Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Intégrale définie

Introduction
Il nous faut réfléchir sur la définition d’aire sous la courbe
d’une fonction non négative fposée dans la présentation
précédente.
Nous avons testé cette définition à l’aide de fonctions
polynomiales, en considérant toujours une partition régulière.
où P= {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b],
S
i= 1
nf(ci ) ∆xi
A[a;b]=lim
(max∆xi)0
ci[xi–1; xi] et ∆xi= xi–xi–1
Nous généraliserons maintenant à toute fonction continue, mais
nous devons d’abord traiter la question de l’existence de la
limite d’une telle somme.

Fonction intégrable
S
-
Définition
Fonction intégrable au sens de Riemann
Soit f,une fonction définie sur [a;b]et P= {x0,x1,x2,…,xn}une
partition quelconque de [a;b]. Alors fest dite intégrable au sens de
Riemann (ou simplement intégrable) sur [a;b]si la limite suivante
existe : S
i= 1
nf(ci ) ∆xi
lim
(max∆xi)0
S
i= 1
nf(ci ) ∆xi
lim
(max∆xi)0
f(x)dx =
a
b
Si fest intégrable sur [a;b], alors l’intégrale définie de fsur [a;b]est
définie par :
,où ci[xi–1;xi]
,où ci[xi–1;xi]
REMARQUE :
Si fest non négative sur [a;b],
l’intégrale définie donne l’aire
sous la courbe.
La valeur de aest appelée borne inférieure de l’intégration et b,
borne supérieure de l’intégration.

Intégrale définie et indéfinie
S
Il faut distinguer intégrale définie et intégrale indéfinie.
S
i= 1
nf(ci ) ∆xi
lim
(max∆xi)0
f(x)dx =
a
b,où ci[xi–1;xi]
L’intégrale définie est un nombre réel qui est la limite d’une somme :
L’intégrale indéfinie est une famille de fonctions, les primitives de la
fonction f.
f(x)dx = F(x) + k, où F '(x) = f(x)
Dans cette présentation, nous établirons la relation entre l’intégrale
définie et l’intégrale indéfinie grâce au théorème fondamental du
calcul différentiel et intégral.
Quelques théorèmes préalables nous seront utiles.

Théorème des valeurs extrêmes
SS
Le minimum et le maximum
absolus peuvent être atteints aux
frontières de l’intervalle [a;b].
Théorème
des valeurs extrêmes
Soit f,une fonction continue sur [a;b]. Alors :
•il existe au moins un c[a;b] tel que f(c) soit égale au minimum
absolu de fsur [a;b]et;
•il existe au moins un d[a;b] tel que f(d) soit égale au maximum
absolu de fsur [a;b].
Le minimum et le maximum
absolus peuvent être des
extremums relatifs.