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Université de Rennes 1
Licence Sciences Technologie Santé
L2-PCGI
Electromagnétisme
Philippe Rabiller
2005
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
1
Plan du cours
• ch.1 Introduction
• ch.2 Vecteurs et champs
• ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques
• ch.4 Champ Magnétique
• ch.5 Induction électromagnétique
• ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques
• ch.7 Rayonnement électromagnétique
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
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Chapitre 5: Induction électromagnétique
5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
5.2 Champ électrique induit en fonction du potentiel vecteur
5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement
5.4 Inductance mutuelle, self-inductance
5.5 Force exercée sur un circuit
5.6 Energie emmagasinée dans un champ magnétique
5.7 Résumé
5.8 …
5.9 …
5.10 …
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
Reprenons les expressions du champ électrique et du champ magnétique
obtenues dans le cadre de notre exploration rapide du monde de la relativité,
en généralisant au cas où la charge test q n’est pas forcément dans le plan
(x,y) .
γ
1
j
1
1(v/c) 2
g Q[(x-V t) i + yj + zk]
E=
4peo[g2[(x-V t)2 +y2 +z2]3/2
2
q
r
V
q
k
Q
i
Dans le repère où les charges sont mobiles
mo g QV [-zj + yk]
B=
4p [g2[(x-V t)2 +y2 +z2]3/2
Nous allons montrer qu’il existe une relation entre le rotationnel du champ
électrique et la dérivée par rapport au temps du champ magnétique:
 E=-
B
t
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
Pour alléger l’écriture on note [ ] la quantité [g2[(x-V t)2 +y2 +z2]
Calculons en premier lieu le rotationnel de E.
(
E )x =
(
Ez
Ey
y
z
gQ

) = 4pe
(y
o
z
 y )
z [ ]3/2
[ ]3/2
= 0
Ex
Ez ) g Q (  x -V t
 z )
=
z
x
x [ ]3/2
4peo z [ ]3/2
3g Q (x -V t) 2
(g -1) z
=
4peo [ ]5/2
(
E )y =
(
E )z =
(
Ey
Ex ) g Q (  z
 x -V t )
=
x
y
4peo x [ ]3/2 y [ ]3/2
3g Q (x -V t)
(1 - g2) y
=
4peo [ ]5/2
(
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
 E=
3g Q (x -V t) 2
(g -1) [+z j - y k ]
4peo [ ]5/2
Calculons ensuite la dérivée par rapport au temps de B.
B = mog Q V
4p
t
 -z
+
t [ ]3/2 j
 y
t [ ]3/2 k
mog Q V 3g2V (x -V t)
[ -z j + y k ]
=
5/2
4p
[ ]
B = 3g Q (x -V t)
4peo [ ]5/2
t
Or (g2- 1)/ g2 = (V /c)2
γ
1
1(v/c) 2
g2 V 2
[ -z j + y k ]
2
c
 E=-
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B
t
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
Nous pouvons ensuite utiliser le théorème de Stokes pour trouver une
équation intégrale équivalente (circuit fermé):
Force électromotrice d’induction
Loi d’induction de Faraday

E·dl = - 
t

B·dS = - 
t
Dimension d’une tension
mesurée en volts
S’oppose à la variation du
flux du champ magnétique
En l’absence de variation de flux
l’électrostatique sans effet relativiste.
 E·dl = 0
Variation du flux du
champ magnétique
comme stipulé par les lois de
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
De nombreux exemples de montages ont été proposés par Faraday au début
du XIXème mettant en évidence les phénomènes d’induction. En voici un
pédagogique.
• Un circuit électrique formé d’un premier conducteur en « U » sur lequel
un deuxième conducteur rectiligne peut glisser ou rouler est placé dans un
champ magnétique homogène.
• Supposons que le conducteur mobile se déplace à la vitesse u.
• Les électrons de conduction de charge –e vont subir une force de Lorentz
parallèle au conducteur et donc générer un courant I
• Par unité de temps le flux magnétique balayé est égale à  = l u B
t
udt
I
F = -e( u
B
B)
l
u
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
I
udt
F = -e( u
B
B)
l
u
• La loi d’induction de Faraday s’écrit donc:

E·dl = - 
t

B·dS = -  = - l u B
t
• Si le circuit était ouvert (conducteur rectiligne seul), la force exercée
tendrait à écarter les charges positives et négatives vers les extrémités du fil.
Cette séparation créerait un champ électrique qui s’opposerait à la
séparation des charges. C’est précisément la force électromotrice.
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
udt
I
F = -e( u
B
B)
l
u
• Localement on a donc:
F = -e( u
B ) = -e E
• Et de façon intégrale:
-
 =
t
 E·dl =  ( u
B ) ·dl
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5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice
Applications
• Dynamo
Cours de Physique de Berkley, 2. Electricité et Magnétisme E.M.Purcell.
• Le principe inverse est possible aussi  Moteur
• Mesure de champ magnétique (Imagerie médicale, disques durs, etc.
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5.2 Champ électrique induit en fonction du potentiel vecteur
On peut écrire le champ électrique en fonction du potentiel vecteur pour
montrer que le champ électrique ne dérive pas que du seul potentiel
électrostatique.
B
 E=t
A
 E+
t = 0
B =  A
Puisque le rotationnel de l’expression entre parenthèses est nul, cette
expression doit donc être égale à un gradient (gradient d’un potentiel
scalaire, facile à vérifier…). Il s’agit du potentiel électrostatique en présence
de champ magnétique.
E= Champ magnétique
variable
A
- V
t
Accumulation
de charges
Dans les deux cas le champ électrique engendré s’oppose au phénomène qui lui
donne naissance.
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5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement
Soit un système en mouvement, éventuellement déformable, tel qu’un
contour fermé C, repérable dans ce système, passe du contour Ca au temps t
au contour Cb au temps t+dt. Supposons également que le champ magnétique
varie dans l’espace et dans le temps.
Cb(t+dt)
Ca(t)
udt
P
Soit P un point du contour Ca au temps t qui subit un déplacement udt, où u
est la vitesse du point P.
La force électromotrice est toujours donnée par le taux de variation du flux
magnétique à travers le contour C. Il faut donc calculer la différence entre le
flux total du champ magnétique « Bb » à travers Cb au temps t+dt et celui du
champ « Ba » à travers Ca au temps t.
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5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement
La variation du flux à travers la surface s’appuyant sur le contour fermé C
pendant le temps dt est donc donnée par:
dΦ 
dt



Bb(t dt)  dSb 
Sb



Ba(t)  dSa
Sa
dt
Cb(t+dt)
Ca(t)
udt
P
Nous pouvons utiliser le fait que la divergence du champ magnétique à un
instant donné est nulle en tout point de l’espace pour trouver une relation
entre les champs « Ba » et « Bb » au temps « t+dt ». Nous chercherons
ensuite une relation entre le flux du champ « Ba » aux temps « t » et « t+dt ».
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5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement
Calculons le flux sortant du champ magnétique à travers la surface délimitant
le volume V balayé par le contour C entre les temps t et t+dt et écrivons que
le résultat est nul ( La divergence de B est nulle, donc le flux à travers une
surface fermée aussi).
En plus des surfaces s’appuyant sur les contours Ca et Cb, nous devons tenir
compte de la surface latérale, dont un élément infinitésimal dS est donné par
le produit vectoriel du déplacement du contour udt par un déplacement
infinitésimal dl le long du contour Ca.
Cb(t+dt)
Ca(t)



Bb(t dt)  dSb 
Sb

Sa
surface
s’appuyant Cb
udt
dl
P
dS = (dl u )dt
 



Ba(t dt)  dSa   Ba(t dt)  (dl u) dt  0
Ca
surface
s’appuyant Ca
surface latérale, intégration
uniquement suivant dl à u fixée.
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5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement
Par le théorème de Stokes, nous pouvons ramener l’intégrale sur le contour
fermé Ca à une intégrale de surface sur la surface Sa s’appuyant sur Ca.

Ca
 

Ba(t dt)  (dl u) 

Ca

 
[ u  Ba(t dt) ]  dl 



 
  [ u  Ba(tdt) ]  dSa
Sa
Pour trouver la relation entre le flux du champ « Ba » aux temps « t » et
« t+dt », nous écrivons la différentielle du produit scalaire « B.dS »






 

Ba(tdt) dSa  Ba(t) dSa 
Ba dSa dt
+
t
En reportant ces relations dans l’expression du taux de variation du flux
magnétique d/dt à travers le contour C entre les instants t et t+dt on aboutit
finalement à:
 d 
dt

S
   
 (u  B)  dS 

S
 
B  dS 
t
 
 E dl  f.e.m
C
Dans la limite où dt tend vers zéro, il
n’y a plus de différence entre Sa et Sb.
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5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement
On peut à nouveau appliquer le théorème de Stokes pour la circulation du
champ électrique:


  

B
S [  (u  B)  t ]dS 

S
  
( E)  dS
Cette égalité doit être vraie quelque soit le contour et donc la surface
s’appuyant sur ce contour. Les quantités sous les intégrales doivent donc être
égales:

 



  E   B    (u  B)
t
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5.4 Inductance mutuelle, self inductance.
Lorsqu’un circuit électrique C1 parcouru par un courant I1 « voit » un autre
circuit électrique C2, il produit dans ce deuxième circuit un flux magnétique.
Si ce flux magnétique est variable, alors une force électromotrice fem sera
induite dans le deuxième circuit. Et si r est la résistance du circuit C2, un
courant i = fem / r circulera dans C2.
I1
C2
C1
 E·dl = - t  B·dS = - 
t
Calculons le flux 12 produit par le courant I1 dans le circuit C2en passant
par le potentiel vecteur et en utilisant le théorème de Stokes.
12  
S2
 
B1dS2 

  
(  A1)dS2 
S2

C2
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 
A1dl2
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5.4 Inductance mutuelle, self inductance.
Introduisons maintenant la définition du potentiel vecteur.
I1
C2
r
C1
dl1
dl2
12 

C2
 


 μo
dl1 dl2
I1dl1   dl2  μoI1



C1 r
4
p
4p C1C2 r


12  M12 I1
 
dl1 dl2
μo
Inductance mutuelle

4p C1C2 r
Fromule de Neumann
Ce que l’on peut mettre sous la forme :
M12
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5.4 Inductance mutuelle, self inductance.
Le produit scalaire étant commutatif, l’inductance mutuelle est indépendante
du choix de la numérotation des deux circuits et M12 = M21.
La force électromotrice fem2 induite dans le circuit C2 par le courant I1
s’écrit alors:
 
fem2   Edl 2   dΦ12   M 12 dI1
2
dt
dt
De même la force électromotrice fem1 induite dans le circuit C1 par un
courant I2 s’écrirait:
 
fem1   Edl1   dΦ21   M 21 dI2
1
dt
dt
Il s’agit là du principe de fonctionnement des transformateurs électriques
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5.4 Inductance mutuelle, self inductance.
Lorsque le circuit CC2 est le circuit C1 lui même, il est traversé par son
propre flux.
I
C

La force électromotrice induite, qui s’oppose à la variation de courant,
s’ajoute aux « tensions » présentes dans le circuit.
 
fem   E dl   dΦ   L dI
dt
dt
La quantité L  M11 s’appelle la self-inductance. Elle se mesure, comme
l’inductance mutuelle, en « Henry » dans le système international. Une
variation de 1 ampère en 1 seconde induit une force électromotrice de 1 volt dans
un circuit dont la self-inductance est de 1 Henry.
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5.4 Inductance mutuelle, self inductance.
Exemple du long solénoïde.
N spires
R
l
A l’intérieur du solénoïde, le champ magnétique est quasiment constant et
dirigé suivant l’axe du solénoïde. Le flux pour une spire est donné par:
  Bz π R2 
mo π R2NI
l
Varie ~ N
Pour N spires le flux total à travers le solénoïde est N et la self inductance:
L
mo π R2N2
l
Varie ~ N2
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5.4 Inductance mutuelle, self inductance.
Exemple du long solénoïde.
N spires
R
l
Si on place à l’intérieur du solénoïde, un deuxième solénoïde de N’ spires, de
diamètre voisin du premier et de longueur l’< l,
le flux par spire dans le deuxième solénoïde est le même,
et le flux total N’.
D’où on déduit l’inductance mutuelle:
M
mo π R2NN'
l
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5.5 Force exercée sur un circuit.
Revenons au calcul de la force exercée sur un élément de circuit électrique
plongé dans un champ magnétique pour faire apparaître une relation entre
travail et variation de flux magnétique.
dS
B
I
Idl
F
 

F  I dl  B
dl
dr
Si aucune autre force ne compense la force de Lorentz, l’élément de circuit
se déplace sous l’action de la force. Pour un déplacement élémentaire, le
travail de la force s’écrit:
Invariance par permutation circulaire
 
 
 
 


d W  F dr  ( I dl  B )  dr  I ( dr  dl )  B  I dS  B
2
Le travail élémentaire dépend de deux variables
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Aire balayée
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5.5 Force exercée sur un circuit.
Le produit B·dS n’est autre que le flux élémentaire à travers la surface
balayée élémentaire. On parle de flux coupé.
 
d W  I dS  B  I d
2
La puissance absorbée (travail par unité de temps) peut se mettre sous une
forme qui vous est familière « P = U·I ».
d2W
P
 I dΦ   I f.e.m
dt
dt
Pour un circuit RIGIDE qui effectue un déplacement macroscopique donné,
on peut relier le travail fourni à la variation de flux à travers le circuit avant
(S1) et après (S2) le déplacement (et non plus au flux au travers la surface
balayée Sb).
S1
Sb
S2
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5.5 Force exercée sur un circuit.
S1
Sb
S2
Si on applique la règle du trièdre direct pour le produit vectoriel dr  dl , la
surface balayée Sb est dirigée vers l’intérieur. Les surfaces s’appuyant sur le
circuit initial S1 et final S2 sont orientées dans le même sens (règle du tirebouchon), donc vers l’intérieur pour S1 et vers l’extérieur pour S2.
Puisque la divergence du champ magnétique est nulle en tout point, le flux à
travers une surface fermée est nul également. Donc le flux coupé (à travers la
surface balayée) b peut s’écrire en fonction des flux initial et final à travers
le circuit:
b = 2 - 1
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5.5 Force exercée sur un circuit.
Lorsque le circuit « démarre », le flux coupé est nul. Le travail total au cours
du déplacement est donc:
W = I( b - 0 ) = I (2 - 1 )
W = I circuit
Si le circuit se déplace, c’est que le travail « moteur » est positif, donc
circuit > 0. Si au cours du déplacement le flux est maximal, ensuite tout
circuit consécutif serait négatif et donc tout déplacement spontané
impossible.
Règle: Un circuit électrique indéformable est en équilibre stable
dans un champ magnétique constant lorsque le flux magnétique
qui le traverse est maximal.
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5.5 Force exercée sur un circuit.
On peut alors trouver une nouvelle manière de calculer la force ou le couple
qui s’exerce sur un circuit indéformable:
• Pour la force: dW = F.dr = Id

F = I 
• Pour le couple: dW = F.dr = F·(d  r ) = d ·( r  F ) = · d = Id

 = I 
ie. x = I d/d si rotation // Ox
On peut également retrouver le moment magnétique d’une spire:
N  B
 = BS cos()  d = - BS sin() d
x = I d/d = -IS B sin()

x
 = -M  B
où M = I S
Moment dipolaire
magnétique de la spire
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5.5 Energie emmagasinée dans un champ magnétique .
Pour calculer l’énergie emmagasinée dans un champ magnétique, repartons
de la définition de la puissance électrique P=UI.
Supposons un petit élément de circuit de section dS et de longueur dl,
parcouru par un courant électrique I.
I= j ·dS
U= E ·dl
 
UI
La puissance dissipée par unité de volume est donnée par: dP  3  j  E
dr
Or nous avons vu que le champ électrique est donné de manière très générale
par:
A
E= - V
t
D’autre part, le théorème d’Ampère donne pour la densité de courant:
  B = mo j
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5.5 Energie emmagasinée dans un champ magnétique .
Il y a donc une partie de la puissance dissipée liée au champ magnétique:

 
dPm   1 (   B )  A
t
mo
Expression que l’on peut transformer à l’aide d’une identité mathématique:
 


 
dPm  1 (   A )  B  1   ( B  A )
t
t
mo
mo
On peut ensuite intégrer sur tout le volume et utiliser le théorème de la
divergence pour transformer l’intégrale du deuxième membre de droite en
une intégrale de surface:
 

Pm  1  (   A )  B d3r
t
mo V


 1  ( B  A )  dS
t
mo S
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5.5 Energie emmagasinée dans un champ magnétique .
Le champ magnétique varie en 1/r3, le potentiel vecteur en 1/r2 et la surface
en r2. On a donc la primitive d’une fonction en 1/r3 à calculer pour r   .
L’intégrale est donc nulle et il ne reste que :
 

Pm  1  (   A )  B d3r
t
mo V
Que l’on peut transformer en:
  

1
Pm 
(   A )  B d3r  1

mo V t
mo
 
V Bt  B d3r
Pm  W  1   B2 d3r
t
2mo t V
On en déduit donc l’énergie par unité de volume liée au champ magnétique:
dWm  1 B2
d3r
2mo
Expression à rapprocher de
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dWe  1 eo E2
d3r
2
31
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester2/c17_faraday_example.html
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