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B-III Loi de Laplace
B-III.1 Charges en mouvement dans un champ magnétique
Considérons une charge électrique q en mouvement à la vitesse
dans un champ d’induction magnétique .
Cette charge est soumise à la force dite force de Lorentz
La force de Lorentz est perpendiculaire à la vitesse, donc elle ne
travaille pas.
Il en résulte que l’énergie cinétique se conserve sous le seul effet de
cette force.
Donc le module de la vitesse se conserve également, ce qui veut
nullement dire que le vecteur vitesse soit constant.
v
B
B x vqF 
B
v
F

2

3
Orientation de la force : donnée par le produit vectoriel
Exemple N°1 : Mouvement dans un champ magnétique uniforme
Pour une charge q > 0 (pour fixer les dessins) de vitesse la force de
Lorentz dans un champ choisi sur
Posons rayon position complexe projetée dans le
plan xy. L’équation du mouvement devient
Soit aussi
Mouvement suivant donc suivant
Vitesse constante et mouvement de translation uniforme
Mouvement dans le plan xy
En notations complexes
v
B
am
dt
vd
mB x vqF 
k
iyxr 
k x vk x v
m
qB
a
z
yx
xy
z
y
x
v0
vv
vv
1
0
0
x
v
v
v
a
y
i
B
xo
z
O
j
k
o
v
t=0, Mo
x
oy
v
oz
v
B
k
oz
v
ooz ztvz 
ti
oyevisoit v vi
dt
dv 
o
ti
oy
ti
oy re
v
rsoit evi
dt
dr 
cyclotron fréquence
m
qB
yx iv v v 

4
ti
oyoy
oe
v
iiy
v
xx 
Calculons l’équation de la trajectoire dans le plan xy à partir du module de
Soit équation d’un cercle de centre et de rayon
Le module de la vitesse projetée dans le plan xy est constant
2
oy
2
2
oy
o
v
y
v
xx 
qB
mvv
Royoy 
oy
v
x
v
rsoit r
v
xo
oy
oo
oy
o
A t = 0 nous avons r = xoet il vient
0,
v
xC oy
o
x
1
1.5
2
2.5
3
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
1
1.5
2
2.5
3
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
z
Mo
B
o
v

5
Exemple N°2 : Effet Hall
Voici un exemple important utilisé pour le mesure du champ magnétique. Un conducteur métallique de type
parallélépipède rectangle est soumis dans la direction de sa faible dimension (y) à un champ magnétique
uniforme
B
Sur les électrons mobiles associés au courant injecté dans le sens de la longueur (x), la force de Lorentz
donne un déplacement suivant z et pour les sites lacunaires positifs un déplacement opposé. Il apparaît un
champ électrique croissant en z qui crée une force opposée à celle de Lorentz. Le champ électrique
en z croît jusqu’à l’égalité en module des deux forces, les charges se déplaçant alors en ligne droite.
La différence de potentiel dans la direction z de dimension d est la tension Hall donnée par
Le champ électrique est donné par l’égalité des forces soit
Le courant est relié à la vitesse par la relation de la densité de courant soit
La tension Hall s’écrit
Elle permet des mesures de , de même que la détermination de la densité de porteurs n.
E
B
e
v
-e
m
F
e
F
m
F
e
F
d.EVH
BeveE e
BvE e
e
v.n.e
d.aI
j
x
y
zI
B
E
d
a
d.a.n.e I
ve
a.n.e B.I
Bd
d.a.n.e I
Bdvd.EV eH 
B
n = densité de porteurs