Dans le cadre d`un P.E.R

Dans le cadre d’un P.E.R. sur les
distances inaccessibles, le travail de la
similitude en 4e à partir du théorème
de Thalès
AMPERES
Groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille
La forme traditionnelle d’enseignement
du théorème de Thalès en 4e.
Dans les manuels, comme la présentation du
programme de 4e semble le suggérer, on
propose :
 Tout d’abord l’étude du cas particulier de la
parallèle passant par le milieu d’un côté
 Ensuite la propriété dite de Thalès comme une
généralisation de la précédente
 Enfin des applications.
Pourquoi cet ordre, et pas un autre ?…
Par exemple :
1.
Rencontre avec la propriété de Thalès dans les triangles
2.
Propriété « parallèles et milieu » comme preuve partielle de
ce théorème
3.
Rencontre et démonstration de la propriété réciproque, dite
« de la droite des milieux »



Qu’est-ce que le théorème de Thalès ?
Quelle transposition possible dans un
PER engendrant l’étude des triangles ?
Considéré par Hilbert comme le théorème
fondamental des similitudes
Peut être considéré, pour les triangles, comme
modélisant des problèmes de réduction et
d’agrandissement
Un PER sur la détermination de distances
inaccessibles a conduit en 6e à rencontrer les échelles,
en 5e à rencontrer les cas d’isométrie des triangles
Première étape : Qu’obtient-on quand on
construit des triangles vérifiant des
conditions sur leurs angles ?


Quand on fixe un angle ? Par exemple A =
43°, compare le triangle ABC obtenu avec
ceux de tes voisins
Quand on fixe deux angles ? Par exemple
A = 43° et B = 115°, compare le triangle
ABC obtenu avec ceux de tes voisins.



Propriété : la somme des angles d’un triangle est
180°.
Nous en déduisons la mesure du troisième angle :
180° - (43° + 115°) = 22°.
Cela nous permet par exemple de vérifier qu’on a
bien construit les deux angles donnés

Propriété : Si on connaît deux angles dans un
triangle
le
troisième
est
déterminé.

Définition : Deux triangles qui ont les mêmes
angles sont appelés triangles semblables.
Conjecture
c
C'
A
A'
B
Lorsque des triangles sont semblables,
il semble que si on les superpose en
faisant coïncider un angle (sommet et
support des côtés, quitte à retourner le
calque), les troisièmes côtés des
triangles sont parallèles.
Deuxième étape : travail à la
maison


Trace un triangle ABC de ton choix et
construis un triangle AEF, semblable au
triangle ABC et tel que les côtés [AE] et [AB]
aient pour support la même demi-droite, ainsi
que les côtés [AF] et [AC] (et tel que les angles
B et E d’une part soient égaux, et les angles C
et F d’autre part soient égaux).
Les droites (BC) et (EF) que tu obtiens sontelles parallèles? Si oui, démontre-le.
Troisième étape : un défi lancé aux
élèves.



Construire un triangle semblable aux autres,
le plus grand possible, sur un calque de la
même dimension
Une idée forte apparaît : les trois côtés
grandissent ensemble
Lorsque ce n’est pas le cas, la vérification
montre que les triangles n’étaient pas
semblables
Troisième étape : quand le modèle
permet de prédire
Un problème de distances inaccessibles :
 P annonce : « J’ai fabriqué moi aussi un triangle qui
suit les mêmes contraintes que vous avez eues lors de
la séance précédente : triangle ABC tel que  = 43°
et B = 115°. »
 P présente le triangle découpé : « C’est bien un
triangle semblable aux vôtres ? Vous pouvez vérifier si
vous voulez (le triangle peut passer dans les groupes).
J’ai choisi un côté [AC] de longueur 60 cm : pouvezvous trouver la longueur des deux autres côtés ? »
Conjecture

Si deux triangles sont semblables, les
longueurs
de
leurs
côtés
sont
proportionnelles.
A

E
B

F
C
En particulier, pour
des triangles ABC et
AEF dans cette
configuration :
les longueurs AB et
AE, AC et AF, et BC et
EF sont
proportionnelles.
Travail à la maison
Parmi les triangles semblables déjà
dessinés vérifier que, pris deux à deux, ils
ont leurs côtés proportionnels.
Quatrième étape : énoncé de la propriété
de Thalès dans les triangles
Nous venons de vérifier sur plusieurs cas que dans
un triangle ABC,
 Si E appartient au segment [AB] et F appartient
au segment [AC]
 Et si les droites (EF) et (BC) sont parallèles, alors
on
peut
écrire
:
AB AC BC
AE AF EF


ou


AE AF EF
AB AC BC

C’est ce que nous appelons le « théorème de
Thalès dans les triangles », théorème admis que
nous démontrerons dans certains cas particuliers.
Cinquième étape : recherche d’une
preuve du théorème de Thalès dans
quelques
cas
particuliers.


P fait remarquer que ce théorème n’a pas
été démontré, mais que sa validité a été
vérifiée expérimentalement et ne semble pas
faire de doute.
On va essayer de le montrer dans certains
cas particuliers, par exemple si le rapport
vaut 1/2
Le rapport ½ et le cas du milieu.
A

E
F
B
C
P demande aux élèves:
Quelles
sont
nos
connaissances
qui
permettent
de
conclure qu’un point
est
milieu
d’un
segment ?
Accompagner la rupture du contrat
didactique : la figure ne contient pas
toutes les données

Comment se servir des connaissances
recensées et disponibles dans la classe pour
répondre
à
la
question
?

Le rajout « d’objets » à cette figure apparaît
comme une nécessité pour pouvoir se servir des
connaissances disponibles.
Plusieurs choix se présentent :

1. « Créer » la hauteur (AH) dans le triangle ABC

2. « Créer » le point G symétrique de F par
rapport à E.

3. « Créer » un triangle FGC, isométrique au
triangle AEF
A
E
F
C
B
G
Il reste à démontrer que EF =1/2 BC

Pour les figures complétées par le point G
symétrique ou par le triangle FGC isométrique,
on peut demander cette démonstration comme
travail à la maison, en utilisant la figure sur
laquelle les élèves ont travaillé.

Dans le cas où le travail a été fait à partir de la
figure complétée par la hauteur, l’amorce de la
démonstration peut être faite en classe, par une
recension des propriétés des triangles rectangles,
puis l’élaboration d’un énoncé pour un travail à la
maison
Théorème dit « parallèle passant par un
milieu dans un triangle »
Nous
avons
démontré
le
résultat
suivant:
Théorème : Dans un triangle, si une droite passe par
le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième
côté, alors elle coupe le troisième côté en son
milieu, et le segment qui joint ces milieux a pour
longueur la moitié de celle du troisième côté.
Démonstration pour quelques valeurs
particulières rationnelles du rapport de
Thalès

Le cas où le rapport vaut 1/4 peut se traiter à titre
d’exercice

Pour d’autres valeurs fractionnaires comme 3/4,
1/3, et 2/3, un devoir à la maison peut être
proposé par le professeur, dont l’énoncé est
élaboré à partir du travail de la classe
Conclusion sur le théorème de Thalès

On a vu une démonstration partielle du
théorème de Thalès pour quelques valeurs
fractionnaires du rapport, on admet que le
théorème est vrai dans le cas général, y compris
lorsque le rapport n’est pas fractionnaire.
Sixième étape : Recherche d’une
réciproque du théorème de Thalès dans
le
cas
du
rapport
½

Recherche d’une formulation de cette réciproque.

Recension des connaissances permettant d’aboutir
à la conclusion du parallélisme de deux droites.

Démonstration à partir de la figure complétée par
la hauteur.
Théorème dit « de la droite des
milieux dans un triangle»
La droite qui passe par les milieux de deux des côtés
d’un triangle est parallèle au troisième.
Quelques « bénéfices » observés:
Du point de vue de la culture des élèves




Le rapport à l’autorité vient du savoir et crée de
l’autonomie pour l’étude.
L’erreur est vue comme normale : elle est
inhérente à la recherche et engage à son
dépassement .
Les élèves acceptent le temps long de la recherche.
Les mathématiques prennent du sens comme
réponses à des questions que l’on a collectivement
instruites, à partir des connaissances dont on
disposait.
Quelques « bénéfices » observés :
Du point de vue des organisations
mathématiques et métamathématiques
C’est l’occasion d’une (nouvelle) rencontre :
 avec (au moins ) deux notions déjà travaillées les
années précédentes : la proportionnalité et la
mesure des angles.
 Avec
des démonstrations nécessitant l’ajout
d’objets complémentaires.
Quelques « bénéfices » observés :
Du point de vue des connaissances
acquises par les élèves




La notion de triangles semblables est très forte et
les élèves la font émerger de manière judicieuse,
même hors contexte.
Dans la pratique du théorème de Thalès, les élèves
se trompent beaucoup moins sur l’écriture des
rapports.
Les élèves font
aisément le lien avec les
agrandissements réductions.
Le théorème « parallèle et milieu dans un
triangle » est vraiment perçu comme un cas
particulier facile du théorème de Thalès.