Stabilité des systèmes linéaires continus

Stabilité des systèmes linéaires continus
Définition 1 : un système est stable, si une faible perturbation l'écarte faiblement de sa position
d'équilibre:
Définition 2 : Un système est stable si, abandonné dans un état quelconque, il atteint son état
d'équilibre en un temps raisonnable. A l'inverse, un système est instable si, abandonné dans un
état quelconque, il s'éloigne de l'équilibre linéairement, exponentiellement ou par oscillations
d'amplitude croissante
Définition 3 : un signal est stable si l’application d’un signal t »’entrée bornée produit un signal
de sortie bornée.
Définition 4 : Un système est asymptotiquement stable, si après une perturbation il revient à sa
position d'équilibre:
Stabilité des systèmes linéaires continus
La stabilité la plus intéressante pour l'automaticien est celle
d'un système en boucle fermée.
On considère la structure générale d’un système asservi :
Go(s)G(s)F(s) Ko
No(s)
Do(s)
L'analyse de stabilité décrite ici s'applique à un système en boucle fermée dont on
connaît la fonction de transfert en boucle ouverte. S'agissant d'un système linéaire,
la fonction de transfert en boucle ouverte peut être écrite sous forme de quotient de
polynômes multiplié par un paramètre Ko variable.
Stabilité des systèmes linéaires continus
• FTBF :
G(s) N f (s)
G f (s)

1Go(s) D f (s)
Réponse libre d'un système d'ordre n = réponse impulsionnelle
m
G f (s)
K s(s zi)
i 1
n
(s p )
i 1
i
n
ci
i 1 (s  pi )

TL inverse
n
y(t)cie pit
i 1
Conclusion
Mathématiquement, on définit la stabilité d'un système par la position de ses pôles:
Est stable un système qui n'admet aucun pôle à partie réelle positive.
Stabilité en fonction de la position des pôles
du système en boucle fermée
Pôles
Lieu des racines
Réponse libre
Propriété
tous réels
négatifs
stabilité
asymptotique
complexes à
partie réelle
négative
stabilité
asymptotique
un seul
pôle nul
stabilité
marginale
une seule
paire
imaginaire
stabilité
marginale
Stabilité en fonction de la position des pôles
du système en boucle fermée
Pôles
Lieu des racines
Réponse libre
Propriété
Au moins un
réel positif
Au moins une
paire
complexe à
partie réelle
positive
pôles nuls
multiples
paires
imaginaires
multiples
instabilité
instabilité
instabilité
instabilité
Étude de la stabilité des systèmes asservis
En général, Les critères qui permettent
d'évaluer la stabilité d'un système asservi
portent soit sur la réponse harmonique en
boucle ouverte Go(s) (critère géométrique),
soit sur le dénominateur de la fonction de
transfert en boucle fermée Df(s) (critère
algébrique).
CRITÈRES ALGÉBRIQUES
1-Critère de Routh
On considère le polynôme dénominateur du système en boucle fermée :
Df(s)=ansn+an-1sn-1+….+ a1s+a0
Tableau de Routh (n lignes et (n+1)/2 colonnes)
n
n-1
n-2
n-3
0
an
an-1
b1
c1
an-2
an-3
b2
c2
an-4
an-5
b3
c3
…..
….
….
….
….
….
b1
an1an2 anan3
an1
b2 
an1an4 anan5
an1
c1 
b1an 3 b2an 1
b1
c2 
b1an 5 b3an 1
b1
CRITÈRES ALGÉBRIQUES
Critère de routh :
 Si tous les termes de la première colonne du tableau de Routh
sont strictement positifs, les pôles sont à partie réelle négative,
le système étudié est stable.
 S'il y a k changements de signe dans la première colonne, k
pôles ont une partie réelle positive, le système étudié est
instable.
 Si tous les termes d'une ligne sont nuls, le système étudié est en
limite de stabilité.
CRITÈRES DE ROUTH
Exemples
Df1(s)= s3+6s2+12s+8
Df2(s)= 2s3+4s2+4s+12
3
1
12
3
2
4
2
6
8
2
4
12
1
64/6
0
1
-4
0
0
8
0
12
Pas de changement de signe
Système stable
2 changements de signe
Système instable
Application au système asservi
C +
-
FTBF 
K
u
G(s)
K(4s1)
5s40.5s34.7s2s(4K 1)K
0.16K2.298
4s1
s(s 0.3s1)(5s1)
y
2
4
3
2
1
0
5
0.5
14.7-40K
160K 298.3K 14.7
14.740K
K
4.7
K
4K-1
K
CRITÈRES ALGÉBRIQUES
Conditions jusqu’à l’ordre 4
Ordre n du système
Première condition
Deuxième condition
1
a0 , a1>0
2
a0 , a1 , a2>0
3
a0 , a1 , a2, a3>0
(a1a2-a0a3)>0
4
a0 , a1 , a2, a3, a4>0
(a3a2-a4a1)>0
a1(a3a2-a1a4)-a0a32>0
CRITÈRES ALGÉBRIQUES
2-Critère de Hurwitz
Construction de la matrice carrée de dimension n : Elle contient les coefficients du
polynôme dès le deuxième, en ordre décroissant disposés dans la diagonale principale.
Dans une colonne, les termes supérieurs au terme de la diagonale contiennent les
coefficients suivants du polynôme en ordre décroissant. Les termes inférieurs à la
diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre croissant.
Le système linéaire d'ordre n est stable si
les n déterminants contenant le premier
terme de la matrice de Hurwitz sont
positifs. Si on calcule explicitement les
déterminants jusqu'à l'ordre 4, on
retrouve les conditions dans le tableau
précédent
Remarque :
On constate que ces deux critères ne donnent qu'une réponse binaire: stable ou instable,
mais ne permettent pas d’apprécier s’il est plus ou moins proche de l’instabilité (pas
d'information sur la qualité ou le degré de la stabilité).
CRITÈRES HURWITZ
Exemples :
Df1(s)= s3+6s2+12s+8
6
1
0
8
12
6
Df2(s)= 2s3+4s2+4s+12
0
0
8
4
2
0
12
4
4
0
0
12
CRITÈRES GEOMETRIQUES
Critère
Critère de Nyquist
Le critère de Nyquist résulte de l’application du théorème de Cauchy à l’analyse de stabilité d’une BO.
Théorème
Le nombre Z de zéros instable du dénominateur de 1+Go(s) de la FTBF d’un processus asservi
est égal au nombre P de pôles instable de la FTBO Go(s) diminué du nombre de tour N du
diagramme de nyquist autour de (-1,0).
Z=P-N
Si P=N : le système en boucle fermée est stable, dans le cas contraire le système est instable
CRITÈRES GEOMETRIQUES
Exemples :

Système stable

Système instable
CRITÈRES GEOMETRIQUES
Critère de Revers
Si le système en BO est à déphasage minimal c’est à dire sans pôles ni zéros à
partie réelle positive. Le système en BF est stable si, en parcourant le lieu de
Nyquist dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point «(–1,0)» à
gauche. Le système est instable si le point (-1,0) reste à droite et juste oscillant si
on est sur le point (-1,0).
CRITÈRES REVERS
Exemple
CRITÈRE de REVERS
Plan de black
(–1,0) est équivalent (–180°,0dB)
Un système linéaire de FTBF Gf(s) est stable si, en parcourant le lieu de Black de sa
réponse harmonique en BO Go(s) dans le sens des pulsations croissantes, on laisse
le point critique (–180°; 0 dB )à droite.
CRITÈRE de REVERS
Exemple
CRITÈRE de REVERS
Plan de Bode
Un système asservi est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en BO
|GO(j w)| coupe l'axe de module unité pour une phase arg(GO(j w)) supérieure à –180°.
Un système asservi est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en BO
coupe l’axe de module unité avec une pente supérieure à –2.
CRITÈRE de REVERS
Exemple
Marge de gain & marge de phase
Marge de gain
La marge de gain permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la
distance « sur l'axe réel » par rapport au point critique –1. L'intersection de la
réponse harmonique avec l'axe réel a lieu pour une pulsation notée wp, car la
phase pour cette pulsation vaut p
Am 
1
Go(jwp ) avec
arg( Go(jwp ))p
M g 20log 10(Am)
Marge de phase
La marge de phase permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la
distance – angulaire – par rapport au point critique –1. L'intersection de la
réponse harmonique avec le cercle unité a lieu pour une pulsation notée w1, car
le module pour cette pulsation vaut 1.avec
M p arg( G(jw1)) avec T(jw1) 1
Marge de gain & marge de phase
1/Am
m
Marge de gain & marge de phase
Mg
M
Marge de gain & marge de phase