1 - PUC-SP

D’Euclide à Legendre,
autour du 5ème Postulat
III - Legendre, un géomètre entêté
PUC-SP. Juin 2006
Autour du 5 me Postulat
Prsentation de Michel HENRY,
IREM de Besanon (Fra nce)

Les Éléments de Géométrie de Legendre
D1 - Legendre mathématicien et pédagogue
Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), professeur àl’École Militaire et à
l’École Normale supérieure, a produit des travaux en mécanique, analyse
(méthode des moindres carrés) et théorie des nombres (loi de réciprocité
quadratique dan son Essai sur la théorie des nombres en 1830).
Pédagogue, entre 1794 et 1823 il publie 12 éditions de ses Éléments de
géométrie (30 éditions en anglais), dans lesquels il tente de simplifier et de
moderniser les Éléments d’Euclide.
D’éditions en éditions, il prétend démontrer le 5ème Postulat, en inventant
des «preuves »qu’il juge ensuite insuffisantes, malgréleur originalitéet
leur élégance. Ainsi, dans l’avertissement àsa 12ème édition (1823), il écrit :
«La démonstration de la théorie des parallèles, telle qu’elle avait étéprésentée dans
la 3eédition de cet ouvrage et dans les éditions suivantes jusqu’à la 8einclusivement,
n’étant pas àl’abri de toute objection, on s’était déterminédans la 9eédition à
rétablir cette théorie à-peu-près sur la même base qu’Euclide. Des réflexions
ultérieures faites sur le même objet, dont on donnera le développement dans la note
II, ont fait découvrir deux nouvelles manières de démontrer le théorème sur les trois
angles du triangle, sans le secours d’aucun postulatum.»

Les Éléments de Géométrie de Legendre
D2 - La «démonstration »de la 3ème édition (1800)
Excluant l’hypothèse de l’angle obtus du rectangle de Saccheri (conduisant à
une géométrie sphérique), Legendre suppose que l’on peut prolonger une
droite àl’infini. Sa stratégie est d’étudier la somme des angles d’un triangle.
Il démontre d’abord un lemme de géométrie absolue (donnépour 2 angles
dans les Éléments d’Euclide, prop. 17), connu comme théorème de
Legendre:
La somme des trois angles d’un triangle ne peut être plus grande que deux
angles droits.
Soit ABC un triangle dont la somme des trois angles est plus grande que deux droits.
Sur AC prenez CE = AC, faites l'angle ECD = CAB (prop. 23), le côtéCD = AB.
Le triangle CDE est égal au triangle BAC (prop. 4). Comme A, C, E sont alignés,
ABC > BCD et AC > BD (prop. 25). Soit AC–BD = d > 0.
On recommence cette construction n fois jusqu’en P et Q, suffisamment pour que AP–
BQ = nd > 2AB (oùBQ est la longueur de la ligne brisée obtenue).
On aurait AP > AB+BQ+QP, contraire àl’inégalitétriangulaire (prop. 20).
L’hypothèse est donc absurde.
A
B
C
D
E
F
G
H
I P
Q

Les Éléments de Géométrie de Legendre
D2 - La «démonstration »de la 3ème édition
Dans un deuxième temps, Legendre «démontre »le théorème :
Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale àdeux angles
droits.
Soit ABC un triangle dont la somme des angles
vaut 2d –z, l’angle a en A étant le plus petit
(donc a< 2d/3). Soit D le point tel que
BCD = ABC et CBD = ACB.
Les triangles ABC et DCB sont égaux (prop. 26).
Par D, point intérieur àl’angle en A, on mène une
droite quelconque qui rencontre (AB) en F et (AC) en E
(C’est cette hypothèse qui porte en elle le 5e Postulat, puisqu’il découle du théorème.
Legendre obtient l’axiome équivalent : d’un point intérieur àun angle moindre que
2/3 d’un droit, il passe une droite qui rencontre les deux côtés de l’angle).
Comme les sommes des angles des triangles FBD et DCE n’excèdent pas 2d, on
obtient que la somme des angles du triangle AEF est inférieure ou égale à2d –2z.
On recommence n fois cette construction de telle sorte que 2nz > 2d.
La somme des angles du grand triangle ainsi obtenu, égale à2d –2nz serait
négative! L’hypothèse est donc absurde, la somme des angles d’un triangle ne peut
être ni plus grande, ni plus petite que 2 angles droits.
A
B
C
D
E
F
a

Les Éléments de Géométrie de Legendre
D3 - La 11ème édition
Jusqu’à la 8ème édition de ses
Éléments de géométrie, Legendre
donne sa «démonstration »du 5ème
Postulat.
On a dûlui faire des critiques et de
la 9ème édition àla 11ème, il
abandonne son beau théorème pour
une autre présentation de la théorie
des parallèles.
Têtu, il admet le 5ème Postulat
comme une évidence.
Celle-ci semble être conséquence de
l’égalitédes angles droits, le 4ème
postulat d’Euclide que Legendre
prétend aussi démontrer !