0 S 2

Oscillations libres ou modes propres de la terre
...
0S0 :
« balloon » or
« breathing » :
radial only
(20.5 minutes)
0S2 :
« football » mode
(Fundamental, 53.9
minutes)
0S3 :
(25.7 minutes)
...
...
0S29 :
(4.5 minutes)
Rem: 0S1= translation
Oscillations libres ou modes propres de la Terre
Section Sismique Globale
R2
R4
X
R3
Dans cette section
on a sommé nombreux
sismogrammes
Ondes de volume
P
D’après Shearer, 2000
Sismogrammes typique d'ondes de surfaces multiples
Spectre du sismogramme précédent
Modes du manteau (2-4 mHz)
Qu’est-ce qu’un mode?

u ( x, t )  A e
Bord fixe
i ( t  x / c )
u  ( x, t )   A ei (t  x / c )
c vitesse de l’onde
bord fixe
(ou libre)
les ondes rebondissent sur chaque bord
produisant une interférence entre ces ondes réfléchies.
Seules les ondes qui interférent positivement peuvent se maintenir
Somme
Sélection
x it
u ( x, t )  A sin  e
c
L
c
sin n  0  n  n
c
L
bord fixe!
u n (x)
Mode
Fréquence
période
n=1
c
1  
L
2L
T1 
c
n=2
c
 2  2
L
L
T1 
c
n=3
c
3  3
L
2L
T2 
3c
etc
Oscillations libres d'une sphère fluide homogène
Modes Radiaux

ur(R,)

Il existe un ensemble dénombrable
de fréquences n,,,
Les modes propres d'oscillation
Mode radial dans une sphère fluide
Mode radial 0S0
R/Ro
Pression
déplacement
T = 2Ro/
s
Observation des oscillations libres sur la terre
Standard Instrument Response for the IRIS
network
1
0.01
24 bits
Observation des oscillations libres après le Séisme de Sumatra
dissipation
Le
Oscillation libres
sismogramme
10 jours
Station de
Canberra
en
Australie
et son spectre
de Fourier
How big is really BIG
Oscillations libres 11 jours après le séisme de Sumatra
Mode 0S0
Mode oSo ~ 1200 s
1200s
Période 1200s
1 jour
Séisme de Sumatra du 24 décembre 2004
nSℓ
Spheroidal mode
n nombre radial
n=0 mode fondamental
n>0 harmonique
ℓ nombre azimuthal
Observation du mode 0S2 après le séisme de Sumatra
1 jour
Sismogramme filtré entre 0.8 et 0.4 mHz
10 jours
Splitting du mode 0S2 du à la rotation de la terre
0S2
3180s
Spectre
Spectres des deux grands séismes 24/12/04 et 28/03/05
10 fois plus grand!
KMBO Kenya
Les modes propres
Deux types de modes propres
Toroidales
Déplacement
transversal
0T1
Sphéroidales
u  0
Déplacement
Dans un plan
méridien
0S2
u  0
Harmoniques Sphériques
Chaque mode possède un déplacement de type:
n
u ( R, ,  , t )  yn ( R)
Y ( ,  ) e
m

i n  t
oscillation
F’n radiale
F’n en surface
Une Harmonique
Sphérique d’ordre
(ℓ, m)
Possède ℓ-m
petits cercles nodaux
et m méridiens nodaux
Harmoniques sphériques Ylm ()
l=0
0,0
l=1
l=2
l=3
m=0
m=1
m=2
m=3
m=1
m=2
m=3
Les modes en Mathematica
Mode 0S10
Y100 ( ,  )
Y ( ,  )
2
10
Y ( ,  )
1
10
Spectroscopie de la terre
Modes calculés
(petits cercles)
Toroidal modes
Modes observés
(avant Sumatra)
Spheroidal modes
0S0
0S2
Frequency of torsional modes as a function of angular order computed from the PREM model of
Dziewonski and Anderson and/or estimated from the study of translational motions (13)
Cowsik R PNAS 2007;104:6893-6898
©2007 by National Academy of Sciences
Inversion des périodes des modes propres de la terre
PREM !
OBSERVABLES
On peut traiter les périodes
d’oscillation comme
la masse de la terre ou son
Moment d’inertie
Excitation des modes propres par des séismes
Détermination du tenseur de moments
Pour une source décrite par un moment sismique ponctuel,
de type :
Mo
M o H (t )
m
u  ( R,  ,  , t ) ( m   ( R ) : M o )
1  cos( m  t )
m

2

Où  est dérivé de la fonction propre radiale y
Mw=9
Mw=9.2
Séismes de ces deux dernières semaines
Séismes des deux dernières semaines de octobre 2005
Ces séismes sont localisés et leur mécanisme au foyer est déterminé en
utilisant la méthode spectrale de calcul de sismogrammes synthétiques.
Simulation de sismogrammes synthétiques
par sommation de modes.
Multiple S waves bouncing on the
surface of the earth.
computed
Spherically symmetric
Earth model
observed
Laterally heterogeneous
model
Modélisation des passages multiples d’ondes de Love
Out of phase
observé
Radially
stratified
Synthétique
In phase
D’après Dziewonski et al
Laterally
heterogenous
Approximation asymptotique des modes
Ym ( ,  ) 
2
cos[(   1 / 2)  1 / 4]
 (  1 / 2) sin 
Blue exact and asymptotic approximation to
Y30 ( )
2

2  1
Relation entre modes et ondes de surface
Onde stationnaire
n u ( R,  ,  , t )  yn ( R )
Ym ( ,  ) ei n t
Onde propagative
n
u ( R, ,  , t )  Ampl( )
n
e
u ( R, ,  , t )  Ampl( ) e
 i (  1 / 2 )
i n  ( t  / m c )
Où la vitesse de phase angulaire est :
c  2 /( 2  1) mT
m 
e
i n  t
Equivalence entre oscillations libres et ondes de surface
Longueur d’onde du mode 0Sℓ ou oTℓl

2R
2  1
c
Vitesse de phase:
2R 1
c
2  1 nT 
Section Sismique Globale
R2
R4
X
R3
Dans cette section
on a sommé nombreux
sismogrammes
P
D’après Shearer, 2000
Ondes de surface pour le séisme de Loma Prieta (Octobre 1989)
Surface Waves and earth's structure
A des distances
supérieures à
12° les ondes de
surface dominent
les sismogrammes
c
u
0
z
Surface libre
z=0
i
H
H
z=H
Surface rigide
Solution de l’équation d’ondes
u( x, z, t )  a cos(k z z )ei (t  x / c )
u=0
2
2

k z2  2  2
c

Condition de résonance ou équation de dispersion :
en z = H :
cos k z H  0
donc
H
1

kz H 
cos i    n  

2

Où n est l’ordre du mode
1 sin i( )

c


k z  cos i( )

Notion de dispersion
c()
ncutoff
0cutoff 
H
1

2

 
2H
1



n



2
c( )
2

1
1 
 (n  )
2 H

cn ( ) 

 2 cutoff
1
2
La vitesse de phase est une fonction de la fréquence
Modèle plus réaliste: couche sur un démi espace
Surface libre
 1
i
Discontinuité de vitesse
Solution dans la couche
2 2
c>
u1 ( x, z, t )  A cos( k z z )ei (t  x / c )
Solution dans le demi espace
u2 ( x, z, t )  Be
u continu
sxz continu
k z   1 / c 2  1 / 1
2
c<
 k 2 z z i ( t  x / c )
e
k2 z   1 /  2  1 / c 2
2
Utliser BC afin d’exprimer B en fonction de A et puis calculer la dispersion
Equation de dispersion
 1 / c 2  1 / 12
2
c()
1cutoff  n
2
n=0

2
 tan  H 1 /  2  1 / c 2 
2


1/ 2 1/ c2
2
2 H 1  2 / c2
2
n=1
1

1  c()  2
Le mode fondamental
u( x, z,  )  A y( z ) e
i ( t  x / c ( ))
y(z)
y(z) fontion d’onde du
mode
H
c()
Basse fréquence
z
haute fréquence
Onde non dispersive
c indépendant de la fréquence
u ( x, t )  u  (t  x / c)
Onde dispersive
On calcule le signal au cours du temps et de l’espace en
Intégrant la transformée de Fourier:
1
u ( x, t ) 
2



i [ t  x / c ( )]
~
u ( )e
d
Si c() est fonction de , l’onde se disperse
Vitesse de groupe
u ( x, z, t )  A  y ( z,  ) ei (t  x / c ( )) d
Développement limité de la phase autour de fréquence 0
t   / c( ) x 
0 (t  x / c(0 ))  (t  x / U (0 ))   O( 2 )
u ( x, z, t )  A ei0 (t  x / c (0 ))  y ( z,  ) ei (t  x /U (0 )) d
u( x, z, t )  A e
Vitesse de groupe
i0 ( t  x / c (0 ))

x 

F  t 
 U (0 ) 
1
d   



U ( ) d  c( ) 
Vitesse de groupe et de phase
U()
c()
2
n=0
vit.phase
1
vit.groupe

1  c()  2
Détermination de la vitesse de groupe
t
Signal observé
Vitesse de groupe typiques pour des océans et continents
Love est en général plus rapide que Rayleigh
Les continents sont plus
lents que les océans
Dispersion au Tibet
Determination of group velocity from noise correlation
Shapiro and Campillo
Determination of group velocity from noise correlation
Campillo et al
Détermination de vitesse de groupe entre MLAC et PHL
Les ondes de surface imagent la croûte
Vitesse des ondes de Love
T=40 s
T=70s
T=150s
Vitesse des ondes de Rayleigh
T=40s
T=70s
T=150s
The oceanic lithosphere and asthenosphere of the Pacific