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Transformations linéaires
et sous-espaces associés
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous allons maintenant présenter un autre aspect des transformations
linéaires, celui des sous-espaces vectoriels associés.
Nous présenterons d’abord comment déterminer la préimage d’un
élément de l’espace d’arrivée en résolvant un système d’équations
linéaires non homogène ainsi que la préimage du vecteur nul en
résolvant un système d’équations linéaires homogène.
Nous présenterons ensuite le noyau (ker T) d’une transformation
linéaire qui est le sous-espace de l’espace de départ formé de tous les
vecteurs dont l’image par la transformation est le vecteur nul de
l’espace d’arrivée.
Puis, nous présenterons l’image (Im T) d’une transformation linéaire
qui est le sous-espace de l’espace d’arrivée formé de tous les vecteurs
qui sont l’image par la transformation d’au moins un vecteur de
l’espace de départ.
Exemple 7.3.5
Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; 2x – y).
Trouver la préimage du vecteur (1; –4) par la transformation
linéaire.
On cherche un vecteur (x; y) de R2 tel que :
T(x; y) = (x – 2y; 2x – y) = (1; –4)
Ce qui donne le système d’équations :
x – 2y = 1
2x – y = –4
1 –2
=3≠0
2 –1
Le déterminant est non nul; le système a donc une solution unique
que l’on obtient facilement par la méthode de Cramer.
1
1
1 –2
–2
–9
2 –4
–4 –1
=
= –2
x=
=
= –3 et y =
S
3
3
3
3
Le déterminant de la matrice des coefficients est :
La préimage est donc le vecteur (–3; –2).
Transformation et système d’équations
Pour déterminer la préimage d’un élément par une transformation
linéaire, on doit résoudre un système d’équations linéaires. On peut
alors rencontrer différentes situations :
Si on cherche la préimage d’un vecteur non nul :
• lorsque le système d’équations a une solution unique, cela signifie
que le vecteur a une seule préimage;
• lorsque le système d’équations a une infinité de solutions, cela
signifie que le vecteur a une infinité de préimages;
• lorsque le système d’équations n’a pas de solution, cela signifie
que le vecteur n’a pas de préimage.
Si on cherche la préimage du vecteur nul :
• lorsque le système d’équations a une solution unique, cela signifie
que le vecteur nul a une seule préimage;
• lorsque le système d’équations a une infinité de solutions, cela
signifie que le vecteur nul a une infinité de préimages.
Exemple 7.3.6
Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; –2x + 4y).
Trouver la préimage de (0; 0) par cette transformation.
1 –2 x
0
Tous
les vecteurs
dematricielle,
la
En
représentant
paralgébriques
une équation
on a :
=
–2
4
y
0
forme t(2; 1) ont le vecteur (0; 0)
1 –2
comme
image.
Le déterminant de la matrice des coefficients est :
=0
–2
4
L’équation de la droite support de
On doit utiliser la méthode de Gauss qui donne :
ces vecteurs est :
1 –2 0
L1
1 –2
0
y = x/2
≈
L2 + 2L1 0 0 0
–2
4 0
On constate que y est une variable libre et x une variable liée. En
posant y = t, on a x – 2t = 0, d’où x = 2t. L’ensemble-solution est :
{(x; y) | x = 2t et y = t}
On a une infinité de solutions. Ce sont tous les vecteurs d’un sousespace vectoriel de l’espace de départ. Ces vecteurs sont de la forme
(2t; t) = t(2; 1), d’où l’on tire la base {(2; 1)}. Le sous-espace des
vecteurs dont l’image est (0; 0) est donc de dimension 1.
S
Noyau
DÉFINITION
Noyau d’une transformation linéaire
Soit T, une transformation de U dans V, où U et V sont deux
espaces vectoriels sur un corps K. On appelle noyau de T, noté
ker T, le sous-espace vectoriel de U formé des éléments dont l’image
par la transformation est l’élément neutre (ou le vecteur nul de V).
Symboliquement :
ker T = { u  U | T(u ) = 0V } , où 0V est le vecteur nul de V
Remarque
Pour déterminer ker T, le noyau d’une transformation linéaire T, il
faut résoudre un système d’équations homogène. On rencontre
deux cas, selon que le système a :
• une solution unique ker T ne contient alors que l’élément neutre.
• une infinité de solutions, ker T est alors un sous-espace non trivial de U.
S
Noyau
THÉORÈME
ker T est un sous-espace vectoriel
Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une
transformation de U dans V (T : U  V). Alors, ker T est un sousespace vectoriel de U.
ker T est un sous-espace vectoriel de
l’espace de départ de la transformation linéaire. C’est le sous-espace
formé des vecteurs dont l’image par
la transformation est le vecteur nul
de l’espace d’arrivée.
Pour démontrer ce théorème, il faut montrer que ker T est non vide,
fermé pour l’addition et pour la multiplication par un scalaire.
S
Exemple 7.3.7 a
Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; –2x + 4y).
Trouver la préimage de (–3; 2) par cette transformation.
1
En représentant par une équation matricielle, on a :
–2
1
Le déterminant de la matrice des coefficients est :
–2
On doit utiliser la méthode de Gauss qui donne :
1 –2 –3
L1
1 –2 –3
≈
L2 + 2L1 0 0 4
–2
4 2
–2
4
x
–3
=
y
2
–2
=0
4
Le système n’a aucune solution. Par conséquent, le vecteur (–3; 2) n’a
pas de préimage. Ce qui, en regard des fonctions, signifie qu’il ne fait
pas partie de l’image de la transformation.
Exemple 7.3.7 b
Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; –2x + 4y).
Trouver à quelle condition un élément (a; b) a une préimage par cette
transformation.
1 –2engendrés
x
a
Im
T
est
donc
le
sous-espace
vectoriel
formé
des
vecteurs
En représentant par une équation matricielle, on a :
=
par le vecteur (1; –2). On a donc une base, BIm T –2
= {(1;4–2)},
y et lab
Par la méthode de Gauss on obtient :
dimension du sous-espace est 1.
1 –2
a
L1
1 –2 a
≈
Chaque droite
de
l’ensemble
L2 + 2Lde
0 0 b + 2a
–2
4 b
1
départ qui est parallèle à ker T a
Le
admet des
solutions
si 2a + b = 0. C’est à cette condition
un système
point comme
image
et l’enque
doitde
satisfaire
un vecteur
de l’espace d’arrivée pour avoir une
semble
ces points
forme une
préimage.
Im T le sous-ensemble de l’espace d’arrivée
droite qui Nous
est Imappelons
T.
formé des éléments qui ont une préimage par T. On a donc :
Im T = {(a; b) R2 | 2a + b = 0}
La forme générale des vecteurs de Im T est alors :
(a; –2a) = a(1; –2)
S
Image
DÉFINITION
Image d’une transformation linéaire
Soit T, une transformation de U dans V, où U et V sont deux
espaces vectoriels sur un corps K. On appelle image de T, noté
Im T, le sous-espace vectoriel de V formé des éléments qui sont
l’image d’un élément de U par la transformation. Symboliquement :
Im T = { v  V | $ u  U, T(u) = v }
Remarque
Pour déterminer Im T, l’image d’une transformation linéaire T, il
faut résoudre un système d’équations dont les constantes sont des
paramètres. On doit déterminer à quelle condition doivent
satisfaire ces paramètres pour que le système ait une ou des
solutions.
S
Image
THÉORÈME
ImT est un sous-espace vectoriel
Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une
transformation de U dans V (T : U  V). Alors, Im T est un sousespace vectoriel de V.
Im T est un sous-espace vectoriel de
l’espace d’arrivée de la transformation linéaire. C’est le sous-espace
formé des vecteurs qui sont l’image
d’au moins un vecteur de U par la
transformation linéaire.
Pour démontrer ce théorème, il faut montrer que Im T est non vide,
fermé pour l’addition et pour la multiplication par un scalaire.
S
Exemple
Soit la transformation linéaire T: R3  R3 définie par :
T(x; y; z) = (x – 2y –3z; 3x – 4y – 5z; 2x – 2y – 2z)
Déterminer ker T. En donner une base et la dimension.
On trouve
cherchedonc
(x; y;: z) dans l’espace vectoriel de départ tel que :
On
x –32y – 3z = 0
T 0),
= {(x;
| x = –t, y = –2t et z = t}
T(x; y; z) = ker
(0; 0;
d’oùy;: z) R
3x – 4y – 5z = 0
Les éléments de ker T sont les vecteurs
générale :
2x – 2y –de2zla= forme
0
(–t; –2t; t) =on
t(–1;
–2; 1)
Par la méthode de Gauss-Jordan,
obtient
:
Tous
les –3
vecteurs
de
par (–1; –2; 1)
0
L1 ker T 1 sont
1 –2
–2 engendrés
–3 0
et ce
puisqu’il est non nul.
≈ L2 – 3L1indépendant,
3 vecteur
–4 –5 est0linéairement
0 2 4 0
On2a donc
Bker T0 = {(–1;
L3 ––2;
2L11)} 0et , 2puisque
–2 –2
4 0la base contient un seul
vecteur, la dimension de ker T est 1.
L1 + L2 1
≈ L2
0
L3 – L2 0
0
2
0
1
4
0
0
0
0
L1
1
≈ L2 /2 0
L3
0
0
1
0
1
2
0
0
0
0
SS
Exemple
Soit la transformation linéaire T: R3  R3 définie par :
T(x; y; z) = (x – 2y –3z; 3x – 4y – 5z; 2x – 2y – 2z)
Déterminer Im T. En donner une base et la dimension.
3 | a – b + c = 0}
On trouve
: Im T =(a;{(a;
c)  R
cherchedonc
les triplets
b; b;
c) dans
l’espace
vectoriel d’arrivée tels
qu’il
existec au
moins
un triplet
pour
En
isolant
dans
la condition
a – (x;
b + y;
c =z)0,de
onl’espace
a c = – ade
+ b.départ
La forme
lequel : des vecteurs est alors :
générale
– 2y0;
– 3z
(a; b; – a + b) =xa(1;
–1)=+ab(0; 1; 1)
T(x; y; z) = (a; b; c), d’où :
3x – 4y – 5zpar
= bles vecteurs (1; 0; –1) et
Tous les vecteurs de Im T sont engendrés
2x – 2y – 2z = puisque
c
(0; 1; 1) qui sont linéairement indépendants,
:
Par la méthode de Gauss, on obtient :
(a; b; – a + b) = (0; 0; 0)
a unique
L1 a = 0 et
1 –2
a
1 b–2
donne
une –3
solution
= 0.–3
≈ L20;
– 3L
–4 –5
0 1;21)} 4et, puisque
b – 3a la base contient
On3a donc
BIm Tb = {(1;
–1),
1 (0;
L3 – 2Lde
deux
2 vecteurs,
–2 –2 lacdimension
0 T est
2 2.4 c – 2a
1 Im
L1
1 –2 –3
≈ L2
0 2 4
L3 – L2 0 0 0
a
b – 3a
a–b+c
SS
Sous-espaces associés
Soit la transformation linéaire T: R3  R3
définie par : T(x; y; z) = (x – 2y –3z; 3x – 4y – 5z; 2x – 2y – 2z)
ker T est un sous-espace de
l’espace de départ de la transformation linéaire.
Im T est un sous-espace de
l’espace d’arrivée de la transformation linéaire.
Exercice
Soit la transformation linéaire T: R3  R3 définie par :
T(x; y; z) = (x – 3y – z; 2x – 4y + 2z; 5x – 11y + 3z)
Déterminer ker T. En donner une base et la dimension.
On
(x; y;: z) dans l’espace vectoriel de départ tel que :
On cherche
trouve donc
x –3 3y – z = 0
T 0),
= {(x;
x =+ –5t,
T(x; y; z) = ker
(0; 0;
d’oùy;: z) R
2x –| 4y
2z = y0 = –2t et z = t}
Les éléments de ker T sont les vecteurs
la =forme
générale :
5x – 11y de
+ 3z
0
(–5t; –2t; t)on
= t(–5;
–2;: 1)
Par la méthode de Gauss-Jordan,
obtient
Tous
L1 T sont engendrés
1 les
–3vecteurs
–1 0 de ker
1 –3 –1par0(–5; –2; 1) et ce vecteur
est2linéairement
≈ L2 – 2L1 puisqu’il
–4 2 0indépendant,
0 nul.
0 2 est
4 non
On5a donc
L3 ––2;
5L–5)}
–11 B3ker T0= {(–5;
0et , 4puisque
8 0la base contient un seul
1
vecteur, la dimension de ker T est 1.
2L1 + 3L2 2
≈ L2
0
L3 – 2L2 0
0 10
2 4
0 0
0
0
0
L1/2 1
≈ L2 /2 0
L3
0
0
1
0
5
2
0
0
0
0
S
Exercice
Soit la transformation linéaire T: R3  R3 définie par :
T(x; y; z) = (x – 3y – z; 2x – 4y + 2z; 5x – 11y + 3z)
Déterminer Im T. En donner une base et la dimension.
On
les triplets
b; c)
tels
On cherche
trouve donc
: Im T (a;
= {(a;
b;dans
c)  l’espace
R3 | –a –vectoriel
2b + c = 0d’arrivée
}
qu’il existe au moins un triplet (x; y; z) de l’espace de départ pour
En isolant c dans la condition –a – 2b + c = 0, on a c = a + 2b. La
lequel :
forme générale des vecteurs estxalors
– 3y –: z = a
(a;d’où
b; a :+ 2b) =
T(x; y; z) = (a; b; c),
2xa(1;
– 4y0;+ 1)
2z += b(0;
b 1; 2)
Tous les vecteurs de Im T sont5x
engendrés
– 11y + 3zpar
= cles vecteurs (1; 0; 1) et
(0; 1;
qui sontdelinéairement
indépendants,
Par
la 2)
méthode
Gauss-Jordan,
on obtient :puisque :
L1(a; b; a +12b)–3= (0;
1 –3 –1 a
–10; 0)
a
donne
une solution
a = 0 et b = 0.
2 –4
2 b ≈unique
L2 – 2L
0 2 4
b – 2a
1
On5 a –11
donc 3BIm cT = {(1;
(0;
1;4 2)} 8et, puisque
la base contient
L3 –0;5L1),
0
c
–
5a
1
deux vecteurs, la dimension de Im T est 2.
2L1 + 3L2 2
≈ L2
0
L3 – 2L2 0
0 10
2 4
0 0
a
b – 2a
–a – 2b + c
S
Algèbre des transformations linéaires
Les transformations linéaires sont représentables par des matrices.
On peut donc effectuer, sur les transformations linéaires, les mêmes
opérations que sur les matrices.
Cela signifie que l’ensemble des transformations linéaires sur deux
espaces vectoriels donnés a la même structure que l’ensemble des
matrices associées, soit la structure d’espace vectoriel.
S
DÉFINITION
Addition
Addition de transformations linéaires
Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, T:U V et
S : U V, deux transformations linéaires. L’addition de ces transformations, notée T + S est la transformation linéaire définie par :
(T + S) ( u ) = T( u ) + S( u), pour tout u  U
En pratique, on détermine la matrice de la transformation T + S en
additionnant les matrices de ces transformations. Elles seront
compatibles pour l’addition puisque le nombre de colonnes de ces
matrices est la dimension de l’espace de départ U et le nombre de
lignes est la dimension de l’espace d’arrivée V.
S
Multiplication par un scalaire
DÉFINITION
Multiplication par un scalaire d’une transformation linéaire
Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, T:U V une
transformation linéaire et k  K, un scalaire. La multiplication de la
transformation par le scalaire k, notée kT est la transformation
linéaire définie par :
(kT) ( u ) = kT( u), pour tout u  U
En pratique, on détermine la matrice de la transformation kT en
multipliant la matrice de la transformation T par le scalaire k.
Les propriétés des opérations sur les transformations linéaires sont
les mêmes que celles des opérations sur les matrices.
S
Exemple 7.3.11
Soit T: R3 R2, définie par T(x; y; z) = (x + y – 3z; 4x – 5y + 2z), et
S: R3 R2, définie par S(x; y; z) = (2x – 4y + 2z; 2x + 3y + z), deux
transformations linéaires.
Représenter chacune de ces transformations par une matrice.
Déterminer la matrice décrivant la transformation T + S.
Déterminer la matrice décrivant la transformation 2T – 3S.
T=
1 1 –3
4 –5 2
,S=
1 1 –3
2T – 3S = 2
4 –5 2
=
2
2 –6
8 –10 4
2 –4
2 3
–3
+
2
3 –3 –1
,T+S=
1
6 –2 3
2 –4
2 3
2
1
–6 12 –6
=
–6 –9 –3
–4 14 –12
2 –19
1
S
Espace vectoriel
THÉORÈME
Espace vectoriel des transformations linéaires
Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K. L’ensemble des
transformations linéaires de U dans V, noté L(U, V), muni de
l’addition et de la multiplication par un scalaire, forme un espace
vectoriel sur le corps K.
On doit démontrer que les opérations d’addition et de multiplication
par un scalaire satisfont aux dix propriétés donnés dans la définition
d’espace vectoriel. Dans le présent cours, nous accepterons ce
théorème sans démonstration.
S
Composition
DÉFINITION
Composition de transformations linéaires
Soit U, V et W, trois espaces vectoriels sur un corps K, T:U V et
S : V W, deux transformations linéaires. La composition de ces
transformations, notée S • T est la transformation linéaire définie
par :
(S • T) ( u ) = S(T( u )) , pour tout u  U
Pour déterminer l’image d’un
vecteur par S•T, il faut procéder
par l’intérieur. On doit d’abord
déterminer dans V l’image par T
du vecteur de U, puis déterminer
dans W l’image par S du vecteur
de V.
S
Composition
THÉORÈME
Composition de transformations linéaires
Soit U, V et W, trois espaces vectoriels sur un corps K, T:U V et
S : V W, deux transformations linéaires. Alors, S • T, la composition de ces transformations linéaires est une transformation
linéaire de U dans W.
Pour démontrer ce résultat, il faut montrer que S•T satisfait aux
deux conditions de linéarité, soit :
Pour tout vecteur u et v de U, et pour tout k  K :
a) S•T( u + v ) = S•T( u ) + S•T( v )
b) S•T(k u ) = k S•T( u )
Exemple 7.3.12
Soit T: R3  R2, définie par T(x; y; z) = (x + 3y – 2z; 3x + 2y – 5z), et
S: R2  R3, définie par S(x; y) = (x – 2y; 3x + y; 2x – 5y), deux
transformations linéaires.
Indiquer
Indiquer l’espace
l’espace de
de départ
départ et
et l’espace
l’espace d’arrivée
d’arrivée de
de la
la transformation
transformation
T•S;
S•T; déterminer
déterminer la
la matrice
matrice décrivant
décrivant cette
cette transformation.
transformation.
Pour
Pour effectuer
effectuer la
la transformation
transformation T•S,
S•T, on
on applique
applique d’abord
d’abord ST de
de R
R23
dans
dans R
R32,, puis
puis TS de
de R
R32 dans
dans R
R23.. La
La transformation
transformation T•S
S•T est
est donc
donc une
une
transformation
transformation de
de R
R23 dans
dans R
R23.. La
La matrice
matrice représentant
représentant cette
cette transtransformation
formation est
est obtenue
obtenue par
par le
le produit
produit des
des matrices
matrices de
de ces
ces transtransformations
formations ::
T•S =
S•T =
1 –2
–5
–1
8
6
11
1
3
–2
1 –2
=
1 3 3 –2 1
11 –11
= –16 21
33 12 –5 2 3
3 2 2 –5–5 3 2
2 2
2
3
2 –5 3 2
–13 –4 21
S
3 3
Transformation linéaire inversible
Nous avons vu au chapitre 4 que les matrices carrées dont le
déterminant est non nul sont inversibles. Une transformation
linéaire de Rn dans Rn est représentée par une matrice carrée n n.
Elle sera donc inversible si le déterminant de la matrice qui lui est
associée est non nul. La matrice inverse permet de trouver la
préimage par la transformation linéaire, c’est-à-dire qu’elle permet
de déterminer, par un produit de matrices, le vecteur dont l’image
par la transformation linéaire est connue.
La recherche de cette préimage revient à résoudre le système
d’équations par la méthode de la matrice inverse.
S
Exemple 7.3.13 a
Soit T: R3  R3, où T(x; y; z) = (x + 3y – 2z; 2x – y + 4z; 3x – 2y + 5z).
Déterminer si la transformation linéaire est inversible et donner
la transformation inverse si elle existe.
Calculons le déterminant : det T =
1
3
–2
2
–1
4
3
–2
5
= 11 ≠ 0.
Le déterminant est non nul, la transformation linéaire est
inversible. Par la méthode de l’adjointe, on trouve :
T–1 =
1
11
3
–11
10
2
11
–8
3
11
–7
Exemple 7.3.13 b
Soit S: R3  R3, où S(x; y; z) = (2x – 5y; 2y – 3z; 2x – 3y – 3z).
Déterminer si la transformation linéaire est inversible et donner
la transformation inverse si elle existe.
Calculons le déterminant : det S =
2
–5
0
0
2
–3
2
–3
–3
= 0.
Le déterminant est nul, la transformation linéaire n’est pas
inversible.
Conclusion
Le noyau d’une transformation linéaire est le sous-espace de l’espace
de départ formé de tous les vecteurs dont l’image par la transformation est le vecteur nul de l’espace d’arrivée de cette transformation.
L’image d’une transformation linéaire est le sous-espace de l’espace
d’arrivée formé de tous les vecteurs qui sont l’image d’au moins un
vecteur de l’espace de départ de cette transformation.
L’ensemble des transformations linéaires de U dans V, deux espaces
vectoriels sur un corps K, muni de l’addition et de la multiplication
par un scalaire a une structure d’espace vectoriel sur le corps K.
La composition de deux transformations linéaires donne une
transformation linéaire que l’on peut définir par un produit de
matrices.
Une transformation linéaire est inversible si et seulement si son
déterminant est non nul.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 7.3, p. 202 à 210.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 7.4, p. 211 no. 20 à 27