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B-III Loi de Laplace
B-III.1 Charges en mouvement dans un champ magnétique

v
Considérons une charge électrique q en mouvement
à
la
vitesse

dans un champ d’induction magnétique B .

F

B

v
Cette charge est soumise à la force dite force de Lorentz

 
F  qv x B
La force de Lorentz est perpendiculaire à la vitesse, donc elle ne
travaille pas.
Il en résulte que l’énergie cinétique se conserve sous le seul effet de
cette force.
Donc le module de la vitesse se conserve également, ce qui veut
nullement dire que le vecteur vitesse soit constant.
1
2
Orientation de la force : donnée par le produit vectoriel
Exemple N°1 : Mouvement dans un champ magnétique uniforme

v la force de
Pour une charge q > 0 (pour
fixer
les
dessins)
de
vitesse


Lorentz dans un champ B choisi sur k


dv

 
F  qv x B  m  ma
dt
Posons r  x  iy rayon position complexe projetée dans le


plan xy. L’équation du mouvement devient a  qB v x k  v x k
m
v x 0 v y  v x
qB

Soit aussi a  v y x 0   v x  v y

fréquence cyclotron
m
v z 1
0  v z


Mouvement suivant k donc suivant B

Vitesse constante v oz et mouvement de translation uniforme z  v oz t  z o
z

B

k
Mouvement dans le plan xy
En notations complexes v  vx  ivy
dv
 iv soit v  ivoyeit
dt
t=0 , Mo
v
dr
 ivoyeit soit r   oy eit  ro
dt

x
 O
xo i

vo

v oy

j

v oz
y
3
A t = 0 nous avons r = xo et il vient
xo  
voy
v
 ro soit ro  oy  x o


Calculons l’équation de la trajectoire dans le plan xy à partir du module de x  x o 
2
2

v 
voy 
  y 2   oy  équation d’un cercle de centre
Soit  x  x o 
 
 



voy
v
 iy  i oy e it


voy voym

v oy 


R


et
de
rayon
C x o 
,0 

qB
 

Le module de la vitesse projetée dans le plan xy est v oy constant
1
z
0.5
0
-0.5

B
-1
1.5
y

vo
1
Mo
0.5
xx
0
1
1.5
2
2.5
3
4
Exemple N°2 : Effet Hall
Voici un exemple important utilisé pour le mesure du champ magnétique. Un conducteur métallique de type
parallélépipède rectangle est soumis dans la direction de sa faible dimension (y) à un champ magnétique

uniforme B
y

B

ve

Fm

Fe

B

-e

















E
x




 a

z
I
d

Sur les électrons mobiles associés au courant injecté dans le sens de la longueur (x), la force de Lorentz Fm
donne un déplacement suivant
 positifs un déplacement opposé. Il apparaît un
 z et pour les sites lacunaires
champ électrique croissant E en z qui crée une force Fe opposée à celle de Lorentz. Le champ électrique
en z croît jusqu’à l’égalité en module des deux forces, les charges se déplaçant alors en ligne droite.
La différence de potentiel dans la direction z de dimension d est la tension Hall donnée par VH  E.d
Le champ électrique est donné par l’égalité des forces eE  eve B soit E  v e B
I
Le courant est relié à la vitesse par la relation de la densité de courant j  I  e.n.ve soit ve 
e.n.a.d
a.d
I
I.B
La tension Hall s’écrit
VH  E.d  ve Bd 
Bd 
n = densité de porteurs
e.n.a.d
e.n.a

Elle permet des mesures de B , de même que la détermination de la densité de porteurs n.
5
Exemple N°3 : Ceinture de Van Allen
Axe
du champ
Ceinture de
Van Allen
Interne
Ceinture de
Van Allen
Externe
Distance à
la Terre en
Rayons
terrestres
6
Exemple N°3 : Ceinture de Van Allen
Particules chargées venant
du Soleil entrant dans le
champ magnétique terrestre
Protons piégés
dans la ceinture interne
Pôle
Nord
Pôle
Sud
Électrons piégés
dans la ceinture externe
7
Exemple N°3 : Ceinture de Van Allen
8
9
B-III.2 La force de Laplace

F
Si la charge q appartient à une famille de charges en
mouvement dans un conducteur, charges contribuant à
l’existence d’un courant I, il est possible de relier la force de
Lorentz à la force qu’un champ magnétique crée sur un élément
de courant.

B

v
S

Soit n la densité de charges participant au courant électrique,
animées d’une vitesse moyenne v .
Pendant le temps δt, la quantité de charges δq qui passe une

section du fil est soumise à la force totale F  qv x B
Si on écrit v   il vient
t


  q
F  q x B   x B  I x B
t
t
Le résultat précédent constitue la loi
de Laplace qui donne la force

exercée par un champ magnétique B
sur un élément de courant I
(pris dans un circuit fermé qui n’est
pas représenté à ce stade de la
présentation)

F  I x B

B

F
I
10
Propriétés de la force de Laplace
Direction normale aux deux vecteurs
courant et champ
Sens donné par l’orientation du produit
vectoriel qui la définit (toute les méthodes
d’orientation de la force sont bonnes si justes)
L’intensité de la force est proportionnelle à
l’intensité du courant et à la valeur du champ

F

B

I
L’intensité de la force est donnée par le
module du produit vectoriel dont on rappelle

l’expression
F  I  B sin 
11
B-IV Loi des actions électrodynamiques d’Ampère
B-IV.1 Définition
Après avoir constaté l’existence des charges électriques, nous
avons mis l’interaction entre ces charges en tête du cours
d’électrostatique, la fameuse loi de Coulomb.
Se pose maintenant le problème de l’interaction entre les
courants que nous allons développer grâce aux éléments de
courant.
Circuit filiforme 1
C1
I1
Remarque: Nous avons vu dans le cours de S1 consacré aux
Concepts de la Physique qu’il n’existait qu’une seule Interaction
Fondamentale Électromagnétique: la force de Coulomb. La loi
de force que nous allons introduire en Magnétostatique n’est pas
une force supplémentaire mais une émanation de la force de
Coulomb lorsque l’espace-temps est relativisé.
Circuit filiforme 2
C2
I2
La loi des actions électrodynamiques d’Ampère exprime la
force d’un circuit filiforme C1 parcouru par un courant I1 sur un
autre circuit filiforme C2 parcouru par un courant I2.
12
Considérons, pris dans ces deux circuits, deux éléments de
courant I1 1 de C1 au point M1 et I 2  2de C2 au point M2.

Le vecteur qui les joint est r12  M1 M 2
Circuit filiforme 1
Par définition la force que l’élément de courant I1 1 exerce sur
C1
l’élément de courant I 2  2 est donnée par

2
F
I1 1 I 2  2


o
r 
 I2  2 x I1 1 x 123 
4
r12 

I1 1
Cette force élémentaire est mathématiquement plus compliquée
que la force de Coulomb

r12
Cette force élémentaire n’a pas de réalité physique. En effet la
troisième loi de Newton (vue au Lycée), loi de l’action égale à la
réaction, stipule que la force que l’élément de courant
I 2  2
exerce sur l’élément de courant I1 1 est donnée par l’opposée


2
2

F



F
de la précédente, soit
I 2  2 I1 1
I1
M1
C2
I2
Circuit filiforme 2
M2 I 2  2
I1 1 I 2  2
Or il est facile de montrer qu’il n’en est pas ainsi.




r21  et il faudrait avoir  x  x r   x  x r
o
Avec 2 F
 I1 1 x I 2  2 x 3 
1
2
21
2
1
12
I 2  2 I1 1
4
r

21 





Par exemple pour  2  r12 le deuxième membre est nul, ce qui n’implique pas la nullité du premier.
13
Bien que la force élémentaire ne soit pas physique elle reste
valable tant qu’elle ne prétend pas représenter une réalité
physique. La seule réalité physique ici est la force entre les
deux circuits dans leur entier. Nous n’y sommes pas encore.
Circuit filiforme 1
Calculons la force que l’ensemble du circuit C1 parcouru par I1
crée sur l’élément I 2  2 de C2 .

1
F
C1 , I1 I 2  2


o
r 
 I 2  2 x C  I1  1 x 123 
1
4
r12 

C1
I1
M1
I1 1
Arrivé à ce stade on reconnaît
D’une part le champ magnétique créé par la spire (C1, I1) au

point M2 

o
r 
B
 I1 C   1 x 123 
C1 , I1 M 2
4 1 
r12 
La force de Laplace que ce champ magnétique crée sur
l’élément I  2 du circuit C2
2

F
1
C1 , I1 I 2  2

 I2  2 x B

r12
C2
Circuit filiforme 2
I2
M2 I 2  2
C1 , I1 M 2
14
Une deuxième sommation nous donne la force que l’ensemble
du circuit C1 crée sur le circuit C2 .

F
C1 , I1 C 2 , I 2


o I1 I 2
r12 

 2 x C  1 x 3 

C2
1
4
r12 

Circuit filiforme 1
C1
I1 1
Soit aussi avec l’expression du champ magnétique

F
C1 , I1 C 2 , I 2
 I2 C
2

 2 x B

F
C1 , I1 C 2 , I 2

r12
C1 , I1 M 2
C’est sous cette forme que la force répond aux exigences des
principes physiques et en particulier à la troisième loi de
Newton. Il faut que

 F
I1
M1
C2
Circuit filiforme 2
I2
M2 I 2  2
C 2 , I 2 C1 , I1
Bien que l’expression de la force ne semble pas donner aux
deux circuits des rôles symétriques, cette expression satisfait
au principe de Newton.
15
Propriétés de la force entre deux circuits
C’est une loi déduite de résultats expérimentaux (Ampère), loi de base de la Magnétostatique
L’intensité de la force varie globalement comme l’inverse du carré des distances
L’intensité de la force est directement proportionnelle à chacun des courants des circuits
Son orientation dépendant de la géométrie globale, celle des deux spires comme de leur relative
disposition, elle n’est pas directement observable dans un cas quelconque.
Elle satisfait la troisième loi de Newton.
Montrons cette dernière propriété.

 
     
A
x
(
B
x
C
)

B
(A. C) - C(A. B)
Considérons la relation entre trois vecteurs quelconques
Appliquée dans l’expression de la force elle donne



 



1 x  2 x r21   2 1. r21  r21 1. 2








r12 
r12  r12
C2 C1  2 x  1 x r 3   C2 C1  1   2 . r 3   r 3  2 . 1 

12 
12 
12
 


r12
Considérons le premier terme écrit sous la forme
C1 1 C2  2 . r 3
12


r12 porte sur la fonction continue r12 intégrée sur un
Dans cette expression l’intégrale
C2  2 . r 3
3
r
12
12

contour fermé ce qui donne un résultat nul

16
La force entre les deux circuits se trouve maintenant écrite sous la forme antisymétrique par échange
des deux circuits

F
C1 , I1 C 2 , I 2

o I1 I 2
r12

 2 . 1

C 2 C1 3
4
r12


B-IV.2 La force de Lorentz-Laplace est-elle une nouvelle force
Ce qui suit n’a pas prétention à démonstration rigoureuse,
mais cherche simplement à montrer que la seule force de
Coulomb, moyennant quelques aménagements, fait
apparaître une composante supplémentaire en tous points
conforme à la force de Lorentz. Un calcul rigoureux devrait
se faire dans le cadre de la Relativité Restreinte.
Soit deux particules chargées, identiques, q > 0 pour fixer

la figure, se déplaçant à la même vitesse v sur des trajets
parallèles espacés de d. A l’instant t = 0 elles sont en A et B.
Si on suppose, et c’est là une hypothèse non contenue dans
la loi de Coulomb, que l’interaction électrique ne se
propage pas à une vitesse infinie mais à la vitesse de la
lumière c, l’action issue de la charge A sur la charge B ne
sera ressentie qu’en position B’, à une distance r et non d.

v
q
A’
B’
r

v
q A

v
d

v
B q
17
Le temps de parcourt entre A et B’ pour l’action est le même que le temps de parcourt entre B et B’ pour la
charge qui va subir l’action.
2
d
2
r 
v2 2
2
2
2 2
2
r  ct
v2
r d v t d  2 r
1 2
c
c
La force de Coulomb modifiée peut s’écrire en module, force répulsive
 v2 
q2
q 2 v2
1  2  
F


2
2 
4o r
4o d  c  4o d 2 4o d 2c 2
q2
q2
Nous reconnaissons, dans le premier terme, la force de Coulomb classique où les interactions sont
2
q
supposées instantanées ayant parcouru une distance d F 
c
4o d 2
 o qv


qv
Le deuxième terme peut prendre avec la relation
la forme 
4o d 2c 2
4 d 2

Nous savons que la quantité qv est assimilable à un
élément de courant id
Le terme  o qv n’est autre que le champ magnétique créé en
4 d 2
 
B’ par la
charge A’ en mouvement
avec
le sens donné par 



v
v

Fc
Fm B’
la figure. Apparaît alors une force Fm  qv x B dont le module
d
A’
q
correspond bien au deuxième terme de la force de Coulomb
q 
B
modifiée et dont le sens est tel qu’il donne bien le signe négatif,
deux courants de même sens s’attirent, alors que deux charges de
même signe se repoussent.
18
 o o 
1
c2
q 2 v2
B-IV.3 Force entre deux fils parallèles – Définition de l’Ampère
A la distance d le fil (a) très long parcouru par un
courant ia crée à la distance d un champ magnétique
i
perpendiculaire au fil (b) de module B  o a
2d
Soit une force sur la longueur L du fil (b)
F
 oi a i b L
2d
La force par unité de longueur est
ii
F  o a b
2d
(Dû à ia)
Soit la définition de l’Ampère qui a prévalu pendant de très nombreuses années:
« L’ampère est le courant qui traverse deux fils parallèles très longs situés à 1m l’un de l’autre et qui
exercent entre eux une force de 2.10-7 N par mètre »
Si les courants sont dans le même sens la force est attractive, répulsive dans le cas inverse.
19
B-V Circuit dans un champ magnétique
B-V.1 Retour sur la loi de force
C
Nous avons à notre disposition une loi de force entre les circuits, loi des
actions électrodynamiques d’Ampère, que nous n’avons pas beaucoup
exploitée jusqu’à maintenant. La difficulté mathématique qu’elle porte
justifiant cela.

Soit un champ magnétique B créé en tout point M par un ensemble de
sources non précisé, si ce n’est que ces sources ont des propriétés
indépendantes du circuit C , courant et position . La force que cet ensemble
de sources crée sur le circuit C parcouru par le courant I est une résultante
de la sommation de la loi de Laplace


FsourcesC,I  I C d x B
Au même titre que la loi de force de Coulomb peut être mise en évidence
expérimentalement par la balance de Coulomb, la balance de Cotton
permet de mesurer (entre autres dispositifs) la force qu’un champ
magnétique provoque sur un circuit parcouru par un courant.
Circuit filiforme
I


B
M

Sources de B
Balance de Cotton
20
B-V.2 Énergie potentielle magnétique d’un circuit dans un champ créé par des sources extérieures

Fobs
Pour que le circuit C parcouru par un courant I soit
 à
l’équilibre il faut lui appliquer une autre force Fobs due à



un observateur mécanique extérieur avec F  F
obs
sources  0

Fsources
C
Afin d’estimer l’énergie potentielle du circuit (C , I),
calculons le travail de l’observateur qui est condamné à
déplacer le circuit depuis un endroit très éloigné (nous
pouvons dire l’infini), là où les sources exercent une
force jugée négligeable, jusqu’à un endroit où les actions
en question sont appréciables.

B
I
Effectuons d’abord un déplacement infinitésimal r du
circuit
Sur l’élément I du circuit (C , I) s’exercent les forces

Fsources  I x B  -Fobs
avec un travail pour le déplacement r
C



 Wobs  Fobs .r   I x B .r
2
expression qui peut prendre la forme



 Wobs  I r x  .B
2

B
C
S
I

Sources de B
I
I
Fsources
r
21
La quantité S  r x  représente le vecteur surface élémentaire dont la norme est la surface infinitésimale

balayée par l’élément  du circuit C lors du déplacement r . Ainsi 2 W  IS .B
obs
Si on introduit le flux élémentaire  c coupé par  lors du déplacement r , il vient 2 Wobs  I2c
2
Si on considère le travail de l’observateur pour le déplacement infinitésimal de l’ensemble du circuit C
Wobs  I C  2c  Ic, expression dans laquelle
C

B

B

B

C

estc le flux coupé par tout le circuit C .
Considérons maintenant le déplacement du circuit depuis une

zone éloignée des sources de B . Lors de ce déplacement le
circuit coupe un certain flux  c et
c
Wobs   Ic

I
 c
C
2
r
C
I
C
C
I
I
I

Si on considère la surface fermée constituée des deux

Sources de B
surfaces s’appuyant sur C à  et en position finale Sf et
par la surface latérale balayée, le flux à l’infini étant nul il
reste que
c  (Sf )  0

Sources de B
22

Sur cette surface fermée la normale extérieure n f
pour la surface finale Sf est inverse à celle de
l’orientation conventionnelle. On en déduit que

n
c  (Sf )  (S)
I Sf
S

nf
La quantité (S) étant le flux à travers la surface S du
circuit dans sa position finale avec la normale
correctement orientée.
L’énergie potentielle du circuit (C , I) dans le champ
des sources extérieures est donnée par le travail de
l’observateur, donc : W
 I  

En notations simplifiées
W  I 
C , I dans Bsources

B
BC
A condition que l’on sache de quoi l’on parle
23
B-V.3 Actions sur un circuit dans un champ créé par des sources extérieures
L’expression de l’énergie potentielle du circuit dans le champ magnétique créé par un ensemble de sources
nous permet de calculer les éléments d’action de ces sources sur le circuit.
Force qu’un ensemble de sources de champ magnétique crée sur un circuit

 B étant connu en chaque point du circuit il est possible de calculer directement la force avec l’expression
intégrée


FsourcesC,I  I C d x B
L’autre méthode consiste à prendre les variations de l’énergie potentielle

FsourcesC,I  gradW  Igrad 
Moment des forces dans la rotation autour d’un axe  
Soit par un calcul direct en prenant la somme des moments des forces élémentaires
Soit en faisant une variation de l’énergie potentielle    W  I 



24
Exemple d’application du calcul des actions sur un circuit
Un cadre rectangulaire ABCD, parcouru par un courant I
est placé dans le champ magnétique créé par un fil très
grand, placé dans le plan du cadre, parallèle à AB = a et
parcouru par un courant I’. Le repère géométrique est
 
  
celui de la figure (u, v, w ) avec (u , v) dans le plan du

cadre qui est le plan de la figure w perpendiculaire.
A
I’
X
Le champ magnétique créé par le fil à la distance X est

 I' 
B(X)   o w
2X
Son flux sur la bande de surface élémentaire de largeur dX
 I'
est   BS   o a dX attention à l’orientation de la
2X
surface du circuit. Le flux total est donné par avec x > 0
 I' a
 o
2
xb
x
D
dX

B
I
a
x

v
1
 I' a  x  b 
dX   o ln 

X
2  x 
L’énergie potentielle prend la forme W  I 

n
b

w
B
C

u
o II' a  x  b 
ln 

2
 x 
Le calcul de la force à partir de cette expression donne Fx  
W o II' a  1
1 




x
2  x x  b 
25
Calcul direct de la force

B
Le côté AB du circuit est placé dans l’induction constante ( x )
x+b

La force FAB s’écrit directement
A

 I' 
 II' a    II' a 
FAB  IAB x(- o w)  - o ( v x w)  o u
2x
2x
2x

On en déduit la force FCD

B( x )

 o II' a 
FCD  
u
2( x  b)
I
Les deux forces sur BC et DA s’annulent par symétrie.
Il reste pour la force totale  o II' a  1
1 
F


u
2  x x  b 
Expression conforme avec celle trouvée par l’énergie.

w
B

u

FAB

FBC
x

v

FDA
b
D

B( x  b)

FCD

n

B( X )
a
C
X
26
d

Pour calculer le moment des forces de rotation du cadre il faut
le sortir du plan qu’il faisait avec le fil. Soit donc un axe  
parallèle au fil, passant au milieu de BC et DA autour duquel
le cadre peut tourner. Un dessin vu du dessus n’est pas inutile
en complément du dessin en perspective. 
D
b
A

B
I

B

v
I’
a
S

u

u
C


n
C,D


d
A,B

w
c
r

w

v
B
dc

S


Dans cette configuration le champ magnétique B varie en
norme et en direction à la surface du circuit. Suivant la figure
B
 I'
B(r )  o et   B.S  B a c cos
2r
2
2
2
r

c

d
Nous avons les relations géométriques r 2  d 2  c2  2dccos et cos 
2rc
r 2  c2  d 2 o I' a c(d 2  c 2  2dccos  c2  d 2 )
 o I'
o I' a (c  dcos)
a c


c 27
Il vient alors   
2r
2rc
4c(d 2  c2  2dccos)
2(d 2  c2  2dccos)
Il vient pour le calcul du flux l’expression suivante obtenue en intégrant en c le long du cadre
 I' a
 o
2
2
2
c  dcos
o I' a  d  b / 2  db cos  
b / 2 d 2  c2  2dccosdc   4 ln  d 2  b / 22  db cos  


b / 2
L’énergie potentielle s’écrit
2
2
o II' a  d  b / 2  db cos  
W
ln 2
 d  b / 22  db cos  
4


Le calcul du moment des forces donne
  
W
 II' a
 o

4


db sin 
db sin 



 d 2  b / 22  db cos  d 2  b / 22  db cos  


Il est possible de retrouver cette expression par un calcul direct du moment des forces (exercice à
faire).
Tracé avec : d = 1 et b = 1
2

1.5
W
1
1

1
2
3
4
5
0.5

1
6
2
3
4
5
6
-0.5
-1
-2
-1
-1.5
28
Tracé avec : d = 1 et b = 1.8
6
W
4

4
2
2


1
-2
-4
2
3
4
5
1
6
2
3
4
5
6
-2
-4
-6
29

M  i S dS
B-VI Dipôle Magnétique
Nous avons vu le dipôle électrique comme une entité
physique constituée de deux charges
 électriques opposées ±q
situées à une très courte distance d l’une de l’autre. Un
dipôle électrique est caractérisé par son moment dipolaire
dS
S


p  qd
dr
Un dipôle magnétique est schématisé par une petite boucle de
courant C parcourue par un courant i, caractérisée par un
moment magnétique 
Considérons l’identité

C

r
z
M  i S dS
On montre que l’intégrale de surface est indépendante de la
surface qui s’appuie sur C.
C
y
O
x






C d x r  S dS.grad A  dS x rotA  dS.divA
Valable pour toute surface S s’appuyant sur C .

Si maintenant nous prenons A  r il est facile de démontrer que

d x r  - 2 dS
C
S
Nous obtenons une nouvelle expression du moment magnétique
 i 
M  S r x d
2
30
M
Potentiel magnétique vecteur
Cherchons le potentiel magnétique vecteur créé à grande distance
par une boucle de courant de petite dimension, dans les conditions




'
suivantes r et R  r ' Par définition A(M)  oi  dr

4 C r
Nous pouvons écrire le développement


1
1
1
1
1  R.r ' 








1 2 





2
2

r
. R  r ' R  r ' 2R.r ' R 
R 
R  r ' R  r '
Il vient pour le potentiel magnétique vecteur



oi  1 R  
A(M) 
 .r ' dr '

4 C  R R 3 
dr'
Le potentiel magnétique vecteur peut alors s’écrire
C f dr  S dS x gradf

r
z

La première intégrale est nulle puisque sur un parcours fermé C dr '  0
Considérons l’identité

R
i

r'
M’
x
y C
O


oi  R  
A(M) 
.r ' dr '

4 C  R 3 
pour toute fonction dérivable f. Dans notre cas nous avons




 oi
 oi
 oi
R.r 'dr'  3 S dS x grad R.r '  3 S dS x R
A(M) 
3 C
4R
4R
4R



o
R
A( M)  M x 3
4
R
31


 o  R 


B(M)  rot M  M x 3 
Nous y avons accès par la relation B(M)  rot M A(M) soit
R 
 4


Le rotationnel se calcule au point M, extrémité de R , lieu qui ne concerne pas M .
Champ magnétique

 


      
 

Utilisons l’identité générale rot A x B  AdivB - BdivA  B.grad A  A.grad B avec M  Cte








 R 
R 
R
R
R
Soit rot M x 3   Mdiv 3   M.grad 3   M.grad 3 puisque div 3   0
R 
R
R

R 
R 



Il vient B(M)   o M.grad R3
4
R






Énergie potentielle d’un dipôle magnétique dans un champ magnétique extérieur.
Nous connaissons l’énergie potentielle magnétique d’un
 circuit parcouru par un
courant i, placé dans un champ magnétique extérieur B qui produit dans le

circuit un flux Ф
W  i  i S B.dS
Dans le cas du dipôle magnétique, de très
 petite dimension par rapport à
l’échelle de grandeur de variation de B , ce champ peut être considéré comme


pratiquement constant sur la surface du dipôle


M

B
M

W  i S B.dS   i S dS .B
Soit l’énergie potentielle recherchée
 
W   M.B
32
Action d’un champ magnétique extérieur sur un dipôle magnétique
Expression de la force
Comme pour un circuit fermé quelconque, la force dans un champ magnétique uniforme est nulle.


 

Pour un champ localement non uniforme F  gradW  grad M.B

 

Transformons cette expression avec
 

 
 
 

gradM.B  M.grad B  B.grad M  M x rotB  B x rotM
 

Comme le moment magnétique M est un vecteur constant et que rotB  0 en l’absence de densité de
 





courant locale gradM.B  M.grad B la force prend une forme plus commode
F  M.grad B




Moment des forces en un point O
En transformant les produits vectoriels

 



  C r x idr x B



  i C r .Bdr  i C B r .dr
C
M
  
MxB

r
z

 
B
BC r .dr  C d (r 2 )  0
2







i
r
.
B
dr
Nous avons rencontré l’expression
dans le calcul de A
C
M

B

Pour B peu variable sur la petite spire du dipôle la deuxième intégrale

donne avec sortie de B quasiment constant


  i C dS x B

i
dr
y
x
O
33
B-VI Deux circuits filiformes en interaction
B-VI.1 Coefficients d’inductance mutuelle
S1
Circuit filiforme 1
Cherchons à exprimer le flux que le circuit (C1, I1) envoie dans le
circuit C2. En un point M de l’espace le champ créé par (C1, I1) est

I
B(M)  o 1
4

C1 

C1

r
 1 x 3 
r 
Le flux au travers d’une surface S2 qui s’appuie sur C2 est 12  S
I
12  o 1
Soit en combinant les deux expressions
4
2
M1

B.dS2


r



x
S2 C1  1 r 3 .dS2


S2
Nous voyons que le flux envoyé par le circuit (C1, I1) dans le circuit C2
ne dépend électriquement que du courant I1 les autres paramètres étant
géométriques. Nous pouvons écrire
M12 étant
12  Mle12 Icoefficient
1
l’inductance mutuelle existant entre le circuit C1 et le circuit C2 .
W


Ce coefficient M12 a une forme compliquée
o
r
M12 
I1 1
I1

r
M

r12
C2
Circuit filiforme 2
I2
M2 I 2  2
  1 x 3 .dS2

S2 C1 
4
r 

Si on cherche à calculer le flux que le circuit (C2, I2) envoie dans le
circuit au travers de la surface S1 on trouve une expression


r
équivalente 21  M 21I 2 avec M   o



x
.dS1

21
2
3
S1 C 2 
4
r 


34
Symétrie des coefficients d’inductance mutuelle (complément)
Les formes trouvées pour les coefficients M12 et M21 ne permettent pas de voir directement que M12 = M21
Procédons autrement en utilisant le potentiel magnétique vecteur jusqu’à présent peu mis en œuvre.

La potentiel magnétique vecteur A créé par le circuit (C1, I1) au point M est
 o I1 1
A

4 C1 r
Le flux du champ magnétique créé par (C1, I1) au travers de la surface S1 portée par C2 est




Soit avec la relation de définition B(M)  rot M A(M)
12  S rotA.dS2  C A.d 2
2
12  S
2

B.dS2
2

I

L’introduction de l’expression de A dans cette dernière expression donne 12  o 1 C C 1 .d 2  M12 I1
4 2 1 r
Une forme symétrique de M12 est déductible de cette formule M12  o    1 .d 2  M 21
4 C2 C1 r
L’inversion des indices ne souffrant d’aucune difficulté.
Hormis les difficultés mathématiques du calcul des coefficients d’inductance mutuelle, la formule de
Neumann ci-dessus ne souffre pas de définition de principe. Il n’en va pas de même pour le calcul direct de
ce que l’on appelle l’inductance propre d’un circuit, que ce dernier soit filiforme ou pas. Il est malheureux
de trouver dans de nombreux ouvrages des définitions erronées qui, voulant faire simple, masquent
totalement la réalité des difficultés posées à la mise en équation de l’auto-induction. Nous ne chercherons
pas à définir trop hâtivement le fameux coefficient L d’un circuit sachant que son calcul n’a rien de trivial,
bien que son usage soit très répandu.
35
Exemple du fil et du cadre
Nous avons trouvé que le flux envoyé par le fil dans le cadre est

 o I' a  x  b 
ln 

2  x 
Soit un coefficient d’inductance mutuelle M fil cadre  
I’
A
b
D
oa  x  b 
ln 

2  x 
a
Le fil étant refermé à l’infini, il est moins évident d’en calculer le
flux reçu par le cadre pour prouver la symétrie des coefficients.
Il est toutefois possible de retrouver ce résultat moyennant
quelques calculs élémentaires mais laborieux (voir le complément
qui suit)

B
I
x
B
C
36
c
Coefficient d’inductance mutuelle entre cadre et fil (complément)
Le fil est considéré comme le côté d’un cadre rectangulaire se
refermant à l’infini. Avant de passer à l’infini, considérons un
grand cadre de côtés c et 2c placé dans le même plan que le cadre
ABCD (voir figure). Il est possible de calculer le flux envoyé par
le cadre ABCB dans ce grand cadre. Il est facile de se convaincre
que le flux du champ créé par les deux segments symétriques BC
et DA est nul. Pour les deux autres segments des intégrales
classiques donnent
I
   o f (c)
2
avec f(c) =
c2
2 c e e2
x2
b2
c2
2ce
b2
c2
2 c e e2
c e Log
c e Log
c e Log
c e Log
c e Log
c e Log
c e Log
c2
e2
2 c
2 c e e2
x2
2bx
c2
2b c x
e
c2
2 c e e2
2
b2
c2
2 c
e
b2
2
c2
c
2 c
e
c2
c2
c
b2
2 c e
e
b2
b
e2
2
x
c2
c2
c
2bx
c2
2 c e e2
e Log
c
e
e2
2b c x
2 c e
c2
c x
2
c x
2
2ce
c e
2
e2
D
a
x
B
C
x2
x
c
x2
2 b x x2
c x
c
e2
2
e
x
2
2
e2
b
Un passage à la limite c (excellent
exercice pour des étudiants de premier
cycle) redonne le coefficient d’inductance
mutuelle entre le fil et le cadre.
2
2b c
b c
2ce
c
2ce
e2
b
x
2ce
c2
A
I I
2 b x x2
c x
c
2 c
2
2ce
e
b2
x
2
c
b x
2 c e e2
2
2 c e e2
c
x2
e2
2ce
e
c e
2 c e
2
c2
e2
x
2ce
c e
b2
2ce
c x
c e
2 c e
x2
I’
x
c
x
2
x
2b c x
c x
c
x
2
Expression dans laquelle e = a/2
37
B-VII Circuit dans son propre champ
L’étude d’un circuit filiforme dans son propre champ n’est pas sans poser problème puisque dans
l ’approximation d’un fil de section négligeable, portant un courant fini, le champ créé au voisinage du fil
n’est pas défini. D’autre part si le circuit est de section non nulle, il sera impossible de lui associer une
surface définie pour y en calculer le flux.
Par exemple nous savons que le champ à la distance r d’un fil rectiligne très grand parcouru par un courant I
I
est en norme B(r )  o quantité qui diverge lorsque r tend vers 0.
2r
Il est donc nécessaire de considérer des fils de section finie lorsqu’il faut se rapprocher d’eux.
Courant total I
B-VII.1 Champ créé par un très grand fil de section finie
uniformément réparti
Pour r > a l’application du théorème d’Ampère sur un
cercle de rayon r, passant par M, et centré sur l’axe du fil,
I
donne directement B.2r   o Iencerclé   o I soit B(r )  o
2r
Pour r < a la même application du théorème d’Ampère
I
Donne B.2r  o Iencerclé  o I 2 r 2 soit
B( r )  o 2 r
2a
a
La variation du champ en fonction de r est donnée sur la
courbe suivante
Rayon a
r
M
38
B(a ) 
B( r ) 
B
o I
2a
B(r ) 
o I
2r
oI
r
2a 2
0
a
r
Ce calcul est important car il montre que le
champ ne diverge pas au voisinage du fil et tend
vers zéro au centre du fil.
39
Se pose alors le problème du calcul du flux propre créé par un circuit, non filiforme.
Comme il n’est pas possible de définir une surface S qui s’appuie sur ce circuit puisqu’il n’est pas
réductible à une seule courbe, nous ne chercherons pas à définir le flux propre à un circuit donné.
Nous reviendrons sur cette question par une méthode énergétique pour définir le coefficient
d’inductance propre L d’un circuit.
40