Aucun titre de diapositive - Laboratoire de Physique des Solides
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Production des rayons X Enceinte plombée Le tube à rayons X Ampoule de verre • Tube de Coolidge (Ec~10keV) • Anodes tournantes Anode Filament W Cathode Foyer Faisceau d’électrons Fenêtre Be M Rayons X I L Ka Kb • « Bremstrahlung » • Raies caractéristiques K lc l ℎ𝑐 12398 𝐸 𝑒𝑉 = = 𝜆 𝜆(Å) Le rayonnement synchrotron • 1898 : A. Liénard pose les équations du rayonnement synchrotron • 1912 : G.A. Schott calcule le rayonnement synchrotron • B 1947 : Mise en évidence F. Elder, R. Langmuir et H. Pollock a e- v Première observation de lumière synchrotron 70 MeV GE, Schenectady, NY • Brillance et accordabilité • ~30 centres de rayonnement synchrotron dans le monde (9 Asie, 12 Europe, 8 USA) • Grands synchrotron de 3e génération (ESRF, APS, SPring8) 1992 European Synchrotron Radiation Facility ESRF, Grenoble 6 GeV 𝐸𝑒 𝛾= 𝑚𝑐 2 2,75 𝐺𝑒𝑉 (= 511 𝑘𝑒𝑉 ≅ 5382) Angle : 𝛾 −1 = 0,2 mrad = 40" Principaux centres de rayonnement synchrotron Brillance et accordabilité Brillance spectrique Photons/s 𝐵= mm2 source × angle mrad2 × 0,1 % bande passante dW 𝑩= 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝒑𝒉/𝒔 (𝟐𝟎µ𝒎×𝟗𝟎𝟎µ𝒎)(𝟏𝟎µ𝒓𝒂𝒅×𝟏𝟎µ𝒓𝒂𝒅) = 𝟏𝟎𝟐𝟎 Accordabilité Rayonnement blanc Énergie caractéristique (critique) ℏ𝜔𝑐 keV = 0,665 𝐸𝑒2 GeV 𝐵(T) Synchrotron • Aimant de courbure • SOLEIL 1.75 Tesla • Energie critique 8,5 keV (19,2 keV) • Faisceau pulsé 352 MHz • 416 paquets de 30 ps, séparés de 3 ns • Éléments d’insertion • N aimants alternés, période l𝑈 • K = 0.934 L(cm)B(T) • Divergence très faible (mrad), brillance très élevée Vue de dessus Vue de dessus Vue de côté Vue de côté Wiggler Onduleur Rayonnement synchrotron de 3e génération Onduleurs Onduleur On se place dans le référentiel Galiléen allant à la vitesse moyenne de l’électron dans l’onduleur 𝒗~𝒄 Dans ce repère l’électron oscille à la fréquence l𝑈 MAIS l’électron est relativiste Contraction des longueurs Fréquence devient 𝛄 𝒄 𝝀𝑼 𝝀𝑼 /𝜸 Dans le repère du labo : Effet Döppler Fréquence devient 𝛄(𝟏 + 𝜷𝒄𝒐𝒔𝜽) × 𝛄 𝜆𝑢 𝐾2 𝜆1 = 2 1 + 2𝛾 2 𝒄 𝝀𝑼 ≅ 𝟐𝛄𝟐 𝒄 𝝀𝑼 𝒄 𝝀𝑼 Sources de 3G : Onduleurs Sources très brillantes (1020 UB) CRISTAL U20 ligne CRISTAL : E1= 1,432 keV Ligne de lumière • Diffractomètre • Orienter l’échantillon • Monochromateur • Utilise la loi de Bragg 2dsinq=l pour sélectionner une longueur d’onde SOLEIL 25 lignes de lumière (2013) (28 -> 2015) • Diffraction/Diffusion • Synchrotron 3e génération • Spectroscopie : Absorption, Photo-émission • 2.75 GeV • Imagerie : X, Infra-rouge • Démarrage en 2007 Interaction photon-atome |𝜓𝑖 = |𝜙𝑖 𝒌𝑖 𝒆𝑖 |𝜓𝑓 = |𝜙𝑓 𝒌𝑓 𝒆𝑓 à • Description quantique • H Hamiltonien du système composé de l’onde électromagnétique et l’atome en jauge de Coulomb 𝑛 𝐻= 𝑗=1 1 𝒑 − 𝑒𝑨 2𝑚 𝑗 2 + 𝑉(𝒓𝑖𝑗 ) + 𝐻𝑐ℎ 𝑖𝑗 Où la somme s’effectue sur les n électrons de l’atome HI, Hamiltonien d’interaction avec un électron 𝑒 𝑒 𝟐 𝐴2 𝐻𝐼 = − 𝒑 ∙ 𝑨 + 𝑚 2𝑚 • Règle d’or de Fermi • 2𝜋 𝑃𝑖𝑓 = 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 + ℏ 1er ordre ∞ 𝑛=1 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝑛 𝑛 𝐻𝐼 𝜓𝑖 ℇ 𝑖 − ℇ𝑛 2e ordre 2 𝜌(ℇ𝑓 ) Méthode de calcul Quantification du potentiel vecteur 𝑨= 𝒆𝛼 𝛼𝒌 ℏ † −𝑖𝒌∙𝒓 𝑎𝛼𝒌 𝑒 𝑖𝒌⋅𝒓 + 𝑎𝛼𝒌 𝑒 2𝜀0 𝑌𝜔𝒌 Somme sur les modes de vecteur d’onde k et d’état de polarisation α 𝒆𝛼 : vecteur de polarisation Y : volume de l’expérience (sert à quantifier) 𝑎𝛼𝒌 : opérateur d’annihilation 𝑎𝛼𝒌 |𝑛𝛼𝒌 = 𝑛|𝑛𝛼𝒌 − 1 † 𝑎𝛼𝒌 : opérateur de création † 𝑎𝛼𝒌 |𝑛𝛼𝒌 = 𝑛 + 1|𝑛𝛼𝒌 + 1 Hamiltonien du champ : † ℏ𝜔𝒌 𝑎𝛼𝒌 𝑎𝛼𝒌 + 1/2 𝐻𝑐ℎ = 𝛼𝒌 Diffusion Compton Absorption photo-électrique Diffusion Thomson 1er ordre 𝑒 𝟐 𝐴2 2𝑚 Diffusion résonante 2e ordre Phénomènes décrits 𝑒 − 𝒑∙𝑨 𝑚 Absorption - XAS: X-ray Absorption Spectroscopy Absorption près d’un seuil Oscillations de l’absorption X en phase condensée Absorption du Néon dans deux états physiques : Gaz dans une cellule Vs Film mince à 20 K EK(Ne)= 870,2 eV D. Raoux et al., Revue Phys. Appl. 15 (1980) 1079 XANES et EXAFS Deux régimes d’oscillations • X-ray Absorption Near-Edge Structure • Extended X-ray Absortion Fine Structure 50 eV 𝜒(𝐸) = CuO Seuil K Cu Etats de valence 𝜇 𝐸 − 𝜇0 (𝐸) 𝜇0 (𝐸) Continuum EXAFS XANES µ(E) µO(E) ZnO Seuil K Zn XANES : Oxidation, coordinance, symétrie petites déformations EXAFS : Environnement local Principe du XAFS Structure fine de l’absorption Absorption Photo-électron Énergie Énergie Photo-électron Photon X Photon X Niveau de cœur Atome absorbant Coefficient d’absorption Niveau de cœur Atome absorbant Atome diffuseur Coefficient d’absorption D’après M. Newville : http://xafs.org/Tutorials L’énergie cinétique du photo-électron est : ℏ2 𝑞2 = ℎ𝜈 − 𝐸𝐼 − Φ = ℎ𝜈 − 𝐸𝑂 2𝑚 Son vecteur d’onde vaut : 2𝑚 𝑞= ℎ𝜈 − 𝐸𝑂 = 0,512 ℎ𝜈 − 𝐸𝑂 (𝑒𝑉) (Å−1 ) ℏ Changement de la probabilité d’absorption par diffusion sur les atomes voisins a) Absorption du photon b) Emission de l’électron (onde sphérique) c) Propagation de l’électron d) Rétrodiffusion par les atomes voisins c) Propagation vers l’atome émetteur EXAFS Fig. de Als-Nielsen et McMorrow Principe du calcul 𝜒(𝐸) = 𝜇 𝐸 − 𝜇0 (𝐸) 𝜇0 (𝐸) 𝑌 𝜎𝑎 = 𝑑𝑁𝑖𝑓 /𝜙 = 𝑑𝑁𝑖𝑓 𝑐 𝑌 3 𝜌 𝐸 𝑑𝐸 = 2 3 𝑑 𝒒 8𝜋 1 𝑌2 𝜎𝑎 (𝐸) = 3 2𝜋 ℏ𝑐 𝒒 𝛿 ℎ𝜈 − 𝐸0 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 = 𝜙𝑓 , 0𝒌𝑖 ℏ2 𝑞2 − 2𝑚 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 2 3 𝑑 𝒒 𝑒 − 𝒑 ∙ 𝑨 𝜙𝑖 , 1𝒌𝑖 𝑚 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 ~(𝒒 ⋅ 𝒆) 𝜙𝑓 𝑒 𝑖𝒌⋅𝒓 𝜙𝑖 Si l’électron éjecté vient d’une couche profonde ℎ𝜈 ℏ2 𝑞2 𝐸= 2𝑚 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 ~ 𝜙𝑓 (𝒓) 𝑒 𝑖𝒌⋅𝒓 𝛿 𝒓 𝑑 3 𝒓 = 𝜙𝑓 (0) 𝜇 𝐸 = 𝜌𝑎 𝜎𝑎 (𝐸)~ 𝜙𝑓 (0) 2 Formule de l’EXAFS 𝒃 𝝅, 𝒒 = 𝒃 𝝅, 𝒒 𝒆𝒊𝝓 Atome libre : fonction d’onde sortante 𝜙𝑓 (0) 𝑅𝑗 En phase condensée : 𝑖𝑒 𝑖𝑞𝑅+𝑖𝛿𝑗 𝑒 𝑖𝑞𝑅+𝑖𝛿𝑗 𝜙𝑓 0 + 𝜙𝑓 (0) 𝑏(𝜋, 𝑞) 2𝑞𝑅 𝑅 ℎ𝜈 Propagation vers l’atome diffuseur Rétrodiffusion Propagation vers l’atome émetteur 𝑒 𝑖𝑞𝑅+𝑖𝛿𝑗 𝑒 𝑖𝑞𝑅+𝑖𝛿𝑗 𝜇 𝐸 = 𝜇0 𝐸 (1 + 2ℛ𝑒 𝑖 𝑏 𝜋, 𝑞 + ⋯) 2𝑞𝑅 𝑅 𝜒(𝐸) = 𝜇 𝐸 − 𝜇0 (𝐸) 𝜇0 (𝐸) 𝜒 𝐸 ~ 𝑗 Pour un rayonnement non-polarisé : 𝑏𝑗 (𝜋, 𝑞) sin(2𝑞𝑅𝑗 + 2𝛿𝑗 + 𝜙) −2(𝑞𝜎 )2 −2𝑅 /𝜆(𝑞) 𝑗 𝑒 𝑗 𝑁𝑗 𝑒 2 𝑞𝑅𝑗 𝜎𝑗 = 𝑅𝑗2 : fluctuation de distance (Effet Debye-Waller) Exemple : CdTe CdTe II-VI semiconducteur Nanocristaux de CdTe ont une bande d’absorption différente des cristaux Seul le premier voisin est visible en EXAFS Fig. de Als-Nielsen et McMorrow Spectroscopie de photoémission Mesure des spectres d’émission des photo-électrons - En énergie : analyser l’énergie cinétique des photo-électrons (ESCA : Electron Spectroscopy for Chemical Analysis, XPS : X-ray Photoelectron Spectroscopy) - En fonction de l’angle de sortie (ARPES : Angle Resolved Photoemission Spectroscopy -V. Brouet) Déterminer l’état des électrons dans l’atome ou le solide. Principe Principe : Mesurer le nb de photo-électron vs énergie cinétique après excitation par un rayonnement X ou UV Seuls les électrons des qqs 10 première couches atomiques sont éjectés ℏ2 𝑞 2 = ℎ𝜈 − 𝐸𝐼 − 𝜙 2𝑚 Cu avec Mg Ka (1253 eV) 0 ℏ2 𝑞 2 2𝑚 ℏ2 𝑞 2 𝐸𝐼 = ℎ𝜈 − −𝜙 2𝑚 1253 eV Diffusion Diffusion Thomson - Quantique dW 𝒒 ki kf 2𝜋 𝑑𝑁𝑖𝑓 = 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 ℏ 2q 2 𝜌 ℇ𝑓 𝑑Ω Section efficace différentielle 𝑌 𝑘𝑓2 𝑑𝑘𝑑Ω 3 (2𝜋) 𝑐 ℇ𝑓 = ℏ𝑐𝑘𝑓 ; 𝜙 = 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝜌 ℇ𝑓 𝑑ℇ𝑓 𝑑Ω = 𝑌 𝑖𝑓 𝑌 = 2𝜋 2 𝑘𝑓 ℏ𝑐 2 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 𝑒2 2 𝜓𝑓 𝐻𝐼 𝜓𝑖 = 0𝒌𝑖 𝒆 ,1𝒌𝑓𝒆′ | 𝜙𝑓 𝐴 𝜙𝑖 | 1𝒌𝑖 𝒆 , 0𝒌𝑓 𝒆′ 2𝑚 Seul le terme croisé : 𝑑𝜎 = 𝑑Ω 𝑓 𝑎𝒌† 𝑓 𝒆′ 𝑎𝒌𝑖𝒆 𝑒 𝑖(𝒌𝑖−𝒌𝑓) 2 𝑘𝑓 𝑒 (𝒆 ⋅ 𝒆′)2 𝑘𝑖 4𝜋𝜀0 𝑚𝑐 2 Longueur de diffusion de Thomson : intervient dans le calcul. 2 𝜙𝑓 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝜙𝑖 2 𝑏𝑇ℎ = 𝑟𝑒 = 2,82 10−15 𝑚 2 Diffusion Thomson - Quantique dW 𝒒 ki kf Diffusion élastique 2q 𝜙𝑓 = 𝜙𝑖 𝑑𝜎 2 = (𝒆 ⋅ 𝒆′)2 𝑏𝑇ℎ 𝜙𝑖 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝜙𝑖 𝑑Ω 𝜙𝑖 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝜙𝑖 = 𝜙𝑖 (𝒓) 𝜙𝑖∗ (𝒓)𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝑑 3 𝒓 = 2 𝜌𝑒 (𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝑑 3 𝒓 Pour un atome : 𝑑𝜎 2 = (𝒆 ⋅ 𝒆′)2 𝑏𝑇ℎ 𝑓(𝒒)2 𝑑Ω 𝑓(𝒒) ≡ 𝜌𝑒 (𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝑑 3 𝒓 est le facteur de diffusion atomique Diffusion Thomson - classique Longueur de diffusion de Thomson • Approche classique, fausse, mais résultat correct… • Electron libre diffuse du Compton • Onde incidente plane diffuse sur un électron libre 𝑬 𝒓 = 𝐸0 𝒆𝑒 𝑖(𝒌𝑖∙𝒓−𝜔𝑡) e’ a • L’électron est soumis à une force : a.e’ 𝑭 = 𝑚𝒂 = −𝑒𝑬 0 2q a e • Cette charge oscillante crée le champ : 𝑬𝑑 𝒓 = 2q p -p e e’ s-s 2q e’ 2q e 𝑬𝑑 𝒓 = − • On retrouve la longueur de diffusion bth et le terme de polarisation : 𝑒 𝑟 𝒂 𝑡 − ∙ 𝒆′ 𝒆′ 2 4𝜋𝜀0 𝑐 𝑟 𝑐 𝑏𝑇ℎ (𝒆 ∙ 𝒆′ )𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘𝑑 𝑟−𝜔𝑡) 𝑟 𝑏𝑡ℎ 𝑒2 = 4𝜋𝜖0 𝑚𝑐 2 (𝒆 ∙ 𝒆′ ) Effet de la polarisation de l’onde Section efficace 2 𝑒 (𝒆 ∙ 𝒆′ ) 4𝜋𝜖0 𝑚𝑐 2 • Rayon classique de l’électron 𝑟𝑒 = 2,818 10−15 𝑚 bth noyau négligeable car mnoyau>> m • Si le rayonnement est polarisé : 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝜎−𝜎 ∶ = 𝑟𝑒2 s-s 𝑑𝑖𝑓 e’ 2q e 2q 𝜋−𝜋 ∶ 𝑑𝜎 𝑑Ω = 𝑟𝑒2 cos 2 2𝜃 𝑑𝑖𝑓 p -p e • Si le rayonnement n’est pas polarisé 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝑑𝑖𝑓 2 2𝜃 1 + cos = 𝑟𝑒2 2 • Pour un électron « libre » : 𝜎 = 4𝜋𝑟𝑒2 ~1 barn e’ 2q Facteur de diffusion atomique 𝑓 𝒒 = 𝜌𝑒 (𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝑑 3 𝒓 • Longueur de diffusion atomique 𝑏𝑎 = 𝑏𝑡ℎ 𝜌𝑒(𝒓) 𝜌𝑒 (𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝑑 3 𝒓 est la densité électronique de l’atome 𝒒 vecteur de diffusion • Interprétation classique dr=re(r)d3v ki Déphasage entre l’onde 1 et 2 : 𝛥𝜙 = 𝒌𝑖 ∙ 𝒓 − 𝒌𝑑 ∙ 𝒓 r 2 kd 𝛥𝜙 = −𝒒 ∙ 𝒓 1 Onde diffusée est la somme des ondes diffusées par les électrons du volume d3r Facteur de diffusion 𝑓 𝒒 = 𝜌𝑒 (𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒⋅𝒓 𝑑 3 𝒓 f (q) Transformée de Fourier de la densité électronique f (q 0) = Z f (q ) = 0 sin 𝜃 q = 4𝜋 𝜆 Diffusion Compton (incohérente) hq hkd 2q hki Conservation p et E pi pd Longueur d’onde Compton -hq • Diffusion du Be Densité d’impulsion électronique Pic Compton 2s 1s D’après Y. Garreau et al. Energie du photon Pic élastique • Modèle oscillateur amorti • Force de rappel mw02r, Diffusion résonante-1 force de friction –Kv 𝑭 = 𝑚𝒂 = −𝑒𝑬 0 − 𝐾𝒗 − 𝑚𝜔02 𝒓 • On pose : 𝒓 = 𝒓0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝒂 = −𝜔2 𝒓0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑒𝜔2 𝑬0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = 𝑚 𝜔02 − 𝜔 2 − 𝑖𝜔𝐾 • Le champ diffusé s’écrit 𝑒 𝑟 ′ 𝒆′ 𝑬𝑑 𝒓 = 𝒂 𝑡 − ∙ 𝒆 4𝜋𝜀0 𝑐 2 𝑟 𝑐 𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑬𝑑 𝒓 = − (𝒆 ∙ 𝒆′ )𝐸0 𝒆′ 𝑒 𝑖(𝑘𝑑 𝑟−𝜔𝑡) 𝑟 • La longueur de diffusion 𝜔2 𝑏𝑟𝑒𝑠 = 𝑏𝑇ℎ 2 est modifiée 𝜔 − 𝜔2 + 𝑖𝜔𝐾/𝑚 0 Diffusion résonante-2 𝑏𝑟𝑒𝑠 𝜔2 = 𝑏𝑇ℎ 2 𝜔 − 𝜔02 + 𝑖𝜔𝐾/𝑚 1. 2. 3. • Section efficace 𝑑𝜎 = 𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑑Ω 2 Si w<<w0 : ~ w4 (diffusion Rayleigh) Si w>>w0 : ~ 1 (diffusion Thomson) Facteur de diffusion atomique complexe 𝑓 𝒒, 𝜔 = 𝑓0 𝒒 + 𝑓 ′ 𝜔 + 𝑖𝑓"(𝜔) 4𝜋 Théorème optique : 𝜎𝑎 = − 𝑘 𝑟𝑒 𝑓"(ω) ⇒ f 𝜔 < 0 Modèle précédent incorrect : -f ’’Au f’Au 2-Relations Kramers-Kronig Diffusion résonante-3 Calcul de l’absorption très difficile (en particulier la région du XANES) 1. En pratique, on mesure l’absorption, on en déduit 𝑓’’ 𝑓′′(𝜔) = − 𝜔 𝜎𝑎 4𝜋𝑟𝑒 𝑐 𝑓’ et 𝑓’’ sont reliés par les relations de Kramers-Kronig 2. On en déduit 𝑓’’ et on calcule 𝑓’ 2 ′ 𝑓 𝜔 = 𝑃 𝜋 𝑓 ′′ 2𝜔 𝜔 = 𝑃 𝜋 ∞ 𝜔′ 𝑓′′(𝜔′ ) (𝜔 ′ 2 − 𝜔 2 ) 0 ∞ 0 𝑑𝜔′ 𝑓′(𝜔′ ) 𝑑𝜔′ 2 2 (𝜔 − 𝜔′ ) Diffusion magnétique 𝑛 𝐻= 𝑗=1 1 𝒑𝑗 − 𝑒𝑨 2𝑚 𝑛 2 + 𝑉(𝒓𝑖𝑗 ) + 𝑔µ𝐵 𝑖𝑗 𝑺𝑗 ∙ 𝑩 +𝐻𝑐ℎ 𝑗=1 Longueur de diffusion magnétique 𝑏𝑚𝑎𝑔𝑛 ℏ𝜔 = 𝑏𝑇ℎ 𝑚𝑐 2 Intensité 106-108 fois plus faible M. Brunel, F. de Bergevin, 1972 NiO, 3 jours de pose... Nécessite le rayonnement synchrotron UAs McWhan PRB1990
