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SYSTEMES ISOTHERMES ET A COMPOSITION
CONSTANTE
Phénomènes de transferts
BILANS GLOBAUX DANS LE CAS
DE SYSTEMES ISOTHERMES ET A
COMPOSITION CONSTANTE
SOMMAIRE
PAGES
Introduction
2
Non disponible
1- Conservation de la masse
3
Non disponible
2- Conservation de la quantité de mouvement
6
Non disponible
3- Bilan global d’énergie mécanique
8
Non disponible
4- Calcul des pertes par friction
10
Application 1
Pertes par friction dans des tubes
rectilignes à section circulaire
Applications 2
10
17
Pertes par friction dans les accidents
Application 3
Récapitulatif
20
Pertes par friction pour l’écoulement autour d’objets
23 Non disponible
Nadine LE BOLAY
Une partie de ce document est issue du polycopié de cours de l’ENSIACET :
Phénomènes de transferts par J.P. Couderc, C. Gourdon et A. Liné
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4 – CALCUL DES PERTES PAR FRICTION
10
4- Calcul des
pertes par friction
(tubes)
sommaire
Les pertes par friction peuvent résulter de différents éléments que l’on décompose en
trois catégories :
-les longueurs droites de canalisations,
-tous les éléments qui raccordent ces longueurs droites (coudes, tés, élargissements ou
rétrécissements de section droite, etc...) ou viennent perturber les écoulements (robinets,
débitmètres, thermomètres, etc...) qu'on appelle des accidents de parcours ou des
singularités,
-les équipements spécifiques ou appareils de génie des procédés (réacteurs, filtres,
colonnes, etc...). Le calcul des pertes de charge à l'intérieur des appareils de génie des
procédés impose la mise en œuvre de méthodes spécifiques qui ne seront pas détaillées ici,
mais seront abordées dans les cours dédiés à ces appareils.
Pertes par friction dans des tubes rectilignes à section circulaire
Pour calculer les pertes par friction dans les longueurs droites de canalisations on utilise,
habituellement, la relation :
^ = 2 <v>2 L f
E
v
D
(19)
où L est la longueur du tube, D, son diamètre et f, le facteur de friction de Fanning. Ce
facteur s’écrit selon l’expression dite de Fanning :
Po – P L
f= 1 D
4 L
1
2
r <v>2
(20)
où l’indice o désigne l’entrée dans le tube, l’indice L, la sortie du tube et où la pression
motrice P regroupe les contributions de la pression et de la pesanteur selon la relation :
P =p+rgh
(21)
Remarque : la définition du facteur de friction étant arbitraire, certains auteurs ont choisi de supprimer le
coefficient 1/4. On définit alors le facteur de Blasius par l’expression :
l= D
L
Po – P L
1
2
r <v>2
(22)
11
Cas de fluides newtoniens dans des tubes lisses
Pour des tubes idéaux, dont la surface interne est parfaitement cylindrique, sans aucune
imperfection, et à condition de se placer assez loin des extrémités du tube, l'expérience
permet d'observer que le facteur de friction est uniquement fonction du nombre de
Reynolds.
Lorsque le régime d’écoulement est laminaire (Re < 2100), la relation entre f et Re s’écrit :
f = 16
Re
(23)
Plusieurs expressions ont été proposées pour exprimer f en fonction de Re dans le cas où le
régime d’écoulement est turbulent (Re > 10 000). Parmi elles, on citera la loi de Blasius :
f = 0,0791
Re1/4
(24)
qui est valable pour 104 < Re < 105.
Une formule explicite a également été proposée dans la littérature :
f = (3,6 log Re/7)-2 = (1,56 ln Re/7)-2
(25)
Elle est applicable pour 104 < Re < 107.
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sommaire
12
Applications 2
Applications Retour
2
sommaire
Application 2.1
On fait circuler de l’eau dans un tube de verre de 25 mm de diamètre interne muni de
deux prises de pressions espacées de 1 m. Pour différents débits d’eau variant entre
630 et 6000 L/h, on mesure les différentes valeurs de DP indiquées dans le tableau
ci-dessous.
Tracer l’évolution, en coordonnées logarithmiques, de DP en fonction du débit Q. En
déduire l’exposant de Q dans la relation DP = f(Q). Comparer cet exposant avec la
valeur théorique attendue.
Q (L/h)
DP (mbar)
630 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
1,7
2,8
5,3
8,0
11,6
15,7
20,1
25,2
32,6
37,3
Aide
Application 2.2
De l’eau à 20 °C circule dans un tube de 7,5 cm de diamètre intérieur à un débit de
255 l/mn. Calculer le facteur de friction, f, à l’intérieur du tube.
Aide
Application 2.3
De l’eau à 20 °C circule entre deux réservoirs à un débit de 60 m3/h. Entre les
réservoirs sont placés deux types de tubes lisses, dont les diamètres internes sont
respectivement de 100 et 150 mm. Calculer les facteurs de frictions, f, relatifs à ces
deux tubes.
Aide
13
Aides applications 2
Retour
Application 2.1
sommaire
100
Evolution de DP en fonction du débit
Enoncé
DP (mbar)
10
Q (L/h)
1
100
1000
10000
Les points expérimentaux sont alignés, excepté celui correspondant au débit de 630 L/h.
On détermine la pente de la droite, qui sera aussi l’exposant de Q dans la relation DP =
f(Q). Elle est égale à 1,68.
ATTENTION : Pour déterminer une pente en coordonnées logarithmiques, on calcule
DP doit être exprimé en Pascals et Q en m3/s
Ln(DP2) – Ln(DP1)
LnQ2 – LnQ1
Pour déterminer la valeur théorique de la pente, d’après l’équation (20), on peut écrire
que DP est proportionnel à f.v2, c’est à dire à f.Q2.
En régime laminaire, d’après l’équation (23), f est proportionnel à v-1, c’est à dire à Q-1. DP
est alors proportionnel à Q1.
En régime turbulent, d’après l’équation (24), f est proportionnel à v-1/4, c’est à dire à
Q-1/4. DP est alors proportionnel à Q1,75. La valeur trouvée expérimentalement est proche
de cette valeur.
Remarque : Si on calcule le nombre de Reynolds pour les différents débits, on trouve qu’ils sont supérieurs à
10000 (de 14250 à 84750), sauf celui correspondant au débit de 630 L/h (Re = 9000). Le régime d’écoulement est
donc turbulent pour la majorité des débits, ce qui justifie la valeur de la pente de la droite.
Application 2.2
Enoncé
Pour calculer le facteur de friction, il faut connaître le régime d’écoulement afin de
choisir la relation convenable.
A cet effet, on détermine tout d’abord la vitesse de circulation du fluide (= 0,962 m/s).
On calcule ensuite le nombre de Reynolds (= 72 150).
On est en régime turbulent. On calcule donc f avec la relation (24) (= 4,82.10-3)
14
Application 2.3
Enoncé
Pour calculer le facteur de friction, il faut connaître le régime d’écoulement
afin de choisir la relation convenable.
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sommaire
A cet effet, on détermine tout d’abord la vitesse de circulation du fluide :
-Tube de 100 mm : 2,12 m/s
-Tube de 150 mm : 0,942 m/s
On calcule ensuite le nombre de Reynolds :
-Tube de 100 mm : 212 000
-Tube de 150 mm : 141 300
On est en régime turbulent, mais les valeurs du nombre de Reynolds sont telles
que la relation (24) n’est pas applicable (Re > 105). On calcule donc f avec la
relation (25) :
-Tube de 100 mm : 3,86.10-3
-Tube de 150 mm : 4,18.10-3
15
Influence de la rugosité de paroi
La plupart des tubes industriels ne sont pas parfaitement lisses ; leur surface interne est
affectée par des rugosités de formes et de tailles variables. L'expérience montre que ces
rugosités ne modifient pas de façon sensible les interactions fluide-paroi en régime
laminaire ; par contre elles jouent un rôle important en régime turbulent. En effet, en
régime laminaire, l’épaisseur du film stagnant est en général supérieure à la profondeur des
rugosités de surface ; la canalisation peut alors être considérée comme hydrauliquement
lisse. Par contre, en régime turbulent, l’épaisseur du film stagnant peut être inférieure à la
profondeur des rugosités de surface ; la canalisation est alors hydrauliquement rugueuse.
Beaucoup de relations ont été proposées pour représenter les variations de f dans le cas
de tubes rugueux. Nous recommandons l'équation de Colebrook et White :
= 1,74 – 2 log ( 2 e + 18,7 )
D 2 Re f
2 f
1
(26)
où e est la hauteur moyenne des rugosités de surface. e/D est appelé taux de rugosité ou
rugosité relative.
Cette expression peut être simplifiée :
-pour un tube lisse (e/D = 0)
1
f
= 4 log ( Re f ) – 0,4
(27)
la relation est valable pour une gamme du nombre de Reynolds entre 104 et 107.
-pour un tube fortement rugueux (f est indépendant de Re)
1
f
= 4 log (3,7 D/e )
(28)
-pour une rugosité intermédiaire :
1
f
= - 4 log
e
1,25 +
3,7
D
Re f
(29)
Une autre relation a été proposée pour les tubes lisses :
f = (3,6 log10 Re/7)-2 = (1,56 ln Re/7)-2
(30)
Retour
sommaire
16
La figure 2 présente le diagramme de Moody.
l
e (mm)
e (mm)
Figure 2 : Evolution du facteur de Blasius, l = 4f, en fonction
de Re et de la rugosité relative pour des tubes droits
Retour
sommaire
Pertes par friction dans les accidents
4- Calcul des
pertes par friction
(accidents)
17
Différents accidents de parcours ou singularités peuvent être présents dans un circuit.
Dans beaucoup de cas, on observe que la perte par friction à la traversée d'un accident
de parcours suit une loi du type :
^ = 1 <v>2 e
E
v
v
2
(31)
où <v> est la vitesse moyenne en aval de l'obstacle et ev un coefficient de perte de charge,
sensiblement constant pour une singularité donnée.
Des valeurs de ev sont données dans la littérature pour différents accidents.
Variation de section
-Cas d’un élargissement
Tourbillons
A
B
P1
S1 1
<v1>
Zone
morte
P2
S
2
2
<v2>
Lors d’une modification de section, nous avons vu dans
l’application 1 que la vitesse varie. A la sortie de la section AB,
il se produit un décollement des lignes de courant avec
apparition de zones mortes (où la vitesse est nulle) et de
tourbillons.
(Pour simplifier les équations, on écrira la vitesse v au lieu de
<v>).
Ecrivons les bilans macroscopiques sur l’élargissement :
Bilan matière entre les plans ‘1’ et ‘2’
D’après l’équation (6), on peut écrire :
v1 S1 = v2 S2
(32)
Si on définit b = S1 / S2, on a :
v1
v2
= 1
b
(33)
Bilan de quantité de mouvement
Retour
L’équation (11) écrite selon la direction de l’écoulement devient :
F = r v12 S1 – r v22 S2 + p1 S1 – p2 S2
(34)
sommaire
où F est la force exercée par le fluide sur les parois (force visqueuse sur les surfaces
cylindriques parallèles à la direction de l’écoulement, force de pression sur la surface
proche de ‘1’ et perpendiculaire à l’écoulement et d’aire S2 – S1). La seconde force est
prépondérante par rapport à la première, et s’écrit :
18
F = - p1 (S2 – S1)
(35)
En intégrant l’équation (35) dans l’équation (34), il vient :
- p1 (S2 – S1) = r v12 S1 – r v22 S2 + p1 S1 – p2 S2
(36)
Comme v1 S1 = v2 S2, l’équation (35) peut être transformée en :
- p1 (S2 – S1) = r v1 v2 S2 – r v22 S2 + p1 S1 – p2 S2
(37)
- p1 (S2 – S1) = r v2 S2 (v1 - v2) + p1 S1 – p2 S2
(38)
p2 – p1 = r v2 (v1 - v2)
(39)
p2 – p1 = r v2 (v1 - v2)
(40)
Soit,
D’où
Soit :
Bilan d’énergie mécanique
L’équation (15) appliquée à l’élargissement s’écrit :
1 (v 2 – v 2) + 1 (p – p ) + Ê = 0
2
1
2
1
v
2
r
(41)
Remarques :
g DH = 0 car il n’y a pas de variation de hauteur
^ = 0 car il n’y a pas de puissance échangée avec l’extérieur
W
D’où :
Êv = - 1 (v22 – v12) - 1 (p2 – p1)
2
r
(42)
En incérant l’équation (40) dans l’équation (42), on obtient :
Êv = - 1 (v22 – v12) – v22 ( 1 – 1)
2
b
Soit, comme v1 = v2 / b :
Êv =
1 v 2 ( 1 – 1)2
2 2 b
(43)
Retour
(44)
sommaire
Cette équation est définie en prenant comme référence la vitesse v2, en aval de
l’élargissement.
19
Si on se réfère à la vitesse amont, v1, l’expression de E^v devient :
1 v 2 (1 - b)2
2 1
Êv =
(45)
Dans le cas d’un élargissement infini, b tend vers 0, et donc ev = 1. On a alors :
1 v2
2 1
Êv =
(46)
-Cas d’un rétrécissement
A
P1
S1 1
<v1>
B
P2
2 S2
<v2>
La vitesse en aval est supérieure à la vitesse en amont.
On obtient les expressions de ev dans le cas du
rétrécissement en effectuant des bilans identiques à ceux
présentés pour l’élargissement.
ev défini par rapport à la vitesse amont :
ev = 0,45 1 ( 1 -1)
b’ b’
(47)
avec b ’ = S2 / S1.
ev défini par rapport à la vitesse aval :
ev = 0,45 (1 – b ‘)
(48)
Pour un rétrécissement infini, ev = 0,45
Retour
sommaire
20
Changement de direction (cas des coudes)
-Coude progressif
Pour un tube lisse,
Rc
D
)3,5] a
2 Rc
90
ev = [0,13 + 1,85 (
(49)
où Rc est le rayon de courbure, D, le diamètre du tube et a l’angle du coude en degré.
Pour un tube rugueux,
ev = 0,42 (
D
Rc
)0,5
(50)
-Coude brusque
ev = 1,3 (1 – cos a )
(51)
Vannes
ev varie selon le type de vanne. Il convient de s’informer lors de l’utilisation d’une vanne.
RECAPITULATIF
Si on récapitule les principaux résultats présentés ci-dessus, on obtient l’équation :
^ + S ( 2 <v>2 L f) + S ( 1 <v>2 e ) + S Ê
D 1 <v>2 + g Dh + DP + W
v
v app.GC. = 0
k
i
j
D
2
2
r
Cette équation est valable pour des fluides incompressibles, en régime turbulent.
Retour
sommaire
21
Application 3
Retour
Application 3
sommaire
De l’eau à 20 °C s’écoule à un débit de 60 m3/h dans un circuit tubulaire qui comporte
un élargissement (diamètre de la canalisation amont = 100 mm ; diamètre de la
canalisation aval = 150 mm).
Calculer la variation de pression à la traversée de l’élargissement, ainsi que la perte
par friction induite par la présence de l’obstacle.
Aide
Retour
Aide application 3
sommaire
Enoncé
A
P1
S1 1
<v1>
B
P2
S
2
2
<v2>
Pour que les différentes équations vues dans ce qui
précède puissent être utilisées, il faut vérifier que le
régime est turbulent :
Calcul des vitesses en amont et en aval :
v1 = 2,12 m/s
v2 = 0,943 m/s
Détermination des régimes d’écoulement en calculant les nombres de Reynolds :
Re1 = 212 000
Re2 = 141 000
On est en régime turbulent. Les équations établies peuvent donc être appliquées.
Calcul de la variation de pression :
p2 – p1 = r v22 ( 1 – 1)
b
Avec b = 0,44
D’où p2 – p1 = 1 113,6 Pa
Calcul de Êv :
Êv = 1 v22 ( 1 – 1)2 = 0,697 J/kg
2
b
22