
K1
K2
ST
Stratégie: Achat d’un Put à K1 et Vente d’un Put à K2
35
Bull Spread avec puts
• Pour contruire un bull spread avec des puts, le plus simple est de
décomposer le graphique pour y retrouver des composantes qui
ressemblent soit à l’achat ou à la vente d’un put.
• Dans le cas d’un bull spread, si on regarde la partie droite du graphique,
on constate qu’elle ressemble à la vente d’un put avec un prix d’exercice
de K2.
• Comme la stratégie finale cesse de perdre de la valeur avant K1, il faut
donc limiter la perte provenant de la vente de notre put à K2. Pour ce
faire, on doit trouver un moyen d’avoir un gain correspondant à la perte
pour que l’effet total avant K1 soit nul.
• Comme on n’utilise que des puts dans cette stratégie, notre seul choix est
d’acheter une option de vente à K1, ce qui annulera la perte du put à K2
lorsque le prix de l’action sera inférieur à K1.
36
Bear Spread avec calls
Profit
K1
K2
ST
Stratégie: vente d’un call à K1 et achat d’un call à K2
37
Bear Spread avec puts
Profit
K1
K2
ST
Stratégie: vente d’un put à K1 et achat d’un put à K2
38
Butterfly Spread avec calls
Profit
K1
K2
K3
ST
Stratégie: achat d’un call à K1, vente de deux calls à K2 et achat d’un call à K3
39
Butterfly Spread avec calls
• Pour contruire un butterfly spread avec des calls, le plus simple est de décomposer le
graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à l’achat ou à la
vente d’un call.
• Dans le cas d’un butterfly spread, si on regarde la partie gauche du graphique, on
constate qu’elle ressemble à l’achat d’un call avec un prix d’exercice de K1.
• Comme la stratégie finale cesse de croître après K2, il faut donc limiter le gain illimité
provenant de l’achat de notre call à K1. Pour ce faire, on doit trouver un moyen
d’avoir une perte correspondant au gain pour que l’effet total après K2 soit nul.
• Comme on n’utilise que des calls dans cette stratégie, notre seul choix est de vendre
une option d’achat à K2, ce qui annulera le gain du call à K1 lorsque le prix de l’action
sera supérieur à K2.
• Par contre, on ne veut pas qu’annuler le gain, on veut aussi que le profit de la
stratégie diminue à partir de K2. Il faudra donc vendre un deuxième call à K2 si on
veut générer un profit négatif à partir de K2.
40
Butterfly Spread avec puts
Profit
K1
K2
K3
ST
Stratégie: achat d’un put à K1, vente de deux put à K2 et achat d’un put à K3
41
Types de stratégies mixtes (spreads)
• Mixte verticale (Bull, Bear et Butterfly)
• Même échéance
• Différents prix d’exercice
• Mixte horizontale (calendar spreads)
• Différentes échéances
• Même prix d’exercice
• Mixte diagonale (diagonal spreads)
• Différentes échéances
• Différents prix d’exercice
42
Calendar Spread avec calls
Profit
ST
K
Stratégie: vente d’un call à T1 et achat d’un call à T2
43
Calendar spread avec calls
• Pour comprendre le graphique précédent, il faut savoir qu’on doit
choisir un moment dans le temps pour «geler» la fonction de profit,
puisque nous avons deux options avec des échéances différentes.
• Le plus simple est de se positionner à T1.
• Ensuite, il suffit de réaliser que la position longue dans l’option d’achat
avec une échéance de T2 est encore en vie à T1. Cela signifie que sa
valeur est supérieure à sa valeur intrinsèque (ou minimale), d’où la
ligne courbe pour représenter sa valeur.
44
Calendar Spread avec puts
Profit
ST
K
Stratégie: vente d’un put à T1 et achat d’un put à T2
45
Les combinaisons
• Elles consistent à prendre des positions dans des puts et
des calls simultanément sur le même sous-jacent.
• Elles regroupent :
• les straddles
• les strips et straps
• les strangles
46
Position double (Straddle)
Profit
K
ST
Stratégie: achat d’un put à K et achat d’un call au même K
47
Positions triples de vente et d’achat (Strip & Strap)
Profit
Profit
K
Strip
Stratégie strip:
ST
K
ST
Strap
Stratégie strap:
achat de deux puts à K et achat d’un achat d’un put à K et achat de deux
calls à K
call à K
48
Position combinée (Strangle)
Profit
K1
K2
ST
Stratégie: achat d’un put à K1 et achat d’un call à K2
49
Achat et vente d’une combinaison
Achat d’un straddle
Vente d’un straddle
Profit
Profit
K
ST
K
ST
50
Les arbres binomiaux
• Modèle Général
• Construction du portefeuille sans risque
• Position longue dans Δ actions
• Position courte dans une option
Dsu - cu
DS - c
DSd - cd
• Trouver le Δ rendant le portefeuille sans risque
cu  cd
D
Su  Sd
Su Δ – cu = Sd Δ – cd d’où
51
Les arbres binomiaux
• Modèle Général
• La valeur présente du portefeuille sans risque est:
c du D – cu) e–rT
S D –ccu =(S
D
• En substituant D par
• On obtient:
Su  Sd
e rT  d
p
u d
et en posant
c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd]
• le prix d’une option est alors la valeur présente de l’espérance de la valeur de
l’option à la période suivante.
• p est la probabilité neutre au risque
52
Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque
• Probabilités Réelles
• Dans l’arbre du prix d’une action, l’action a une probabilité réelle q de
monter à Su et une probabilité réelle (1-q) de diminuer à Sd.
• Donc, E[ST] = q Su + (1-q) Sd
• La probabilité réelle q varie d’un investisseur à l’autre selon ses
anticipations et elle est utilisée pour évaluer le prix d’une action
53
Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque
• Probabilités Neutres au Risque :
• La probabilité neutre au risque est celle utilisée pour déterminer le prix
de l’option.
• C’est une méthode de calcul permettant d’actualiser les flux monétaires
d’une option au taux sans risque (r)
• Important : On n’utilise jamais les probabilités historiques de l’action pour
le calcul de l’option!
• Il n’y a aucun lien entre la probabilité réelle q et la probabilité neutre au
risque p
54
Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque
• Monde Risque-Neutre versus réél
• Supposons que la probabilité risque-neutre (p) est égale à la probabilité réelle (q).
rT
eE[S
T]d= pSu + (1-p)Sd
p
u d
• En substituant p par
• On obtient:
E[ST] = S erT
• Cela implique, qu’en moyenne, le prix de l’action augmente au taux sans risque
• Dans un monde neutre au risque, tous les investisseurs sont indifférents face au risque,
c’est-à-dire qu’ils n’exigent pas de compensation pour le risque
55
Arbre binomial à deux périodes
T0
• Modèle Général :
T1
T2
Suu
cuu
Su
cu
S
Sud
c
cud
Sd
cd
Sdd
cdd
56
Arbre binomial à deux périodes
e rT  d
p
u d
• Généralisation :
• Calculer la probabilité
• Construire le 3ième niveau de l’arbre
• cuu = max {0 ; Suu – K}
• cud = max {0 ; Sud – K}
• cdd = max {0 ; Sdd – K}
• Construire le 2ième niveau de l’arbre
• cu = e-rΔT {p x cuu + (1-p) x cud}
• cd = e-rΔT {p x cud + (1-p) x cdd}
• Construire le 1er niveau de l’arbre
• c = e-rΔT {p x cu + (1-p) x cd}
• Remarque: ΔT correspond à l’intervalle de temps entre deux nœuds.
57
Le DELTA
• Définition:
• Le delta d’une option est le ratio decla
variation du prix de l’option par rapport
u  cd
à la variation du prix de l’action.D  Su  Sd
• Mathématiquement :
• Le D est la dérivée partielle du prix de l’option par rapport au prix de l’action
• Le D d’un Call est positif
• Le D d’un Put est négatif
58
Arbres binomiaux en pratique
• À l’échéance de l’option, il est peu probable que le prix de l’action tombe
sur une des trois valeurs de l’arbre.
• Pour ajouter de la précision, il faut ajouter des nœuds (périodes)
• 30 nœuds ou plus donne une bonne approximation
• Comment détermine-t-on la valeur de u et d?
• On se base sur la volatilité du titre sous-jacent (σ)
ue
σ Δt
1
et d 
u
• On fait aussi des ajustements à chaque période pour tenir compte du fait
que les taux d’intérêt ne sont pas constants d’une période à l’autre.
59
Black & Scholes
•
•
•
•
•
•
•
•
C : Call
P : Put
K : Prix d’exercice
T : échéance de
l’option
S : Action sous-jacente
2 : Variance annuelle
du sous-jacent
r : Taux sans risque
N(x) = Probabilité
normale
C E  S N (d1 )  K e  rT N (d 2 )
P E  K e  rT N (d 2 )  S N (d1 )


2

T 
ln( S / K )   r 
2 






d 
1
 T


2



ln( S / K )   r 
T 
2 





  d  T
d 
2
1
 T
60
Options Américaines
• Rappel: il n’est jamais préférable d’exercer une option call américaine lorsqu’il n’y
a pas de dividende
• Alors, le prix d’une telle option call américaine (sans div.) est le même que celui
d’une option call européenne.
• Ce n’est pas le cas lorsque le titre sous-jacent verse des dividendes. On peut
cependant ajuster la formule de Black-Scholes pour faire une approximation.
• Dans le cas d’une option put américaine, il n’est pas possible d’utiliser la formule
de Black-Scholes, peu importe qu’il y ait des dividendes ou non
61
Effet des Dividendes
• Dans le cas d’une option Call européenne, on peut calculer son prix en substituant la
valeur du prix de l’action par le prix de l’action diminué de la valeur présente des
dividendes.
• On peut procéder uniquement avec des montants absolus
• On remplace donc S0 par (S0 – VA (Div)) dans la formule de Black-Scholes.
• Dans le cas d’une option call américaine, il se peut qu’il soit préférable d’exercer l’option,
et si c’est le cas, ce sera juste avant la date ex-dividende.
• Si l’action verse un dividende en continu au taux q, on utilisera la formule de BlackScholes dans la partie d’acétates Option sur Indices boursiers et devises
62
Titre sous-jacent procurant un rendement continu
• On peut obtenir la même distribution de probabilités pour le prix de
l’action au temps T pour chacun des deux cas suivants:
• Le prix initial est S0 et procure un taux continu de dividendes égal à q.
• Le prix initial est S0 e–qT et ne procure aucun revenu.
• On peut donc évaluer une option européenne en réduisant le prix
initial à S0 e–qT et en supposant qu’il n’y a pas de dividende
63
Effet sur les bornes inférieures
 qT
 rT
• Borne inférieure pour
d’achat
c une
S 0 eoption
 Ke
• Borne inférieure pour une option
devente
 rT
qT
p  Ke
 S0e
64
Effet sur la parité put-call
c  Ke
 rT
 p  S0e
 qT
65
Effet sur la méthode binomiale
• Dans un monde neutre au risque, le prix de l’action croît au taux r-q au lieu du taux r
lorsqu’il y a un taux de dividende q.
• La probabilité p, pour un mouvement à la hausse, doit donc satisfaire :
(r-q)T
pS0u + (1 – (p)
r  qS)0d
T = S0 e
• de sorte que
p
e
d
ud
• Le prix de l’option se calcule toujours de la même façon:
c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd ]
• L’évolution du prix de l’action n’est pas affectée. Seule la probabilité p est modifiée
66
Effet sur la formule de Black-Scholes
c  S 0 e  qT N (d1 )  Xe  rT N (d 2 )
p  Xe  rT N (d 2 )  S 0 e  qT N (d1 )
où d1 
d2 
ln( S 0 / K )  (r  q  ( 2 / 2))T
 T
ln( S 0 / K )  (r  q  ( 2 / 2))T
 T
67
Approche alternative
F0  S 0 e
ce
pe
où
 rT
 rT
( r  r f )T
[ F0 N (d1 )  XN (d 2 )]
[ XN ( d 2 )  F0 N ( d1 )]
d1 
ln( F0 / X )  ( 2T / 2)
 T
d 2  d1   T
68
Description et fonctionnement des options sur Futures
Option Call sur Futures
• Quand une option Call sur Futures est exercée, le détenteur acquiert :
• Une position longue dans le Future
• Un montant d’argent égal à la différence entre le prix Futures et le prix
d’exercice
Flux de l’option = Max{0, F - K}
69
Description et fonctionnement des options sur Futures
Option Put sur Futures
• Quand une option put sur Futures est exercée, le détenteur acquiert :
• Une position courte dans le Futures
• Un montant d’argent égal à la différence entre le prix d’exercice et le prix
Futures
Flux de l’option = Max{0, K - F}
70
Avantages potentiels des options sur Futures
• Les contrats Futures sont plus liquides que les actifs sous-jacents.
• Les Futures se transigent facilement.
• Le prix Futures est en général disponible tandis que le prix spot ne
l’est pas toujours.
• L’exercice de l’option ne conduit généralement pas à la livraison du
sous-jacent.
• Les options sur Futures engendrent de faibles coûts de transaction
71
Évaluation avec arbre binomial
• Généralisation :
• Construction d’un portefeuille sans risque
• Position longue dans Δ contrats Futures
(F0u – F0)Δ - cu
• Position courte dans une option
(F0 – F0)Δ - c
(F0d – F0)Δ - cd
cu  cd
• Trouver le Δ rendant le portefeuille sans risque  D 
F0u  F0 d
(F – F )Δ – c = (F – F )Δ – c
0u
0
u
0d
0
d
72
Évaluation avec arbre binomial
• Généralisation :
• La valeur présente du portefeuille sans risque est
[(F0u–F0)Δ – cu] e–rT
• Cette valeur doit être égale au coût initial
[(F0u–F0)Δ – cu] e–rT = (F0 – F0)Δ – c
D
• En substituant
– c = [(F0u – F0)Δ – cu)] e–rT
cu  cd
F0u  F0 d et en posant
p
1 d
ud
• on obtient:
c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd ]
73
Évaluation avec Black-Scholes
• Principe : On peut considérer un Futures comme un actif versant un
taux de dividende r
 rT
c  e F N (d1 )  K N (d 2 )
p  e  rT K N ( d 2 )  F N ( d1 )
d 
1
d 
2
ln( F / K )  ( 2T / 2)
 T
ln( F / K )  ( 2T / 2)
 T
 d  T
1
74
Prix des options sur Futures vs options sur titre sous-jacent
• Option américaine:
• Si F>S, alors cF > cS et pF < pS
• Si F<S, alors c’est le contraire
• Option européenne:
• Si échéance de l’option F = échéance de F,
alors option F = option S
• Si échéance de l’option F< échéance de F,
alors cF > cS si F > S et cF < cS si F < S
• C’est l’inverse dans le cas d’une option de vente
75
Résumé des parités put-call
Indices boursiers :
cK e
 rT
 pSe
 qT
Devises étrangères :
cK e
 rT
 pSe
rf T
Futures :
cK e
 rT
 pFe
 rT
76
Synthèse des résultats pour options
• On peut considérer les indices boursiers, les devises et les Futures
comme étant des titres payant un taux continu de dividendes
• Pour un indice boursier, q = moyenne du taux de dividendes de l’indice au
cours de la vie de l’option
• Pour une devise étrangère, q = rƒ
• Pour un Futures, q = r
• Impact sur la méthode binomial :
e r  q DT  d
p
u d
77
Options sur Obligations
• Options sur obligations
avec F0 = (B – I0) e rT
C E  e  rT [ F0 N (d1 )  KN (d 2 )]
P e
E
 rT
[ KN (d 2 )  F0 N (d1 )]
ln( F0 / K )  ( B T / 2)
2
d1 
B T
d 2  d1   B T
78
Options sur Taux d’intérêt
• Un CAP :
• Un cap est série d’options call sur taux d’intérêt
• Chaque Option Call est appelé Caplet
• L’effet de ces options call est de faire en sorte que le taux d’intérêt que l’on
paiera sur un emprunt, par exemple, ne dépassera pas un taux maximum
• Le flux monétaire généré par l’option correspond donc à la différence entre le
taux d’intérêt à terme et le taux du cap, ou le taux maximum (taux d’exercice)
• Un cap a aussi la particularité que le flux monétaire sera versé à une date
postérieure à la date d’exercice de l’option
79
Options sur Taux d’intérêt
• Un CAP : Graphique
Taux
d’intérêt
CAP
Taux d’intérêt
avec cap
Temps
80
Options sur Taux d’intérêt
• Un CAP :
• Un Cap correspond à une option call sur le taux d’intérêt.
• Pour un emprunteur, un Cap permet de garantir un taux d’emprunt maximum
Profit
Profit de la position
Position de
l’emprunteur
Cap
r
r
81
Options sur Taux d’intérêt
• Un Floor :
• Un Floor correspond à une option put sur le taux d’intérêt.
• Pour un prêteur, un Floor permet de garantir un taux de placement minimum
Profit
Profit
Position du
prêteur
r
r
Floor
82
Options sur Taux d’intérêt
• Un Collar :
• Position longue dans un Cap plus position courte dans un Floor.
• Les prix d’exercices sont choisis de façon à ce que le coût soit nul
c - p = 0 équivalent à Cap – Floor = 0
• Ce qui implique que rK1 et rK2 seront forcément différents.
• Pour un emprunteur, un Collar garantit que le taux variable payé sera toujours
entre deux valeurs
83
Options sur Taux d’intérêt
• Le Collar : Graphique
Profit
Pos. courte
dans Floor
Profit
Collar
r
rX1
rX2
r
rX1
rX2
Pos. longue
dans Cap
84
Options sur Taux d’intérêt
• Un Collar : Position de l’emprunteur
Profit
Profit
Position de
l’emprunteur
r
rX1
rX2
rX1
rX2
r
Collar
85
Options sur Taux d’intérêt
• Parité : Cap, Floor et Swap
Long Cap + Short Floor = Long Swap
Profit
Profit
Pos. courte
dans Floor
rK
Pos. longue
dans swap
r
r
rK
Pos. longue
dans Cap
86
Options sur Taux d’intérêt
• Évaluation d’un Cap
Fk
0
k
Fk - R X
k+1
t
Échéance de l’option
•
•
•
•
•
À l’échéance de chaque caplet, on choisit d’exercer ou pas à t=k
À t=k, on fixe le taux d’intérêt en vigueur entre t=k et t=k+1
Le paiement d’intérêt sur un emprunt se fait à la fin de la période
L’échange de flux se fait à t=k+1
La valeur du Cap est la somme de chaque Caplet
87
Options sur Taux d’intérêt
• Évaluation d’un Cap avec Black-Scholes
• La valeur d’un Caplet pour la période [tk, tk+1] est
• Fk : taux forward sur (tk, tk+1)
• k : volatilité des taux d’intérêt
• rk+1 : taux spot d’échéance tk+1
• L : principal
• RK : taux cap
 rk 1t k 1
Ld k e
[ Fk N (d1 )  Rk N (d 2 )]
• dk=tk+1-tk
ln( Fk / Rk )  ( k2 t k / 2)
où d1 
 k tk
et d 2 = d1 -  t k
88
Options sur Taux d’intérêt
• Évaluation d’un Floor
• La valeur d’un Floor est évaluée de la même manière et la valeur d’un
«Floorlet» est
Ld k e  rk 1tk 1 [ R X N (d 2 )  Fk N (d1 )]
où d1 
ln( Fk / R X )  ( k2 t k / 2)
 k tk
et d 2 = d1 -  t k
89
Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
• Une obligation peut être rachetable au gré de l’émetteur ou du
porteur à un prix prédéterminé et pendant une période déterminée.
• L’obligation comporte donc une option qui peut être évaluée à l’aide
de la méthode binomiale
90
Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
• Obligation rachetable au gré de l’émetteur
Prix
Valeur de rachat
Prix
Valeur de rachat
Valeur de l’obligation
rachetable au gré de
l’émetteur
r
r
91
Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
• Obligation rachetable au gré de l’émetteur
• À chaque étape on calculera la valeur de l’obligation :
P = C + Min[ Valeur de rachat ; (50% Pu + 50% Pd ) / 1+r ]
Prix
Valeur de rachat conservé si
prix < prix calculé
Valeur de l’obligation
rachetable calculé au gré de
l’émetteur
r
92
Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
• Obligation rachetable au gré du porteur (acheteur)
Prix
Prix
Valeur de l’obligation
rachetable au gré du
porteur
Valeur de rachat
r
Valeur de rachat
r
93
Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
• Obligation rachetable au gré du porteur (acheteur)
• À chaque étape on calculera la valeur de l’obligation :
P = C + Max [ Valeur de rachat ; (50% Pu + 50% Pd ) / 1+r ]
Prix
Valeur de l’obligation rachetable
calculée au gré du porteur
Valeur de rachat conservé si > au
prix calculé
r
94
Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
• Obligation rachetable au gré de l’émetteur
• Exemple:
• Reprenons les données de l’exemple précédent et supposons que l’obligation
est rachetable en tout temps à un prix de 101$
• L’obligation de 3 ans avec un coupon annuel de 8.5% et une valeur nominale
de 100$.
• le taux d’intérêt actuel pour un an est de 8% (taux discret) et qu’à chaque
année, il peut monter ou descendre de 20% avec une probabilité égale.
• Quel est le prix de l’obligation rachetable et quelle est la valeur de
l’option d’achat pour l’émetteur?
95
Calcul du prix de l’obligation avec l’option
min 101  8.5 ; 100  8.5   108 .5
T=3
108.5
108.5
108 .5 

8.5 + min 101 ;
  105 .79
1.1152 

T=2
108.5
108.5 

8.5 + min 101 ;
  109.26
1.0768 

108.5
108.5 

8.5 + min 101 ;
  109.5
1.0512 

109.5 ; 105.79
109.5 ; 109.26
109.5 ; 111.72
n’exerce pas
n’exerce pas
exerce
109.26  109.5 
105.79  109.26 


8.5 + min 101 ; 0.5 
  109.5
  106.61 8.5 + min 101 ; 0.5 
1
.
064


1.096


109.5 ; 106.61
109.5 ; 111.30
T=1
n’exerce pas
T=0
exerce
106.61  109.5 

min 101 ; 0.5 
  100.05
1
.
08


Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
• Obligation rachetable au gré de l’émetteur
• Quel est le prix de l’obligation rachetable : 100.05$
• Quelle est la valeur de l’option d’achat pour l’émetteur?
 Valeur de

 l' option
 d' achat

  Valeur de
 
 =  l' obligation
  simple
 
  Valeur de
 
   l' obligation
  rachetable
 





 Valeur de 


 l' option  = 101.37 - 100.05  1.32
 d' achat 


97
Assurance de portefeuille d’actions
• Différence entre assurance et couverture
• Couverture de portefeuille:
• Stratégie qui permet d’éliminer complètement ou partiellement la valeur d’un
portefeuille.
• Le mot «couverture» est souvent utilisé dans le sens d’une stratégie qui élimine
le risque complètement, donc que la valeur d’un portefeuille ne changera pas.
• Assurance de portefeuille:
• La notion d’assurance de portefeuille est similaire à la notion de couverture sauf
que le terme «assurance» définit généralement une stratégie qui garantit une
valeur minimum pour le portefeuille, et donc s’apparente à une option de vente.
98
Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme
• Ratio de couverture à variance
minimum
• La proportion d’exposition qui
doit être optimalement
couverte est:
S
h
•
•
•
•
•
F
S: prix spot
F: prix Futures
σS: écart-type de ΔS
σF: écart-type de ΔF
ρ: coefficient de corrélation entre ΔS
et ΔF
Portefeuille
couvert
Futures
Portefeuille
non couvert
Prix de l ’action
99
Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme
• Ratio de couverture à variance minimum
• Nombre optimal de contrats:
N* = h* (NA / QF)
• NA : Nombre d'unités spot à couvrir
• QF : Nombre pour chaque contrat Futures
• N* : Nombre optimal de contrat Futures
• h* : La proportion d’exposition
100
Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme
• Couverture à l’aide d’un Futures sur indice boursier
• Nombre optimal de contrats:
N* = b (S / F*)
• b : Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur
du portefeuille aux variations du rendement du marché
• S : Valeur totale du portefeuille
• F*:Valeur sous-jacente à 1 contrat futures, soit le prix Futures
de l’indice x taille d’un contrat
101
Couverture de portefeuille d’actions avec des Options
• On considère un portefeuille d’actions et d’options
• La valeur du portefeuille total est
V=S+hO
• La valeur du portefeuille couvert doit rester
Prix de
l’option
constant
si la
valeur des actions varie :
• On cherche donc à avoir ΔV/ΔS = 0
Pente = D
c
• h = - 1/(Δ de l’option)
S
Prix de
l’action
102
Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
• Calcul du D d’une option
• Delta d’une option d’achat
• Δc= N(d1) > 0
• Delta d’une option de vente
• Δp = N(d1) – 1 < 0
• Δp = Δc – 1 < 0
• De façon générale, avec q le taux de dividende :
• Δc = e–qT N(d1) > 0
• Δp = e–qT [N(d1) -1] < 0
103
Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
• Delta Hedging avec Futures
• On remplace le sous-jacent par son prix Futures.
• Le prix Futures est très corrélé avec le prix spot.
• Les frais de transactions sont moins élevés, et on ne débourse rien à l’origine.
• Ajustements nécessaires:
• Prix Futures: F = S e(r-q)T
• Variation: ΔF = ΔS e(r-q)T
• donc, besoin d’une moins grande quantité de Futures
• Quantité de Futures à détenir
QFutures = e–(r-q)T Qactif sous-jacent
104
Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
• Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent
identique
n
D   wi D i
i 1
• avec wi = nombre d’options i
105
Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
• Gamma (G) est le taux de variation de delta (D) par rapport au prix du
sous-jacent.
• Vega (V) est le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité.
• Rho est le taux de variation de la valeur de l’option par rapport au
taux d’intérêt.
• Theta (t) d’une option est le changement de sa valeur par rapport à la
variation de temps
106
Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
• Modification du Gamma :
 qT
N ' (d1 ) e
G
S 0 T
N ' ( x) 
1
e
2
x2

2
• Le Gamma est l’équivalent de la convexité
• Il est le même pour un put ou un call
• Une faible valeur du Gamma indique que le Delta est peu sensible aux
variations du sous-jacent, de sorte que les ajustements de couverture seront
moins fréquent
107
Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
• Modification du Gamma
• Pour modifier le Gamma d’un portefeuille, on doit introduire une
certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille
nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option
• Si on désire que le Gamma soit égal à zéro, alors on doit ajouter
w
vieux
Gptf
Gnouvelleoption
nouvelles options
108
Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
• Modification du Vega
• le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité
• Le Vega est le même pour une option d’achat ou de vente.
V  S0 T N' (d1 )
V  S0 T N' (d1 ) e
-qT
109
Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
• Modification du Vega
• Pour modifier le Vega d’un portefeuille, on doit introduire une
certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille:
nouveauVptf = vieuxVptf + w Vnouvelle option
• Si on désire que le Vega soit égal à zéro, alors on doit ajouter
w
Vptf
vieux
Vnouvelleoption
nouvelles options
110
Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
• Modification du rho
• Option d’achat:
rho  X T e-rT N(d 2 )
rho   X T e-rT N(-d2 )
• Option de vente:
• Option d’achat:
• Option de vente:
rho   S0 T e-rf T N(d1 )
rho  S0 T e -rf T N(-d1 )
111
Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
• Modification du Theta
• Option d’achat:


• Option de vente:
• Option d’achat:
• Option de vente:
S0 N' (d1 ) 
 rXe rT N(d 2 )
2 T
S0 N' (d1 ) 
 rXe rT N(-d2 )
2 T
S0 N' (d1 )  e  qT

 qS0 N (d1 )e qT  rXe rT N(d 2 )
2 T
S0 N' (d1 )  e  qT

 qS0 N (d1 )e qT  rXe rT N(-d2 )
2 T
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La VaR, Value at Risk
• Qu’est ce que la Value at Risk (VaR)?
• La VaR consiste à être certain à X% de ne pas perdre plus de V dollars
dans les N prochains jours.
VaR = 2.33 x √N x j x Valeur du portefeuille
• Exemple:
• Être certain à 99% de ne pas perdre plus de V dollars dans les prochains 10
jours.
• V est la VaR de 10 jours pour un intervalle de confiance de 99%.
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