Notes de cours de mathématiques en Seconde

Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Notes de cours de mathématiques en
Seconde générale
O. Lader
Table des matières
1 Développer factoriser pour résoudre (1S)
1.1 Calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vecteurs, translations. Configurations planes,
2.1 Géométrie dans le plan . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . .
2.4 Repère du plan Euclidien . . . . . . . . . . . .
2.5 Coordonnées d’un vecteur dans un repère . . .
2.6 Opérations et coordonnées . . . . . . . . . . .
2.7 Deux applications à la géométrie : . . . . . . .
repérage. (5S)
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4
4
6
8
8
9
11
11
13
13
14
3 Statistique descriptive (2S)
15
3.1 Algorithmique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Généralités sur les fonctions
4.1 Modéliser par une fonction
4.2 Définitions et exemples . .
4.3 Représentation graphique
(2S)
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Probabilité sur un ensemble fini et simulation (3S)
6 Variations de fonction, Fonction affine, tableau
6.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Fonction croissante, fonction décroissante . . . .
6.3 Fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Résolution graphique d’une inéquation . . . . .
6.5 Résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Étude du signe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de
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signes (2S)
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21
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25
25
25
28
31
32
32
7 Échantillonnage et intervalle de fluctuation (2S)
33
7.1 Affaire Partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Équations de droites (2S)
36
8.1 Fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.2 Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 Fonctions de référence (4S)
40
1
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2015/2016
10 Trigonométrie (2S)
46
11 Géométrie dans l’espace (2S)
11.1 Les solides usuels . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Positions relatives de deux droites . . . . . .
11.4 Positions relatives de deux plans . . . . . . .
11.5 Positions relatives d’une droite et d’un plan
2
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50
50
52
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53
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Remarques.
1) 3h de cours + 1h de TD
2) Il faut une petite maitrise des tableurs...
Introduction
Le programme est divisé en trois parties :
— Les fonctions :
définition dans le cadre générale, représentation graphique, fonctions de référence, fonction
croissante/décroissante, étude des variations.
— La géométrie :
Repère.
Introduction de la notion de vecteur dans le plan, opération sur les vecteurs. Géométrie dans
l’espace, volumes, patrons, droites et plans dans l’espace (positions relatives).
— Statistique et Probabilité :
Résumé d’un tableau à une entrée : médiane, quartile, moyenne, écart interquartile, étendue.
Probabilité sur un univers fini.
3
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2015/2016
Développer factoriser pour résoudre (1S)
— Développer, factoriser
— Les ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
— Intervalles
— Intersection, union
1.1
Calcul algébrique
Math’x : chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre, p.81
Définition 1.1. Développer : c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
Factoriser : c’est transformer une somme de termes ayant un facteur comment en un produit de
facteurs.
Formellement, le fait de développer peut être représenté de la manière suivante :
a (b + c) = a b + a c
(?)
le fait de factoriser peut être représenté de la manière suivante :
a b + a c = a (b + c)
On remarque que pour développer, on lit l’identité (?) de la gauche vers la droite et pour factoriser,
on lit l’identité (?) dans l’autre sens de la droite vers la gauche. En quelque sorte, les actions de
développer et de factoriser sont réciproque l’une de l’autre.
Exemples.
1) x(2 + x + x2 ) = 2x + x2 + x3 .
2) 12x3 + 8x = 4x(3x2 + 2).
3) (a + b)(a − b) = (a + b)a − (a + b)b = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2 .
Propriété 1.2. Soient a, b, c et d trois nombres, on a
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples.
1) (2x + 4)(x + y) = 2x2 + 2xy + 4x + 4y,
2) (3x − 2)(x − 4) = 3x2 − 12x − 2x − 8,
3) x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
4
Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Propriétés 1.3 (identités remarquables). Soient a et b deux nombres,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Exemples.
1) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9,
2) (x − 1)2 = x2 − 2x + 1,
3) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 ,
4)
(a + b + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
5)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2 )
= (a2 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Comme application, on déduit que (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
Définition 1.4. Réduire au même dénominateur, c’est transformer une somme (ou une différence) de deux fractions en une seule fraction.
Propriété 1.5. Pour tous nombres a, b, c et d avec b 6= 0 et d 6= 0, on a :
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
Exemples.
19
1) 56 + 34 = 5×4+3×6
= 38
= 12
. Avec, un peu d’astuce, on aurait pu remarquer que le plus petit
6×4
24
commun multiple (ppcm) des dénominateurs 6 et 4 est 12, ainsi : 56 + 34 = 5×2+3×3
= 19
.
12
12
2) Soit x un nombre quelconque,
7
x
7(x + 1) + x(x − 1)
x2 + 6x + 7
+
=
=
x−1 x+1
(x − 1)(x + 1)
x2 − 1
Un peu de logique :
Pendant le repas, un mathématicien dit à son fils :
- Si tu ne manges pas tes légumes, tu n’auras pas de crème glacée.
Le fils mange donc ses légumes, et son père ne lui donne pas de crème glacée.
Est-ce que le père a tenu sa parole ? (réponse : oui).
5
Seconde générale
1.2
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2015/2016
Ensembles de nombres
Définition 1.6.
1) L’ensemble des nombres entiers naturels est noté N :
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
2) L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z :
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
3) L’ensemble des nombres entiers décimaux est noté D. C’est l’ensemble des nombres qui
peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple, 0.33 est un
nombre décimal mais 31 n’en est pas un.
4) L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. C’est l’ensemble des nombres qui peuvent
s’écrire sous la forme ab avec a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
5) L’ensemble des nombres réels est noté R. Cet ensemble complète d’une certaine manière
l’ensemble des rationnels Q, on y a ajouté les racines carrés et encore beaucoup d’autres
nombres.
. . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Z
-7.9 -6.342
1
2
3
4
5
6
N
-3.876
3.21 5.24231
D
−13
3
−16
7
−e
22
7
Q
√
R
2
50
11
π
Figure 1 – Les ensembles de nombres
6
7 ...
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2015/2016
Définition 1.7. Pour décrire un ensemble fini, on utilise des accolades de la manière suivante
{x1 , . . . , xn }. Avec cette notation, on désigne un ensemble à n éléments dont les éléments sont
notés xi pour i allant de 1 à n.
Exemples.
— L’ensemble des 5 premiers entiers naturels : {0, 1, 2, 3, 4}.
— L’ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 : {2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.
Définition 1.8. Les intervalles de R :
— [a; b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} : l’ensemble des nombres réels x compris entre a et b.
— ...
Définition 1.9. L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B, noté A ∩ B.
Exemple. L’intersection des intervalles [0, 1[ et ] 12 , 12] est ] 12 , 1[.
Définition 1.10. L’union de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B (au sens large), noté A ∪ B.
Remarques. — En mathématique, contrairement au langage usuel, la conjonction de coordination
"ou" est utilisé au sens large ("ou inclusif"). C’est-à-dire, un élément qui est dans A ∪ B peut
être dans A, dans B ou être dans les deux à la fois. Par exemple 0 appartient à [−1; 0] ∪ {0},
tout comme −0.5.
— Cette différence de sens commun donne lieu à la blague suivante :
Une mathématicienne a eu un bébé. On lui demande si c’est un garçon ou une fille. Que répondelle ?
Oui.
Notation. L’ensemble vide se note ∅.
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2
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Vecteurs, translations. Configurations planes, repérage.
(5S)
— Rappels sur les triangles, les cercles et les quadrilatères.
— Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale.
— Repères et coordonnées (abscisse, ordonnée)
— Distance entre deux points du plan.
— Milieu d’un segment.
• Définition de la translation qui transforme un point A en un point B du plan.
• Égalité de deux vecteurs et parallélogramme.
• Coordonnées d’un vecteur, somme, produit par un scalaire.
• Relation de Chasles.
• Caractérisation de l’alignement et du parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
2.1
Géométrie dans le plan
Pour revoir des résultats de géométrie du plan, lire les pages 242 à 245 de math’x.
Théorème 2.1 (théorème de Pythagore). Soit ABC un triangle.
C
B
A
Le triangle est rectangle en A si et seulement si BC 2 = AB 2 + AC 2 .
Théorème 2.2 (théorème de Thalès). Considérons une des configurations suivante :
A
M
B
M
N
A
N
C
B
La droite (BC) est parallèle à la droite (M N ) si et seulement si
on a
AM
AN
MN
=
=
AB
AC
BC
8
C
AM
AB
=
AN
.
AC
De plus dans ce cas,
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2015/2016
Définition 2.3. Soit ABC un triangle rectangle en A et β̂ l’angle en B.
C
β̂
B
1) cos(β̂) =
côté adjacent
hypothénuse
2) sin(β̂) =
côté opposé
hypothénuse
3) tan(β̂) =
BA
BC
=
=
côté opposé
côté adjacent
AC
BC
=
A
;
;
AC
AB
;
D’autres rappels
Propriété 2.4. Angle alterne interne et angle formé par deux droites parallèle avec une même
troisième droite.
Définition 2.5. Le point d’intersection des médianes est appelé centre de gravité.
Propriété 2.6. Une médiane coupe un triangle en deux parties qui ont la même aire.
Propriété 2.7. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent
en leurs milieux.
2.2
Vecteurs
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Définition 2.8. Soient A et A0 deux points du plan. On appelle translation de A vers A0 l’unique
transformation τ du plan qui envoie tout point M sur un point, noté M 0 , tel que AM M 0 A0 soit
un parallélogramme (éventuellement aplati).
M0
M
−
→
u
A0
A
−−→ −−−→
−
Les couples (A, A0 ) et (M, M 0 ) définissent un vecteur : →
u = AA0 = M M 0 et on dit que τ est la
−
translation de vecteur →
u.
−−→
Le vecteur AA0 représente le déplacement de A vers A0 . D’autre part, quelque soit les points A et B
−→
du plan, il existe une translation de A vers B au quel on associe le vecteur AB.
−→ −−→
Propriété-Définition 2.9. Soient A, B, C et D quatre point du plan. Dire que AB = CD signifie
−→
−−→
que D est l’image de C par la translation qui envoie A sur B. Par conséquent, AB = CD si et
seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
Schématiquement, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens,
même longueur.
−→ −−→
Propriété 2.10. On a AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont même milieu.
−
→ −→
Propriété 2.11. Le I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = IB.
−→
Définition 2.12. Un vecteur AB est nul lorsque A et B sont confondus.
−→
−→
Définition 2.13. Le vecteur BA est le vecteur opposé de AB.
Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont même direction et même longueur et qu’ils sont de sens
contraire.
10
Seconde générale
2.3
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2015/2016
Opérations sur les vecteurs
Propriété 2.14. L’enchaînement de deux translations est une translation.
−
−
−
−
Définition 2.15. Soient →
u et →
v deux vecteurs. On appelle somme des vecteurs →
u et →
v , notée
→
−
−
−
u +→
v , le vecteur →
w associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de
−
−
vecteur →
u et de vecteur →
v.
−
→
u
−
→
v
−
→
→
u +−
v
Propriété 2.16 (Relation de Chasles). Pour tous points A, B et C, on a
−→ −→ −−→
AC = AB + BC
Moralement, se déplacer de A à B en passant par C ou directement, le résultat est le même.
2.4
Repère du plan Euclidien
Définition 2.17. Se donner un repère du plan revient à se donner trois points non alignés
O, I, J, on note le repère de la manière suivante : (O, I, J).
Un repère (O, I, J) est dit orthonormé si la droite (OI) est perpendiculaire à la droite (OJ) et
OI = OJ = 1.
Propriété 2.18. Soient (O, I, J) un repère orthonormé du plan et M un point. Le point M est
uniquement déterminé (repéré) par un couple (x, y) de nombre réels, son couple de coordonnées.
La coordonnée x est appelée l’abscisse du point M et la coordonnée y est appelée l’ordonnée du
point M . La figure suivante donne la caractérisation des coordonnées (x, y) :
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M (x; y)
y
J
O
x
I
Plus généralement, on peut définir la notion de coordonnées dans un repère arbitraire du plan :
Propriété 2.19. Soit (O, I, J) un repère quelconque du plan et M un point du plan. On construit
le parallélogramme OP M Q où le point P appartient à l’axe des abscisses (O, I) de coordonnée x
sur cet axe et le point Q appartient à l’axe des ordonnées (O, J) de coordonnée y sur cet axe.
Le couple (x, y) est uniquement déterminer par les conditions précédentes et on les appelle les
coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). De plus, x est appelé l’abscisse du point M et y
l’ordonnée du point M .
M (x; y)
y
Q
J
O
P
x
I
Exemple. Considérons la configuration suivante :
M
B
J
O
I
A
Supposons que OB = 3, OA = 4 et que OAM B est un rectangle. Alors, les coordonnées des points
O,A,B et M sont :
• O(0; 0),
• A(4; 0),
• B(0; 3),
• M (4; 3).
Propriété 2.20. Soient A(xA , yB ) et B(xB , yB ) deux points dans un repère (O, I, J) du plan. Le
12
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B yA +yB
milieu K du segment [AB] a pour coordonnées ( xA +x
; 2 ). En d’autres termes, les coordon2
nées du milieu du segment [AB] sont obtenues en prenant la moyenne des coordonnées.
Propriété 2.21. Soient A(xA , yB ) et B(xB , yB ) deux points dans un repère orthonormé (O, I, J)
du plan. La distance AB est égale à :
AB =
q
(xA − xB )2 + (yA − yB )2
La distance entre deux points s’obtient en prenant la racine carrée de la somme des différences des
coordonnées des points au carré.
2.5
Coordonnées d’un vecteur dans un repère
−
Définition 2.22. Soit (O, I, J) un repère. Les coordonnées d’un vecteur →
u sont les coordonnées
−−→ →
−
du point M tel que OM = u .
M
−
→
u
J
O
I
−→
Propriété 2.23. Dans un repère, si A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) sont deux points. Le vecteur AB a
pour coordonnées (xB − xA , yB − yA ).
Propriété 2.24. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans
un repère du plan.
2.6
Opérations et coordonnées
−
−
Propriété 2.25. Dans un repère, soient →
u (x, y) et →
v (x0 , y 0 ) deux vecteurs.
−
−
• Les coordonnées de la somme →
u +→
v sont (x + x0 , y + y 0 ).
−
• Le vecteur opposé, noté −→
u , est de coordonnées (−x, −y).
−
−
−
−
• Les coordonnées de la différence →
u −→
v =→
u + (−→
v ) sont (x − x0 , y − y 0 ).
13
Seconde générale
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2015/2016
−
Définition 2.26. Dans un repère du plan, soit →
u (x, y) un vecteur. Soit λ un nombre réel, on
→
−
note λ u le vecteur de coordonnées (λx, λy).
−
−
−
−
Soit →
u un vecteur. On note que 2→
u =→
u +→
u . Approfondissons
−
−
Propriété 2.27. Soient →
u ,→
u 0 deux vecteurs du plan et λ, λ0 deux nombres réels. On a
−
−
−
• (λ + λ0 )→
u = λ→
u + λ0 →
u,
→
−
→
−
• λ(λ0 u ) = (λλ0 ) u ,
−
−
−
−
• λ(→
u +→
u 0 ) = λ→
u + λ→
u 0.
Définition 2.28. Soient A, B deux points distincts du plan. Le point C appartient à la droite
−→
−→
(AB) si et seulement si AC = λAB pour un certain nombre réel λ.
−
−
−
−
Définition 2.29. Soient →
u et →
v deux vecteurs. On dit que les vecteurs →
u et →
v sont colinéaires
→
−
→
−
−
−
s’il existe un nombre réel λ tel que u = λ v ou s’il existe un nombre réel µ tel que →
v = µ→
u.
 
 
0
x 
 x
→
−
→
−
Propriété 2.30. Dans un repère, les vecteurs u   et v   sont colinéaires si et seulement
y0
y
si leurs coordonnées sont proportionnelles si et seulement si xy 0 − x0 y = 0.
2.7
Deux applications à la géométrie :
−→
Propriété 2.31. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et
−−→
CD sont colinéaires.
−→
Propriété 2.32. Trois points A, B, C distincts sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et
−→
AC sont colinéaires.
14
Seconde générale
3
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2015/2016
Statistique descriptive (2S)
Définition 3.1. Dans une population (ou un échantillon), on considère un caractère X qui prend
différents états, aux quels on associe des nombres x1 , . . . , xk .
• L’effectif d’une valeur xi est le nombre de fois qu’il a cette valeur dans notre population,
on le note ni .
• L’effectif total est le nombre d’individus de la population (ou d’élément de l’échantillon),
il est noté N .
• La fréquence d’une valeur xi est le quotient de l’effectif ni par l’effectif total N , il est noté
fi . Formellement, on a
ni
fi =
N
En déplaçant l’entier N de l’autre côté de l’équation, on note que ni = fi N .
• On représente ainsi la série statistique :
X
x1
...
xk
Total
Effectifs
n1
...
nk
N = Effectif total
Fréquences
f1
...
fk
1
La collection de données (xi , ni ) est appelée une série statistique (à une variable).
Définition 3.2. Soit (xi , ni ) une série statistique. On définit les effectifs cumulés (et les fréquences cumulées) de la manière suivante :
X
x1
x2
x3
...
xk
Total
Effectifs
n1
n2
n3
...
nk
N = Effectif total
Effectifs cumulés
n1
n1 + n2
n1 + n2 + n3
...
n1 + n2 + . . . + nk = N
Fréquences
f1
f2
f3
...
fk
Fréquences cumulés
f1
f1 + f2
f1 + f2 + f3
...
f1 + f2 + . . . + fk = 1
1
Définition 3.3. Soit (xi , ni ) une série statistique.
• La médiane m est un nombre qui permet de couper l’ensemble des valeurs en deux parties
égales : mettant d’un côté une moitié de l’effectif où les valeurs prisent sont inférieures ou
égales à m et de l’autre côté l’autre moitié de l’effectif où les valeurs prisent sont supérieures
ou égales à m.
15
Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
• On note Q1 le premier quartile, la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25%
des valeurs lui soient inférieures ou égales.
On note Q3 le troisième quartile, la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75%
des valeurs lui soient inférieures ou égales.
• Le différence entre le troisième quartile et le premier quartile Q3 − Q1 est appelée écart
interquartile. C’est un critère de dispersion de la série.
• La différence entre le maximum et le minimum Max - Min est appelée l’étendue de la série
statistique.
Min
25%
25%
des valeurs des valeurs
Q1
25%
des valeurs
25%
des valeurs
Q3
m
écart interquartile
étendue
Définition 3.4. On note x̄ la moyenne de la série statistique :
1
(n1 x1 + . . . + nm xm )
N
= f1 x1 + . . . + fm xm
x̄ =
16
Max
x
Seconde générale
3.1
Lycée Georges Imbert
Algorithmique :
On considère l’algorithme suivant :
1: Variables : M , S et N sont des nombres
2: Initialisation :
3: S prend la valeur 0.
4: Traitement :
5: Demander “Combien de valeurs voulez-vous taper ?"
6: Ranger la valeur dans N .
7: Pour I allant de 1 à N faire
8:
Saisir x
9:
Ajouter x à S
10: Fin Pour
S
.
11: Calculer M = N
12: Afficher M .
1) Faire tourner l’algorithme ci-dessus en entrant des valeurs de votre choix.
2) Tester le programme suivant correspondant à l’algorithme précédent :
Casio :
"Nombres de valeurs":?→ N
0→ S
For 1 → I to N
"X":?→ X
S+X →S
Next
S÷N →M
M
Texas Instrument :
Disp "Nombres de valeurs"
Prompt N
0→ S
For(I,1,N)
Prompt X
S+X →S
End
S÷N →M
Disp M
3) Que permet-il de calculer ?
17
2015/2016
Seconde générale
4
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Généralités sur les fonctions (2S)
• Définition, identifier la variable et éventuellement l’ensemble de définition.
• Image, antécédent
• Courbe représentative
Remarque. "Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur N, voire de fonctions
de deux variables (aire en fonction des dimensions) sont à donner".
Algorithme. "Même si les logiciels traceurs de courbes permettent d’obtenir rapidement la représentation graphique d’une fonction définie par une formule algébrique, il est intéressant, notamment
pour les fonctions définies par morceaux, de faire écrire un algorithme de tracé de courbe."
Au collège, on a étudié les droites affines qui sont définies par l’équation
y = ax + b
où a et b sont deux nombres réels et on a vu que dans un repère cartésien, la droite est l’ensemble
des points M de coordonnées (x, y) où y = a x + b. Le problème avec cette écriture et que lorsque
l’on parle de y, on ne voit pas qu’il dépend de x. D’où, l’introduction de la notation f (x) qui se lit
"f de x".
4.1
Modéliser par une fonction
4.2
Définitions et exemples
Deux quantités peuvent varier tout en étant liées. Ce lien peut s’exprimer par un tableau de données
(le prix d’un objet en fonction de la date), une formule (équation d’une droite), ou un graphique (un
nuage de points qu’on prolonge en courbe). Dans certains cas, on peut modéliser ce lien par une
fonction.
Définition 4.1. Soit D une partie de l’ensemble des nombres réels R. Une fonction f : D → R
est une application 1 qui à un nombre réel quelconque x dans D associe un nombre réel, qui est
appelé image de x par f et qui est notée f (x).
Exemple.
1) La fonction f : R → R définie par
f (x) = 2x + 1
2) Posons g(x) = x2 alors g : R → R est la fonction qui à tout nombre associe son carré, d’où :
x
−1
0
1
3/2
4
g(x) (−1)2 = 1 02 = 0 12 = 1 (3/2)2 = 9/4 42 = 16
18
Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
3) Posons h(x) = x3 alors h est la fonction qui à tout nombre associe son cube, d’où :
x
−1 0 1
3/2
4
f (x) −1 0 1 27/8 64
Exercice 1. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x(x + 3).
1) Recopier et compléter h : x 7→ . . ..
2) Calculer h(0), h(3) et h(−3).
Exercice 2. Calculer dans chaque cas f (1), f (−1) et f (2).
1) f (x) = 2x2 − 3x + 6,
2) f (x) = (x − 3)2 + 2,
3) f (x) =
4) f (x) =
3
,
x+5
3
+ 5.
x
Exercice 3. Soit f une fonction définie par f (x) = x2 + x − 1, compléter le tableau suivant :
x
−2 1 5/4 3 5
f (x)
Nb : On remarquera que pour calculer l’image d’un nombre par une fonction, on remplace toute les
occurrences de x dans la définition de la fonction par le nombre, puis on "calcul" cette expression.
Définition 4.2. Soit f une fonction et un nombre x appartenant à l’ensemble de définition de
f . L’image de x par la fonction f est le nombre f (x).
Le nombre x est un antécédent du nombre f (x).
Exemple. Considérons la fonction f : R → R définie par f (x) = x2 + 3. Le nombre 28 est l’image de
5 par f car f (5) = 52 + 3 = 28. De plus, 5 est un antécédent de 28 par f .
f :D
R
28
5
x
f (x) image de x
b
un antécédent de b
1
4
-1
19
Seconde générale
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2015/2016
Définition 4.3. Une fonction affine f est une fonction définie par :
f (x) = a x + b
où a et b sont deux nombres réels.
4.3
Représentation graphique
Exemple.
On se place dans le plan muni d’un reprère orthonormé (O, I, J).
Définition 4.4. Soit f : D → R une fonction, le lieu géométrique des points M (x; f (x) où x est
dans l’ensemble D est appelé courbe représentative de f , notée Cf .
Cf
f (x)
M (x; f (x))
J
O
I
20
x
Seconde générale
5
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Probabilité sur un ensemble fini et simulation (3S)
• Probabilité sur un ensemble fini.
• Réunion, intersection.
• Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux.
Définition 5.1. Une expérience aléatoire est une expérience vérifiant les deux conditions
suivantes :
• elle comporte plusieurs issues envisageables.
• on ne peut prévoir l’issue lorsqu’on réalise l’expérience.
On se restreindra aux expériences comportant un nombre fini d’issues.
L’univers (noté Ω) de l’expérience aléatoire est l’ensemble des issues de cette expérience.
Un événement est un ensemble d’issues de l’expérience aléatoire.
Les événements élémentaires sont les événements réduits à une unique issue de l’expérience.
Exemple. Le jet d’un dé, tirage d’une carte dans un jeu de carte, tirage d’une boule dans une urne.
Définition 5.2. On appelle événement contraire d’un événement A, l’événement noté Ā qui
contient l’ensemble des issues n’appartenant pas à A.
Définition 5.3. Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire donnée.
• L’intersection des deux événements A et B est l’événement constitué des issues qui sont
dans A et dans B, noté A ∩ B.
• L’union des deux événements A et B est l’événement constitué des issues de A ou de B (au
sens large), noté A ∪ B.
• On dit que A est inclus dans B, noté A ⊂ B si toutes les issues de A sont aussi des issues
de B.
L’événement A ∩ B se réalise lorsque les deux événements à la fois se réalisent.
L’événement A ∪ B se réalise lorsqu’au moins un des deux événements se réalise.
21
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2015/2016
Définition 5.4. Dans une expérience aléatoire, deux événements E et E 0 sont dit incompatibles
s’ils ne partagent pas d’issue commune (i.e : leur intersection est vide).
Définition 5.5. Une (théorie de) probabilité associée à une expérience aléatoire est une application qui à un événement E associe un nombre réel, noté P(E) telle que :
1) 0 ≤ P(E) ≤ 1,
2) P(Ω) = 1 (il se passe certainement quelque chose),
3) Pour tous A et B deux événements incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Étant donné un événement E, le nombre P(E) donne (mesure) les chances de réussite de E. Plus
P(E) est proche de 1, plus l’événement E se réalisera.
La probabilité de l’événement vide ∅ est nulle (P(∅) = 0). Moralement, lorsqu’on réalise une expérience aléatoire, il se passe toujours quelque chose.
Propriété 5.6 (loi des grands nombres). Lors d’une expérience répétée n fois, les fréquences obtenues d’un événement E de l’expérience se rapprochent de la variable théorique P(E), la probabilité
de l’événement E.
Propriété 5.7. Dans une expérience aléatoire, supposons que l’univers Ω se décompose en n
issues : x1 , . . . , xn (formellement, Ω = {x1 , . . . , xn }. Posons pi = P(xi ) la probabilité que l’issue
22
Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
xi se réalise. Alors,
p 1 + . . . + pn = 1
La somme des probabilités des issues possibles d’une expérience aléatoire vaut toujours un. Ce fait,
peut être utilisé comme un premier test de vraisemblance d’une théorie de probabilité proposé pour
étudier une expérience aléatoire !
Définition 5.8. Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues élémentaires ont la
même probabilité de se réaliser, on dit que l’expérience est équiprobable.
Exemple. Lancé d’un dé équilibré, lancé d’une pièce équilibrée.
Soit A un événement d’une expérience aléatoire, le nombre d’issues que contient A est appelé le
cardinal de A et il est noté card(A).
Propriété 5.9. Lors d’une expérience aléatoire ayant n issues équiprobables :
• La probabilité de chaque événement élémentaire est n1 .
• La probabilité d’un événement A est
P(A) =
card(A)
nombre d’issues favorable à A
=
n
nombre d’issues possibles
Propriété 5.10. La probabilité de l’événement contraire d’un événement A est :
P(Ā) = 1 − P(A)
Propriété 5.11. Soient A et B deux événements. Si A ⊂ B alors, P(A) ≤ P(B).
Moralement, la propriété précédente nous dit que plus un événement contient d’issues plus il est
probable.
Exemple. On considère l’expérience aléatoire du jet d’un dé. Soit A l’événement "le résultat est un
multiple de trois" et B l’événement "le résultat est un nombre pair". On note que A = {3, 6} et
B = {2, 4, 6}, ainsi
• l’intersection de A et B est A ∩ B = {6}.
• l’union de A et B est A ∩ B = {2, 3, 4, 6}.
Théorème 5.12. Si A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire alors :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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Seconde générale
Lycée Georges Imbert
24
2015/2016
Seconde générale
6
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2015/2016
Variations de fonction, Fonction affine, tableau de signes
(2S)
• Fonction croissante, fonction décroissante,
• Sens de variation d’une fonction,
• Tableau de variations et tableau de signes.
• Maximum et minimum
6.1
Intervalles
Définition 6.1. Soit a < b deux nombres. On pose
• l’intervalle (fermé) [a; b] : l’ensemble des nombres réels x tels que a ≤ x ≤ b (l’ensemble
des nombres compris entre a et b au sens large).
• l’intervalle ]a; b] : l’ensemble des nombres réels x tels que a < x ≤ b (par rapport à
l’intervalle précédent, on a exclu le nombre a).
• l’intervalle [a; b[ : l’ensemble des nombres réels x tels que a ≤ x < b.
• l’intervalle (ouvert) ]a; b[ : l’ensemble des nombres réels x tels que a < x < b.
Définition 6.2. Soit a un nombre réel,
• l’intervalle des nombres supérieurs ou égals à a est noté [a; +∞[ ;
• l’intervalle des nombres inférieurs ou égals à a est noté ] − ∞; a].
De même, on définit ]a; +∞[ et ] − ∞; a[.
6.2
Fonction croissante, fonction décroissante
Définition 6.3. Dire qu’une fonction f : I → R est strictement croissante sur l’intervalle I,
c’est dire que quand la variable x augmente dans I, son image f (x) augmente aussi.
En d’autres termes : pour tout x1 < x2 , on a f (x1 ) < f (x2 ).
25
Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
fonction croissante
f (x2 )
>
f (x1 )
x1 < x2
Définition 6.4. Dire qu’une fonction f : I → R est strictement décroissante sur l’intervalle I,
c’est dire que quand la variable x augmente dans I, son image f (x) diminue.
En d’autres termes : pour tout x1 < x2 , on a f (x1 ) > f (x2 ).
fonction décroissante
f (x1 )
>
f (x2 )
x1 < x2
Définition 6.5. Soit f : [a; b] → R une fonction.
1) Dire que f atteint sont maximum en a sur [a; b] signifie que pour tout x de [a; b],
f (x) ≤ f (a). Le maximum de f sur [a; b] est f (a).
2) Dire que f atteint sont minimum en a sur [a; b] signifie que pour tout x de [a; b],
f (x) ≥ f (a). Le minimum de f sur [a; b] est f (a).
Exemple. Soit f : [−3; 4] → R la fonction représentée par la courbe suivante :
26
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2015/2016
y
maximum = 3.5
3
Cf
2
1
minimum = 1
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Le maximum de f est 3.5 qui est atteint en −1 et le minimum de f est 1 qui est atteint en 1.5.
Exemple. Voici une représentation graphique d’une fonction f : [−5, 5] → R.
y
4
maximum = 3.5
3
Cf
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
minimum = -3
Le tableau de variation de la fonction f :
x
−5
−3
−1
1
2
5
3.5
f (x)
-3
0
-1
Le maximum de f sur l’intervalle [−5; 5] est 3.5 et il est atteint en 2. Le minimum de f sur l’intervalle
[−5; 5] est -3 et il est atteint en -5.
Plus généralement, considérons une fonction f : I → R telle que sont graphe soit de la forme suivante :
27
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2015/2016
y
Cf
x5
x1
x2
x3
x
x4
Définition 6.6. Le tableau de variation de notre fonction f : [a; b] → R est :
x∈I
a
x1
f (a)
x2
x3
f (x2 )
x4
x5
b
f (x4 )
f (x)
f (x5 )
f (x1 )
f (x3 )
f (b)
Définition 6.7. Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle I. On dit que :
1) le point x2 est un maximum local si pour tout x proche de x2 , on a f (x) ≤ f (x0 ).
2) le point x3 est un minimum local si pour tout x proche de x3 , on a f (x) ≥ f (x0 ).
3) le point x4 est un maximum (global) si pour tout x de l’intervalle I, on a f (x) ≤ f (x0 ).
4) le point x1 est un minimum (global) si pour tout x de l’intervalle I, on a f (x) ≥ f (x0 ).
6.3
Fonction affine
Définition 6.8. Soit a et b deux nombres réels. Soit f : R → R définie par f (x) = ax + b pour
tout nombre réel x. On dit que f est une fonction affine et que le nombre a (devant x) est le
coefficient directeur de la droite et le nombre b est l’ordonnée à l’origine.
Soit (O, I, J) un repère du plan. Graphiquement, on a
28
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2015/2016
D
B
A
b
a
1
La droite D passe par le point (0; b).
Propriété 6.9. Soit xA et xB deux nombres distints. Alors, le coefficient directeur est égale au
taux d’accroissement :
∆y
f (xB ) − f (xA )
=
a=
xB − xA
∆x
En particulier, entre deux points de la droite d, si x augmente de 1, y varie de a. En effet, f (x + 1) =
a(x + 1) + b = ax + b + a = f (x) + a. D’où la propriété suivante :
Propriété 6.10. Soit f : R → R la fonction affine définie par f (x) = ax + b.
1) Si a > 0, alors f est strictement croissante sur R.
a>0
1
2) Si a < 0, alors f est strictement décroissante sur R.
1
a<0
3) Si a = 0, alors la fonction affine f est constante et son graphe est une droite horizontale.
Tableau de signe d’une fonction affine Commençons par détailler deux exemples :
Exemples.
1) Signe de f (x) = 12 x + 1.
Dans un premier temps, résolvons l’équation f (x) = 0 :
1
x+1=0
2
⇐⇒
x
= −1
2
⇐⇒
x = −1 × 2 = −2
Ainsi, f (x) = 0 admet une unique solution x = −2. Voici le graphe de la fonction affine f :
29
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2015/2016
y=
1 x+
2
1
−2
Soit x ≤ −2, alors
x ≤ −2
1
1
x ≤ × (−2)
2
2
1
x + 1 ≤ −1 + 1
2
f (x) ≤ 0
D’où f (x) ≤ 0 si x ∈] − ∞; −2] et de même, f (x) ≥ 0 si x ∈ [2; +∞[. En résumé, on a le
tableau de signe suivant :
−∞
x
1
x
2
+1
−2
−
+∞
+
0
Dans cet exemple, on notera que le coefficient directeur de f (x) = 12 x + 1 est égal à
un nombre positif !
1
2
qui est
2) Signe de f (x) = −2x + 5.
Dans un premier temps, résolvons l’équation f (x) = 0 :
−2x + 5 = 0
⇐⇒
−2x = −5
⇐⇒
x=
5
−5
=
−2
2
Ainsi, f (x) = 0 admet une unique solution x = 52 . Voici le graphe de la fonction affine f :
y=
x+
−2
5
5
2
30
Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Soit x ≤ 52 , alors
x≤
5
2
5
−2x ≥ −2 − 2 < 0
2
−2x + 5 ≥ −5 + 5
f (x) ≥ 0
Remarque : Lorsqu’on multiplie une équation par un nombre négatif, l’inégalité change de sens !
On note donc que f (x) ≤ 0 si x ∈] − ∞; 52 ] et de même f (x) ≤ 0 si x ∈ [ 52 ; +∞]. En résumé,
on a le tableau de signe suivant :
5
2
−∞
x
−2x + 5
+
+∞
−
0
Dans ce second exemple, le coefficient directeur de f (x) = −2x + 5 est égal à −2 qui est un
nombre négatif !
Plus généralement,
Propriété 6.11. Soit f : R → R une fonction affine définie par f (x) = ax + b pour tout x dans
R où a 6= 0.
1) L’équation a x + b = 0 admet une unique solution x =
−b
.
a
2) Distinguons deux cas :
a) Si a < 0 alors,
x
−b
a
−∞
+
ax + b
0
+∞
−
b) Si a > 0 alors,
x
−b
a
−∞
−
ax + b
6.4
0
+∞
+
Résolution graphique d’une inéquation
Définition 6.12. Soit k un nombre réel et f : I → R une fonction définie sur intervalle I.
• Résoudre l’inéquation f (x) < k consiste à trouver l’ensemble de tous les antécédents x
de l’intervalle I tels que leurs images f (x) par f soient inférieurs strictement au nombre k.
• Résoudre l’inéquation f (x) > k consiste à trouver l’ensemble de tous les antécédents x
de l’intervalle I tels que leurs images f (x) par f soient supérieurs strictement au nombre
k.
31
Seconde générale
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2015/2016
Exemples.
Résoudre graphiquement f (x) > 3
Résoudre graphiquement g(x) < 1
sur l’intervalle [0; 4]
sur l’intervalle [0; 5]
y
y
4
3
2
Cg
2
1
Cf
1
0
]
1
[
3
2
0
1
[
2
3
]
4
]
5
x
−1
x
4
[
5
L’ensemble des solutions est
L’ensemble des solutions est
]1; 3[
[0; 2[ ∪ ]4; 5]
Remarque. L’inconvéniant principal de la résolution graphique est qu’on ne peut obtenir qu’une
approximation de l’ensemble solution.
6.5
Résolution algébrique
Avec cette méthode, on peut trouver la solution exacte.
Propriété 6.13. Pour transformer une inéquation en une autre inéquation équivalente, on peut :
1) Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’inéquation ;
2) Multiplier ou diviser par un même nombre non nul chaque membre de l’inéquation :
• sans changer le sens de l’inégalité si ce nombre est positif ;
• en changeant le sens de l’inégalité si ce nombre est négatif.
6.6
Étude du signe
Pour résoudre l’inéquation f (x) < k, on peut aussi chercher à étudier le signe de la fonction g(x) =
f (x) − k. L’ensemble solution de f (x) < k correspond à l’ensemble des antécédants x tels que g(x)
soit négatif.
32
Seconde générale
7
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Échantillonnage et intervalle de fluctuation (2S)
Définition 7.1. Un échantillon de taille n est obtenu en prélevant au hasard, successivement
et avec remise, n éléments d’une population.
Dans cette échantillon, on calcul la fréquence f d’apparition d’un certain caractère donné. La fréquence f est proche de la probabilité p d’avoir le caractère p mais en générale ne lui est pas égale.
Pour parler de cette variation (aléatoire), on dit que la fréquence f fluctue autour de p.
Propriété 7.2. Lorsqu’on prélève un échantillon de taille n dans une population où la fréquence
d’un caractère est p, alors sous certaines conditions (n grand et p différent de 0 et 1), la probabilité
que cet échantillon fournisse une fréquence appartenant à l’intervalle I = [p − √1n ; p + √1n ] est au
moins égale à 0.95.
Définition 7.3. Associé à un échantillon de taille n où la probabilité est p d’avoir un caractère
donné, l’intervalle I = [p − √1n ; p + √1n ] est appelé intervalle de fluctuation de la fréquence f
au seuil de 95%
Propriété 7.4. Pour un échantillon de grande taille (n ≥ 30) ayant une proportion du caractère
p comprise entre 0.2 et 0.8, l’intervalle :
1
1
[p − √ ; p + √ ]
n
n
est une bonne approximation de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence observée
f du caractère.
33
Seconde générale
7.1
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2015/2016
Affaire Partida
En Novembre 1976 dans le comté de Hidalgo, Rodrigo Partida était condamné à huit ans de prison
pour cambriolage et tentative de viol.
Il attaqua ce jugement affirmant que la désignation des jurés de ce comté était discriminatoire pour
les américains d’origine mexicaine : 79,1 de la population du comté était d’origine mexicaine mais,
sur les 870 personnes convoquées pour être jurés les 11 années précédentes, seules 339 d’entre elles
étaient d’origine mexicaine.
Partie 1 : Simulation de la désignation d’un juré
On étudie une fonction du tableur qui choisit un juré en tenant compte de ses origines.
1) Quel nombre de jurés d’origine mexicaine peut-on espérer en choisissant au hasard 870 personnes dans la population de ce comté ?
2) Avec un tableur, la fonction ALEA() génère un nombre aléatoire dans [0; 1[. Que renvoie
SI(Alea()<p; 1; 0) ?
3) En prenant p = 0, 791 expliquer comment cette formule permet de simuler la désignation d’un
juré de ce comté en respectant les fréquences. On pourra s’aider du schéma ci-dessous :
0
0.791
1
Partie 2 : Simulation
On procède à une simulation de 100 séries de désignation de jury.
1) Compléter la feuille de calcul à l’aide des instructions.
• Saisir en cellule A1 la formule SI(ALEA()<0,791; 1; 0)
• Copier sur la plage A2:A870
• Saisir en A871 la formule SOMME(A1:A870)/870
• Sélectionner la plage A1:A871
• Copier sur la plage B1:CV871
2) Que représentent les nombres de la plage de cellules A1:A870 ?
3) Que représente le nombre affiché dans la cellule A871 ?
4) Que représentent les valeurs extrêmes obtenues dans la plage de cellules A871:CV871 ?
5) Représenter avec un nuage de points la série de données de la plage A871:CV871.
6) A-t-on obligatoirement 688 jurés d’origine mexicaine ?
Calculer le nombre maximal de jurés d’origine mexicaine dans un jury, obtenu lors de la simulation.
Partie 3 : Intervalle de fluctuation Il s’agit d’interpréter les résultats de cette simulation.
1) Donner l’intervalle de fluctuation correspondant à la simulation antérieure.
Celui-ci confirme-t-il les observations précédentes ?
2) Dans les simulations faites sur tableur, obtient-on un nombre de jurés mexicains égal à celui
de l’affaire Partida ?
3) Comment expliquer cette situation ?
34
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2015/2016
0.832
max
0.823
p+
√1
870
0.81
0.8
p
0.791
0.78
0.77
p − √1
min 870
0.757
0.755
0.75
échantillon n◦
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
• On note que 3 échantillons ont une fréquence qui n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation
I = [p − √1n ; p + √1n ]. Ce n’est pas surprenant, comme il n’y que 5% de chance que la fréquence
observée f sur un échantillon donné n’appartienne pas à l’intervalle I.
' 0.39 n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation I, elle en est même très
• La fréquence f = 339
870
éloignée ! D’où, l’observation fait sur les jurés les 11 années précédentes ne peut pas s’expliquer
par la fluctuation de la fréquence.
35
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8
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Équations de droites (2S)
• Droite comme courbe représentative d’une fonction affine. Tracer une droite dans le plan repéré.
• Interpréter graphiquement le coefficient directeur d’une droite.
• Caractériser analytiquement une droite.
• Établir que trois points sont alignés, non alignés.
• Reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes.
• Intersection de deux droites.
8.1
Fonction affine
Définition 8.1. Soit a et b deux nombres réels. Soit f : R → R définie par f (x) = ax + b pour
tout nombre réel x. On dit que f est une fonction affine et que le nombre a (devant x) est le
coefficient directeur de la droite et le nombre b est l’ordonnée à l’origine.
Soit (O, I, J) un repère du plan. Graphiquement, on a
B
A
b
D
a
1
La droite D passe par le point (0; b) car f (0) = a × 0 + b = b.
Propriété 8.2.
1) Soit a et b deux nombre réels. L’ensemble des points M (x; y) du plan solution de l’équation
y = ax + b
est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées. De plus, cette droite est la représentation
graphique de la fonction affine f : R → R définie par f (x) = ax + b.
2) Réciproquement, toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées est uniquement déterminé
par une équation de la forme
y = ax + b
où a et b sont de deux nombres réels.
36
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Propriété 8.3. Un point A(xA ; yA ) appartient à la droite D caractérisée par l’équation y = ax + b
si et seulement si yA = axA + b.
Propriété 8.4. Pour deux points distincts A et B de la droite D non parallèle à l’axe des ordonnées, le coefficient directeur est égale au taux d’accroissement :
a=
f (xB ) − f (xA )
yB − yA
=
xB − xA
xB − xA
Démonstration. On déduit par définition du graphe de la fonction affine f que

y
= a xA + b
= a xB + b
A
yB
En retranchant à la deuxième équation la première, on a
yB − yA = a xB − a xA = a(xB − xA )
Comme A et B sont distincts et que la droite D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, on déduit
−yA
que xB − xA est non nul. Ainsi, en revenant à la précédente identité, on déduit que a = xyBB −x
.
A
Propriété 8.5. Deux droites d’équations respectives y = ax + b et y = a0 x + b0 sont parallèles si
et seulement si elles ont le même coefficient directeur a = a0 .
8.2
Équation de droite
Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan.
Propriété 8.6. L’ensemble des points M (x; y) du plan tels que
x=c
est une droite parrallèle à l’axe des ordonnées.
Théorème 8.7. Soit D une droite du plan, alors il existe trois nombres réels a, b et c tels que
l’équation
ax + by = c
détermine la droite D.
Remarque. La droite est parallèle à l’axe des ordonnées si et seulement si b = 0.
37
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Propriété 8.8. Trois points A, B et C distincts sont alignés si et seulement si les coordonnées
de C vérifient une équation de (AB).
Propriété 8.9. Soient D une droite d’équation ax + by = c et D0 une droite d’équation a0 x + b0 y =
c0 . Supposons qu’elles sont sécantes, alors les coordonnées (x; y) du point d’intersection M sont
solution du système

ax + by
=c
a0 x + b0 y = c0
Propriété 8.10. Soient D une droite d’équation ax+by = c et D0 une droite d’équation a0 x+b0 y =
c0 .
Les deux droites sont parallèles si et seulement si
ab0 − ba0 = 0
Démonstration. Deux cas :
1) Si D est parallèle à l’axe des ordonnées, alors l’équation de D s’écrit ax = c (ici b=0) et D’ est
parallèle à D si et seulement si D’ est aussi parallème à l’axe des ordonnées. Ce qui équivaut à
b0 = 0 et cette condition est vérifié si et seulement si ab0 − 0a0 = 0.
2) Si D est n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, ...
38
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Exercice 4 (exercice 35 p 204).

x − 2y
=6
= −4
admet une solution (x; y) = (2; −2).

−4y
=8
= −8
admet une solution (x; y) = (−1; −2).
1) 
−x + y
2) 
2x + 3y

x − y
3) 
−3x + 2y
=2
= −5
admet une solution (x, y) = (1; −1).

4x − 1 y
=9
2
4) 
, si on multiplie la première ligne par −2, on a l’équation suivante −2 ×
−8x + y = −1
(4x − 12 y) = −2 × 9. D’où, le système précédent est équivalent à

−8x + y
−8x + y
= −18
= −1
Le nombre −8x + y ne peut pas être à la fois égale à −18 et −1. Donc, le système n’admet pas
de solution.
Exercice 5 (exercice 37 p 204).
a)
b)
c)
d)

6x − 5y
3x − y

2x − 3y
2x − 5y

4x + 9y
6x − 5y

8y − 6x
−4x + 3y
= 38
= 13

−5y
= −2
= −7

2y
= 35
= −77
=8
= −1
+ 2y
3x − y
= 38 − 26
= 13
=5
2x = −7 + 5y

x
y

x
y

y
=
x =

y
x
= −7
.
=7
=
=
16
7
.
19
7
39
=
12
= −4
−3
13+y
= 13−4
3
3
=3
= −7 + 5 ×
5
2
.
5
2
=
11
4
.
Seconde générale
9
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2015/2016
Fonctions de référence (4S)
Fonctions linéaires, affines, fonction carrée, fonction inverse.
La fonction carrée
Définition 9.1. La fonction carrée est définie sur R par f : x 7→ x2 soit f (x) = x2 .
Voici le graphe de la fonction carrée :
4
x 7→ x2
3
2
1
−2
−1
0
1
2
Propriété 9.2. Le graphe de la fonction carrée est une parabole dont l’axe des ordonnées est un
axe de symétrie.
Formellement, on a (−x)2 = x2 pour tout nombre réel x.
Le tableau de variation de la fonction carrée :
x
−∞
0
f (x) = x2
0
Propriété 9.3.
• Quel que soit le nombre x, x2 ≥ 0.
• Quels que soient les nombres a, b, on a
(a b)2 = a2 b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
40
+∞
Seconde générale
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2015/2016
• Le fonction carrée est strictement décroissante sur ] − ∞; 0[ et est strictement croissante sur
]0; +∞[.
Propriété 9.4. Soit a un nombre réel. Considérons l’équation x2 = a :
• Si a < 0 alors x2 = a n’admet pas de solution (Le carré d’un nombre est toujours positif).
• Si a = 0 alors x2 = a admet une unique solution 0.
√
√
• Si a > 0 alors x2 = a admet deux solutions − a et a.
Fonctions polynômes de degré 2
Définition 9.5. Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f définie sur R par
f (x) = ax2 + bx + c
où a, b et c sont trois nombres réels tels que a soit non nul.
Exemple. La fonction f définie par f (x) = 2x2 + 5x + 3 est une fonction polynôme du second degré
où a = 2 6= 0, b = 5 et c = 3.
La fonction g définie par g(x) = 7x2 − 2x + 15 est une fonction polynôme du second degré où
a = 7 6= 0, b = −2 et c = 15.
Propriété 9.6. Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par
f (x) = ax2 + bx + c
• Le graphe de la fonction f est une parabole.
• Si a > 0, cette parabole est orientée vers le haut.
y
x
M
k
k
M
0
S
• Si a < 0, cette parabole est orientée vers le bas.
41
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y
S
M
k
k
M0
x
• La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
• Le point S de la parabole situé sur l’axe de symétrie de la parabole est appelé sommet de la
parabole.
La fonction cube
Définition 9.7. La fonction cube est définie sur R par f : x 7→ x3 soit f (x) = x3 .
Voici le graphe de la fonction cube :
x 7→ x3
Propriété 9.8.
• La fonction cube f (x) = x3 est définie sur R.
• Quel que soit le nombre x, x3 est de même signe que x (car x3 = |{z}
x2 x).
≥0
• Le fonction cube est strictement croissante sur R.
42
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La racine carrée
Définition 9.9. La fonction racine carrée est définie sur [0; +∞[ par f : x 7→
√
Voici le graphe de la fonction racine carrée :
5
4
3
2
1
x 7→
√
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Propriété 9.10.
√
• La fonction racine carrée x 7→ x est définie sur l’intervalle [0; +∞[.
√
• Pour tout x ≤ 0 : x est le nombre tel que si on l’élève au carré on obtient x :
√
x = ( x)2
• Pour tout x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0, on a
√
x1 x2 =
√ √
x1 x2
• La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[.
Fonction inverse
Définition 9.11. La fonction inverse est définie sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par
f (x) =
Voici le graphe de la fonction inverse :
43
1
x
2.
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2015/2016
5
4
3
2
x 7→
1
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
1
x
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
Le tableau de variation de la fonction inverse :
−∞
x
f (x) =
0
+∞
1
x
Propriété 9.12.
• La fonction inverse f (x) =
1
x
est définie sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.
• Le fonction inverse est strictement décroissante sur ] − ∞; 0[ et est strictement décroissante
sur ]0; +∞[.
Propriété 9.13. Le graphe de la fonction inverse est l’hyperbole d’équation y =
cette hyperbole admet l’origine du repère O comme centre de symétrie.
1
.
x
De plus,
Fonction homographique
Définition 9.14. Soit a, b, c et d quatre nombres tels que c et le terme ad − bc soient non nuls.
Une fonction homographique est une fonction f définie par
f (x) =
ax + b
cx + d
La fonction f est définie sur les intervalles ] − ∞; −d
[ et ] −d
; +∞[.
c
c
Le graphe d’une telle fonction est appelé une hyperbole.
44
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. C’est une fonction homographique définie sur ] − ∞; 2[ et sur ]2; +∞[.
Exemple. Soit f (x) = 2x−2
2x−4
Ci-dessous, son graphe.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
−2
−3
−4
−5
45
3
4
5
6
7
8
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10
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2015/2016
Trigonométrie (2S)
Définition 10.1. On appelle radian (symbole : rad) la mesure d’un angle qui intercepte un arc
dont la longueur est égale à son rayon R.
B
R
1 rad
O
R
A
Exemples.
π
3
2π
3
1) Le périmètre du cercle de rayon 1 est 2 π
ainsi la longueur de l’arc correspondant à
un tour complet est 2π. C’est-à-dire que la
mesure en radian d’un tour complet est 2π.
π
π
3
2) L’angle correspondant à un demi-tour mesure π radians.
3) L’angle correspondant à un tiers d’un demitour mesure π3 radians.
Valeurs remarquables :
degrés
0
30
45
60
90
180
radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
Cercle trigonométrique
Définition 10.2. Le plan est dit orienté lorsqu’on a choisi un sens positif de rotation.
Dans le plan, par convention, on définit le sens positif comme l’inverse de celui des aiguilles d’une
montre. Il est appelé sens trigonométrique :
46
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N1 (α + 2π)
Définition 10.3. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré en l’origine dans le plan muni d’un repère orthonormée.
En enroulant la droite verticale d’équation x = 1,
on définit une application qui à nombre réel α,
représenté par un point N d’ordonnée α, associe
un point M sur le cercle trigonométrique tel que
la longueur de l’arc du point I au point M soit
de α radians (voir la figure ci-contre).
On remarque que si on ajoute 2π à α, le point N1
d’ordonnée α + 2π se retrouve aussi en M sur le
cercle trigonométrique. En effet, le périmètre du
cercle trigonométrique est de 2π, ainsi en enroulant "cette longueur de fil", on fait exactement un
tour complet.
On peut réitérer le processus est ajouter 2k π avec
k un entier relatif.
y
J
N (α)
M (α)
O
x
I
Propriété 10.4. Si un point de la droite d
d’abscisse a se trouve en M après enroulement
sur le cercle trigonométrique C, alors les points
d’ordonnées...,a − 4π, a − 2π, a, a + 2π, a + 4π,
a + 6π, ... se retrouvent également en M après
enroulement sur C.
N−1 (α − 2π)
Cosinus et sinus d’un angle orienté
Définition 10.5.
Soit α un nombre réel et M le point sur le cercle
trigonométrique associé à α.
Le cosinus du nombre réel α est l’abscisse
du point M ; cette valeur se note cos(α).
Le sinus du nombre réel α est l’ordonnée du
point M ; cette valeur se note sin(α).
y
1
1
−1
O
−1
47
α
sin(α)
cos(α)
1
x
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En d’autres termes, les coordonnées du point M sur le cercle trigonométrique correspondant à l’angle
α sont (cos(α); sin(α)).
Propriété 10.6. Pour tout nombre réel α, on a
1) cos2 (α) + sin2 (α) = 1 ;
2) −1 ≤ cos(α) ≤ 1 et −1 ≤ sin(α) ≤ 1.
π
2
2π
3
3
2
√
2
2
3π
4
5π
6
π
π
3
√
π
4
π
6
1
2
√
√
− 3 − 2
2
2
−1
2
−5π
6
√
1
2
O
2
2
−2π
3
3
2
−π
6
¯1
2
−3π
4
√
√
¯ 2
2
√
¯ 3
2
−π
2
−π
4
−π
3
Propriété 10.7 (Valeurs particulières).
Angle en degré
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
α
0
π
2
1
0
1
2
1
2
√
3
2
0
sin(α)
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
cos(α)
π
6
√
3
2
48
1
0
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2015/2016
π
2
2π
3
3π
4
π
4
√
2
2
5π
6
π
π
3
√
3
2
π
6
1
2
√
− 3
2
√
− 2
2
−1
2
1
2
O
−5π
6
√
2
2
√
¯ 2
2
−π
4
√
¯ 3
2
−2π
3
3
2
−π
6
¯1
2
−3π
4
√
−π
3
−π
2
Propriété (Valeurs particulières).
Angle en degré
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
α
0
π
2
1
0
1
2
1
2
√
3
2
0
sin(α)
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
cos(α)
π
6
√
3
2
49
1
0
Seconde générale
11
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Géométrie dans l’espace (2S)
• Espace
• Première approche de la notion de fonction
11.1
Les solides usuels
Définition 11.1. Un solide est un objet en trois dimension. Par exemple un cube, un pavé, une
pyramide, un cylinde...
Une représentation en perspective cavalière du cube :
face arrière
arête visible
deux droites parallèles dans la réalité sont
représentées par des parallèles en perspective cavalière
arête non visible
angle de fuite
face frontale
Remarques.
• Un patron permet de fabriquer le solide par pliage.
• La perspective cavalière permet de représenter le solide sur une feuille papier en donnant
l’impression de la 3D.
Propriété 11.2 (Perspective cavalière). Une perspective cavalière est une convention mathématique de représentation des solides dans un plan vérifiant les propriétés suivantes :
1) Si deux droites sont parallèles dans la réalité, alors elles le sont aussi dans la représentation
en perspective cavalière.
2) Si des points sont alignés dans la réalité, alors ils le sont aussi en perspective cavalière.
3) La perspective cavalière conserve les proportions.
Quelques exemples :
50
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2015/2016
Parallélépipède rectangle
Le patron est composé de rectangles.
V = largeur × hauteur × profondeur
L’aire d’un rectangle est : A = Longueur×largeur
hauteur
longueur
r
eu
g
lar
Le patron est composé d’un polygone et de triangles.
V = (Aire de la base × hauteur) ÷ 3
L’aire d’un triangle est : A = (base × hauteur)÷2
hauteur
Pyramides
Cylindre de révolution
Le patron est composé d’un rectangle et de deux
V = Aire de la base × hauteur
disques. L’aire d’un disque est : A = π × rayon2
hauteur
rayon
rayon
× Aire de la base × hauteur
ce
ri
at
r
né
gé
rayon
disque avec α = rayon ÷ génératrice × 360˚
hauteur
1
3
hauteur
Le patron est composé d’un disque et d’une portion de
Cône de révolution
V=
circonférence
de la base
−
rayon
α
génératrice
V = 43 π × rayon3
Sphère et boule
rayon
A = 4 × π × rayon2
La sphère n’a pas de patron.
51
Seconde générale
11.2
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Droites et plans
Propriété 11.3.
Soit A, B, C trois points de l’espace distincts et non alignés.
• Pour déterminer un plan, il suffit de donner 3 points non alignés ou 2 droites sécantes ou 2 droites parallèles (non confondues).
A
+
+
B
• Le plan noté (ABC) est constitué par les points des droites
passant par A et parallèles ou sécantes à la droite (BC).
+C
Remarques.
• La donnée de 3 points non alignés ou de 2 droites sécantes ou 2 droites parallèles (non confondues) suffit à déterminer un plan
• Dans chaque plan de l’espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie plane.
Exemple.
Soit ABCDEF GH un parallélépipède rectangle tel que :
H
• AB = 7 cm
D
• AD = 6 cm
1) Nommer le plan colorié.
C
K
J
E
L
F
2) Calculer la longueur BD.
11.3
G
A
I
B
Positions relatives de deux droites
Définition 11.4. Deux droites incluses dans un même plan sont dites coplanaires.
Propriété 11.5. Deux droites de l’espace sont soit coplanaires soit non coplanaires :
(d) et (d0 ) sont coplanaires et
sécantes en M
H M
D
strictement parallèles
G
H
D
C
E
A
ou
F
B
A
ou
G
F
B
confondues
H
D
C
E
(d) et (d0 ) sont
G
E
F
B
52
H
D
C
A
non coplanaires
G
C
E
A
F
B
Seconde générale
11.4
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Positions relatives de deux plans
Propriété 11.6.
(P) et (P 0 ) sont strictement parallèles
(P) et (P 0 ) sont confondus
(P) et (P 0 ) sont sécants en (d)
(P 0 )
(P 0 )
(P)
Propriété 11.7.
(d)
(P 0 )
(P)
(P)
• Un plan coupe deux plans parallèles suivant deux droites parallèles.
• Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont
respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre.
Remarques.
• Deux plans confondus sont considérés comme parallèles.
• Un plan coupe deux plans parallèles en deux droites parallèles.
• Deux plans sont parallèles si et seulement s’il existe deux droites sécantes de l’un qui sont
respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre.
11.5
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Propriété 11.8.
(d) est strictement parallèle à (ABF )
H
D
G
H
D
C
E
A
(d) est incluse dans (HDC)
F
B
H
G
E
F
B
C
E
A
G
−
D
C
A
(d) est sécante à (ABC)
F
−
B
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite du plan.
53