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IUT de Toulon
GEII 2ème année
Cours de Mathématiques
Bruno ROSSETTO
tél. 06 08 45 48 54
email: [email protected]
site: http://rossetto.univ-tln.fr
IUT de Toulon
B. Rossetto
1
Cours de Mathématiques
 Sommaire du module MA 31
Analyse de Fourier,
Mathématiques pour le signal discret
Rappel – Transformée de Laplace
Chap.
Chap.
Chap.
Chap.
1
2
3
4
IUT de Toulon
–
–
–
–
Transformation de Fourier
Transformée en z
Suites numériques
Séries numériques, séries entières
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2
Cours de Mathématiques

Module MA 32
Séries de Fourier,
Fonctions à plusieurs variables

Module MC M2 (semestre 4)
Algèbre linéaire et applications

Module MC M3 (semestre 4)
Probabilités et statistiques inférentielles
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3
Transformée de Laplace
 Définition
Un signal V(t) est une fonction réelle de la variable t qui décrit l'évolution
d'une grandeur physique V, en général par rapport au temps t.
En mathématique, un signal est décrit par une application de
dans
,t
V(t).
Pour la transformée de Laplace, on choisit l'origine du temps en sorte que
V(t) = 0,  t < 0.
Définition. Soit un signal V(t) défini et continu  t  0,  .
Sa transformée de Laplace v (p) est définie par
L

v (p) =
L

V(t) ept dt,
où p est un nombre complexe
0
Note. La continuité sur tout l'intervalle  0,  n'est pas requise, le signal peut être continu par morceaux
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4
Transformée de Laplace
 Exemples
Signal
U(t)
1
0
1
p
Echelon unité
U(t)
Exponentielle décroissante
U(t)e-at , a  0
1
p+a
Exponentielle complexe
U(t)eit ,   0
1
p-i
t
Echelon unité
TL
U(t)e-at, a> 0
1
0
t
Exponentielle décroissante
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Note: la TL n’est pas définie pour tout p: la partie réelle de p doit
être plus grande qu’une valeur, l’abscisse de convergence.
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5
Transformée de Laplace
 Propriété de linéarité
Signal
Théorème
Si V (t) a pour TL : v (p)
1
1
et V (t) a pour TL : v (p)
2
2
alors ,  a et  
aV (t) +  V (t) a pour TL :
1
2
av (p) + v (p) .
1
2
TL
Exponentielle
complexe
U(t)eit ,   0
Cosinus
U(t)cos  t 
Sinus
U(t)sin  t 
Exercices. Calculer les TF de
1
p-i
p
p2+2

p2+2
U(t)cos(t) et U(t)sin(t)
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Transformée de Laplace
 Propriété de linéarité
Exercice. Retrouver les expressions des TL suivantes:
Signal temporel
TL
U(t)e
1
p+a  i
pa
p+a 2  2
Exponentielle
complexe
a+i t
,  0
Cosinus
U(t)e at cos  t  , a  0
Sinus
U(t)e at sin  t 
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
2
p+a 
 2
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Transformée de Laplace
 Propriétés
1. Théorème du retard
Si V(t) a pour TL : v(p),
alors V(t - T) a pour TL : e-pT v(p),  T > 0.
1
t
0 T
Impulsion
R(t)
t
0
Rampe
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Exercice. Montrer que la TL de l'impulsion
1 - e-pT
(cf . Fig.) est :
.
p
2. Théorème de dérivation
Si V(t) a pour TL : v(p),
dV(t)
alors
a pour TL : p.v(p).
dt
Exercice. Vérifier que la TL de la
rampe R(t) (cf . Fig.) est :
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1
.
2
p
8
Transformée de Laplace
 Propriétés
3. Théorème inverse de translation
Si V(t) a pour TL : v(p), alors e-at V(t) a pour TL : v(p  a),  a > 0.
Exercice. Retrouver les expressions des TL du tableau page précédente.
4. Théorème inverse de dérivation
Si V(t) a pour TL : v(p), alors - t.V(t) a pour TL :
dv(p)
.
dp
Exercice. Calculer la TL du signal : t.U(t).e-at.
5. Théorème d'affinité - homothétie ou changement d'échelle de temps
1 p
v( ),  k > 0.
k k
Exercice. Calculer la TL du signal : U(t)sin(3t)
Si V(t) a pour TL : v(p), alors V(kt) a pour TL :
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Transformée de Laplace
 Convolution
U(t)
Théorème
Si X(t) a pour TL : x(p)
et Y(t) a pour TL : y(p),
1
U(t-)
0
alors le produit de convolution

 X(t)Y(  t)dt

a pour TL:
x(p).y(p)
0
U(t)
ou, symboliquement :
 a pour TL 
1
U(-t)
0

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Exercice. Montrer de deux manières
différentes que U(t)  U(t) = R(t)
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Transformée de Laplace
 Opérateurs
Opérateurs dans l'espace temps
TL
* (convolution entre signaux)
× (multiplication de leurs TL)
d
(dérivation d'un signal)
dt
×p (multiplication de sa TL par p)
T - périodisation
x
1
1-e-pT
Exercice. Un signal à support temporel borné [O, T] est périodisé
avec une période T. Retrouver l’expression de sa TF (cf. le tableau)
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Transformée de Laplace
 Systèmes linéaires stationnaires
Théorème
Si E(t), qui a pour TL : e(p) est le signal d'entée
E(t)
e(p)
H(t)
h(p)
S
s(p)
H(t), la réponse percussionnelle du SLS et sa TL :
h(p), la fonction de transfert du SLS
alors le signal temporel de sortie est donné par
le produit de convolution et sa TL par un produit :


S() = E(t)H(  t)dt a pour TL s(p)=e(p).h(p)
0
Exercice. Calculer S() pour E(t) = U(t)e-atcos(t) et H(t) = U(t)
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Transformée de Laplace
 Systèmes linéaires stationnaires

E(t)
e(p)
H(t)
h(p)
S=E(t)*H(t)) =
s(p)=e(p).h(p)
 E(t)H(  t)dt
0
Dans l’espace temps
Au niveau des TL
Entrée
E(t)
e(p)
SLS
H(t)
(rép. percussionnelle)
h(p)
(fonction de transfert)
Sortie
S(t)=E(t)*H(t)
s(p)=e(p).h(p)
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Transformée de Laplace
 Déconvolution
1. Décomposition en éléments simples de première espèce
1
(p - a)2(p - b)
=
A
(p - a)2
+
B
C
+
(p - a) (p - b)
Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (p-a)2 (resp. p - b)
et on fait p = a (resp. p = b). On trouve :
 1 
A= 

p  b 
p=a
 1

1
=
C= 
2
ab
(p

a)


p=b
=
1
(b  a)2
Pour calculer B, on multiplie l’équation par (p-a) et on fait tendre p vers
l’infini. On trouve: B = - C. Les originaux des éléments simples peuvent
alors être trouvés directement à partir des tables de TL usuelles.
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Transformée de Laplace
 Déconvolution
2. Décomposition en éléments simples de deuxième espèce
C’est le cas où le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a
pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème
espèce :
2

b
4ac  b2 


2
2
2
ap +bp+c = a  p+  
=
a
P
+
A
,

2
2a

4a



b
avec P = p +
et A =
2a
1
ap2+bp+c
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=

4ac  b2
2a
1
1
1
1
=
a P2+A2
aA2 P2 / A2+ 1
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15
Transformée de Laplace
 Déconvolution
Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire
H(t)= ?
h(p)= ?
E(t)=U(t)
S(t)
On applique un échelon unité à l’entrée d’un système linéaire
stationnaire inconnu. On mesure S(t) en sortie. Déterminer la
réponse percussionnelle et la fonction de transfert du système.
Exercices. Calculer les fonctions du temps qui ont pour TL les
expressions suivantes:
1
p3  3p2  2p
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;
1
p3  1
;
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1
p3  p2  p  1
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Transformée de Laplace
 Calcul opérationnel
Exercice. On définit la distribution de Dirac (t) de la manière suivante:
(t) a pour TL: 1.
(t)
1
0
Résoudre l'équation différentielle:
t
d2 Y
+ 2a0
dY
 2
Y = (t)
0
dt
dt2
(a et 0 sont réels et positifs et ne dépendent pas du temps).
Discuter brièvement la nature de la solution en fonction de a.
Distribution de Dirac
Note
(t)
H(t)= ?
h(p)= ?
La méthode présentée dans cet exercice permet de retrouver
la réponse percussionnelle d'un système linéaire stationnaire
lorsque l'on connait l'équation différentielle à laquelle il obéit.
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Transformée de Laplace
 Réponses
Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire
Réponse: H(t) est la dérivée de S(t)
Exercices. Eléments de réponse:
1
p3  3p2  2p
et
=
1
1
1
;
=
p(p  2)(p  1) p3  1 p  1 p2  p  1
1
p3  p2  p  1
IUT de Toulon

=

1
(p  1)(p  1)2
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