Ch. 6 Anneaux

CHAPITRE 6
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CHAPITRE 6 Anneaux et corps
Nous avons défini les structures algébriques de monoïdes et de groupes. Dans chacune d’elles, il y
a une seule loi. Pourtant, dans Z par exemple, il y a deux lois : l’addition et la multiplication; Z est
ce qu’on appelle un anneau.
6.1 Définition
Un anneau est un ensemble A avec deux lois, l’addition notée  et la multiplication notée , telles
que :
(i) A avec l’addition est un groupe commutatif, dont l’élément neutre est noté 0.
(ii) A avec la multiplication est un monoïde, dont l’élément neutre est notée 1.
(iii) La multiplication est distributive par rapport à l’addition, i.e.
a,b,cA, on a : (ab)cacbc et a(bc)abac
.
6.2 Exemples
1. L’exemple de base est Z : avec l’addition, c’est un groupe, et avec la multiplication, c’est un
monoïde. La distributivité est une propriété bien connue de Z.
2. De même, Q et R sont des anneaux.
3. Soit B = {0, 1}, et définissons sur B l’addition et la multiplication par leurs tables qui
suivent. Le lecteur peut vérifier que B a toutes les propriétés d’un anneau, sauf que 1 n’a pas
d’opposé pour l’addition : B n’est pas un anneau.
+
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1

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4. Soit A = {0, 1} avec les tables
+
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
Le lecteur peut vérifier que c’est un anneau.
Dans un anneau, nous notons l’opposé de a (pour l’addition) par a, conformément aux
conventions du chapitre 3 pour les groupes notés additivement. Donnons quelques règles de calcul
dans un anneau.
6.3 Théorème
Soient A un anneau et a, b dans A.
(i)
0aa00
.
(ii)
ab(a)(b) et (ab)(a)ba(b)
.
La règle (ii) est la fameuse règle des signes.
Démonstration
(i) Pour l’addition, 0 est élément neutre, donc
000
. On a donc par distributivité
0a(00)a0a0a
. Additionnons aux deux extrêmes l’opposé x de
0a
. Nous obtenons
0ax(0a0a)x
. Par suite
00a
, puisque
0ax0
, et par associativité de
l’addition.
L’égalité
a00
se montre de manière analogue.
(ii) Démontrons d’abord la deuxième série d’égalités.
On a
00b(a(a))bab(a)b
, où l’on utilise successivement (i), le fait que a est
l’opposé de a, et la distributivité.

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L’égalité des deux extrêmes montre que :
(a)b
est opposé de
ab
; donc par unicité de l’opposé (th. 3.11), on a
(a)b (ab)
.
L’égalité
a(b) (ab)
se montre de manière analogue.
Maintenant
(a)(b)a((b))
(par ce que nous venons de démontrer, en y remplaçant b par
b). Mais encore une fois, l’unicité de l’opposé nous assure que
(b)b
, et on en tire
(a)(b)ab
. u
6.4 Définition
Un anneau est dit commutatif si la multiplication est commutative.
Presque tous les anneaux considérés ici sont commutatifs. Un exemple d’anneau non commutatif
se trouve en exercice. Attention : l’addition dans un anneau est toujours commutative.
6.5 Définition
Un sous-anneau d’un anneau est un sous-ensemble qui est un sous-groupe pour l’addition et
aussi un sous-monoïde pour la multiplication.
6.6 Exemples
1. Z est un sous-anneau de Q, qui est un sous-anneau de R.
2. Le seul sous-anneau A de Z est Z. En effet, on doit avoir
1A
, car A est un sous-monoïde
multiplicatif. Donc A contient tout entier naturel
n1 1
(n fois), puisque c’est un
sous-groupe additif. Enfin, pour la même raison
nA
. Donc A contient Z et
AZ
.
3. Q n’est pas un sous-anneau de R, car ce n’est pas un sous-groupe pour l’addition
(pourquoi?).
6.7 Définition
Un idéal I dans un anneau A est un sous-groupe additif de A tel que
aA, bI, ab et baI
.

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Cette notion nous servira plus tard. Remarquons tout de suite que, dans Z, sous-groupes (additifs)
et idéaux coïncident. En effet, tout idéal de Z en est un sous-groupe, par définition. De plus, si H
est un sous-groupe de Z, si de plus
aZ
et
bH
, on a :
abbab  b
(a fois) si
a0
, et
par suite
abH
, puisque H est un sous-groupe; si par contre a < 0, on a
abH
par ce que
nous venons de voir, et
abH
, puisque c’est un sous-groupe. Donc H est un idéal.
Le th. 4.2 nous dit donc que tout idéal de Z est de la forme nZ avec
nN
.
La structure la plus forte est la suivante.
6.8 Définition
Un corps K est un anneau tel que
K*=K\{0}
soit un groupe pour la multiplication.
En d’autres termes, tout x dans K, non nul, admet un inverse pour la multiplication; celui-ci sera
noté
x1
.
6.9 Exemples
1. Q et R sont des corps; Z n’est pas un corps, car
21Z
.
2. L’anneau considéré en 6.2.4 est un corps.
6.10 Définition
Un sous-corps d’un corps est un sous-anneau qui contient l’inverse de chacun de ses éléments
non nuls.
Par exemple, Q est un sous-corps de R.
Exercices résolus
1. Soit A l’ensemble des nombres décimaux, i.e.
A{n/10p|nZ, pN}
. Montrer que
A est un sous-anneau de Q.

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*2. Soit
K{ab2|a,bQ}
. Montrer que si
a,bQ
et si
ab20
, alors
ab0
(utiliser l’exercice 8 du chapitre 5). En déduire que si
 K\{0}
alors
1K
. Montrer
que K est un sous-corps de R.
3. Montrer que si a et b sont éléments d’un corps, alors
ab0
implique
a0
ou
b0
. C’est
dire qu’un corps n’admet pas de diviseur de zéro, i.e. un
a0
tel qu’il existe
b0
avec
ab 0
.
4. Montrer que l’ensemble m des matrices carrées d’ordre 2 sur R est un anneau non
commutatif (cf. exercices 15 et 16, chapitre 3).
5. Sur l’ensemble
P(X)
, on définit une addition par
ABAB
(cf. exercice 9, chapitre
3) et une multiplication par
ABAB
. Montrer que
P(X)
devient ainsi un anneau
d’élément neutre X, pour la multiplication.
6. Montrer que si I est un idéal dans un corps K et si
I{0}
, alors
IK
.
7. Un élément a d’un anneau A est dit inversible s’il existe b dans A tel que
abba1
.
Montrer que l’ensemble des éléments inversibles de A forme un groupe sous la multiplication
de A. On note
U(A)
, ou parfois
A*
, ce groupe.
8. Soient A, B deux anneaux. Montrer que
AB
, avec addition
(a,b)(a ,b )
(aa ,bb )
et multiplication
(a,b)( a ,b )(aa ,bb )
, est un anneau d’éléments neutres
respectifs (0, 0) et (1, 1).
9. Soit A, B, des corps ayant chacun au moins 2 éléments. Montrer que
AB
n’est pas un
corps (cf. exercice 8).
10. Dans Z, définissons 7 et ; par
a7bab
et
a;babab2(a1)(b1)1
. Bien
sûr, Z avec 7 est un groupe commutatif et Z avec ; est un monoïde dont le neutre est 2.
Vérifier que Z avec 7 et ; n’est pas un anneau, en montrant que ; n’est pas distributive par
rapport à ;.