Programmation fonctionnelle Lambda-calcul A. Introduction Définition, Caractéristiques, Schéma fonctionnel, Quelques langages fonctionnels B. Lambda-calcul Variables et fonctions en mathématiques La -notation, Fonction à plusieurs arguments Les systèmes -applicatifs, Grammaire du -calcul Notion de variables libres et liées, Programmation fonctionnelle Lambda-calcul B. Lambda-calcul Changement de variables Substitution Contraction Réduction Théorie propre du -calcul Forme normale Ordre de réduction Théorème de Church-Rosser ( première forme ) Théorème de Church-Rosser ( deuxième forme ) Fonctions récursives Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Introduction • Définition : — Le traitement est décrit par application de fonction. — Exemple : f[g(x, h(x), f(x-1, g(h(x-1), 2) ] • — — — — Caractéristiques : Facilité d'exprimer et de prouver les programmes. Basé sur un système formel (Lambda-calcul) Absence d'affectation Absence de contrôle explicite ( GOTO, EXIT). les langages fonctionnels ne sont pas impératifs. — calcul basé sur les fonctions. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Introduction • Schéma de programme fonctionnel: Un seul type de contrôle implicite : Si Cond alors inst1 sinon inst2 Fsi. • Les instructions peuvent être : conditionnelle, appel de fonction. • Exemple Fact(n) : Si n = 0 alors 1 sinon mult(n, Fact(n-1)) Fsi Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Introduction • Exemple de langages fonctionnels: • • • • • LISP ( Processor of Listes, Mac Carthy 1960) ISWIN ( Landin 66) FP ( Backus 78) HOPE (80) MIRANDA(85) Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Variables et fonctions en mathématiques : Inconvénient de la notation usuelle • En mathématiques, la notation usuelle f(x) ne nous permet pas de distinguer entre la fonction elle-même et la valeur de la fonction pour une valeur déterminée de la variable. • Ce défaut apparaît clairement dans les théories qui utilisent les fonctions de fonctions. • Par exemple, dans les théories qui utilisent les opérateurs P et Q, l'application de l'opérateur P à la fonction f(x) est généralement notée P[f(x)]. Que signifie alors P[f(x+1)] ? Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • La -notation • Si nous notons par M l'expression qui contient x qui indique la valeur de la fonction quand l'argument a la valeur x nous écrivons x(M) pour désigner la fonction elle-même. Cette formation est abstraction fonctionnelle. • Pour désigner la valeur de la fonction pour la valeur 0 par exemple nous écrivons x(M) (0). • Ainsi, x(x2) est la fonction carré. • Autres abréviations : xM, µx.M Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Fonction à plusieurs arguments • Pour des fonctions à plusieurs arguments, nous pouvons aussi définir une abstraction fonctionnelle : nx1x2....xn.M • y(x+y) : désigne l'opération d'addition de l'argument y à x. ( x est alors fixe). c'est f(y) = x+y • x(y(x+y)) c'est f(x,y) = x +y • 2xy.x+y ou x: y.x+y Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Les systèmes -applicatifs • Un système applicatif, défini de manière générales, est un système dans lequel les seules opérations sont l'abstraction fonctionnelle et des applications. • L'application est représentée par une simple juxtaposition. Ainsi fab signifie f appliqué à a, puis le résultat appliqué à b. Donc fab est (fa)b. fabc c'est ((fa)b)c De cette façon, les valeurs de fonctions à plusieurs variables sont construites progressivement. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Grammaire du -calcul • Syntaxe V = { x, y, ...} ensemble des variables. C = { a, b, ...} ensemble des constantes. L --> C / op L --> V L --> ( L L ) associativité à gauche(application) L --> (V L) associativité à droite(abstraction fonctionnelle) Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Grammaire du -calcul • ( L L L ) c'est ( (L L) L ) • (xyL ) c'est (x (yL) ) • Exemple : • (xx) est obtenu par abstraction : f(x) • ((xx)3) est obtenu par application : f(3) Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Notion de variables libres et liées • Une occurrence d'une variable x dans Y est liée ssi x est à l'intérieur d'une partie de Y de la forme x.Z, sinon elle est libre. • Variables libres • Soit X, Y dans L et soit x dans V et a dans C. • • • • Varlib(a) = {} Varlib(x) = {x} Varlib(XY)= Varlib(X) U Varlib(Y) Varlib(xX)= Varlib(X) - {x} Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Notion de variables libres et liées • Variables liées • • • • Varlié(a) = {} Varlié(x) = {} Varlié(XY)= Varlié(X) U Varlié(Y) Varlié(xX)= Varlié(X) U {x} Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Notion de variables libres et liées : Exemple • X = ( (x(y.y) z.x) ) de la forme X = ( M N) Varlib(X) = Varlib(y.y) - {x}Uvarlib(x)-{z} Varlib(y)- {y} - {x} U {x} - {z} {y} - {y} - {x} U {x} - {z} {} U {x} {x} Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Notion de variables libres et liées : Exemple X = ( (x(y.y) z.x) ) de la forme X = ( M N) Varlié(X) = Varlié(y.y) +{x}UVarlié(x)+ {z} Varlié(y) + {y} + {x} U {} + {z} {} + {y} + {x} U {} + {z} { x, y, z } Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Notion de variables libres et liées • Nous remarquons que x est liée dans M mais libre dans N. Nous pourrions écrire indifféremment X = ( (t(y.y)) z.x)) car on peut toujours changer le nom de la variable liée. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Changement de variable liée : (Alpha-conversion) • Un changement de variable liée dans un terme X est le remplacement d'une partie de X de la forme y.Z, avec y non liée dans Z, par v.[v/y]Z pour tout v qui n'est ni libre ni liée dans Z. • (Alpha) : Si y n'est pas libre dans M, alors x.M = y[y/x]M. • Congruence : — X est congruent à Y ssi Y est le résultat d'application d'une série de changements de variables liées. — La congruence est une relation d'équivalence. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Substitution • Soit N et M dans L et x une variable libre de M. • • • • • • [N/x]M : substituer N à x dans M. [N/x]a = a [N/x]x = N [N/x]y = y si y # x [N/x](M1M2) = [N/x]M1 [N/x]M2 [N/x](µxM) = (xM) Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Substitution • [N/x]( yM) = x#y y non libre dans N c'est (y [N/x] M ) y libre dans N c'est z [N/x] ([z/y]M) • Exemple : Prenons M = y.xy et N = y [t/x] y.xy = y.yt (1) [y/x] y.xy = y.yy (confusion) =[y/x] z.xz =z.zt ce qui est équivalent à(1) Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Contraction : Béta-conversion • Une -expression de la forme ( x.M) N s'appelle un Béta-radical ou Béta-rédex ou rédex. avec ( x.M) une abstraction fonctionnelle et (x.M) N une application • (Beta) : Si x n'est pas liée dans M alors (x.M) N = [N/x] M • si x.M est une fonction, son application à n'importe quel N doit être vue comme le résultat de la substitution de x par N dans M Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Contraction : Béta-conversion • Ici aussi, il y a possibilité de confusion de variables. Supposons M = x.xy et N = y. La substitution de x par N sans tenir compte des variables liées dans M nous donne y.yy Mais si nous transformons M en z.zy ( par (alpha) ) puis nous substituons x par y nous obtenons finalement z.zy Il s'agit en d'autres termes d'une substitution aux occurrences libre de x dans M. Donc, une telle confusion peut apparaître si une variable libre dans N est liée dans N. Ainsi, l'objet Béta-rédex a pour contractant [N/x]M qui est une Béta-contraction. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Remarques • Les règles (Alpha) et (Béta) prises ensemble constituent la Betaconversion. • La règle (Alpha) prise seule constitue la Alpha-conversion. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Réduction • X se réduit à Y (=>) ssi Y est le résultat d'une série(éventuellement vide) de changement de variables liée et de contractions. => est réflexive et transitive. • Exemples : 1. ( x.xy)F => Fy 2. (x.y)F => y 3. (x.(y.yx)z)v)=> [v/x](( y.yx)z) == (y.yv)z => [z/y] (yv] == zv 4. (x.xxy)( x.xxy) => (x.xxy)( x.xxy)y => (x.xxy)( x.xxy)yy => ect... Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Théorie propre du -calcul • L'ensemble des énoncés de la forme X >> Y qui sont vrai. • Règles : Alpha, Béta, Axiome( X >> X) et les règles de déductions : 1. X >> Y ==> ZX >> ZY 2. X >> Y ==> XZ >> YZ 3. X >> Y ==> x.X >> x.Y 4. X >> Y et Y >> Z ==> X >> Z Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Théorie propre du -calcul • Formellement, nous dirons que X >> Y ssi il existe une preuve de cet énoncé utilisant uniquement les axiomes et les règles ci dessus. • (Eta) : Si x n'est pas libre dans M,alors x.(Mx) = M • (Tau) : Si x n'est pas libre ni dans M ni dans N alors • Mx = Nx ==> M = N Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Forme normale : • Un objet sera dit être dans une forme normale, d'une certaine µexpression s'il ne contient aucun rédex. [ (x.M) N ] • Dans l'exemple 3, zv est la forme normale de ( x.(y.yx)z)v) • Le terme de l'exemple 4 n'a pas de forme normale. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Ordre de réduction • Ordre normal : Plus externe, plus à gauche dans le même niveau. ( par nom) • par valeur : Plus interne, Plus à gauche dans le même niveau • Il existe d ’autres ordres • Deux chemins différents de réduction peuvent-ils aboutir à des formes normales différentes ? Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Théorème de Church-rosser première forme • Si U=>X et U=>Y, il existe Z tel que X=>Z et Y=>Z. • Corollaire : Si U a des formes normales X et Y, alors X est congruent à Y ( On peut passer de X à Y par des changements de variables ) Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Théorème de Church-rosser ( deuxième forme ) • Si E1 ==> E2 et Si E2 forme normale alors il existe une suite de réduction de E1 à E2 selon l ’ORDRE NORMAL. • L ’ordre normal garantit de trouver une forme normale si elle existe mais ne garantit pas de la trouver par un nombre minimum de réduction. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Fonctions récursives soit Fact = ( n. si (= n 0) 1 (* n (Fact ( - x 1) ) ) ) de la forme Fact = n. ( ….Fact …) par une Béta-abstraction Fact = ( fac .(n. ( …fac …))) Fact Fact = H Fact (1) avec H = ( fac .(n. ( …fac …))) (1) implique que Fact est un point fixe de H. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Fonctions récursives • Il suffit donc de trouver un point fixe de H. • On démontre que YH = H (YH) , c ’est à dire que YH est un point fixe de H. • Y est appelé le combinateur du point fixe. • Solution Fact = YH. Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Fonctions récursives : Exemple : Calcul de Fact 1 YH 1 = H (YH) 1 ( fac. n. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) YH 1 ( n. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 1 si (= 1 0) 1 (* 1 ( YH ( - 1 1 ))) * 1 ( YH 0 ) * 1 ( H (YH) 0 ) * 1 (fac. n. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) (YH) 0 ) * 1 ( n. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 0 * 1 (si (= 0 0) 1 (* 0 ( YH ( - 0 1 ))) * 1 ( 1) 1 Programmation fonctionnelle Lambda-calcul • Fonctions récursives : Combinateur Y • Y =( h . (x. h ( x x)) (x.h (x x)) ) • Montrons que YH = H (YH) YH = ( h . (x. h ( x x)) (x.h (x x)) ) H YH = (x. H ( x x)) (x.H (x x)) YH = H (x.H (x x) (x.H (x x) YH = H ( YH ) Donc YH point fixe de H.