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M´ecanique analytique et vibrations
Gerald R. Kneller
Universit´ e d’Orl´ eans
et
Centre de Biophysique Mol´ eculaire, CNRS
Rue Charles Sadron
45071 Orl´ eans

Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 M´ecanique de Lagrange 3
2.1 Le principe de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Fonction et ´ equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Particule charg´ ee dans un champ ´ electromagn´ etique . . . . . . . 9
2.4 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Energie............................. 12
2.4.2 Variables cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Quantit´ e de mouvement totale . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.4 Moment cin´ etique ...................... 15
2.5 Lois d’´ echelle et similitude m´ ecanique [7] . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Forcesdefriction ........................... 18
2.7 Viriel[7] ................................ 20
3 M´ecanique de Hamilton 22
3.1 Principe de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Equations de Hamilton et espace de phases . . . . . . . . . . . . 22
3.3 CrochetsdePoisson.......................... 24
3.4 Invariance du volume de l’espace de phases . . . . . . . . . . . . 25
4 Vibrations 29
4.1 Oscillateur harmonique forc´ e, r´ esonance.............. 29
4.2 Oscillateurs coupl´ es, modes normaux . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.1 Equilibre, potentiel quadratique . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Equations du mouvement, modes normaux . . . . . . . . 32
4.3 Chaine lin´ eaire............................. 36
1

1 Introduction
Dans ce cours seront d´ evelopp´ es les bases de la m´ ecanique analytique
et des applications focalis´ ees sur la dynamique d’un syst` eme autour de sa
configuration de repos. La m´ ecanique analytique peut ˆ etre consid´ er´ ee comme
une formulation ´ el´ egante de la m´ ecanique classique de Newton qui permet
de travailler en coordonn´ ees adapt´ ees ` a la sym´ etrie du probl` eme consid´ er´ e
et de r´ eduire le nombre de degr´ es de libert´ e sans introduire des forces de
contraintes. Il s’agit d’une d’une part d’une formulation tr` es math´ ematis´ ee
et adapt´ ee au calcul analytique – d’o ` u le nom qui a d´ ej` a´ et´ e utilis´ e par
Joseph-Louis Lagrange [1] – et d’autre part d’une formulation sous l’angle de
diff´ erents “principes”. On nomme ici le principe des d´ eplacements virtuels [2]
(D’Alembert), de la moindre action (Lagrange, Hamilton), de la moindre
contrainte [3] (Gauß). Aujourd’hui, la m´ ecanique analytique est plutˆ ot associ´ ee
avec la formulation de Lagrange et de Hamilton de la m´ ecanique [4, 5, 6].
L’id´ ee principale de la formulation de Hamilton est de voir la trajectoire d’une
particule, o ` u d’un syst` eme de particules, comme r´ esultat d’un probl` eme d’op-
timisation selon un crit` ere qui est connue comme principe de la moindre ac-
tion. Du point de vue math´ ematique il s’agit d’un probl` eme de variation,
o` u l’on cherche une trajectoire qui minimise une fonctionnelle d’action du
syst` eme, fixant le point de et le point d’arriv´ ee. Utilisant des coordonn´ ees
adapt´ ees au probl` eme des contraintes ´ eventuelles sont simplement trait´ ees en
fixant des coordonn´ ees en question, sans n´ ecessit´ e de construire des forces de
contraintes explicites. Un autre avantage de la formulation de la m´ ecanique
classique par Lagrange et Hamilton est la possibilit´ e de faire sortir des lois de
conservation et leur relations avec la les sym´ etries du probl` eme ´ etudi´ es. On
note ´ egalement la possibilit´ e de traiter des syst` emes m´ ecaniques ` a plusieurs
degr´ es de libert´ e coupl´ es d’une mani` ere ´ el´ egante, en composant les ´ energies
cin´ etiques et potentielles terme par terme. Cette propri´ et´ e sera illustr´ ee dans
des applications o ` u l’on consid` ere des syst` emes dynamiques ` a plusieurs
degr´ es de libert´ e dont les mouvements restent proche d’une configuration
d’´ equilibre.
2

2 M´ecanique de Lagrange
2.1 Le principe de D’Alembert
La formulation de D’Alembert de la m´ ecanique classique ´ etait la
premi` ere approche syst´ ematique pour la mod´ elisation de la dynamique d’un
syst` eme m´ ecanique, permettant de prendre en compte des interd´ ependances
´
eventuelles entre les mouvements des diff´ erentes composantes du syst` eme.
Dans ce cours on consid´ era des syst` emes constitu´ es de points mat´ eriels. Sans
contraintes suppl´ ementaires la dynamique d’un syst` eme de Npoints mat´ eriels
est d´ ecrite par les ´ equations de Newton,
mα¨ rα=Fα, α = 1, . . . , N. (1)
Ici mαest la masse du point mat´ eriel, rαsa position ` a l’instant tet Fαla force
externe agissante sur lui. Le points d´ enotent une d´ eriv´ ee par rapport au temps
et ¨ rαest donc l’acc´ el´ eration du point α. Pour les vecteurs on utilisera une no-
tation matricielle, o ` ua= (ax, ay, az)Td´ enote une matrice colonne qui contient
les composantes ax, ay, azd’un vecteur ~a =ax~ex+ay~ey+az~ezpar rapport aux
vecteur de base ~ex, ~ey, ~ezd’un r´ ef´ erentiel euclidien fixe. Le symbole Td´ enote
une transposition. Sans contraintes, le syst` eme d´ ecrit par les ´ equation de New-
ton (1) a f= 3Ndegr´ es de libert´ e. Supposons maintenant que le syst` eme dy-
namique est soumis ` anccontraintes holonomes de la forme,
σj(r1,...,rN)≡0, j = 1, . . . , nc(2)
Dans ce cas on aura alors f= 3N−ncdegr´ es de libert´ e. Dans les ´ equations
du mouvement les contraintes impos´ ees sont refl´ et´ ees par la pr´ esence de forces
de contrainte. Si Zαest la force de contrainte sur la particule α, les ´ equations de
Newton deviennent
mα¨ rα=Fα+Zα, α = 1, . . . , N (3)
D’apr` es D’Alembert ces forces de contrainte satisfont la condition
N
X
α=1
ZT
α·δrα= 0,(4)
o` uδrαsont des d´eplacements virtuels qui sont compatibles avec les contraintes
impos´ ees. On note que aT·b=bT·a= (~a,~ b)est le produit scalaire des vecteurs
~a et~ b, utilisant la convention du calcul matriciel, o ` u “T” d´ enote une transposi-
tion. Le principe (4) exprime que le “travail virtuel” effectu´ e par ces forces est
nul. En utilisant (3) on peut alors ´ ecrire
N
X
α=1
(mα¨ rα−Fα)T·δrα= 0 (5)
3

FIGURE 1 – Pendule.
On note que dans le cas de la statique, o ` u les
acc´ el´ erations sont nulles, ¨ rα≡0, le principe (5)
donne la relation bien connue PN
α=1 Fα·δrα= 0.
Si {r1,...,rN}est un jeu de coordonn´ ees
qui est compatible avec les contraintes (2), les
derni` eres seront aussi v´ erifi´ ees pour le nouveau
jeu de coordonn´ ees {r1+δr1,...,rN+δrN}, car
les d´ eplacements virtuels doivent respecter les
contraintes. On peut alors ´ ecrire
σj(r1+δr1,...,rN+δrN)−σj(r1,...,rN)≡0,
pour j= 1, . . . , nc. Si les d´ eplacements vir-
tuels sont infinit´ esimaux, ceci m` ene aux ´ equations
´
equivalentes
N
X
α=1
δrT
α·∂σj(r1,...,rN)
∂rα
= 0, j = 1, . . . , nc(6)
Partant du principe (5) on voit que les forces de contrainte doivent avoir la
forme g´ en´ erale
Zα=
nc
X
j=1
λj
∂σj(r1,...,rN)
∂rα
(7)
o` uλj∈Rsont des param` etres encore inconnus. Le principe de D’Alembert
implique alors que les forces des contraintes sont proportionnelles au gra-
dients des surfaces d´ ecrites par les ´ equations (2). Les param` etres λkpeuvent
ˆ
etre d´ etermin´ es par diff´ erentiation des ces ´ equations par rapport au temps.
Comme σj≡0ceci est aussi vrai pour toute d´ eriv´ ee totale par rapport au
temps, ce qui m` ene ` a
˙σj=
N
X
α=1
˙
rT
α·∂σj
∂rα
= 0,(8)
¨σj=
N
X
α=1
¨
rT
α·∂σj
∂rα
+
N
X
α,β=1
˙
rT
β·∂2σj
∂rα∂rβ·˙
rα= 0,(9)
o` uj= 1, . . . , nc. Ici on peut utiliser que ¨ rα= (Fα+Zα)/mα, o ` u les forces
de contraints sont donn´ ees par l’expression (7). L’´ equation (9) donne donc un
syst` eme de nc´ equations lin´ eaires pour les ncparam` etres λj(j= 1, . . . , nc).
Si les contraintes (2) sont ind´ependantes, une solution unique existe et on ob-
tient donc une forme explicite pour les forces de contraintes. La solution des
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