Notes de cours de mathématiques en Seconde

Seconde générale Lycée Georges Imbert 2015/2016
Notes de cours de mathématiques en
Seconde générale
O. Lader
Table des matières
1 Développer factoriser pour résoudre (1S) 4
1.1 Calculalgébrique ...................................... 4
1.2 Ensemblesdenombres ................................... 6
2 Vecteurs, translations. Configurations planes, repérage. (5S) 8
2.1 Géométriedansleplan................................... 8
2.2 Vecteurs........................................... 9
2.3 Opérationssurlesvecteurs................................. 11
2.4 RepèreduplanEuclidien.................................. 11
2.5 Coordonnées d’un vecteur dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Opérationsetcoordonnées................................. 13
2.7 Deux applications à la géométrie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Statistique descriptive (2S) 15
3.1 Algorithmique:....................................... 17
4 Généralités sur les fonctions (2S) 18
4.1 Modéliserparunefonction................................. 18
4.2 Définitionsetexemples................................... 18
4.3 Représentationgraphique ................................. 20
5 Probabilité sur un ensemble fini et simulation (3S) 21
6 Variations de fonction, Fonction affine, tableau de signes (2S) 25
6.1 Intervalles.......................................... 25
6.2 Fonction croissante, fonction décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.3 Fonctionaffine ....................................... 28
6.4 Résolution graphique d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.5 Résolutionalgébrique.................................... 32
6.6 Étudedusigne ....................................... 32
7 Échantillonnage et intervalle de fluctuation (2S) 33
7.1 AffairePartida ....................................... 34
8 Équations de droites (2S) 36
8.1 Fonctionaffine ....................................... 36
8.2 Équationdedroite ..................................... 37
9 Fonctions de référence (4S) 40
1

Seconde générale Lycée Georges Imbert 2015/2016
10 Trigonométrie (2S) 46
11 Géométrie dans l’espace (2S) 50
11.1Lessolidesusuels ...................................... 50
11.2Droitesetplans....................................... 52
11.3 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.4 Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.5 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2

Seconde générale Lycée Georges Imbert 2015/2016
Remarques.
1) 3h de cours + 1h de TD
2) Il faut une petite maitrise des tableurs...
Introduction
Le programme est divisé en trois parties :
— Les fonctions :
définition dans le cadre générale, représentation graphique, fonctions de référence, fonction
croissante/décroissante, étude des variations.
— La géométrie :
Repère.
Introduction de la notion de vecteur dans le plan, opération sur les vecteurs. Géométrie dans
l’espace, volumes, patrons, droites et plans dans l’espace (positions relatives).
— Statistique et Probabilité :
Résumé d’un tableau à une entrée : médiane, quartile, moyenne, écart interquartile, étendue.
Probabilité sur un univers fini.
3

Seconde générale Lycée Georges Imbert 2015/2016
1 Développer factoriser pour résoudre (1S)
— Développer, factoriser
— Les ensembles : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
— Intervalles
— Intersection, union
1.1 Calcul algébrique
Math’x : chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre, p.81
Définition 1.1. Développer : c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
Factoriser : c’est transformer une somme de termes ayant un facteur comment en un produit de
facteurs.
Formellement, le fait de développer peut être représenté de la manière suivante :
a(b+c) = a b +a c (?)
le fait de factoriser peut être représenté de la manière suivante :
a b +a c =a(b+c)
On remarque que pour développer, on lit l’identité (?)de la gauche vers la droite et pour factoriser,
on lit l’identité (?)dans l’autre sens de la droite vers la gauche. En quelque sorte, les actions de
développer et de factoriser sont réciproque l’une de l’autre.
Exemples.
1) x(2 + x+x2) = 2x+x2+x3.
2) 12x3+ 8x= 4x(3x2+ 2).
3) (a+b)(a−b) = (a+b)a−(a+b)b=a2+ab −ab −b2=a2−b2.
Propriété 1.2. Soient a, b, c et dtrois nombres, on a
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
Exemples.
1) (2x+ 4)(x+y) = 2x2+ 2xy + 4x+ 4y,
2) (3x−2)(x−4) = 3x2−12x−2x−8,
3) x2−5x+ 6 = (x−2)(x−3).
4

Seconde générale Lycée Georges Imbert 2015/2016
Propriétés 1.3 (identités remarquables).Soient aet bdeux nombres,
(a+b)2=a2+ 2ab +b2,
(a−b)2=a2−2ab +b2,
(a+b)(a−b) = a2−b2.
Exemples.
1) (x+ 3)2=x2+ 6x+ 9,
2) (x−1)2=x2−2x+ 1,
3) x2+ 4x+ 4 = (x+ 2)2,
4)
(a+b+c)2= (a+b)2+ 2(a+b)c+c2
=a2+ 2ab +b2+ 2ac + 2bc +c2
=a2+b2+c2+ 2(ab +ac +bc)
5)
(a+b)3= (a+b)(a+b)2
= (a+b)(a2+ 2ab +b2)
= (a2+ 2a2b+ab2+a2b+ 2ab2+b3
=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3
Comme application, on déduit que (x+ 1)3=x3+ 3x2+ 3x+ 1.
Définition 1.4. Réduire au même dénominateur, c’est transformer une somme (ou une diffé-
rence) de deux fractions en une seule fraction.
Propriété 1.5. Pour tous nombres a, b, c et davec b6= 0 et d6= 0,ona:
a
b+c d=ad +bc bd
Exemples.
1) 5
6+3 4=5×4+3×6 6×4=38 24 =19 12 . Avec, un peu d’astuce, on aurait pu remarquer que le plus petit
commun multiple (ppcm) des dénominateurs 6 et 4 est 12, ainsi : 5
6+3 4=5×2+3×3 12 =19 12 .
2) Soit xun nombre quelconque,
7
x−1+x x+ 1 =7(x+ 1) + x(x−1) (x−1)(x+ 1) =x2+ 6x+ 7 x2−1
Un peu de logique :
Pendant le repas, un mathématicien dit à son fils :
- Si tu ne manges pas tes légumes, tu n’auras pas de crème glacée.
Le fils mange donc ses légumes, et son père ne lui donne pas de crème glacée.
Est-ce que le père a tenu sa parole ? (réponse : oui).
5