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Analyse de fonctions
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
 Tableau de variation relatif à f’ et f’’
 Analyse de fonctions sans asymptotes
◘ Démarche à suivre
◘ Exemples et exercices
 Analyse de fonctions avec asymptotes
◘ Démarche à suivre
◘ Exemples et exercices
Département de mathématiques
2
Tableau de variation relatif à f’ et f’’
Borne inférieure
x
Valeurs de x 
Valeurs de f’(x) 
f’(x)
Valeurs de f’’(x) 
f’’(x)
Valeurs de f(x) 
f(x)
Esquisse de f(x) 
Nombres critiques Borne supérieure
ou hors du domaine
Esq.
Pour une fn définie sur un intervalle : - - - Département de mathématiques
Max. min, inf ou AV
3
Analyse d’une fonction (sans asymptotes)
 Démarche à suivre
◘ Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f
◘ Étape 2 : Trouver f’(x) et identifier les
nombres critiques de f
◘ Étape 3 : Trouver f’’(x) et identifier les
nombres critiques de f’
◘ Étape 4 : Compléter le tableau de variation
relatif à f’ et f’’
◘ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique
Département de mathématiques
4
Exemple 1
 Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x4 – 2x2 – 4.
x
⅓
-1
f’(x)

0
+
+
+
0



0
+
f’’(x)
+
+
+
0



0
+
+
+
f(x)
Esq

0

-
-⅓
-5

-41/9
 -4

-41/9
1
 -5
(-1,-5)
(-⅓; -4,6)
(0,-4)
(⅓; -4,6)
(1,-5)
min
inf
max
inf
min
Département de mathématiques

5
Exercice 1
 Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 9.
x
-1
-
1

3
f’(x)
+
0



0
+
f’’(x)



0
+
+
+
f(x)

Esq
Département de mathématiques
14

-2
 -18
(-1,14)
(1,-2)
(3,-18)
max
inf
min

6
Exemple 2
 Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = 2x 2  x  6.
x
-1,5
-

2
f’(x)

+
f’’(x)



f(x)
Esq
f '(x) 
f ''(x) 
0
0
(-1,5;0)
(2,0)
min
min

4x  1
2 2x 2  x  6
49
4 (2x 2  x  6)3
Département de mathématiques
7
Exercice 2
 Donner2une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x
x
1 x
-
2
.
0
-1/3

1/3 (0,58)
f’(x)



0
+
+
+
f’’(x)

0
+
+
+
0

f(x)
Esq
f '(x) 

0,25

0

0,25
(-1/3;0,25)
(0,0)
(1/3;0,25)
inf
min
inf

2x
(1  x 2 )2
2(1  3x 2 )
f ''(x) 
(1  x 2 )3
Département de mathématiques
8
Analyse d’une fonction (avec asymptotes)
 Démarche à suivre
◘ Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f
◘ Étape 2 : Déterminer les asymptotes
(horizontales, verticales et/ou obliques)
◘ Étape 3 : Trouver f’(x) et identifier les
nombres critiques de f
◘ Étape 4 : Trouver f’’(x) et identifier les
nombres critiques de f’
◘ Étape 5 : Compléter le tableau de variation
relatif à f’ et f’’
◘ Étape 6 : Donner une esquisse du graphique
Département de mathématiques
9
Exemple 1
20x 2  28x  28
 Donner une esquisse du graphique de f(x) 
.
2
(x  1)
x
1
-
7

10
f’(x)

+
0



f’’(x)




0
+
f(x)

 21
Esq
AV

20,8
(7,21)
(10;20,8)
max
inf

12(7  x)
f '(x) 
(x  1)3
24(x  10)
f ''(x) 
(x  1)4
Département de mathématiques
10
Exercice 1
 Donner une esquisse du graphique de la fonction f(x) 
x
-3
-
-2

0
f’(x)



0
+

f’’(x)

0
+
+
+
+

f(x)
Esq
-2/9
 -1/4
(-3,-2/9)
(-2,-1/4)
inf
min

x 1
.
2
x

AV
(x  2)
f '(x) 
x3
2(x  3)
f ''(x) 
x4
Département de mathématiques
11
Exemple 2
x2  4
.
 Donner une esquisse du graphique de f(x)  2
x 9
x
-3
-
0

3
f’(x)
+
+
0


f’’(x)
+



+
f(x)

 4/9


(0,4/9)
Esq
AV
max
AV
10x
f '(x)  2
(x  9)2
30x 2  90
f ''(x) 
(x 2  9)3
Département de mathématiques
AH
12
Exercice 2
x
.
 Donner une esquisse du graphique de f(x)  2
x 1
x
-1
-
0

1
f’(x)





f’’(x)

+
0

+
f(x)


0


(0,0)
Esq
AV
inf
AV
(x 2  1)
f '(x)  2
(x  1)2
2x(x 2  3)
f ''(x) 
(x 2  1)3
Département de mathématiques
AH
13
Exemple 3
3  x2
.
 Donner une esquisse du graphique de f(x) 
x
x
-
3
0
-3

f’(x)
+
0


0
+
f’’(x)



+
+
+
f(x)

Esq
-23


(-3, -23)
max
23

(3 ,23)
AV
min
x2  3
f '(x) 
x2
6
f ''(x)  3
x
Département de mathématiques
AO
14
Exercice 3
x2
.
 Donner une esquisse du graphique de f(x) 
x2
x
-4
-
-2

0
f’(x)
+
0


0
+
f’’(x)



+
+
+
f(x)

Esq
-8


(-4, -8)
max

0
(0 ,0)
AV
min
x(x  4)
f '(x) 
(x  2)2
8
f ''(x) 
(x  2)3
Département de mathématiques
AO
15
Exemple 4
 Analyser la fonction f(x) =
x
-
-0,5
2
-x
e .
0,5
0

f’(x)
+
+
+
0
–
–
–
f’’(x)
+
0
–
–
–
0
+
f(x)
Esq


e-0,5
1


e-0,5
(-0,5; e-0,5)
(0,1)
(0,71; 0,61)
inf
max
inf
AH
1
f (x) 
e
 2
Département de mathématiques
1 x   


2  
2
 N(  ,  2 )
16
Devoir
 Exercices 6.3, page 254, nos 1a à 1c, 1e à 1i.
 Exercices 6.5, page 280, nos 2a à 2d ,2f, 2g et
3a.
 Exercices 8.2, page 340, no 8b
 Exercices récapitulatifs, page 284, nos 5a à
5e, 5g, 16b et 16c
Département de mathématiques
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