Oscillations libres ou modes propres de la Terre
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Oscillations libres ou modes propres de la Terre Sismogrammes typique d'ondes de surfaces multiples Section Sismique Globale R2 R4 X R3 Dans cette section on a sommé nombreux sismogrammes P D’après Shearer, 2000 Spectre du sismogramme précédent Modes du manteau (2-4 mHz) Qu’est-ce qu’un mode? + u ( x, t ) = A e Bord fixe iω ( t − x / c ) u − ( x , t ) = − A e iω ( t + x / c ) c vitesse de l’onde bord fixe (ou libre) les ondes rebondissent sur chaque bord produisant une interférence entre ces ondes réfléchies. Seules les ondes qui interférent positivement peuvent se maintenir Somme Sélection x iωt u ( x, t ) = A sin ω e c L c sin ωn = 0 ⇒ ωn = nπ c L bord fixe! un (x) Mode Fréquence période n=1 c ω1 = π L 2L T1 = c n=2 c ω2 = 2π L L T1 = c n=3 c ω3 = 3π L 2L T2 = 3c etc Oscillations libres d'une sphère fluide homogène Modes Radiaux ρ ur(R,ω) α Il existe un ensemble dénombrable de fréquences ωn Les modes propres d'oscillation Mode radial dans une sphère fluide Mode radial 0S0 R/Ro Pression déplacement T = 2Ro/α ∼ 1280 s Observation des oscillations libres sur la terre Standard Instrument Response for the IRIS network 1 0.01 24 bits Observation des oscillations libres après le Séisme de Sumatra dissipation Le Oscillation libres sismogramme Station de Canberra 10 jours en Australie et son spectre de Fourier How big is really BIG Oscillations libres 11 jours après le séisme de Sumatra Mode 0S0 Mode oSo ~ 1200 s 1200s Période 1200s 1 jour Séisme de Sumatra du 24 décembre 2004 S Spheroidal mode n l n nombre radial n=0 mode fondamental n>0 harmonique l nombre azimuthal Quelques modes typiques dépendant de l'Azimuth θ T 0 1 S 0 2 Observation du mode 0S2 après le séisme de Sumatra 1 jour Sismogramme filtré entre 0.8 et 0.4 mHz 10 jours Splitting du mode 0S2 du à la rotation de la terre 0S2 3180s Spectre Spectres des deux grands séismes 24/12/04 et 28/03/05 10 fois plus grand! KMBO Kenya Harmoniques sphériques Ylm (θ,φ) Harmoniques sphériques Ylm (θ,φ) l=0 0,0 l=1 l=2 l=3 m=0 m=1 m=2 m=3 m=1 m=2 m=3 Mw=9 Mw=9.2 Spectroscopie de la terre Modes calculés (petits cercles) Toroidal modes Modes observés (avant Sumatra) tal n e am d n o de f o M 0S0 0S2 Spheroidal modes Deux modes peu ordinaires PREM ! Séismes des deux dernières semaines de octobre 2005 Ces séismes sont localisés et leur mécanisme au foyer est déterminé en utilisant la méthode spectrale de calcul de sismogrammes synthétiques. Simulation de sismogrammes synthétiques par sommation de modes. Multiple S waves bouncing on the surface of the earth. computed Spherically symmetric Earth model observed Laterally heterogeneous model Modélisation des passages multiples d’ondes de Love Out of phase observé Radially stratified Synthétique In phase D’après Dziewonski et al Laterally heterogenous Section Sismique Globale R2 R4 X R3 Dans cette section on a sommé nombreux sismogrammes P D’après Shearer, 2000 Ondes de surface pour le séisme de Loma Prieta (Octobre 1989) Surface Waves and earth's structure A des distances supérieures à 12° les ondes de surface dominent les sismogrammes c ∂u =0 ∂z Surface libre z=0 i H H z=H Surface rigide u=0 ω2 2 ω k z2 + 2 = 2 β c Solution de l’équation d’ondes u ( x, z , t ) = a cos(k z z )eiω (t − x / c ) Condition de résonance ou équation de dispersion : en z = H : cos k z H = 0 donc 1 ωH kz H = cos i = π n + 2 β 1 sin i (ω ) = β c kz = Où n est l’ordre du mode ω cos i (ω ) β Notion de dispersion c(ω) ωncutoff ω0cutoff = 1 β = (n + )π 2 H π β 2H ω ωH 1 β 2 − 1 = π n + 2 c(ω ) 2 1 cn (ω ) = β ω 2 cutoff 1− ω2 La vitesse de phase est une fonction de la fréquence Modèle plus réaliste: couche sur un démi espace Surface libre ρ1 β1 i Discontinuité de vitesse Solution dans la couche ρ2 β2 σxz continu c>β1 u1 ( x, z , t ) = A cos(k z z )e Solution dans le demi espace u2 ( x, z , t ) = Be u continu iω ( t − x / c ) k z = ω 1 / c 2 − 1 / β1 2 c<β2 − k 2 z z iω ( t − x / c ) e k2 z = ω 1 / β 2 − 1 / c 2 2 Utliser BC afin d’exprimer B en fonction de A et puis calculer la dispersion Equation de dispersion µ 1 / c 2 − 1 / β12 µ2 c(ω) ω1cutoff = n β2 n=0 π 2 = tan ωH 1 / β 2 − 1 / c 2 2 1/ β2 −1/ c2 β2 2 H 1 − β 2 / c2 2 n=1 β1 ω β1 < c(ω ) < β 2 Le mode fondamental u ( x, z , ω ) = A y ( z ) e iω ( t − x / c (ω )) y(z) y(z) fontion d’onde du mode H c(ω) Basse fréquence z haute fréquence Onde non dispersive c indépendant de la fréquence + u ( x, t ) = u (t − x / c) V c e s s e it te n ta s on Onde dispersive On calcule le signal au cours du temps et de l’espace en Intégrant la transformée de Fourier: 1 u ( x, t ) = 2π ∫ ∞ −∞ iω [ t − x / c (ω )] ~ u (ω )e dω Si c(ω) est fonction de ω, l’onde se disperse Vi te ss e de gr ou p e se a h p e d se s e Vit Vitesse de groupe u ( x, z , t ) = A ∫ y ( z , ω ) eiω (t − x / c (ω )) dω Développement limité de la phase autour de fréquence ω0 ωt − ω / c(ω ) x ≈ ω0 (t − x / c(ω0 )) + (t − x / U (ω0 ))∆ω + O(ω 2 ) u( x, z, t ) = Aeiω0 (t −x / c(ω0 )) ∫ y( z, ω) ei∆ω(t −x /U (ω0 ))d∆ω u ( x, z , t ) = A e Vitesse de groupe iω0 ( t − x / c (ω0 )) x F t − U (ω0 ) d ω 1 = U (ω ) dω c(ω ) Vitesse de groupe et de phase U(ω) c(ω) β2 n=0 vit.phase β1 vit.groupe ω β1 < c(ω) < β2 Détermination de la vitesse de groupe t Signal observé Vitesse de groupe typiques pour des océans et continents Love est en général plus rapide que Rayleigh Les continents sont plus lents que les océans Dispersion au Tibet Determination of group velocity from noise correlation Shapiro and Campillo Determination of group velocity from noise correlation Campillo et al Détermination de vitesse de groupe entre MLAC et PHL Les ondes de surface imagent la croûte Vitesse des ondes de Love T=40 s T=70s T=150s Vitesse des ondes de Rayleigh T=40s T=70s T=150s The oceanic lithosphere and asthenosphere of the Pacific
