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Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Transformations linéaires
et sous-espaces associés

Nous allons maintenant présenter un autre aspect des transformations
linéaires, celui des sous-espaces vectoriels associés.
Introduction
Nous présenterons ensuite le noyau (ker T)d’une transformation
linéaire qui est le sous-espace de l’espace de départ formé de tous les
vecteurs dont l’image par la transformation est le vecteur nul de
l’espace d’arrivée.
Puis, nous présenterons l’image (Im T)d’une transformation linéaire
qui est le sous-espace de l’espace d’arrivée formé de tous les vecteurs
qui sont l’image par la transformation d’au moins un vecteur de
l’espace de départ.
Nous présenterons d’abord comment déterminer la préimage d’un
élément de l’espace d’arrivée en résolvant un système d’équations
linéaires non homogène ainsi que la préimage du vecteur nul en
résolvant un système d’équations linéaires homogène.

Exemple 7.3.5
S
Soit la transformation linéaire définie par T(x;y) = (x–2y; 2x–y).
Trouver la préimage du vecteur (1; –4) par la transformation
linéaire.
On cherche un vecteur (x;y)de R2tel que :
T(x; y) = (x –2y; 2x–y) = (1; –4)
Ce qui donne le système d’équations :x–2y= 1
2x–y=–4
Le déterminant de la matrice des coefficients est := 3 ≠0
1
2
–2
–1
Le déterminant est non nul;le système a donc une solution unique
que l’on obtient facilement par la méthode de Cramer.
x=
1
–4
–2
–1
3
=
3
=
–9
–3et y=
1
2
1
–4
3
=
3
=
–2
–2
La préimage est donc le vecteur (–3; –2).

Transformation et système d’équations
Pour déterminer la préimage d’un élément par une transformation
linéaire, on doit résoudre un système d’équations linéaires. On peut
alors rencontrer différentes situations :
•lorsque le système d’équations aune solution unique, cela signifie
que le vecteur a une seule préimage;
•lorsque le système d’équations a une infinité de solutions, cela
signifie que le vecteur a une infinité de préimages;
•lorsque le système d’équations n’a pas de solution, cela signifie
que le vecteur n’a pas de préimage.
Si on cherche la préimage d’un vecteur non nul :
Si on cherche la préimage du vecteur nul :
•lorsque le système d’équations aune solution unique, cela signifie
que le vecteur nul aune seule préimage;
•lorsque le système d’équations a une infinité de solutions, cela
signifie que le vecteur nul aune infinité de préimages.

1
–2
–2
4
0
0
x
y=
Exemple 7.3.6
S
Soit la transformation linéaire définie par T(x;y) = (x–2y;–2x+ 4y).
Trouver la préimage de (0; 0) par cette transformation.
En représentant par une équation matricielle, on a :
Le déterminant de la matrice des coefficients est := 0
1
–2
–2
4
On doit utiliser la méthode de Gauss qui donne :
1
–2
–2
4
0
0
≈L1
L2+ 2L1
1
0
–2
0
0
0
On constate que yest une variable libre et xune variable liée. En
posant y=t,on ax–2t= 0, d’où x= 2t. L’ensemble-solution est :
{(x; y) | x= 2tet y= t}
On aune infinité de solutions. Ce sont tous les vecteurs d’un sous-
espace vectoriel de l’espace de départ. Ces vecteurs sont de la forme
(2t;t) = t(2; 1), d’où l’on tire la base {(2; 1)}.Le sous-espace des
vecteurs dont l’image est (0; 0) est donc de dimension 1. S
Tous les vecteurs algébriques de la
forme t(2; 1) ont le vecteur (0; 0)
comme image.
L’équation de la droite support de
ces vecteurs est :
y= x/2