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Université de Rennes 1
Licence Sciences Technologie Santé
L2-PCGI
Electromagnétisme
Philippe Rabiller
2005
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
1
Bibliographie
• BERKLEY - Cours de Physique - 2. électricité et magnétisme, E.M. Purcell
(éditions Dunod 1998).
• Champs et ondes électromagnétiques, P.Lorrain et D.R.Corson
(éditions Armand Colin_collection U 1979).
• Comprendre et Appliquer l’électrostatique, J.P. Longchamp
(éditions MASSON 1991)
• Comprendre et Appliquer l’électromagnétisme, J.P. Longchamp
(éditions MASSON 1990)
• Le cours de physique de Feynman: mécanique 1 & 2 (éditions DUNOD 1999)
• ...
•
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Plan du cours
• ch.1 Introduction
• ch.2 Vecteurs et champs
• ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques
• intro au ch. 4: relativité restreinte
• ch.4 Champ Magnétique
• ch.5 Induction électromagnétique
• ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques
• ch.7 Rayonnement électromagnétique
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3
Chapitre 3: Champ et Potentiel électrostatiques
3.1 Additivité de la loi de Coulomb
3.2 Energie électrostatique d’un système de charges
3.3 Champ Electrique
3.4 Potentiel Electrostatique
3.5 Théorème de Gauss / Equation de Lapalce
3.6 Distributions de charges / symétrie
3.7 Dipôle électrique
3.8 Densité d’énergie dans un champ électrique
3.9 Cas des conducteurs parfaits
3.10 Cas des milieux isolants (diélectriques)
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3.1 Additivité de la loi de Coulomb
La force exercée sur une charge q1 par deux autres charges q2 et q3 est la
somme (vectorielle!) des forces exercées respectivement par q2 sur q1 et q3
sur q1:
q3
F31
F1
q1
F21
F1 =
1
r31
q1q2
4peo r21
2
q2
r21
u21 +
1
q1q 3
4peo r31
2
u31
Plus généralement la force exercée sur une charge test q par un ensemble
de charges {Qi} est la somme vectorielle des forces exercées respectivement
par toutes les charges Qi prises individuellement sur la charge test q:
Fq =
i F
Qiq
=
i
1
Q iq
4peo rQiq
2
uQiq
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3.2 Energie électrostatique d’un système de charges
Soit une charge test q. Calculons le travail fourni pour amener cette charge
depuis l’infini jusqu’à une distance r d’une autre charge Q fixe:
Q
dr
u
q
r
FQq
qQ
qQ
dW = F·dr =
u·dr = |dr|
2
2
4peo r
4peo r

r

qQ
Wr = dW = F ·dr =
4peo

r
 r
-1
2
Qq 1
dr =
[
4peo r

r
]
qQ
Wélectrostatique =
4peor
Rapprocher deux charges de même signe coûte de l’énergie, tandis que rapprocher deux
charges de signe opposés fournit de l’énergie.
Si les deux charges restent à une distance fixe l’une de l’autre c’est qu’une autre force
empêche les charges de s’éloigner si q et Q ont même signe, ou de se rapprocher si q et Q
sont de signes opposés. Nous ne cherchons pas à préciser la nature de cette force ce cours.
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3.2 Energie électrostatique d’un système de charges
Q
dr
u
q
r
FQq

u’
q
F’ dr’’
dr’
qQ
qQ
qQ
dW = F’·dr’ =
u’·dr’
=
|dr’|cos(q)
=
|dr’’|
2
2
2
4peo r
4peo r
4peo r
Quand |r ’| passe de  à r, alors r’’ passe également de  à r .
Le travail fourni pour faire passer une charge test q d’une distance  à
une distance r d’une autre charge source Q ne dépend pas du chemin
suivi, mais uniquement de la distance !!!
On parle alors de force centrale
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3.2 Energie électrostatique d’un système de charges
Si on considère à présent un système de trois charges q1, q2 et q3, alors il faut
ajouter à l’énergie électrostatique du système de charge {q1,q2} l’énergie
correspondant au travail amenant la charge q3 en présence des deux autres:
q2
q1q2
W{1,2} =
4peor12
r32
q1
q3
r31
dW3= F3·dr = F13·dr + F23·dr = dW{1,3} + dW{2,3}
W{1,2,3}
q1q2
q1q3
q2q3
=
+
+
4peor12 4peor13
4peor23
Pour un système de N charges:
{qi}, i=1,N
WN

qiqj
1
= 2
i,ji 4peorij
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
qiqj
=
i,j>i 4peorij
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3.2 Energie électrostatique d’un système de charges
exemple: Molécule de formaldéhyde: HCHO
bassin atomique WC
+0.02
H
~120°
1.08Å
H
+1.00
C
-1.04
O
1.31Å
qC = WC n(r) d3r
densité électronique
Nb e- / unité de volume
WHCHO = 2 WHC + WCO + 2 WHO
WHCHO =
(1.610-19)2
4peo
1010
2
0.021.00
WHCHO  -1.08 103 kJ/mol
1.08
-
1.001.04
1.31
- 2
0.021.04
2.07
NEGATIF  COHESION !!!
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3.3 Champ Electrique
Reprenons le cas d’un ensemble de charges {Qi} agissant sur une charge
« test » q à la position r.
1 Q iq
Fq (r) =
i F
Qiq
i
=
4peo rQiq2
uQiq
La force est proportionnelle à la charge test q :
Fq ( r ) = q
Champ Electrique

i 4pe
Qi
1
o
E (r) =
rQiq2
uQiq
i 4pe
= q E( r )
Qi
1
o
rQiq2
uQiq
• Les charges Qi sont la source du champ électrique.
• Le champ électrique est une propriété locale.
Il suffit de connaître le champ électrique en tout point de l’espace pour
savoir quelle est la force agissant sur une charge test en ce point !
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3.3 Champ Electrique
La visualisation du champ électrique nécessite de représenter aux différents
points de l’espace considérés des vecteurs (une direction, un sens et un
module). Ce qui peut très vite devenir surchargé et donc peu explicite ...
+
5
-3
On préfère parfois utiliser une représentation en « lignes de champ » ou
« lignes de force » qui est un faisceau de courbes dont la tangente en tout
point est donnée par la direction du champ électrique.
http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/physic/simulations/champe/lignechamp.html
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3.4 Potentiel Electrique
Différence de potentiel: Nous avons vu que le travail de la force électrique
exercée sur une charge par un ensemble d’autres charges est indépendant du
chemin suivi. Nous pouvons reprendre ce développement en introduisant le
champ électrique et ainsi écrire:
r2
W12 =
r2
r F ·dr = q r E( r ) ·dr
q
1
1
r2
V21 =
-
E( r ) ·dr
r1
V21 est une grandeur scalaire, encore appelée différence de potentiel, qui
représente le travail par unité de charge nécessaire pour amener une
charge positive , dans le champ le E, de la position r1 à la position r2. Dans
le système international elle est mesurée en Volts (V). La dimension du
champ électrique est donc V.m-1.
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3.4 Potentiel Electrique
Fonction potentiel électrostatique: Nous pouvons écrire la différence de
potentiel V21 comme la différence des valeurs prises par une fonction
scalaire V(r) aux positions r1 et r2.
r2
- (V2 - V1)
=
r E( r ) ·dr
1
En différenciant (dérivant) chaque membre de l’équation ci-dessus, nous
pouvons alors écrire (cf. chapitre 2) :
V( r + dr ) = V( r ) + V • dr
Par identification nous voyons donc que le champ électrique (vectoriel)
dérive d’un potentiel (champ scalaire) :
- V( r ) =
E( r )
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3.4 Potentiel Electrique
Surfaces équipotentielles / lignes de champ: puisque le champ électrique
dérive d’un potentiel, c’est à dire que le champ est donné par le gradient
d’une fonction scalaire, alors le champ électrique E( r ) est perpendiculaire à
la surface V ( r )=cste encore appelée surface équipotentielle.
+
5
-3
Le potentiel électrostatique est défini à une constante près! En effet, le
gradient de V( r ) ne change pas si on lui ajoute une constante. En général,
on prend V( r ) = 0 à l’infini (par rapport à toute charge).
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3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
approche intégrale - théorème de Gauss: Le flux du champ électrique à
travers une surface fermée est égal à la charge totale, comprise à l’intérieur
de la surface, divisée par la permittivité du vide eo.
exemple: Prenons une charge ponctuelle q située au centre d’une sphère de
rayon R. En tout point de la surface de la sphère, le champ électrique est
perpendiculaire à la surface (dirigé suivant le rayon). Son module est
constant et vaut q/4peoR2.
Pour calculer le flux , nous utilisons les coordonnées sphériques. Un
élément de surface dS vaut R2sin(q)dqdj. L’élément de flux E·dS ne
dépend donc plus de R et l’intégration sur toute la surface conduit donc à:
=

p
E·dS =
2p
0  0
q
4peo
sin(q)dqdj =
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q
eo
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3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
Comment généraliser au cas d’une distribution de charges ponctuelles ?
dS
w
q2
r
dS = E(R) dS cos(w)
R
q1 ds
ds = E(r)ds
dW = dS cos(w) /R2 = sin(q)dqdj = ds/r2
q
2
q ds
ds
R
dS = E(R) dS cos(w) =
=
= E(r) ds = ds
2
2
2
4peo R r
4peo r
Pour la charge q1, le flux est le même à travers les deux surfaces !!!
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3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
Comment généraliser au cas d’une distribution de charges ponctuelles ?
dS
q2
Pour la charge q2, nous pouvons
faire le même raisonnement à partir
d’une deuxième sphère à l’intérieur
de la surface et centrée sur q2.
q1
Le champ électrique étant additif comme la force de
Coulomb, nous pouvons écrire le flux total  dû aux charges q1 et q2
comme la somme des flux « partiels » individuels 1 et 2 . Ceux là
même se déduisant du flux à travers des sphères centrées sur les charges, on
en déduit donc la généralisation du théorème de Gauss:
=
 E·dS =
q i
eo
=
Qtotal
eo
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3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
approche locale - équation de Poisson: Le théorème de la divergence (cf.
chapitre 2) peut s’appliquer au cas du champ électrique:


 = d =  E • dS
S
Qtotal

3
=  •E d r =
eo
VS
Si le nombre de charges par unité de volume est grand dans le volume
considéré, alors on peut passer à la limite et définir une densité locale de
charge r:
dq ( r )
3r
r( r ) =
Q
=
r(
r
)
d
total
3

dr
L’égalité des intégrales doit être vraie, quelque soit la forme de la surface et
du volume délimité. Ceci implique donc que l’égalité est vérifiée si les
intégrands sont toujours égaux. Ceci donne l’équation de Poisson qui est
une version locale du théorème de Gauss:
Poisson
· E( r ) =
r
eo
= - 2V( r )
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Laplace
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
• Dans la nature, nous n’avons que très rarement affaire à un système de
« quelques » charges ponctuelles, mais plus souvent à des systèmes
contenant un très grand nombre de charges.
• Calculer « analytiquement » la force de Coulomb, le champ électrique ou
le potentiel électrostatique devient chose peu évidente. On préfère alors
utiliser une représentation continue de la charge en introduisant la notion
de densité de charge et utiliser les propriétés de symétrie des systèmes
(invariances) pour simplifier au maximum les calculs.
• Néanmoins, pour essayer de visualiser les choses simplement et limiter
le nombre de paramètres pertinents servant à décrire un système, on
cherche souvent un système équivalent de charges ponctuelles
approchant aux mieux le champ électrique ou le potentiel électrostatique.
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
Densité de charge:
• Appliquons le théorème de Gauss, pour une surface sphérique, à un petit
système borné, à distribution uniforme et sphérique de charge :
• Par symétrie, on montre qu’en tout point à l ’extérieur de la surface, le
champ électrique est radial, c’est à dire que son module est constant quels
que soient les angles polaires q et j.
• Le théorème de Gauss donne 4pr2E(r) = Qtot/eo ou de façon équivalente,
E(r) = Qtot/4pr2eo. Tout se passe donc comme si toutes les charges étaient
concentrées en une seule charge ponctuelle Qtot au centre de la sphère !
• On peut donc considérer tout volume « infinitésimal » d3r contenant une
charge dq, comme une charge ponctuelle centrée à la position r. On appelle
densité de charge volumique r le quotient r = dq/ d3r .
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
Distribution surfacique de charge:
• Soit un système chargé avec une densité volumique de charge r.
Supposons que ce système présente une dimension d’épaisseur faible par
rapport aux deux autres dimensions (plaque, disque, couche sphérique, etc.).
r
d
s
• Alors dans la direction correspondant à l’épaisseur dz=d, on peut
considérer que la densité ne varie pas, de sorte qu’il est suffisant de repérer
un élément de surface dS = dxdy ou rdrdq par ses coordonnées (x,y) ou
(r,q) pour connaître le nombre de charge dans cet élément:
dn = r d3r = r dxdydz = rd dxdy = s dS
• La quantité s s’appelle la densité surfacique de charge:
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
Distribution linéique de charge:
• De même pour un objet dont la section dans deux dimensions est très
petite devant la troisième dimension, on peut se ramener à une distribution
linéique de charge l.
r
l=rA
A
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
Utilisation de la symétrie et du théorème de Gauss pour calculer le
champ électrique.
• Lorsqu’un système possède une certaine symétrie (sphérique, axiale,
cubique, hexagonale, etc.) ses propriétés doivent refléter cette symétrie
(Pierre Curie). Il est alors assez facile de calculer le champ électrique à
l’aide du théorème de Gauss en choisissant une surface « de Gauss »
adaptée à la symétrie.
• Distribution sphérique:
(R) = 4pR2E(R) = 1
eo
 r(r)r2sin(q)dqdjdr
~
Q(R)
E(R) =
eoR2
~
R
Q(R) =  r(r)r2dr
0
Fonction de distribution radiale
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
• Distribution sphérique:
– homogène
R < Ro
R > Ro
r(r) = r =cste si r < Ro:
~
R
Q(R) = r  r2dr = r R3/3
E(R) =
0
~
Q(R) = r 
Ro
0
r
r2dr = r Ro3/3
E(R) =
rR
3eo
rRo
3eo
Ro
R
2
E(R)
~1/R2
Ro
Ro
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
On peut retrouver le même résultat à partir de l’équation locale: ·E=r/eo
En coordonnées sphériques seule la composante radiale de la divergence du
champ électrique (qui a la symétrie sphérique) est non nulle :
2 E(r) +E(r) = r(r)
r
r
eo
R < Ro
r(r)=r
On cherche E(R) de la forme b Ra  b(2+a)Ra-1 = r/eo
Pour que se soit vrai  R il faut a=1 et donc
b
= r/3eo
On retrouve E(R) = rR/3eo
R > Ro
r(r)=0
On doit alors avoir
b(2+a) Ra-1
=0
 a=-2
Comme E(Ro) = rRo/3eo alors b = rRo3/3eo
On retrouve E(R) = rRo3/3R2eo
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
pour le calcul du potentiel, nous utilisons le fait que V aussi doit avoir la
symétrie sphérique: E = -V( r )  E(r) = -V(r)/ r .
 V(R) = - (r/3eo) R2/2 +V(0)
R < Ro
E(R) ~ (r/3eo) R
R > Ro
E(R) ~ (rRo3/3eo) / R2
R 
V() = 0

V(Ro) = rRo2/3eo
 V(R) = (rRo3/3eo) / R + cste’
cste’ = 0
~ -R2
V(0) = rRo2/2eo
~1/R
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
• Distribution sphérique:
r(r) = a r si r < Ro
– linéaire
R < Ro
R > Ro
~
Q(R) = a 
R
~
Ro
r3dr
=a
R4/4
0
Q(R) = a  r3dr = a Ro4/4
a R2
E(R) =
4eo
E(R) =
0
r
aRo
4eo
2
Ro
R
2
E
Ro
Ro
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
• Distribution sphérique:
– couche homogène
r(r) = r si Ro< r < Ro+d
~
R < Ro
E(R) = 0
Q(R) = 0
~
R > Ro+d
Q(R) = r 
Ro+d
~
Ro+u
Ro
Ro < R=Ro+u < Ro+d
r
Q(R) = r 
Ro
r2dr  rdRo2
rd
E(R) 
eo
r2dr  ruRo2
E(R) 
2
Ro
R
ru
eo
E
Ro
Ro
Si d tend vers zéro: saut de champ électrique !!!
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
• Distribution plane:
– plan homogène infini de densité de charge surfacique s
• Tout axe perpendiculaire au plan infini est un axe
de symétrie axiale, donc le champ électrique est
perpendiculaire au plan.
Sl
E
Sa
• Il suffit de prendre une surface adaptée à cette
symétrie, i.e. un cylindre  au plan
• Pour les faces latérales, le flux vaut 2 E(r)Sl.
• Pour la face axiale, le flux est nul (E Sa).
r
• La charge totale vaut sSl
• Le champ électrique vaut donc E(r) = s/2eo
Le champ électrique créé par un plan infini est indépendant de la distance au plan !
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
• Distribution plane:
– disque homogène
• Dans ce cas seul le calcul du champ le long de
l’axe de révolution du disque est aisé.
R
s
dEz =
r
dEz =
q
dEz
z
dE
w
1
4peo
r2
+z2
cos(w)
rdr
sz
dq
4peo (r2 +z2)3/2
sz
Ez =
2eo
Ez =
srdqdr
R
 (r
0
rdr
2
+z2)3/2
s z
1 2eo |z|
1
1 +R2/z2
Ici on a cherché une fonction f=gn et g=ra+c  a=2 et n=-1/2  f’ = n g’ gn-1  r / (r2+c ) 3/2
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
• Distribution plane:
– disque homogène
Ez =
s z
1 2eo |z|
1
1 +R2/z2
R
s
• Lorsque R tend vers l’infini ou z tend vers zéro,
on retrouve le résultat du plan infini obtenu par le
théorème de Gauss: E=s/2eo.
Ez
E
z
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3.6 Distribution de charges / Symétrie
approche intégrale du théorème de Gauss pour le potentiel:
Pour une charge ponctuelle q, la symétrie est sphérique et on peut utiliser le
gradient en coordonnées sphériques pour obtenir: E(r) = -V(r)/ r
Comme pour une charge ponctuelle on a E(r) = q / (4peor2)
On obtient donc pour le potentiel V(r) avec la référence V()=0:
V(r) =
q
4peor
!
ici « r » représente la distance entre le point
où on calcule le potentiel et la charge source
Si on a deux charges q1 et q2, pour calculer le potentiel en ro on utilise le fait
que le champ électrique (comme la force) est une grandeur additive et donc
le potentiel électrostatique est aussi additif :
q1
q2
V( ro) =
+
4peor1o
4peor2o
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32
3.6 Distribution de charges / Symétrie
approche intégrale du théorème de Gauss pour le potentiel:
Pour une distribution quelconque de charge on peut généraliser
l’expression pour aboutir à :
V( r ) =
!
1
4peo

r( r ’)d3r’
| r - r ’|
ici r représente la position où on calcule le potentiel (position
d’une charge test) et r ’ couvre tout l’espace où la densité de
charge (source) est non nulle
On peut donc calculer le potentiel électrostatique par cette formule et
calculer ensuite le champ électrique lorsque c’est préférable d’un point de
vue calcul...
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33
3.7 Dipôle électrique
Lorsque les distributions de charge sont compliquées, on essaie parfois de
trouver un modèle équivalent, simple, constitué de quelques charges à partir
desquelles on pourra établir des raisonnements ou calculs analytiquement.
Parmi les modèles les plus simples, ceux du dipôle et quadrupôle sont les
plus employés (interaction rayonnement/matière, phénomènes de résonance
électrique ou magnétique, etc.).
Repartons de l’expression générale du potentiel électrostatique:
V( r ) =
1
4peo

r( r ’)d3r’
| r - r ’|
et plaçons nous dans le cas d’une distribution quelconque de charge:
r’
| r - r’ | = R
r
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34
3.7 Dipôle électrique
| r - r’ | = R = [ r2 + r'2 - 2 rr' cos(q) ]1/2
r’
q
r
Ce qui nous intéresse en général, c’est le calcul du potentiel LOIN de la
distribution de charge. On peut donc faire un développement limité en
puissances de r’/r puisque dans ce cas r’ << r,R: (1+d)-1/2  1 - 1/2 d + 3/8 d2 + ...

1 1   r' 
r'
 1    - 2 cos(q )
R r   r 
r

2
-1 / 2
1

r
2
2
 r'
 r'   3 cos (q ) - 1 

1  cos(q )    
2
r 
 r

Dans l’expression du potentiel, r (ou rn) est une constante qui peut être sortie de
l’intégrale:

V (r) =
2
1

1
1
3
3
2  3 cos (q ) - 1 
3


rd r '  2  r ' cos(q ) rd r '  3  r ' 

 rd r '    
4peo  r 
r
r
2



1
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35
3.7 Dipôle électrique
On a donc un développement du potentiel électrostatique en puissances de la
distance du point « test » à un point référence de la distribution de charge:
V( r ) =
1
4peo

r( r ’)d3r’
| r - r ’|

1
4peo
Mo
r
+
M1
r2
+
M2
r3
...
Les quantités Mo, M1, M2 , M3 , M4 etc. s’appellent les moments multipolaires
de la distribution de charge : monopôle, dipôle, quadrupôle, octupôle,
hexadecapôle, etc.
Le terme correspondant au monopole correspond à l’expression pour une charge
ponctuelle ou pour une distribution à symétrie sphérique.
Le deuxième terme (dipôle) est équivalent à un système de deux charges
opposées. Il est nul pour toute distribution de charge possédant un centre de
symétrie d’inversion
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36
3.7 Dipôle électrique
Dipôle: intéressons nous plus en détail au moment dipolaire. Le terme r’cos(q)
peut aussi s’écrire comme le produit scalaire du vecteur r’ avec un vecteur normé
parallèle au vecteur r. Le potentiel électrostatique « dipolaire » s’écrit alors:
| r - r’ | = R
r’
q
r

Vdipole( r ) =
1
4πe o r 2
3
(
)
r'
cos
θ
ρd
r'


Vdipole( r ) =

1
3
r

r
'
r
d
r'
3 
4peo r


Soit en introduisant le vecteur dipôle électrique : p =  r ' rd 3 r '
(px = xrd3r’ ;
py = yrd3r’ ;
pz = zrd3r’ )
 

r p
Vdipole( r ) =
4peo r 3
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37
3.7 Dipôle électrique
Plaçons l’origine au « centre de charge » de la distribution (barycentre) et
calculons le potentiel pour un dipôle pointant suivant la direction « z » d’un
système cartésien. Alors en coordonnées polaires cos(q) = z / [r2+z2]1/2.
q
z
V (r, j, z ) =
j r
pz
4peo (r 2  z 2 ) 3 / 2
Le potentiel ne dépend pas de j, car la symétrie est axiale. On en déduit alors les
composantes du champ électrique dont l’intensité décroît en 1/r3:
V
pz 3
2r
1 p sin( q ) cos(q )
=
=
r 4peo 2 (r 2  z 2 )5 / 2 4peo
r3
1 V
Ej = =0
r j
Er = -
V
p 
3z 2
Ez = =

z 4peo  r2  z 2
(
)
5/ 2
(
)

1 p 3cos 2 (q) - 1
=
3
2
2 3/ 2
4
pe
r
r z
o

(
1
)
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38
3.7 Dipôle électrique
Montrons à présent que l’on retrouve le même résultat pour un système de deux
charges ponctuelles opposées Q et -Q séparées d’une distance a.
V( r ) =
r+
q
Q
a/2
-Q
r
r-
1
1
4peo
r+
-
1
r-
En effectuant le même genre de développement
limité au 1er ordre en r+/r et r-/r on obtient:
Qa cos(q)
V( r ) =
Soit en introduisant le vecteur dipôle p = Qa uz :
4peor2
Vp( r ) =
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p·r
4peor3
39
3.7 Dipôle électrique
Force agissant sur un dipôle:
Si un dipôle est plongé dans un champ électrique uniforme, la force s'appliquant
sur une des charge est exactement l’opposé de la force agissant sur la deuxième
charge. Dans ce cas la force totale est nulle et seul un couple peut s’exercer si la
force et le rayon d’application de la force sont non colinéaires ( = r F).
Q
+a/2 uz
-a/2 uz
F-
q
F+
E
 = +a/2 uz
+QE
- = -a/2 uz
-QE
 =  + - = p
E
-Q
|| = |p| |E | sin(q) est minimum quand q = 0  alignement !
p
Energie pour renverser un dipôle: W =
0 dq = 2pE
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40
3.7 Dipôle électrique
Force dans un champ inhomogène:
Si le champ n’est pas homogène, les deux charges ne voient pas le même champ
localement, le bilan des force n’est pas nul et le dipôle peut être mis en
mouvement (antennes, émetteurs) .
F+ = +Q E + dE/2
Q
Chacune des composantes de la force peut être calculée à
l’aide du gradient de champ:
dEx = Ex·dx  auz·Ex = (1/Q) p ·Ex
-Q
Fx = p ·Ex
F- = -Q E - dE/2
Fy = p ·Ey
Fz = p ·Ez
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41
3.8 Densité d’énergie dans un champ électrique
Prenons le cas d’une sphère de rayon R et chargée en surface avec une densité de
charge s. Le théorème de Gauss pour le champ à la surface donne:
4pR2E = Q/eo = 4pR2 s/eo  E = s/eo
Tandis qu’à l ’intérieur de la sphère, le champ est nul puisque la charge est nulle.
Si on considère que la charge de surface est une charge volumique r répartie sur
une fine épaisseur dR telle s=r dR, alors la force moyenne exercée sur un petit
élément de surface est simplement:
dFmoy = 1/2 (dFint + dFext)= 1/2 sdS (0 + s/eo)
(F=qE)
C’est à dire que le force moyenne exercée sur toute la sphère est:
Fmoy = 4p R2  (1/2eo) s2 dS = 2p R2s2 /eo
Cette force tend à dilater la sphère. Si tel était le cas, avec un accroissement de
rayon dR, alors le travail fourni serait:
dW = (2p R2s2/eo) dR
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42
3.8 Densité d’énergie dans un champ électrique
C’est à dire que le fait de maintenir les charges uniformément réparties sur la
fine couche d’épaisseur dR - au seul endroit où le champ électrique est non nul coûte une énergie:
4ps2R2
eo 2 3
dW =
dR = 2 E d r
2eo
Cela revient pour calculer l’énergie potentielle d’une distribution de charge à
attribuer à chaque région, où il règne un champ électrique non nul, une
densité locale d’énergie:
dU(r) =
dW
d3r
eo
eo
= 2 E(r)·E(r) = 2 |V(r) |2
On peut également donner une expression intégrale:
WN


qiqj
1
1
=
= 2
qiVi
2 i,ji 4peorij
i,ji
 1
2
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
r(r) V(r)d3r
43
3.8 Cas des conducteurs parfaits
Champ électrique dans un conducteur parfait: Dans un conducteur supposé
parfait (homogène et isotrope), des charges sont libres de se mouvoir sous
l’action d’un champ extérieur, mais en tout point du milieu conducteur, ces
charges sont compensées - sauf peut-être en surface ainsi qu’à l’échelle
atomique ou sub-atomique - par d’autres charges fixes ou libres elles aussi.
Il s’en suit qu’en tout point du conducteur la densité de charge (moyenne locale)
est nulle et donc le champ électrique est nul aussi. Le potentiel électrostatique
est constant dans le conducteur.
A l’extérieur, le champ électrique n’est pas forcément nul et la surface du
conducteur est une surface équipotentielle pour ce champ électrique (ES). Le
théorème de Gauss indique alors qu’il doit exister une charge de surface:
0 + EndS = sdS/eo  s = En eo
Ei=0
En
ainsi qu’une charge totale: Q =  sdS = eo  En·dS
S
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S
44
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Il faut bien noter ici que la charge de surface s n’est pas la cause du champ
électrique. Le champ est dû à l’ensemble de toutes les charges et la charge à la
surface du conducteur se réajuste de sorte à annuler le champ électrique à
l’intérieur du conducteur.
Le problème consistant à calculer les charges accumulées à la surface de
conducteurs plongés dans un champ électrique (ou soumis à un potentiel donné)
n’est une chose aisée que dans le cas de systèmes à un ou deux conducteurs à
géométrie simple.
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45
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Charge d’une sphère conductrice de rayon R portée à un potentiel Vo:
Le potentiel électrostatique étant constant à l’intérieur de la sphère
conductrice, il suffit de savoir calculer le potentiel au centre. La charge étant
concentrée en surface, un élément de charge volumique rd3r’ vaut
sR2sin(q)dqdj pour r’=R et zéro ailleurs. La charge totale vaut Q=4pR2s.
Le potentiel électrostatique peut être calculé par la formule générale en r=0:
V( r ) =
1
4peo

r( r ’)d3r’
| r - r ’|
 V(r<R) = V(0) = Vo =
sR
eo
=
Q
4peoR
On retrouve naturellement l’expression qu’on aurait obtenu avec le théorème
de Gauss pour le champ électrique à la surface de la sphère puis en intégrant
en coordonnées sphérique pour obtenir le potentiel. La densité de charge
surfacique est constante (symétrie sphérique).
Q = 4peoRVo
s = eoVo/R
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46
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Conducteur plan infini en présence d’une charge ponctuelle:
au voisinage de la charge ponctuelle Q, on
doit avoir des lignes de champ s’approchant
de celles crées par une charge ponctuelle
E = s/eo
Q
proche du plan conducteur (surface équipotentielle)
les lignes de champ doivent être perpendiculaires
au plan et l’amplitude du champ vaut s/eo.
Comment trouver la répartition de charge surfacique donnant le bon champ
électrique en présence de la charge Q .
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47
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Conducteur plan infini en présence d’une charge ponctuelle:
Pour trouver la répartition de charge surfacique adéquate, nous allons
chercher une configuration de charges ponctuelles qui donnerait les mêmes
lignes de champ. Nous calculerons alors la densité de charge s=eoE.
Nous voulons conserver la direction perpendiculaire à la traversée de la
surface conductrice et conserver le sens de lignes de champ. Il suffit pour cela
de placer un charge opposée de façon symétrique au plan (charge image). La
disposition symétrique permet de conserver les directions de ligne de champ
et le signe opposé de conserver le sens des lignes de champ.
-Q
Q
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48
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Conducteur plan infini en présence d’une charge ponctuelle:
Calculons le champ en coordonnées cylindriques. Compte tenu de la symétrie
axiale, le champ ne dépend que du rayon r et de la distance au plan z.
Ez(r) =
r
-2Q
cos(q)
4peo(r2+z2)
-Qz
Ez(r) =
2peo(r2+z2)3/2
z
-Q
Q
s(r) = eoEz(r) =
-Qz
2p (r2+z2)3/2
On peut vérifier que la charge totale de surface ainsi obtenue donne bien par
intégration la charge « image » -Q.





zrdr
-1
s2prdr = -Q
=
-Q
= -Q
2
2
3/2
2
1/2
(1+u )
0
0 (r +z )
0
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49
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Condensateur plan / capacité
Intéressons nous maintenant au cas de deux plaques parallèles séparées par
une distance e très inférieure aux dimensions des plaques. Les plaques sont
portées aux potentiels V1 et V2. Le champ est donc perpendiculaire aux plans
et si l’une des plaques porte une charge +Q,
+Q
l’autre porte forcément une charge -Q (cf.
V1
charge image).
e
V2
-Q
La distance entre plaques étant très inférieure aux
dimensions des plaques, nous pouvons considérer
le système comme deux plans parallèles infinis.
Le champ est donc nul à l’extérieur des plaques et constant et uniforme à
l’intérieur E=s/eo =(V1-V2)/e (seulement aux extrémités des lignes de champ
non uniformes existent à l’intérieur comme à l’extérieur).
Si S est la surface des plaques, la charge Q s’écrit Q = sS = C (V1-V2)
eoS
La quantité C = e
s’appelle la capacité du condensateur.
Elle se mesure en farads. On utilise souvent des unités plus petites (µF, pF).
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50
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Condensateur plan / capacité
L’énergie électrostatique W emmagasinée dans un condensateur est le produit
de la densité d’énergie électrostatique eoE2/2 multipliée par le volume Se. En
introduisant la capacité C et la différence de potentiel V1-V2 = V12 cela
conduit à :
W = 12 C V12 2
remarque: La densité d’énergie électrostatique dW/d3r = eoE2/2 a les mêmes
dimensions qu’une force par unité de surface, c’est à dire d’une pression:
[dW/d3r] = [Fdr/d3r] = [F/ d2r]
La quantité eoE2/2 représente donc la pression électrostatique exercée à la
surface d’un conducteur plongé dans un champ électrique valant E à sa
surface.
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51
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Systèmes à plus de deux conducteurs: coefficients de capacité
Lorsqu’il y a plus de deux conducteurs, on utilise le principe de superposition
(des forces, du champ électrique et du potentiel). Supposons qu’il y ait trois
conducteurs portés respectivement aux potentiels V1, V2 et V3. Alors tour à
tour nous calculons les charges portées par les trois conducteurs lorsque deux
des conducteurs sont portés à un potentiel nul:
si V2 = V3 = 0:
Q1= C11V1
Q2= C21V1
Q3= C31V1
si V3= V1 = 0:
Q1= C12V2
Q2= C22V2
Q3= C32V2
si V1= V2 = 0:
Q1= C13V3
Q2= C23V3
Q3= C33V3
Lorsque les trois potentiels sont non nuls, les charges sont les sommes des
charges précédemment calculées et l’on obtient un système à trois équations:
Q1= C11V1 + C12V2 + C13V3
Q2= C21V1 + C22V2 + C23V3
Q3 = C31V1 + C32V2 + C33V3
Les coefficient Cij sont appelés coefficients de capacité.
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52
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Courants stationnaires: relation entre densité de charge et densité de courant
Des charges libres en mouvement dans un conducteur engendrent des
courants. Supposons qu’un courant I traverse une surface S. Ce courant est le
flux total de charges qui traverse la surface. Il peut donc être écrit comme
l’intégrale du flux d’une densité de courant. Supposons que la surface S soit
fermée. Le courant représente la quantité de charge qui quitte le volume V
délimité pas la surface S. On a donc la double égalité:


j·dS = - 
r·d3r
t V
S
On peut utiliser le théorème de la divergence pour ramener la première
intégrale à une intégrale en volume de la divergence de j.
On peut également inverser l’intégration spatiale et la dérivation par
rapport au temps dans la deuxième intégrale.
Enfin cette équation doit être vraie quelque que soit la surface S et le
volume V. Donc l’équation doit être vraie pour les intégrands eux même
quelque soit la position.
On obtient finalement l’équation de conservation de charge: ·j =
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-r
t
53
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
Dans les milieux isolants, les charges ne sont pas libres de se déplacer
« indéfiniment » lorsqu’elles sont soumises à un champ électrique. Elles sont
liées à des « centres attracteurs » et ne peuvent s’écarter plus d’une certaine
distance de ces attracteurs, entraînant cependant localement la formation de
petits dipôles électriques.
Supposons un matériaux homogène de volume donné où ces dipôles de
moment dipolaire p sont en concentration n. Le moment dipolaire total P ou
Polarisation Electrique de l’échantillon « par unité de volume » vaut:
P = np
d3r’
P
Le potentiel électrostatique créé par unité de
volume est alors donné par :
dV( r ) =
r - r’
V( r )
P·(r - r’)
4peo |r -
r’|3
d3r’
valable « loin » du diélectrique !!!
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54
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
d3r’
On peut transformer cette expression en
introduisant le gradient de la fonction 1/r où
r ( r’) = |r - r’| :
P
dV( r ) =
r - r’
P·’(1/r)
4peo
d3r’
V( r )
Par intégration sur tout le volume de diélectrique on obtient :
V( r ) =
1
4peo

1
P·’ r
d3r’
Expression que l’on peut transformer en tenant compte de l’identité :
 •( fA ) = (f )•A + f •A
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55
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
En posant f= 1/r on obtient :
V( r ) =
1
4peo

P
’· r
d3r’ -
1
4peo

’·P d3r’
r
1
4peo

’·P d3r’
r
intégrale de volume
intégrale de surface
V( r ) =
1
4peo

P·dS
r
-
Or on a déjà vu que le potentiel est de la forme V(r) = (1/ 4peo )  dq/r
Donc si N est le vecteur normal à la surface: P·N représente une densité de
charge surfacique de charges liées, tandis que -’·P représente une densité
de charge volumique.
Si la polarisation est constante dans l’espace, alors seule la densité de charge
surfacique existe. Un diélectrique parallèlépipédique où la polarisation serait
perpendiculaire à deux faces se comporte comme un condensateur plan !
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56
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
La conservation de charge, implique que si la distribution de charge
volumique (de charges liées) est non nulle, il existe un courant de
polarisation associé:
r
 ·P
·jpol = - liée =
jpol =  P
t
t
t
Lorsqu’on applique l’équation de Poisson reliant champ électrique et charge, il
faut prendre la charge totale, c’est à dire la somme des charges libres et liées.
On introduit alors une nouvelle grandeur, appelée Déplacement Electrique que
l’on note D et qui est définie par:
D = eoE + P
·D = rlibres
On peut également dire qu’à l’intérieur d’un diélectrique le champ électrique
est la somme de deux contributions: une contribution associées aux charges
libres D/eo et une contribution associée aux charges liées -P/eo.
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57
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
Sans rentrer dans le détail de l’origine microscopique des dipôles, on peut
traiter la polarisation électrique d’un diélectrique dans le cadre de la Réponse
Linéaire, c’est à dire qu’on écrit que la réponse « Polarisation » est
proportionnelle à l’excitation « champ électrique »:
P = E
D = eo(1+ )E = eoer E = e E
 est la susceptibilité électrique
er est la permittivité électrique relative du milieu
e est la permittivité électrique ou constante diélectrique du matériau
Dans le vide =0 et er =1. La plupart des matériaux ont une permittivité relative
comprise entre 2 et 5. Cependant on peut trouver des matériaux où cette
permittivité relative peut dépasser 105 !
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58
Résumé
diagrammes extraits du livre de P.Lorrain et D.R.Corson
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