Dynamique locale des fluides parfaits

PSI Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29
CHAPITRE DF3
CHAPITRE DF3
DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES
PARFAITS
Dans ce chapitre, nous allons relier l’écoulement d’un fluide aux actions qu’il subit. Nous
privilégions le point de vue eulérien, c’est-à-dire la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant
de champs tels que
!
r
v
(M, t), P(M, t) et ρ(M, t). Nous établirons des relations différentielles ou de
conservation entre ces grandeurs et les actions subies : il s’agit bien d’une dynamique locale.
Remarquons dès à présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5
équations pour sa résolution…
Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l’étude de fluides parfaits où n’intervient donc aucune
force de viscosité.
1. EQUATION D’EULER - APPLICATIONS
1.1. Expression
Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit
le mouvement, on a :
dm
!
Dr v
Dt
=
!
d
r
f
où
!
Dr v
Dt
représente l'accélération de la particule et
!
d
r
f
la résultante des forces subies par l'élément dm.
En privilégiant la description volumique des forces et en faisant apparaître le rôle spécifique des
forces de pression,
!
d
r
f
s’écrit :
!
d
r
f
= (
!
r
f
v
-
!
grad
P) dτ
En écrivant dm = ρ dτ, il vient :
ρ[
!
(r v .grad)r v
+
!
"r v
"t
]=
!
r
f
v
-
!
grad
P
Cette équation, qui n'est autre que la relation locale de la résultante cinétique, est appelée équation
d'Euler. Une division par ρ fait apparaître les forces massiques
!
r
f
m
et une deuxième forme de l’équation
d’Euler. Nous retiendrons :
ρ[
!
"r v
"t
+
!
(r v .grad)r v
] =
!
r
f
v
-
!
grad
P
!
"r v
"t
+
!
(r v .grad)r v
=
!
r
f
m
-
!
gradP
"
Equation d’Euler

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1.2. Equation locale de la statique des fluides
Le cas particulier d’un fluide au repos dans un référentiel R s’obtient très facilement comme un cas
particulier de l’équation d’Euler :
Pour un fluide en équilibre :
!
r
0
=
!
r
f
v
-
!
grad
P
Rq. Dans un référentiel non galiléen,
!
r
f
v
inclut les forces volumiques d’inertie...
Par exemple, si l’on suppose le fluide seulement soumis aux forces de pesanteur telles que
!
r
f
v
= ρ
!
r
g
= - ρg
!
r
e
z
, avec un axe vertical z ascendant,cette relation redonne la forme scalaire simple en
projection sur z :
dP = - ρg dz
Il est important de remarquer que la répartition de pression n’est pas la même dans un fluide au
repos,où on parle de pression hydrostatique, et dans le même fluide en mouvement. En particulier, le
théorème d’Archimède, qui utilise la pression hydrostatique pour calculer la résultante des forces
pressantes exercées par un fluide sur un objet immergé, n’est plus valable dans un fluide en
mouvement…
1.3. Détermination des grandeurs locales associées à un fluide en écoulement : recherche
d’un système complet d’équations
L'équation d'Euler, vectorielle, fournit 3 équations scalaires et la relation locale de conservation de la
masse 1 équation scalaire : d’après la remarque faite en introduction, il « manque » alors une équation
pour pouvoir résoudre le problème.
Le problème est évidemment immédiatement résolu si le fluide est homogène incompressible : la
masse volumique devient alors une constante ρ0 connue dans tout l’écoulement. Les équations locales
deviennent alors :
div
!
r
v
= 0
!
(r v .grad)r v
+
!
"r v
"t
=
!
r
f
m
-
!
grad
!
P
"0
#
$
%
&
'
(
(On notera le passage de la constante ρ0 à l’intérieur du gradient …)
Dans le cas où la masse volumique reste une inconnue du problème, nous pourrions penser ajouter
une équation en introduisant une équation d’état du fluide. Cependant, c’est une équation de type
thermodynamique qui introduit en général une nouvelle grandeur a priori également inconnue : le champ
de température T(M, t). Il apparaît donc qu’une nouvelle équation est nécessaire. Cette équation sera en
fait une équation de comportement du fluide au cours de l’écoulement (équation souvent de nature
thermodynamique).
La lenteur des échanges thermiques permet souvent de considérer que ces échanges sont négligeables
entre particules de fluide. Le comportement du fluide est alors adiabatique. Si de plus on néglige toute
irréversibilité due à une diffusion thermique ou à la viscosité, l’hypothèse isentropique peut alors être
envisagée. Ainsi, pour un fluide tel qu’un gaz parfait en évolution isentropique, la loi de Laplace fournit
alors une relation supplémentaire entre P et ρ, de la forme :
Pρ-γ = cste

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Enfin, dans la résolution des équations différentielles de l’écoulement, la recherche des solutions
devra en outre tenir compte des conditions aux limites que nous avons déjà évoquées, tant au niveau de
la vitesse que de la pression.
1.4. Une conséquence importante de l’équation d’Euler pour les
écoulements unidirectionnels
Par définition, un écoulement unidirectionnel est tel que le vecteur vitesse garde une direction fixe
constante. Le champ des vitesses peut alors être modélisé par une loi du type :
!
r
v
= v(x, y, z, t)
!
r
e
x
L’accélération particulaire s’écrit alors
!
r
a
=
!
"v
"t
!
r
e
x
+ v
!
"v
"x
!
r
e
x
. Si on projette alors l’équation d’Euler
sur un axe orthogonal à l’écoulement ( y ou z par exemple), on obtient :
0 = (
!
r
f
v
-
!
grad
P).
!
r
e
y
Ce qui conduit au résultat :
Dans un écoulement unidirectionnel, la répartition de pression est
hydrostatique dans une direction orthogonale à l’écoulement
1.5. Intégration de l’équation d’Euler le long
d’une ligne de courant
L’équation d’Euler est également souvent utilisée en l’intégrant le long d’une ligne de courant.
Remarquons tout d’abord qu’une identité mathématique affirme que :
!
(r v .grad)r v
=
!
grad
(
!
v2
2
) +
!
rot
!
r
v
∧
!
r
v
En utilisant cette identité l’équation d’Euler devient :
!
grad
(
!
v2
2
) +
!
rot
!
r
v
∧
!
r
v
+
!
"r v
"t
=
!
r
f
m
-
!
gradP
"
Multiplions alors scalairement tous les termes de l’équation par un élément de la ligne de courant qui
s’écrit nécessairement
!
dr r
=
!
r
v
dt. Cette opération permet d’annuler le terme en
!
rot
!
r
v
∧
!
r
v
, ce qui
est justement l’intérêt de choisir un élément d’une ligne de courant. Il reste :
!
grad
(
!
v2
2
).
!
dr r
+
!
"r v
"t
.
!
dr r
=
!
r
f
m
.
!
dr r
-
!
gradP
"
.
!
dr r
Très souvent,les forces massiques
!
r
f
m
dérivent d’une énergie potentielle epm (elle-même massique) de
sorte que nous puissions écrire :
!
r
f
m
= -
!
grad
epm

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Prenons par exemple les forces de pesanteur, pour lesquelles
!
r
f
m
=
!
r
g
. Dans le cas d’un champ de
pesanteur uniforme, et avec le choix d’un axe vertical ascendant z, dont l’origine est également celle des
énergies potentielles, on a :
!
r
f
m
= -
!
grad
(gz)
Rassemblons les deux gradients et l’équation devient :
!
"r v
"t
.
!
dr r
+
!
grad
(epm +
!
v2
2
).
!
dr r
+
!
gradP
"
.
!
dr r
= 0
En intégrant entre deux points A et B d’une ligne de courant :
!
A
B
"
!
"r v
"t
.
!
dr r
+
!
epm +v2
2
"
#
$
%
&
'
A
B
+
!
A
B
"
!
gradP
"
.
!
dr r
= 0
Cette relation sera utilisée dans des écoulements non permanents : elle permet, dans des cas à
géométrie simple, de calculer l’accélération locale. Nous allons voir un prolongement très utile de cette
intégration de l’équation d’Euler, en ajoutant des hypothèses simplificatrices supplémentaires :
2. RELATION DE BERNOULLI
2.1. Expression et interprétation
En ajoutant des caractéristiques particulières à l’écoulement d’un fluide parfait, nous pouvons obtenir
un prolongement intéressant de l’équation d’Euler. La relation obtenue, qui exprimera la conservation
d’une certaine grandeur sur tout ou partie du fluide, et appelée équation de Bernoulli, peut prendre en
fait différentes formes suivant les caractéristiques de l’écoulement, l’ensemble formant « les » relations
de Bernoulli. Nous n’envisagerons cependant que les 2 formes les plus simples de cette relation.
Rappelons que, lors de l’intégration de l’équation d’Euler, nous avons déjà supposé que les forces autres
que les forces de pression dérivent d’une énergie potentielle qu’on peut écrire sous forme massique epm
Nous ajoutons deux hypothèses supplémentaires :
- L’écoulement est homogène incompressible ρ = ρ0 = cste dans tout l’écoulement
- Le régime est permanent
La première hypothèse permet de passer la constante ρ0 dans le gradient si bien que
!
gradP
"
=
!
grad P
"0
#
$
%
&
'
(
,
La deuxième hypothèse supprime évidemment le terme
!
"r v
"t
L’intégration précédente de l’équation d’Euler se simplifie alors en :
!
epm +v2
2+P "0
#
$
%
&
'
(
A
B
= 0
Ce qui peut encore s’énoncer :

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Pour un écoulement homogène incompressible, permanent, soumis aux seules forces de
pression et à des forces dérivant d’une énergie potentielle :
La grandeur
!
epm +v2
2+P "0
est conservée le long d’une ligne de courant
Il est important de remarquer que cette expression peut en revanche varier d’une ligne de courant à
une autre.
Cependant, si on ajoute enfin une dernière hypothèse disant que l’écoulement est non tourbillonnaire, le
terme
!
rot
!
r
v
∧
!
r
v
disparaît de lui-même si bien que nous n’avons plus à intégrer le long d’une ligne de
courant, mais entre deux points quelconques.
Pour un écoulement homogène incompressible, permanent,non tourbillonnaire et
soumis aux seules forces de pression et à des forces dérivant d’une énergie potentielle :
La grandeur
!
epm +v2
2+P "0
est conservée dans tout l’écoulement
L’équation de Bernoulli n’est autre qu’une équation locale de conservation de l’énergie :
l’expression
!
epm +v2
2+P "0
représente en effet l’énergie mécanique massique associée à une particule de
fluide :
-
!
v2
2
est l’énergie cinétique massique
- epm est l’énergie potentielle massique des forces autres que celles de pression
-
!
P
"0
représente une énergie potentielle massique associée aux forces de pression
Remarque : on peut évidemment aussi écrire :
!
"0v2
2
+ P + epv = cste
Nous appellerons pression dynamique le terme
!
"0v2
2
(évidemment homogène à P) et pression
totale ou pression de stagnation la somme
!
"0v2
2
+ P. Pour mieux comprendre la signification de ces
termes, prenons l’exemple d’un écoulement uniforme horizontal arrivant sur un obstacle.
PA
P0
!
r
V
0
Ecrivons la conservation de
!
"0v2
2
+
P + epm sur la ligne de courant horizontale arrivant en A sur
l’obstacle, entre l’infini et A :
- A l’infini, on retrouve l’écoulement uniforme, de pression P0 et de vitesse v0.
- en A, la vitesse est nécessairement nulle et la pression est notée PA