Séries de Fourier - Université de Rennes 1

Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Séries de Fourier
Dans le cadre des fonctions L1
Dimitri Petritis
UFR de mathématiques
Université de Rennes 1 et CNRS (UMR 6625)
Rennes, avril-mai 2009
Rennes, avril-mai 2009 Séries de Fourier

Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
K=Rou C.
Définition
f:R→Kest périodique s’il ∃T∈R+t.q.
∀x∈R:f(x+T) = f(x).
Test une période de f,fest dite T-périodique.
Exemple
x7→ cos x,sin x,cos nx,sin nx,exp(inx),P|k|≤Nckexp(ikx)sont
périodiques.
Notation
Per(T)≡Per(T;K) := {f:R→K:fest T−périodique}.
Rennes, avril-mai 2009 Séries de Fourier

Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Lemme
Toute f ∈Per(T;K)est totalement déterminée par sa restriction à
un intervalle de la forme [x0,x0+T[avec x0arbitraire.
Démonstration : Soit
∀x,k0≡k0(x,x0) := inf{k∈Z:x+kT −x0≥0}.
f∈Per(T)⇒ ∀x:f(x) = f(x+k0T).
Or x0≤x+k0T<x0+T.
Conséquence : Toute f∈Per(T)est définie par sa restriction
[x0,x0+T[, avec x0arbitraire. Donc identifiée à une fonction sur
T=R/TZ.
Rennes, avril-mai 2009 Séries de Fourier

Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Lemme
Soit ˜ f: [0,T[→Karbitraire. On définit f :R→Kpar
f(x) = ˜ f(x+nxT),nx=inf{k∈Z:x+kT ≥0}.
Alors f ∈Per(T).
Démonstration : Par définition de nx: 0 ≤x+nxT<T. Soient
y=x+Tet ny=inf{k∈Z:x+T+kT ≥0}=nx−1.
f(x+T) = f(y)
=˜ f(y+nyT)
=˜ f(x+T+ (nx−1)T)
=˜ f(x+nxT)
=f(x).
Rennes, avril-mai 2009 Séries de Fourier

Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Définition
La fonction fdéfinie par lemme précédent s’appelle prolongement
par périodicité de ˜ f.
Définition
Soit φ:R→K. Fixons T>0 arbitraire. La série
f(x) := X
k∈Z
φ(x+kT )
qui est formellement périodique s’appelle périodisée par
enroulement.
Rennes, avril-mai 2009 Séries de Fourier