Lambda-Calcul

Programmation fonctionnelle
Lambda-calcul
A. Introduction
Définition,
Caractéristiques,
Schéma fonctionnel,
Quelques langages fonctionnels
B. Lambda-calcul
Variables et fonctions en mathématiques
La λ -notation,
Fonction à plusieurs arguments
Les systèmes λ-applicatifs,
Grammaire du λ-calcul
Notion de variables libres et liées,
Programmation fonctionnelle
Lambda-calcul
B. Lambda-calcul
Changement de variables
Substitution
Contraction
Réduction
Théorie propre du -calcul
Forme normale
Ordre de réduction
Théorème de Church-Rosser ( première forme )
Théorème de Church-Rosser ( deuxième forme )
Fonctions récursives
Programmation fonctionnelle
Lambda-calcul
Introduction
• Définition :
— Le traitement est décrit par application de fonction.
— Exemple : f[g(x, h(x), f(x-1, g(h(x-1), 2) ]
Caractéristiques :
Facilité d'exprimer et de prouver les programmes.
Basé sur un système formel (Lambda-calcul)
Absence d'affectation
Absence de contrôle explicite ( GOTO, EXIT). les langages
fonctionnels ne sont pas impératifs.
— calcul basé sur les fonctions.
•
—
—
—
—
Programmation fonctionnelle
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Introduction
• Schéma de programme fonctionnel:
Un seul type de contrôle implicite : Si Cond alors inst1 sinon inst2
Fsi.
• Les instructions peuvent être : conditionnelle, appel de fonction.
• Exemple
Fact(n) : Si n = 0 alors 1 sinon mult(n, Fact(n-1)) Fsi
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Introduction
• Exemple de langages fonctionnels:
•
•
•
•
•
LISP ( Processor of Listes, Mac Carthy 1960)
ISWIN ( Landin 66)
FP ( Backus 78)
HOPE (80)
MIRANDA(85)
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Variables et fonctions en mathématiques : Inconvénient de la
notation usuelle
• En mathématiques, la notation usuelle f(x) ne nous permet pas de
distinguer entre la fonction elle-même et la valeur de la fonction
pour une valeur déterminée de la variable.
• Ce défaut apparaît clairement dans les théories qui utilisent les
fonctions de fonctions.
• Par exemple, dans les théories qui utilisent les opérateurs P et Q,
l'application de l'opérateur P à la fonction f(x) est généralement
notée P[f(x)]. Que signifie alors P[f(x+1)] ?
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La λ-notation
• Si nous notons par M l'expression qui contient x qui indique la
valeur de la fonction quand l'argument a la valeur x nous écrivons
λx(M) pour désigner la fonction elle-même. Cette formation est
abstraction fonctionnelle.
• Pour désigner la valeur de la fonction pour la valeur 0 par exemple
nous écrivons λx(M) (0).
• Ainsi, λx(x2) est la fonction carré.
• Autres abréviations : λxM, µx.M
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Fonction à plusieurs arguments
• Pour des fonctions à plusieurs arguments, nous pouvons aussi
définir une abstraction fonctionnelle :
λnx1x2....xn.M
• λy(x+y) : désigne l'opération d'addition de l'argument y à x. ( x est
alors fixe).
c'est f(y) = x+y
• λx(λ
λy(x+y)) c'est f(x,y) = x +y
• λ2xy.x+y ou λx: λy.x+y
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Les systèmes λ-applicatifs
• Un système λ applicatif, défini de manière générales, est un
système dans lequel les seules opérations sont l'abstraction
fonctionnelle et des applications.
• L'application est représentée par une simple juxtaposition. Ainsi
fab signifie f appliqué à a, puis le résultat appliqué à b.
Donc fab est (fa)b.
fabc c'est ((fa)b)c
De cette façon, les valeurs de fonctions à plusieurs variables sont
construites progressivement.
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Grammaire du λ-calcul
• Syntaxe
V = { x, y, ...} ensemble des variables.
C = { a, b, ...} ensemble des constantes.
L --> C / op
L --> V
L --> ( L L ) associativité à gauche(application)
L --> (λ
λV L) associativité à droite(abstraction fonctionnelle)
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Grammaire du λ-calcul
• ( L L L ) c'est ( (L L) L )
• (λ
λxλ
λyL ) c'est (λ
λyL) )
λx (λ
• Exemple :
• (λ
λxx) est obtenu par abstraction : f(x)
• ((λ
λxx)3) est obtenu par application : f(3)
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Notion de variables libres et liées
• Une occurrence d'une variable x dans Y est liée ssi x est à
l'intérieur d'une partie de Y de la forme λx.Z, sinon elle est libre.
• Variables libres
• Soit X, Y dans L et soit x dans V et a dans C.
•
•
•
•
Varlib(a) = {}
Varlib(x) = {x}
Varlib(XY)= Varlib(X) U Varlib(Y)
Varlib(λ
λxX)= Varlib(X) - {x}
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Notion de variables libres et liées
• Variables liées
•
•
•
•
Varlié(a) = {}
Varlié(x) = {}
Varlié(XY)= Varlié(X) U Varlié(Y)
Varlié(λ
λxX)= Varlié(X) U {x}
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Notion de variables libres et liées : Exemple
• X = ( (λ
λx(λ
λy.y) λz.x) )
de la forme X = ( M N)
Varlib(X) =
Varlib(λ
λy.y) - {x}Uvarlib(x)-{z}
Varlib(y)- {y} - {x} U {x} - {z}
{y} - {y} - {x} U {x} - {z}
{} U {x}
{x}
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Notion de variables libres et liées : Exemple
X = ( (λ
λx(λ
λy.y) λz.x) )
de la forme X = ( M N)
Varlié(X) =
Varlié(λ
λy.y) +{x}UVarlié(x)+ {z}
Varlié(y) + {y} + {x} U {} + {z}
{} + {y} + {x} U {} + {z}
{ x, y, z }
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Notion de variables libres et liées
• Nous remarquons que x est liée dans M mais libre dans N. Nous
pourrions écrire indifféremment
X = ( (λ
λt(λ
λy.y)) λz.x))
car on peut toujours changer le nom de la variable liée.
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Changement de variable liée : (Alpha-conversion)
• Un changement de variable liée dans un terme X est le
remplacement d'une partie de X de la forme λy.Z, avec y non liée
dans Z, par λv.[v/y]Z pour tout v qui n'est ni libre ni liée dans Z.
• (Alpha) : Si y n'est pas libre dans M, alors λx.M = λy[y/x]M.
• Congruence :
— X est congruent à Y ssi Y est le résultat d'application d'une série
de changements de variables liées.
— La congruence est une relation d'équivalence.
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Substitution
• Soit N et M dans L et x une variable libre de M.
•
•
•
•
•
•
[N/x]M : substituer N à x dans M.
[N/x]a = a
[N/x]x = N
[N/x]y = y si y # x
[N/x](M1M2) = [N/x]M1 [N/x]M2
[N/x](µxM) = (λ
λxM)
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Substitution
• [N/x]( λyM) =
x#y
y non libre dans N
c'est (λ
λy [N/x] M )
y libre dans N
c'est λz [N/x] ([z/y]M)
• Exemple :
Prenons M = λy.xy et N = y
[t/x] λy.xy = λy.yt (1)
[y/x] λy.xy = λy.yy (confusion)
=[y/x] λz.xz =λ
λz.zt ce qui est équivalent à(1)
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Contraction : Béta-conversion
• Une λ -expression de la forme (λ
λ x.M) N s'appelle un Béta-radical
ou Béta-rédex ou rédex.
avec (λ
λ x.M) une abstraction fonctionnelle et
(λ
λx.M) N une application
• (Beta) : Si x n'est pas liée dans M alors (λ
λx.M) N = [N/x] M
• si λ x.M est une fonction, son application à n'importe quel N doit
être vue comme le résultat de la substitution de x par N dans M
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Contraction : Béta-conversion
• Ici aussi, il y a possibilité de confusion de variables.
Supposons M = λx.xy et N = y.
La substitution de x par N sans tenir compte des variables liées
dans M nous donne λy.yy
Mais si nous transformons M en λz.zy ( par (alpha) ) puis nous
substituons x par y nous obtenons finalement λz.zy
Il s'agit en d'autres termes d'une substitution aux occurrences
libre de x dans M.
Donc, une telle confusion peut apparaître si une variable libre
dans N est liée dans N.
Ainsi, l'objet Béta-rédex a pour contractant [N/x]M qui est une
Béta-contraction.
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Remarques
• Les règles (Alpha) et (Béta) prises ensemble constituent la Betaconversion.
• La règle (Alpha) prise seule constitue la Alpha-conversion.
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Réduction
• X se réduit à Y (=>) ssi Y est le résultat d'une série(éventuellement
vide) de changement de variables liée et de contractions.
=> est réflexive et transitive.
• Exemples :
1. (λ
λ x.xy)F => Fy
2. (λ
λx.y)F => y
3. (λ
λx.(λ
λy.yx)z)v)=> [v/x](( λy.yx)z) == (λ
λy.yv)z => [z/y] (yv] == zv
4. (λ
λx.xxy)( λx.xxy) => (λ
λx.xxy)( λx.xxy)y
=> (λ
λx.xxy)( λx.xxy)yy => ect...
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Théorie propre du λ-calcul
• L'ensemble des énoncés de la forme X >> Y qui sont vrai.
• Règles : Alpha, Béta, Axiome( X >> X)
et les règles de déductions :
1. X >> Y ==> ZX >> ZY
2. X >> Y ==> XZ >> YZ
3. X >> Y ==> λx.X >> λx.Y
4. X >> Y et Y >> Z ==> X >> Z
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Théorie propre du λ-calcul
• Formellement, nous dirons que X >> Y ssi il existe une preuve de
cet énoncé utilisant uniquement les axiomes et les règles ci dessus.
• (Eta) :
Si x n'est pas libre dans M,alors λx.(Mx) = M
Si x n'est pas libre ni dans M ni dans N alors
• (Tau) :
• Mx = Nx ==> M = N
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Forme normale :
• Un objet sera dit être dans une forme normale, d'une certaine µexpression s'il ne contient aucun rédex. [ (λ
λx.M) N ]
• Dans l'exemple 3, zv est la forme normale de (λ
λ x.(λ
λy.yx)z)v)
• Le terme de l'exemple 4 n'a pas de forme normale.
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Ordre de réduction
• Ordre normal : Plus externe, plus à gauche dans le même niveau.
( par nom)
• par valeur : Plus interne, Plus à gauche dans le même niveau
• Il existe d ’autres ordres
• Deux chemins différents de réduction peuvent-ils aboutir à des
formes normales différentes ?
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Théorème de Church-rosser première forme
• Si U=>X et U=>Y, il existe Z tel que X=>Z et Y=>Z.
• Corollaire :
Si U a des formes normales X et Y, alors X est congruent à Y ( On
peut passer de X à Y par des changements de variables )
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Théorème de Church-rosser ( deuxième forme )
• Si E1 ==> E2 et Si E2 forme normale
alors il existe une suite de réduction de E1 à E2 selon l ’ORDRE
NORMAL.
• L ’ordre normal garantit de trouver une forme normale si elle
existe mais ne garantit pas de la trouver par un nombre minimum
de réduction.
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Fonctions récursives
soit Fact = (λ
λ n. si (= n 0) 1 (* n (Fact ( - x 1) ) ) )
de la forme Fact = λn. ( ….Fact …)
par une Béta-abstraction
Fact = (λ
λ fac .(λ
λn. ( …fac …))) Fact
Fact = H Fact (1)
avec H = (λ
λ fac .(λ
λn. ( …fac …)))
(1) implique que Fact est un point fixe de H.
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Fonctions récursives
• Il suffit donc de trouver un point fixe de H.
• On démontre que YH = H (YH) , c ’est à dire que YH est un point
fixe de H.
• Y est appelé le combinateur du point fixe.
• Solution Fact = YH.
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Fonctions récursives : Exemple : Calcul de Fact 1
YH 1 =
H (YH) 1
(λ
λ fac. λn. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) YH 1
( λn. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 1
si (= 1 0) 1 (* 1 ( YH ( - 1 1 )))
* 1 ( YH 0 )
* 1 ( H (YH) 0 )
* 1 (λ
λfac. λn. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) (YH) 0 )
* 1 ( λn. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 0
* 1 (si (= 0 0) 1 (* 0 ( YH ( - 0 1 )))
* 1 ( 1)
1
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Fonctions récursives : Combinateur Y
• Y =( λh . (λ
λx. h ( x x)) (λ
λx.h (x x)) )
• Montrons que YH = H (YH)
YH = ( λh . (λ
λx. h ( x x)) (λ
λx.h (x x)) ) H
YH = (λ
λx. H ( x x)) (λ
λx.H (x x))
YH = H (λ
λx.H (x x) (λ
λx.H (x x)
YH = H ( YH )
Donc YH point fixe de H.