Magnétostatique 1

ELECTROMAGNETISME
B - MAGNETOSTATIQUE
Ne pas confondre avec
1
B-I Éléments de courant
Représentation d’un
circuit filiforme
B-I.1 Circuits électriques élémentaires
Nous ne traiterons pas ici du transport du courant électrique (Cours de L2).
Nous sommes pour l’instant concernés par des courants électriques
constants dans le temps, on dit aussi continus, circulant dans des fils
métalliques de sections très petites par rapport à leurs longueurs. On les
appelle des circuits filiformes.
C
I
M
S
De tels circuits sont bien pratiques car ils représentent des domaines
mathématiques à une dimension. Il est possible de se localiser le long de la
boucle C grâce à un seul paramètre et également d’appuyer sur ces circuits
une surface S comme une bulle de savon sur un anneau.
C
Représentation d’un
circuit filiforme
I
Seuls les circuits fermés sur eux-mêmes ont un sens physique. Les
courants forment des boucles fermées.
M
Afin de traiter des circuits de formes quelconques il est commode de
décomposer un circuit filiforme en éléments vectoriels infinitésimaux
orientés dans le sens du courant. I
Un tel élément, qui ne peut être isolé de l’ensemble du circuit que par la
pensée, placé en un point M du circuit, est le pendant élémentaire en
magnétostatique de la charge ponctuelle de l’électrostatique.
q
M
Électrostatique
C
Magnétostatique
M
I
I
2
Justification de l’articulation du cours
En Électrostatique, après la présentation des propriétés des charges électriques, nous avons directement
exposé la loi de force entre ces charges : la loi de Coulomb.
La difficulté mathématique de la loi de force existant entre deux circuits nous incite à présenter les
différentes grandeurs physiques de la Magnétostatique dans un ordre quelque peu inverse en commençant par
le champ magnétique et seulement après la loi de force entre les circuits.
Remarque sur les dessins des circuits
Sauf cas très spécifique, supraconductivité, un générateur électrique est nécessaire au maintien d’un courant
constant dans un circuit. Pour des raisons de simplification nous sacrifions à la coutume de ne pas
représenter ces générateurs. Ils seront représentés lorsqu’il faudra tenir compte de l’énergie qu’ils vont
échanger avec le circuit.
Remarque sur la mathématisation du cours
Dans ce cours il est fait appel à de nombreux résultats mathématiques non encore connus et prouvés à des
étudiants du premier cycle universitaire. Ils sont indispensables pour établir certaines propriétés des
grandeurs physiques concernées par ce cours. Ils doivent être acceptés ici comme des ouvre-boîtes donnant
accès à des lois physiques présentant le plus souvent un caractère fondamental.
3
B-II Champ magnétique

BC , I  M
Circuit filiforme
B-II.1 Définition
C
Par définition le champ magnétique créé par le
circuit filiforme (C , I) au point M de l’espace est
donné par

o I 
BC,IM 

4 C 

r
 x 3 
r 
I
M’
I
M

r  M' M
C’est une grandeur bien décrite par un vecteur,
bien que ce « vecteur » ait des propriétés spéciales.
Propriétés du champ magnétique
La formule ci-dessus est la formule de Biot et Savart
Biot
Savart
Elle n’est qu’un moyen commode de calculer des champs plus compliqués par intégration d’éléments
différentiels.
Le champ magnétique a des propriétés d’un vecteur dit axial.






Pour un vecteur classique A  A x i  A y j  A z k l’inversion des axes du repère change A   A
  
Par contre pour un vecteur tel que C  A x B l’inversion des axes du repère ne change pas le vecteur.
Un tel vecteur est dit axial. Le champ magnétique est de ce type.
L’unité du champ magnétique est le Tesla. (sous-unité le Gauss = 10-4 T)
4
B-II.2 Flux du champ magnétique
Soit un circuit C parcouru par un courant I créant

un champ magnétique B dont on cherche à calculer
le flux à travers une surface S, ici fermée.
Par définition
Circuit filiforme

B S  S B.dS
C
I
M’
L’unité de flux est le Weber.

Montrons que le flux de B à travers la surface
fermée est nul. C’est une propriété fondamentale
du champ magnétique.
 
B M
S
2

r  M' M
I


Transformons l’expression du flux à l’aide de la formule d’Ostrogradski B S  S B.dS  divB d
Nous avons d’autre part


o I 
r
B(M) 


x

4 C 
r 3 



o I
r


div M B(M) 
div M C   x 3 
Calculons la divergence de B au point M
4
r 


Les dérivées de la divergence portent sur l’extrémité M du vecteur r et ne concerne pas la variable
d’intégration M’. Nous pouvons ainsi écrire (sous réserve de la convergence uniforme de l’intégrale)

I
div M B(M)  o 1
4


r

div


x
C M 
3 
r


5
Utilisons la formule div(u x v)  v.rotu  u.rotv ici
 


r
r
r


div M   x 3   3 .rot M   rot M 3
r  r
r

 
r
rot
0
M
Comme  n’est pas concerné par ce qui se passe en M et que
r3
Nous obtenons la relation locale, propriété fondamentale du champ magnétique, propriété qu’il ne faudra
pas retoucher même dans les champs variables dans le temps

div M B(M)  0
Cette propriété locale se traduit par une propriété intégrée sur un domaine fini de l’espace:
La flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul.
On dit aussi que le champ magnétique est à flux conservatif.

S B.dS  0
Remarque: Nous avions trouvé, avec le théorème de Gauss, que le flux du champ électrique à travers
une surface fermée, n’était pas nécessairement nul mais dépendait
 de l’existence de charges électriques

à l’intérieur du volume délimité par S. Les propriétés de B et de E ne sont donc pas équivalentes. On
traduit également cette différence par la non existence de pôles magnétiques séparables, équivalence
physique de la nécessité de courants électriques fermés sur eux-mêmes.
6
B-II.3 Circulation du champ magnétique – Théorème d’Ampère

Considérons au point M2 le champ magnétique B créé par
le circuit C parcouru par le courant I .

Considérons la circulation élémentaire de B le long de  2

Donnée par 
o I 
r
B. 2 
 1 x 3 . 2

C1 
4 
r 
Circuit filiforme 1
C1
I
M1
I1

B

r
L’intégrale porte sur la variable M1 non concernée par  2qui
est une constante pour l’intégration. Il est alors possible


r en vertu des
d’écrire B.   o I


x


.

2
1
2
4 C1
r3


S
propriétés du produit mixte. La quantité vectorielle
S1 x - 2
représente un élément de surface.


La circulation élémentaire peut s’écrire B.  o I r .S

2
4 C1 r 3
 2
M2
  2

- r .S
Nous connaissons la quantité r 3 qui représente l’élément d’angle
2
solide   sous lequel de M2 on voit la surface S .
C1
I
1
7
S
Lors de l’intégration le long de C1


o I
r
o I
2
B. 2 


x


.






1
2
3
C1
C1
4
r
4

I
1
  2
C1
L’intégrale donne l’angle solide  sous lequel de M2 est vu le
bandeau de surface obtenu en déplaçant C1 de   2.
M1

r

2
C1
M2
  2

Si on appelle 1 l’angle solide sous lequel de M2 est vue la
surface du circuit C1 dans la position initiale et  2 l’angle solide
sous lequel est vue la même surface déplacée de   alors
2
 2  1
I
est la variation de l’angle solide sous lequel est vue la surface du
circuit C1 lorsque ce dernier se déplace de
.
I1
Or déplacer le circuit de   2 revient à le garder fixe mais à
déplacer le point d’observation M2 de  .
  2
1
M1

r
2
1
M2

B
 2
2
Il vient alors le résultat important suivant : la circulation

élémentaire du vecteur B sur
est égale à 
 2
I
B. 2  o 
4
 étant la variation d’angle solide sous lequel est vue la surface
, lors du déplacement
du circuit C1 créant B
.
 2
8

La circulation élémentaire de B n’est qu’une étape vers le

théorème d’Ampère. Considérons maintenant la circulation de B
le long d’un parcours fermé C2 .
S
Deux cas sont à envisager
La courbe C2 n’intercepte pas toute surface S appuyée, comme
une bulle de savon, sur C1.

Lors de la circulation de B sur C2 l’angle solide varie
continûment de la valeur qu’il a en M2 à cette valeur retrouvée

après un tour complet sur C2 . Donc la circulation de B sur la
courbe C2 qui n’intercepte pas I est nulle.
La courbe C2 intercepte toute surface S appuyée sur C1.
M’2
S
P
P’
C1
 2
( M 2 )
C1
M2
I
M1
C2
Parcours fermé

B
C1
C1
I
M1
( M 2 )
C2
Parcours fermé
M’2

B
M2  2

Lors de la circulation de B sur C2 l’angle
solide Ω varie continûment jusqu’au point P
au-dessus de la surface S, juste avant de la
traverser. En P l’angle solide est égal à Ω(P).
En P’, après avoir traversé la surface, l’angle
devient Ω(P’). Ces deux angles sont reliés.
9
En premier lieu il nous faut définir l’orientation d’une surface appuyée sur un circuit parcouru par un
courant. Une telle surface est orientée par convention.
S
I
I
I
S
Il est alors possible d’expliciter la relation entre Ω(P) et
Ω(P’). Un dessin en coupe est plus explicite. Compte tenu
de l’orientation de la surface, en P S est vue dans le sens
inverse et l’angle solide Ω(P) est négatif. A l’inverse
l’angle Ω(P’) est positif. L’angle négatif Ω(P) peut être
remplacé par l’angle 4π - Ω(P), son complémentaire à tout
l’espace. Le passage de P à P’ se traduit par une variation
d’angle solide, lorsque les deux points sont confondus avec
la surface
  (P' )  (P)  lim (P' )  4  (P)   4
P , P 'MS
Ω(P) P
Ω(P’)
P’
Dessin en coupe
10

Il en résulte pour la circulation de B sur C2 qui traverse S portée par C1
Ceci constitue le théorème d’Ampère :

o I
C2 B. 2  4 C1   o I
La circulation du champ magnétique créé par un ensemble de courants le long d’une courbe fermée est
égale à o  Iencerlés ,  I encerlés étant la somme des courants encerclés lors de cette circulation.
C2

B. 2   o  I
encerclés parC 2
Les courants qui ne sont pas encerclés ne
participent pas à cette sommation.
Cette sommation est algébrique, il y a lieu de
ternir compte du sens du courant dans chaque
circuit encerclé, la surface étant orientée en
fonction de ce courant.
11
Symétries où le théorème d’Ampère est applicable
L’application du théorème d’Ampère est réservée à quelques cas
particuliers à haute symétrie. Il conviendra d’examiner attentivement
si le théorème est applicable au problème posé.

C B.  o  Iencerclés par C
I
C
I
C
I
C
C
I
Fil infiniment long
Solénoïde
infiniment long
Plan
infiniment long
Tore régulier
12
B-II.5 Lignes de champ – Tubes de flux
Lignes de champ
Comme pour le champ électrique les lignes du champ magnétique sont localement tangentes au champ.
Elles définissent ce que l’on appelle le spectre. Comme principale propriété elles constituent des boucles
fermées.
Courant
Courant
13
Champ magnétique terrestre
Trouve son origine dans le mouvement de la
matière qui entoure le cœur central
Fluide
générateur en
mouvement
Pôle Nord géographique
Pôle Sud magnétique
Boussole
Simulation
numérique
Pôle Nord magnétique
Pôle Sud géographique
14
Tubes de flux
Ensemble de lignes de champ formant une sorte de tube à section généralement variable le long duquel
le flux est constant
15
B-II.6 Calcul des champs magnétiques
Les cas de circuit où le champ magnétique peut se calculer analytiquement jusqu’au bout sont très limités.
Nous donnons ici quelques exemples classiques et montrons comment les calculs deviennent moins
classiques hors de ces quelques cas d’école.

N°1- Fil rectiligne très grand
I
Un fil rectiligne très grand, on dit aussi indéfini pour ne pas dire infini,
de section négligeable, est parcouru par un courant I. Il est nécessaire que dz
M’
le fil se referme sur lui-même par une portion de circuit située quelque
part à très grande distance et dont on peut supposer que l’effet au point M z

r
est négligeable. On cherche le champ magnétique à la distance a = OM


du fil. On applique directement la définition à partir de la formule de Biot u z
u

O
et Savart

o I 
r
B(M) 
  x r 3 

θ
4 C 
u
a
r

a



dz

.d
Nous avons r  au r  zu z d  dzu z r  a
z  a.tg
2
M
cos

cos 
 

o I   au r - zu z  o Ia  dz o I    / 2
B(M) 
dzu z x

u  fil 3 
u   / 2 cos d

3
fil 

4 
r
r 4a
 4

I
B(M)  o u 
2a

B

16
Application du théorème d’Ampère

Par symétrie il est facile de montrer que B est tangent aux cercles centrés
sur le fil, de module ne dépendant que de a.

C B.  BC d  B.2a  oI
Soit directement

I
B(M)  o u 
2a
Courant entrant
I
O
C

B
a
M
17
N°2- Fil rectiligne fini
B
Une formule très utile est celle d’un fil rectiligne fini. Cette formule sera
utilisée dans des cadres carrés comme représentant le champ de chaque
côté.
Le fil est vu à la distance a sous les angles
mesure algébrique. Sur la figure
2  0
1
et
et
2
I
qui ont une
1  0
Le calcul mené pour le fil très long reste valable jusqu’à

I 
B(M )  o u   2cos d
4a 1
Ce qui donne

I

B(M)  o sin 2  sin 1 u 
4a
2
O
a
1

B
M
A
18
R
N°3- Spire circulaire sur son axe
Une spire circulaire filiforme de rayon
R de centre O est parcourue par un
courant I. On cherche le champ
magnétique en un point M de son axe tel
que OM = x. On utilise la formule de
Biot et Savart
I
d

w
O

d
M’

r

v


u


o I 
r
B(M) 


x

4 C 
r 3 

B(M ) ?
x




Nous avons r  xu  R cos v  R sin w


d  Rd sin v  cos w 
M
r = Cte . Il vient directement

 I 2
 I 2 







B(M)  o 3 0 Rd sin v  cos w  x xu  R cos v  R sin w   o 3 0 Ru  x cos v  x sin w Rd
4r
4r
2


IR
2


I

I



Les deux intégrales des fonctions circulaires sont nulles B(M)  o R 2  du  o R 2 2u  o
u
0
4r 3
4r 3
2r 3
Sous cette forme la variable r n’est pas commode.
On lui préfère les deux expressions suivantes

o I sin 3  
B(M) 
u
2R

B(M) 
o IR 2

u
3/2
2x 2  R 2 
Remarques
Le champ est porté par l’axe

 I
Le champ au centre vaut B
(O)  o u
2R
19

w
Champ magnétique dans le plan d’une spire circulaire
On cherche à estimer le champ en un point M, à la
distance x, dans le plan de la spire circulaire de rayon
R, parcourue par le courant I . Ce champ est donné par



 o I 

d
r
d



R
sin

v

R
cos

w
l’expression B
  x 3  



4 C 
r  r  ( x  R cos ) v  R sin w
I
d
C
M’
dθ

u

 IR 2 
R  x cos 
  o IR

B  o 0
d

u

f
(
R
,
x
)
u
4
4
x 2  R 2  2xR cos 3 / 2
O
θ
x

r
R

v
M
Cette intégrale n’admet pas de solution analytique simple et
fait appel à des fonctions calculables mais pas connues des
étudiants de premier cycle.
Deux enseignements sont à
tirer de cet exemple:
17.5
200
f(R,x) – f(R,0)
Même dans un système très
simple les calculs ne le sont
pas
f(R,x) – f(R,0)
15
150
12.5
10
100
Au voisinage du circuit
filiforme le champ diverge
7.5
5
50
2.5
-1
-0.5
R=1
0.5
1
-1
-0.5
R=1
0.5
1
20
N°4- Bobines de Helmholtz
Deux bobines identiques de rayon R, parcourues par des
courants dans le même sens de même axe situées à la
distance 2a l’une de l’autre. En utilisant le résultat obtenu
pour une spire circulaire le champ magnétique total au point
M de l’axe tel que OM = x est

o IR 2 
1
1

B( x ) 

2  a  x 2  R 2 3/2 a  x 2  R 2 3/2 


Le champ au centre est donné par
 o IR 2
B(0)  2
a  R 2 3/2



I
I
R
R

2a
I
I
R
Nous cherchons la relation entre R et a qui provoque les
plus faibles variations du champ au voisinage du centre.
x
La fonction B(x) étant paire son développement en série ne
comprend que des termes polynomiaux pairs
2
1   B  2
B( x )  B(0)   2  x  ( x 4 )
2! x o
La dérivée d’ordre deux s’annule pour R = 2a (faire le
calcul)
α
O
a
M
a
21
N°4- Bobines de Helmholtz (suite)
La fonction B(x) démarre donc du centre avec ses trois premières dérivées nulles, donc présente
un profil très plat.
Espace où B varie de 1%
B(0)
-6
-4
-2
2
4
6
99%B(0)
0.95
B(a)
-a
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
B( x )
B(0)
Position de la bobine 2
Position de la bobine 1
0.9
a
x
Cas où la distance 2a entre les bobines est égale à leur rayon R
22
N°4- Bobines de Helmholtz (suite)
Si on accepte une fluctuation de ± de B(x) autour de sa valeur centrale il est encore possible
d’augmenter la zone de faible variation de B pour R voisin de 9/5 de a.
Espace où B varie à ± 1%
101%B(0)
B(0)
-6
-4
-2
2
4
6
99%B(0)
B(a)
-a
0.8
0.7
B( x )
B(0)
Position de la bobine 2
Position de la bobine 1
0.9
a
x
0.6
Cas où la distance 2a entre les bobines est égale à 10/9 du rayon R
23
N°5- Solénoïde
Soit un solénoïde de rayon R, longueur  , de N spires
jointives parcourues chacune par un courant i. On cherche à
calculer le champ magnétique au point M à la distance x du
centre O, et duquel les deux extrémités du solénoïde sont
vues sous les angles θ1 et θ2 .
On découpe le solénoïde en tranches de spires circulaires à la
distance χ de O et d’épaisseur dχ . Une telle spire porte le
Ni
courant dI 
d . Elle crée au point M un champ

dB 
o di.sin 3 
2R

o Ni.sin 3 
2R
d
Choisissons comme variable
d’intégration l’angle θ alors
R
x
tg
R
d  2 d avec d  0
sin 
dB 
dθ
θ
θ2
R
O
P
χ
x
N spires
 o Ni.sin 
d
2
Soit après intégration B 
i
θ1
M
dχ

 o Ni.
cos 2  cos 1 
2
porté par l’axe
24
N°5- Solénoïde (suite)
25
N°5- Solénoïde (suite)
Champ magnétique en z dans le plan médian qui coupe le solénoïde en deux
-2.5
Bz y=1.01
-0.1
R=1
-3
a
-0.3
-0.4
-4
-0.5
-4.5
a
a
0.2
12
z
y=2
-0.2
a  /2
-3.5
Bz
0.4
0.6
0.8
2
12
Bz
11
4
6
8
10
y
1
O
Bz
y=0
10
y=0.99
8
10
6
9
a
4
8
a
2
4
6
8
10
2
4
6
8
R=1
10
12.5
On remarque que le champ magnétique à l’extérieur
tend vers zéro lorsque le solénoïde devient très long.
12
Bz
a = 10R
11.5
11
Dans le solénoïde le champ magnétique est quasiment
constant
10.5
y
0.2
9.5
0.4
0.6
0.8
1
R=1
26
N°5- Solénoïde (suite)
Pour un solénoïde très long à spires jointives θ10 et θ2π et le champ devient au voisinage du centre
si n est le nombre de spires par unité de longueur
B
 o Ni.
  o ni

Si on a remarqué que le champ était nul à l’extérieur et constant à l’intérieur, il est possible d’appliquer le
théorème d’ampère sur un rectangle abcd (voir figure) et de retrouver directement le résultat donné cidessus.
27
N°6- Tore
28
N°7- Sphère chargée en surface en rotation
Une sphère de rayon R, chargée en surface par Q > 0,
tourne à la vitesse angulaire ω = Cte autour d’un de ses
axes. On cherche à déterminer le champ magnétique en
un point M de l’axe à la distance OM = x du centre. Une
tranche de sphère perpendiculaire à l’axe définie par les
angles θ et θ+d θ porte une charge dQ  .dS avec la ω
densité de charges par unité de surface   Q 2
4R
dI
dθ
θ
O
M
R
La spire de rayon 2R sin  ainsi définie porte un courant
dI de part la rotation de cette charge dQ
dQ dQ dS Q sin .d
dI 



T
2
2
4
 o dI
 Q 3
dB 
sin 3   o
sin .d
Le champ créé par cette spire au point M est
2R sin 
8R
R
α
P
et la surface élémentaire de révolution autour de l’axe
dS  R.d.2R sin 
Il est possible d’exprimer sin  
dQ
Q en surface
R sin 
2
 x 2  2Rx cos 
Soit l’intégrale suivante pour le champ B 
1/ 2
 o QR 2
8

0
R
sin 3 
2
 x  2Rx cos 
2
3/ 2
.d
29
N°7- Sphère chargée en surface en rotation (suite)
Après une intégration laborieuse mais du niveau d’un étudiant de DEUG on trouve
 o QR 2
Pour x > R
B
Pour x < R
 Q
B( x )  o
6 R
6 x 3
0.05
sur l’axe
Champ magnétique d’une
sphère chargée en surface
en rotation
B
0.04
0.03
sur l’axe
0.02
0.01
R
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
30
N°8- Sphère chargée en volume en rotation
La sphère de rayon r d’épaisseur dr porte la charge
3Q
3Q 2
2
dQ 
4

r
dr

r dr
3
3
4R
R
dr
r
ω
O
M
Elle crée au point M tel que OM = x un champ donné
par l’exemple précédent
o .dQ.r 2
o .Q 4
dB( x ) 

r dr
6 x 3
2 R 3 x 3
Soit pour l’induction totale à l’extérieur de la sphère B( x ) 
R
Q en volume
o .QR 2
10 x 3
Pour un point M tel que OM = x à l’intérieur, deux zones sont
à considérer: 0 < r < x et x < r < R
Pour la première zone 0 < r < x , le point M est considéré
comme extérieur et la formule ci-dessus est applicable avec
2
Q 3 et


.
Qx
soit
o
R

x
Q  Q( x )  3 x
B1 ( x ) 
R
10R 3
Pour la deuxième zone x < r < R, le point M est à l’intérieur
 Q
de couches sphériques successives, on utilise B( x )  o
6 R
dr
r
ω
O
x
M
R
Q en volume
31
N°8- Sphère chargée en volume en rotation (suite)
3Q 2
 o dQ  o  Q
Q

dQ

r
dr
dB
(
x
)


rdr
Avec
et
il
vient
R

r
2
3
3
R
6 r
2 R
Soit
B2 ( x ) 
o Q R
o Q 2
R  x 2 
rdr

3 x
3
2 R
4 R
Le champ magnétique total à l’intérieur s’écrit B( x ) 
Aussi pour 0 < r < R
Pour x > R
B( x ) 
3x
 .Q 
B( x )  o 3  R 2 
4R 
5
2
 o .Qx 2
10R 3
2
2
2
o Q 2
 o .Q  x x R 
2
R  x   3    

4 R 3
2R  5 2
2 




o .QR 2
10 x 3
0.08
Champ magnétique d’une
sphère chargée en volume
en rotation
B
0.06
0.04
0.02
x
R
0.5
1
1.5
2
2.5
3
32