Taux d`intérêt réel / nominal
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Retour sur la notion de taux d’intérêt Taux d’intérêt composés actualisation 1. Taux d’intérêt réel / nominal Supposons que je prête 100€ pour un an… X1=X0+X0 x i • Le taux d’intérêt est de 5 % X1 = X0 (1+i) Avec i=5%=5/100=0,05 • Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par… Les prix ont été multipliés par • L’inflation est de 3 % 1,05 1,03, la valeur de la monnaie a été divisée par 1,03 • Donc la valeur de l’euro aura été divisée par… 1,03 En prêtant 100€ me suis-je vraiment enrichi de 5 % ? • On m’a remboursé 5% d’euros en plus : je suis 1,05 fois plus riche. X1 en euros constants / x0 = • Mais ces euros se sont dépréciés101,94/100 de 3% : ils = 1,0194 valent 1,03 fois moins Au total on m’a remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94 • Donc le taux d’intérêt est en réalité de… 1,94% • Rappelez la définition du taux d’intérêt réel et du taux d’intérêt nominal : internet • Quel est le taux d’intérêt réel dans l’exemple précédent ? Tx nominal – Tx d’inflation = 5-3 = 2% • Que signifie un taux d’intérêt réel négatif ? Tx nominal < Tx d’inflation Retenons la formule (approximative) Tx d’int. réel (ir) =Tx d’int. nominal (in) – tx d’inflation (t) Etes vous capable d’écrire la formule rigoureuse ? ir=[(1+in)/(1+t)] - 1 Quizz… • L’inflation favorise… les créanciers les débiteurs • Quand les anticipations d’inflation sont fortes les prêteurs vont proposer… des taux plus élevés des taux plus bas 2. Taux d’intérêt composés Supposons le taux d’intérêt égal à 3% • Je prête 100 euros pour une période de 10 ans. (on néglige ici l’inflation) • De quelle somme serai-je remboursé ? D’où la formule Xn=Xo n (1+i) Avec Xo la somme initialement prêtée, Xn la somme rendue après n années, i le taux d’intérêt en vigueur Compliquons un peu • Je prête 200 € pour 12 ans • Le taux d’intérêt nominal est de 6% • Le taux d’inflation moyen est de 2% • Combien aurai-je gagné en € courants ? en € constants ? En euros courants La somme rendue sera égale à 200 x (1+0,06)12 = 402,44 Remarquons au passage qu’un taux d’intérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroit la somme, non pas de 6x12= 72 % mais de 101,22 % En euros constants Première méthode (rigoureuse) Calculons rigoureusement le taux d’intérêt réel Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06 Mais la valeur de l’euro est divisée par 1,02 1,06 / 1,02 =1,0392 (taux d’intérêt réel = 3,92 %) 200 x 1,0392 12 = 317,32 € En euros constants Deuxième méthode (approximative) Calculons approximativement le taux d’intérêt réel Taux d’intérêt réel = taux d’intérêt nominal – taux d’inflation = 6% - 2% = 4% 200 x 1,04 12 = 320,21 € En euros constants Troisième méthode (rigoureuse) Puisqu’on me rembourse 402,44 € en euros courants Je n’ai qu’à les ramener à des euros constants Le résultat est le qu’avec la 12 Les prix ont été multipliés par 1,02même première méthode Le pouvoir d’achat de l’euro a été divisé par 1,02 12 402,44 / 1,02 12 = 317,32 € 3. Actualisation • Supposons que je prête 100 euros à 3% pour 10 ans (en négligeant l’inflation) • Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par… 1,0310=1,34 • Inversement si on me propose de me verser 134 € dans 10 ans… • A combien suis-je prêt à renoncer aujourd’hui pour cela ? 100 € • Par le biais des intérêts, une somme actuelle est multipliée dans n années par n (1+i) • Donc pour calculer la valeur actuelle d’une somme perçue dans l’avenir on la divise par n (1+i) C’est la même opération inversée multiplier somme actuelle n par(1+i) somme dans n années diviser par(1+i)n Un investissement va rapporter… • 10000 euros l’an prochain • 15000 euros l’année suivante • 8000 euros l’année d’après • et c’est tout. • Quel est le montant qu’on peut y engager si le taux d’intérêt est de 7% ? Actualisons le revenu futur • 10000 € l’an prochain = 10000 / 1,07 aujourd’hui • 15000 € dans deux ans = 15000 / (1,07)2 aujourd’hui • 8000 € dans 3 ans = 8000 / (1,07)3 aujourd’hui 10000 / 1,07 + 15000 / (1,07)2 + 8000 / (1,07)3 = 28977,76 Que signifie ce résultat ? • La valeur actualisée des annuités futures de ce projet représente 28977,76 € • Si j’avais 28977,76 € et que je les plaçais au taux d’intérêt courant (7%) je pourrais obtenir 10 000 dans un an, 15 000 dans deux ans et 8000 dans 3 ans (en retirant progressivement les fonds placés) • Et cela, sans rien faire ni courir de risque Moins,Etcar si le la taux valeur d’intérêt actualisée Il n’est donc pas rationnel des augmentait, annuités serais-je futures diminue prêt à y d’engager plus de 28 977, 76 € engager quand leplus tauxou d’intérêt moins de dans ce projet. augmente. fonds ? Quizz… • Si le taux d’intérêt augmente une somme future représente en valeur actualisée… plus qu’avant moins qu’avant • Plus le taux d’intérêt est élevé, plus les agents économiques préfèrent les revenus actuels aux revenus futurs préfèrent les revenus futurs aux revenus actuels Quizz… • Si le taux d’intérêt diminue, un titre qui rapporte 1000€ les taux Quand les taux par Quand an vaudra baissent les cours des obligations plus cher qu’avant augmentent augmentent les cours des obligations moins cher qu’avant baissent Ce principe gouverne l’évolution du marché obligataire : les obligations sont des titres de créances porteurs d’un intérêt fixe.
