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Intégrale définie
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Il nous faut réfléchir sur la définition d’aire sous la courbe
d’une fonction non négative f posée dans la présentation
n
précédente.
A[a; b] =
lim
(max∆xi) 0
S
f(ci ) ∆xi
i=1
où P = {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b],
ci  [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1
Nous avons testé cette définition à l’aide de fonctions
polynomiales, en considérant toujours une partition régulière.
Nous généraliserons maintenant à toute fonction continue, mais
nous devons d’abord traiter la question de l’existence de la
limite d’une telle somme.
Définition
Fonction intégrable
Fonction intégrable au sens de Riemann
Soit f, une fonction définie
sur [a; b] et :P = {x0, x1, x2, …, xn} une
REMARQUE
partition quelconque de [a; b]. Alors f est dite intégrable au sens de
Si f est nonsur
négative
surla[a;
b], suivante
Riemann (ou simplement intégrable)
[a; b] si
limite
existe :
n l’intégrale définie donne l’aire
sous
lim
f(ci )la∆xcourbe.
i , où ci  [xi–1; xi]
(max∆xi) 0
i=1
Si f est intégrable sur [a; b], alors l’intégrale
définie de f sur [a; b] est
définie par :
n
b
lim
f(ci ) ∆xi , où ci  [xi–1; xi]
f(x) dx =
(max∆xi) 0
a
i=1
S
S
La valeur de a est appelée borne inférieure de l’intégration et b,
borne supérieure de l’intégration.
S
Intégrale définie et indéfinie
Il faut distinguer intégrale définie et intégrale indéfinie.
L’intégrale définie est un nombre réel qui est la limite d’une somme :
a
b
f(x) dx =
n
lim
(max∆xi) 0
S
f(ci ) ∆xi , où ci  [xi–1; xi]
i=1
L’intégrale indéfinie est une famille de fonctions, les primitives de la
fonction f.
f(x) dx = F(x) + k, où F '(x) = f(x)
Dans cette présentation, nous établirons la relation entre l’intégrale
définie et l’intégrale indéfinie grâce au théorème fondamental du
calcul différentiel et intégral.
Quelques théorèmes préalables nous seront utiles.
S
Théorème
Théorème des valeurs extrêmes
des valeurs extrêmes
Soit f, une fonction continue sur [a; b]. Alors :
• il existe au moins un c  [a; b] tel que f(c) soit égale au minimum
absolu de f sur [a; b] et;
• il existe au moins un d  [a; b] tel que f(d) soit égale au maximum
absolu de f sur [a; b].
Le minimum et le maximum
absolus peuvent être atteints aux
frontières de l’intervalle [a; b].
Le minimum et le maximum
absolus peuvent être des
extremums relatifs.
S
Théorème de Fermat
Théorème
de Fermat
Soit f, une fonction telle que :
• f est continue sur [a; b];
REMARQUE :
La fonction n’est pas dérivable
à x = c. Le théorème de Fermat
• f est dérivable sur ]a; b[;
ne maximum
s’applique (ou
pas.de minimum)
• c  ]a; b[, où (c; f(c)) est un point de
relatif ou absolu de f;
alors, f '(c) = 0.
On se souvient de ce théorème on l’utilisait
dans l’analyse des points critiques d’une
fonction pour détecter les extremums
relatifs.
On se souvient également que le théorème
ne permettait pas de détecter tous les
extremums relatifs.
c
S
Théorème
Théorème de Rolle
de Rolle
Soit f, une fonction telle que :
• f est continue sur [a; b];
• f est dérivable sur ]a; b[;
Distinguons deux cas, selon
que la fonction est constante
ou non dans l’intervalle [a; b].
• f(a) = f(b),
alors, il existe au moins un nombre
c  ]a; b[ tel que f '(c) = 0.
REMARQUE
Si
pas: constante
Si la
la fonction
fonction n’est
est constante
sur [a;sur
b]. [a; b].
D’aprèsLelethéorème
théorèmeindique
des valeurs
la fonction possède un
qu’il yextrêmes,
a au moins
Alors,
elle absolu
est de la
f(x) = k,absolu
où k sur
R. [a;
Parb].
conséquent. f '(x) = 0
minimum
et forme
un ]a;
maximum
un point dans
b[ où la tangente
est
pour
toutlax fonction
 ]a; b[ etn’est
f '(c)pas
= 0 constante
quel que soit
c  ]a;
b[.= f(b), elle a un
Puisque
et
que
f(a)
horizontale, mais il peut y en avoir plus
minimum
absolu ou un maximum absolu dans l’intervalle ]a; b[.
d’un.
Soit c  ]a; b[, tel que (c; f(c)) est un point de maximum (ou de
minimum), alors f '(c) = 0 par le théorème de Fermat.
Ce qui démontre le théorème de Rolle.
S
Exemple
Déterminer si la fonction définie par
f(x) = x2 + x satisfait aux conditions du
théorème de Rolle sur [–1; 1]. Calculer la
valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.
La fonction est une polynomiale, elle est
donc continue sur R et, en particulier, sur
[–1; 1].
Elle est dérivable sur R et en particulier
sur ]–1; 1[.
De plus, f(–1) = 3 = f(1).
Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle s’applique. Il
existe au moins un nombre –1 < c < 1 tel que f '(c) = 0.
La dérivée de f est : f '(x) = 2x + 1 et :
2x + 1 = 0 donne x = –1/2
La valeur prédite par le théorème de Rolle est c = –1/2.
S
Exercice
Déterminer si la fonction définie par
f(x) = sin x satisfait aux conditions du
théorème de Rolle sur [0; 2π]. Calculer la
valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.
La fonction est continue sur R, donc sur
[0; 2π].
Elle est dérivable sur R, donc sur ]0; 2π[.
De plus, f(0) = 0 = f(2π).
Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle s’applique. Il
existe au moins un nombre 0 < c < 2π tel que f '(c) = 0.
La dérivée de f est : f '(x) = cos x et :
cos x = 0 à π/2 et à 3π/2
Les valeurs prédites par le théorème de Rolle sont c1 = π/2 et c2 = 3π/2.
S
Exercice
Déterminer si la fonction définie par f(x) = 1/x2 satisfait aux
conditions du théorème de Rolle sur [–2; 2]. Calculer la valeur (ou
les valeurs) de c, le cas échéant.
La fonction n’est pas continue sur [–2; 2].
En effet, elle a une trou à l’infini à x = 0 (limite de la forme c/0).
L’une des conditions n’est pas
satisfaite et le théorème de Rolle ne
s’applique pas. On ne peut rien
prédire.
Le graphique permet cependant de
conclure qu’il n’existe pas de valeur
de c dans [–2; 2] telle que f '(c) = 0
S
Exercice
Déterminer si la fonction définie par f(x) = x2/3 satisfait aux
conditions du théorème de Rolle sur [–8; 8]. Calculer la valeur (ou
les valeurs) de c, le cas échéant.
Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction
est donc continue sur R et, en particulier, sur [–8; 8].
La fonction n’est pas dérivable à x = 0  ]–8; 8[, car :
–1
f '(x) =
et le domaine de f ' est R\{0}.
1/3
3x
L’une des conditions n’est pas
satisfaite et le théorème de
Rolle ne s’applique pas.
S
Théorème de Lagrange
Théorème
de Lagrange (ou de la moyenne)
Soit f, une fonction telle que :
• f est continue sur [a; b];
• f est dérivable sur ]a; b[;
alors, il existe au moins un nombre
c  ]a; b[ tel que :
REMARQUEf :(b) – f (a)
f '(c) =
– a est un cas
Le théorème debRolle
particulier du théorème de
Lagrange.
effet, si
f(a)
Ce
théorèmeEn
affirme
que
si =la f(b),
fonction est continue et dérivable sur
la pente dealors
la sécante
estun
0. point (c; f(c)) où la tangente est parallèle
l’intervalle
il existe
à la sécante passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)).
S
Démonstration du théorème de Lagrange
Notons g,que
la cette
fonction
dontfonction
le graphique
Vérifions
nouvelle
satisfait
est hypothèses
la sécante àdu
lathéorème
courbe dedelaRolle.
fonction f
aux
passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)).
1. H est continue sur [a; b] car la
somme
de
H(x)
f
(b)
–
f
(a)
Ladeux
pente
de cette continues
sécante est
fonctions
est: continue.
b–a
2. H est dérivable sur [a; b] car la somme de
et la fonction g est définie par l’équation
deux fonctions dérivables est dérivable.
de la droite :
(b) –on
f (a)
3. Puisque f(a) = fg(a),
a H(a) = 0. De la
g(x) façon,
= f(a) +H(b) = 0, et H(a)
(x –=a)H(b).
même
b–a
Définissons
la fonction
H dontle l’image
une s’applique.
valeur de On
x dans
Les hypothèses
sont satisfaites,
théorèmepour
de Rolle
peut
l’intervalle
[a;existe
b] estau
la moins
distance
et =celle
conclure qu’il
un verticale
nombre centre
 ]a;lab[courbe
tel quede
H f'(c)
0
de g. On a alors :
f (b) – f (a)
La dérivée de H est : H '(x) = f '(x) –
b –x a[a; b]
H(x) = f(x) – g(x), pour
f (b) – f (a)
L’image
de c est :on obtient
H '(c) := f '(c) –
Par substitution,
=0
b–a
f (b) – f (a)
f (b) – f (a)
H(x)
+ qui complète
(x la
– a)
D’où : f '(c)
démonstration.
= = f(x) – f(a) Ce
b
–
a
b–a
S
Exemple
Déterminer si la fonction définie par
f(x) = 3x – x2 satisfait aux conditions du
théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer
la valeur (ou les valeurs) de c, le cas
échéant.
La fonction est une polynomiale, elle est
donc continue sur R et, en particulier, sur
[1; 4]. Elle est dérivable sur ]1; 4[.
Les conditions sont satisfaites et le
théorème de Lagrange s’applique.
f (4) – f (1)
–4 – 2
La pente de la sécante est :
=
= –2
4–1
4–1
La dérivée de f est f '(x) = 3 – 2x et :
3 – 2x = –2 donne x = 5/2
La valeur prédite par le théorème de Lagrange est c = 5/2.
S
Exercice
Déterminer si la fonction définie par f(x) = (x – 2)2/3 satisfait aux
conditions du théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou
les valeurs) de c, le cas échéant.
Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction f
est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4].
Cependant, la fonction n’est pas dérivable à x = 2  ]1; 4[, car :
–1
f '(x) =
et le domaine de f ' est R\{2}.
1/3
3(x – 2)
Puisque l’une des conditions n’est
pas satisfaite, le théorème de
Lagrange ne s’applique pas.
Il n’y a pas de point (c; f(c)) sur
l’intervalle [1; 4] tel que la tangente
en ce point soit parallèle à la sécante
passant par les points aux
extrémités de l’intervalle [1; 4].
S
Théorème
Théorème fondamental
fondamental du calcul différentiel et intégral
Soit f, une fonction continue sur un intervalle [a; b] et F, l’une de ses
primitives sur [a; b], alors :
b
f(x) dx = F(b) – F(a)
a
Démonstration
Considérons une partition P = {x0, x1, x2, ..., xn–1, xn} de l’intervalle
[a; b], où x0 = a et xn = b. Ces valeurs subdivisent l’intervalle [a; b] en
n sous-intervalles :
[a; x1], [x1; x2], [x2; x3], …, [xi–1; xi], ... , [xn–1; b]
dont les longueurs sont : ∆x1, ∆x2, ∆x3, ...∆xi, ...∆xn
On peut alors exprimer F(b) – F(a) par la somme télescopique :
F(b) – F(a) = [F(x1) – F(a)] + [F(x2) – F(x1)] + ... +[F(b) – F(xn–1)]
S
Démonstration du théorème fondamental
Démonstration
Par hypothèse, F est une primitive de f, on a donc :
F '(x) = f(x) pour tout x dans l’intervalle [a; b]
Considérons le premier sous-intervalle, [a; x1]. Puisque la fonction F
est dérivable sur cet intervalle, par le théorème de Lagrange, il existe
une abscisse c1 dans l’intervalle telle que :
F(x1) – F(a) = F '(c1) (x1 – a)
De la même façon, dans chaque sous-intervalle, [xi–1; xi], on peut
trouver une abscisse ci telle que :
F(xi) – F(xi–1) = F '(ci) (xi – xi–1)
On peut donc écrire la somme télescopique de F(b) – F(a) sous la
forme :
F(b) – F(a) = F '(c1) (x1 – a) + F '(c2) (x2 – x1) ...
+ F '(ci) (xi – xi–1) + ... +F '(cn) (b – xn–1)
S
Démonstration du théorème fondamental
Démonstration
De plus, puisque ∆xi = xi – xi–1 et F '(x) = f(x), on a :
F(b) – F(a) = F '(c1) ∆x1 + F '(c2) ∆x2 ... + F '(ci) ∆xi + ... + F '(cn) ∆xn
= f (c1) ∆x1 + f (c2) ∆x2 ... + f (ci) ∆xi + ... + f (cn) ∆xn
En utilisant le symbole de sommation, on obtient alors la somme de
Riemann suivante :
n
f(ci ) ∆xi
F(b) – F(a) =
i=1
Supposons que le nombre n de sous-intervalles s’accroît à l’infini et
que la largeur du plus grand de ceux-ci tend vers 0. Le membre de
gauche de cette égalité est constant et indépendant de n alors que le
côté droit tend vers l’intégrale définie dans l’intervalle [a; b]. On a
n
donc :
b
lim
f(c
)
∆x
F(b) – F(a) =
i
i =
f(x) dx
(max∆xi) 0
a
i=1
Ce qui complète la démonstration.
S
S
S
Visualisation
du théorème
Considérons les fonctions :
F(x) = 12 + 9x2 – x3
F '(x) = f(x) = 18x – 3x2
sur l’intervalle [0; 6].
Déterminons une partition.
Par le théorème de Lagrange :
4
f(ci ) ∆xi
F(b) – F(a) =
i=1
Et, à la limite :
F(b) – F(a)
S
F(b) – F(a)
= lim
n
(max∆xi) 0
S
f(ci ) ∆xi
i=1
b
=
f(x) dx
a
f(c1 ) ∆x1 b
=
f(x) dx
f(c2a) ∆x2
A1
c1
AA2
A3
c2
c3
f(c3 ) ∆x3
f(c4 ) ∆x4
A4
c4
S
Calcul de l’aire
Procédure
pour calculer l’intégrale indéfinie
1. Vérifier que la procédure s’applique (f est continue sur
l’intervalle).
2. Déterminer les bornes d’intégration lorsqu’elle ne sont pas
précisées.
3. Déterminer une primitive F(x) de l’intégrande f(x).
4. Évaluer la différence F(b) – F(a).
Notation :
b
La différence F(b) – F(a) est généralement notée : F(x)
a
b
b
f(x) dx = F(x)
On écrira donc :
a
a
Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b],
l’intégrale définie donne l’aire sous la courbe sur l’intervalle [a; b].
S
Exemple
Déterminer l’aire sous la courbe de la
fonction définie par :
x+2
f(x) =
2
Dans l’intervalle [1; 4].
La fonction est continue et non négative
dans l’intervalle, on a donc :
4x + 2
4
1
x dx + 2 4 dx
dx =
2 1
2
1
1
1 x2
+ 2x
=
2 2
5
27
8–
=
4
4
4
4
x2
= 4 +x
1
1
16
1
= 4 +4 –
+1
4
27
= 4
On trouve 27/4 unités d’aire.
S
Exercice
Déterminer l’aire sous la courbe de la
fonction définie par :
f(x) = 3x2 + 2x
Dans l’intervalle [2; 4].
La fonction est continue et non négative
dans l’intervalle, on a donc :
4
4
4
(3x2 + 2x) dx =
3x2 dx +
2x dx
2
2
2
4
3
2
= x +x
2
80 – 12 = 68
= (64 + 16) – (8 + 4)
= 68
On trouve 68 unités d’aire.
S
Exemple
Une particule se déplace en ligne droite
durant 6 s et sa vitesse est décrite par :
v(t) = 18t – 3t2 m/s
où t est le temps en secondes.
Calculer la variation de position (déplacement) durant l’intervalle [0; 2].
La variation de position est donnée par
l’aire sous la courbe dans l’intervalle [0; 2].
La fonction est continue et non négative
dans l’intervalle, on a donc :
0
2
(18t – 3t2) dt =
=
9t2 – t3
0
2
18t dt –
0
28 – 0 = 28
2 2
3t dt
2
= (36 – 8) – (0 – 0) = 28
0
Le mobile s’est déplacé de 28 m par
rapport à sa position initiale.
S
Exercice
Une particule se déplace en ligne droite
durant 6 s et sa vitesse est décrite par :
v(t) = 18t – 3t2 m/s
où t est le temps en secondes.
Calculer la variation de position (déplacement) durant l’intervalle [2; 5].
La variation de position est donnée par
l’aire sous la courbe dans l’intervalle [2; 5].
2
5
(18t – 3t2) dt =
2
5
18t dt –
5
=
2
= (225 – 125) – (36 – 8) = 72
2
100 – 28 = 72
5 2
3t dt
9t2 – t3
Le mobile s’est déplacé de 72 m par
rapport à sa position initiale.
S
Exercice
Une particule se déplace en ligne droite
durant 6 s et sa vitesse est décrite par :
v(t) = 18t – 3t2 m/s
où t est le temps en secondes.
Calculer la variation de position (déplacement) durant l’intervalle [0; 6].
La variation de position est donnée par
l’aire sous la courbe dans l’intervalle [0; 6].
0
6
(18t – 3t2) dt =
0
6
18t dt –
6
=
0
= (324 – 216) – (0 – 0) = 108
0
108 – 0 = 108
6 2
3t dt
9t2 – t3
Le mobile s’est déplacé de 108 m par
rapport à sa position initiale.
S
Conclusion
Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (première
partie) donne une procédure générale pour déterminer l’intégrale
définie dans un intervalle [a; b], qui est valide pour toute fonction
continue sur cet intervalle.
Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b], l’intégrale
définie donne l’aire sous la courbe sur l’intervalle [a; b].
Le théorème fondamental nous permet également d’établir une
relation entre l’intégrale définie et l’intégrale indéfinie, puisque :
b
b
f(x) dx = F(x)
, où F(x) est une primitive de f(x).
a
a