Power Point 1

MECANIQUE DES STRUCTURES
PREMIERE PARTIE
J-M Franssen
Notes en collaboration avec Prof. R. Maquoi & J-P Jaspart
1
1. INTRODUCTION
Définition:
Mécanique des structures => méthodes d’analyse globale des structures.
(barres prismatiques à axe rectiligne).
x
 Efforts intérieurs: My, Mz, N, Vy, Vz, T
 Déplacements: u,v,w,…
2
1. INTRODUCTION
Structure isostatique: l’analyse globale peut être menée par les équations
de la statique élémentaire (équilibre).
Structure hyperstatique: ajouter le concept de compatibilité des
déplacements.
3
1. INTRODUCTION
=
Mode d’action des forces sur la
configuration non déformée.
Mode d’action des forces sur la
configuration déformée.
=> Analyse globale au premier ordre
4
1. INTRODUCTION
≠
Mode d’action des forces sur la
configuration non déformée.
Mode d’action des forces sur la
configuration déformée.
=> Analyse globale au second ordre (itérative)
5
1. INTRODUCTION
s
≠ OK
s
OK
e
Analyse globale élastique
e
Analyse globale plastique
6
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
Plan de l’exposé.
Théorème des travaux virtuels: dW = 0
corps indéformables
corps déformables
Th. des dépl. virtuels: dW = dU
dW = P dd
Th. des forces virtuelles: dW* = dU*
Théorème de maxwell
=
dW* = dP d
Structures formées de barres
dU = N d(du)
dU* = dN du
Matériau linéaire élastique
d U  EA
du
NdN
d d u  
ds
EA
Th. du dépl. unité: P = …
=
dU * 
NdN
EA
Th. de la force unité: d = …
7
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
Définition: grandeur virtuelle = grandeur arbitraire (imaginaire), très petite
mais non nulle.
Exemple 1: déplacement virtuel (cinématiquement admissible = continu et
respectant les liaisons du corps avec le monde extérieur).
A quoi ça sert? La boule est-elle en position stable dans les 2 exemples
ci-dessous? Un déplacement virtuel (cinématiquement admissible) donne
immédiatement la réponse.
8
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
Théorème des travaux virtuels (corps indéformables)
Pour tout corps
indéformable,
en équilibre sous des actions extérieures,
le travail virtuel des forces extérieures dW est
nul
pour tout déplacement virtuel C.A.
9
P
a
dd
A
L
B
a
d W   P d d  RB d d  0
L
a
RB  P
L
10
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.1 Théorème des déplacements virtuels
Théorème des déplacements virtuels (corps déformables)
Pour tout corps
déformable,
en équilibre sous des actions extérieures,
le travail virtuel des forces extérieures dW
est égal au travail virtuel intérieur de déformation de ce corps dU,
pour tout déplacement virtuel C.A.
Principe d’équilibre => équations d’équilibre.
11
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.1 Théorème des déplacements virtuels
Expression du travail virtuel extérieur dans une structure soumise
à des charges concentrées vraies P et Mext,
à des charges réparties vraies p,
à des réactions d’appui vraies R,
avec un champ de déplacements virtuels C.A.
déplaçant P et p de δd
déplaçant M de δ
déplaçant R de δr.
dW   P d d   M ext d   p d d   R d r
12
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.1 Théorème des déplacements virtuels
Cas particulier du travail virtuel intérieur de déformation dans une structure
formée de barres soumises
à des sollicitations vraies M, N, V à gauche,
à des sollicitations vraies M+dM, N+dN, V+dV à droite,
à des déplacements différentiels vrais dΦ, du, dv,
avec un champ de déplacements virtuels C.A. δΦ, δu, δv.
S
d U    N d d u   M d d   V d d v   ds
0
13
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.1 Théorème des déplacements virtuels
Si structure formée de barres et matériau élastique:
N  EA
du 
du
ds
; M  EI
d
ds
; v  GAv
dv
ds
N
M
v
ds ; d 
ds ; dv 
ds
EA
EI
GAv
d (d u )
d (d )
d (d v)
; d M  EI
; d v  GAv
ds
ds
ds
dN
dM
dv
d (d u ) 
ds ; d (d ) 
ds ; d (d v) 
ds
EA
EI
GAv
d N  EA
14
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.1 Théorème des déplacements virtuels
Si structure formée de barres et matériau élastique:
Forme cinématique du théorème des déplacements virtuels
 Pd d   M
ext
d   p d d   R d r
du
d
dv


   EA d (d u )  EI
d (d )  GAv
d (d v)  ds
ds
ds
ds

0
S
Forme mécanique du théorème des déplacements virtuels
 Pd d   M
ext
d   p d d   R d r
 NdN
M dM
V dV 
 


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
15
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.1 Théorème des déplacements virtuels
Théorème du déplacement unité (= cas particulier du théorème des
déplacements virtuels)
Soit une structure déformée (u, Φ, v) par l’action de forces appliquées.
On peut trouver la force P appliquée en un point de la structure
qui assure son équilibre
par un champ de déplacement virtuel C.A. dont les déplacements sont:
unitaire en P et dans la direction de P,
nuls pour les autres forces appliquées.
du du1
d d1
dv dv1 

P 1    EA
 EI
 GAv
 ds
ds ds
ds ds
ds ds 
0
S
16
p
A
L
Quelle est la valeur de RC ?
B
L
C
Champ de déplacements réels (il faut le connaître)
x
1 pL  L  x 
v" 
28
EI
Champ de déplacements virtuels (on peut le choisir)
1
x²
d v1 
L²
17
du du1
d d1
dv dv1 

P 1    EA
 EI
 GAv
 ds
ds ds
ds ds
ds ds 
0
S
C
RC   EI v" d v1" ds
B
A
B
x
1 pL  L  x 
v" 
28
EI
C
1
x²
d v1 
L²
18
C
RC   EI v" d v1" ds
B
L
pL EI 2
RC 
 L  x  dx

28 EI L ² 0
p 
L² 
L
²



14 L 
2
pL

28
1 pL  L  x 
v" 
28
EI

x²
d v1 
L²
19
Exercice résolu:
prendre comme déformée virtuelle la fonction xn/Ln
1 pL  L  x 
v" 
28
EI
x n2
d v1 "  n  n  1 n
L
L
pL EI n  n  1
n2
RC 
L

x
x
dx


n

28 EI
L
0
p n  n  1  L x n 1 x n 

 

n 1
28 L
 n 1 n 0
L
p n  n  1  Ln
Ln 

 

n 1
28 L
 n 1 n 
pL

28
20
Exercice non résolu:
Prendre comme déformée virtuelle une fonction sinusoïdale.
v" 
1 pL  L  x 
28
EI
pL EI
RC 
28 EI
d v1 " 
L
  L  x
dx
0


pL

28
21
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.1 Théorème des forces virtuelles
On reprend tout depuis le début.
Théorème des travaux virtuels
(corps indéformables)
Théorème des déplacements virtuels
(corps déformables)
Théorème des forces virtuelles
(corps déformables)
Exemple 2: forces virtuelles (statiquement admissible = respectant les
équations fondamentales d’équilibre).
22
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.2 Théorème des forces virtuelles
Théorème des forces virtuelles (corps déformables)
Pour tout corps
déformable,
soumis à des forces extérieures,
le travail virtuel complémentaire des forces extérieures dW*,
est égal au travail virtuel complémentaire de déformation dU*
pour tout système de forces virtuelles S.A.
Principe de compatibilité => équations de compatibilité.
23
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.2 Théorème des forces virtuelles
Expression du travail virtuel extérieur complémentaire dans une structure
soumise
à un champ de forces virtuelles δP, δMext, δp et δR,
liés à des déplacements vrais d, Φ et r,
dW *  d P d  d M ext   d p d  d R r
24
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.2 Théorème des forces virtuelles
Cas particulier du travail virtuel intérieur complémentaire de déformation
dans une structure formée de barres soumises
à des déplacements différentiels vrais dΦ, du, dv,
avec des forces virtuelles δM, δN, δV.
S
d U *   d N du  d M d  d V dv  ds
0
25
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.2 Théorème des forces virtuelles
Si structure formée de barres et matériau élastique
(idem que dans le § 2.1):
N  EA
du 
du
ds
; M  EI
d
ds
; v  GAv
dv
ds
N
M
v
ds ; d 
ds ; dv 
ds
EA
EI
GAv
d (d u )
d (d )
d (d v)
; d M  EI
; d v  GAv
ds
ds
ds
dN
dM
dv
d (d u ) 
ds ; d (d ) 
ds ; d (d v) 
ds
EA
EI
GAv
d N  EA
26
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.2 Théorème des forces virtuelles
Si structure formée de barres et matériau élastique:
d P d  d M
ext
  d p d  d R r
 NdN
M dM
V dV 
 


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
27
2. THEOREMES FONDAMENTAUX
2.2 Théorème des forces virtuelles
Théorème de la force unité (= cas particulier du théorème des forces
virtuelles)
Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous
l’action de forces appliquées.
On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie
par un champ de forces virtuelles:
unitaire en d et dans la direction d,
nulles ailleurs.
 N N1
M M1
V V1 
1d  


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
28
Quelle est la valeur de la flèche en B ?
P
A
L
B
C
a
D
Distribution de M et V réelle (il faut la connaître).
M = -pa
P
M(x) = Pa/2 (1-3x/L)
M = pa/2
V=P
P
V = -3Pa/2L
29
Quelle est la valeur de la flèche en B ?
P
A
L
B
C
a
D
Distribution de M et V virtuelle S.A. (on peut la choisir).
M1 = -L/2
1
M1(x) = x-L/2
V1 = 1
1
x
30
 N N1
M M1
V V1 
1d  


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
 M d M1
V d V1 
d  

 dx
EI
GAv 
A
B
 1 Pa 
x 
L
1 3 pa
d 
1  3   x   
EI 2 
L 
2  GAv 2 L
0 
 PaL² 3Pa 
 


32
EI
4
GA
v 

L/2

1 dx

31
Exercice non résolu: prendre comme structure S0 une poutre
simplement appuyée en A et en C.
32
Quelle est l’angle de rotation en C ?
P
A
L
B
C
a
D
Distribution de M et V réelle (il faut la connaître).
M = -pa
P
M(x) = Pa/2 (1-3x/L)
M = pa/2
V=P
P
V = -3Pa/2L
33
Quelle est l’angle de rotation en C ?
P
A
L
B
C
a
D
Distribution de M et V virtuelle S.A. (on peut la choisir).
1
M1 = -1
1
V1 = 0
x
34
 N N1
M M1
V V1 
1   


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
M d M1
dx
EI
A
B
 
 1 Pa 
x
  
1  3   1
EI 2 
L
0
L

PaL
 dx 
4EI

35
Exercice non résolu: prendre comme structure S0 une poutre
simplement appuyée en A et en C.
36
3. GENERALITES
Analyse globale
élastique
au premier ordre.
=> Principe de superposition.
M(P1,P2) = M(P1) + M(P2)
N(P1,P2) = N(P1) + N(P2)
V(P1,P2) = M(P1) + V(P2)
u(P1,P2) = u(P1) + u(P2)
v(P1,P2) = v(P1) + v(P2)
(P1,P2) = (P1) + (P2)
N
E  P1 ,... , PN    E  Pi 
i 1
37
3. GENERALITES
Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.
38
3. GENERALITES
Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.
39
3. GENERALITES
Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.
On peut en ajouter.
40
3. GENERALITES
41
4. METHODE DES FORCES
Si structure isostatique,
équilibre d’ensemble => réactions d’appuis
+ charges extérieures => M,N,V.
Si structure hyperstatique,
N équations d’équilibre  N+h inconnues
=> h inconnues hyperstatiques
42
4. METHODE DES FORCES
h inconnues hyperstatiques
On pourrait rendre la structure isostatique
en effectuant h coupures,
chaque coupure libérant une inconnue.
43
4. METHODE DES FORCES
h inconnues hyperstatiques
On pourrait rendre la structure isostatique
en effectuant h coupures,
chaque coupure libérant une inconnue.
44
4. METHODE DES FORCES
On pourrait rendre la structure isostatique
en effectuant h coupures,
chaque coupure libérant une inconnue.
mais on n’a plus le même comportement.
45
4. METHODE DES FORCES
On peut retrouver le même comportement
en appliquant des efforts Xj
qui referment la coupure.
Mais on ne connaît pas la grandeur de Xj.
X
Xjj
X
Xj
j
46
4. METHODE DES FORCES
Structure rendue isostatique = structure de référence, S0
Il y a plusieurs manières possibles de couper.
Il faut que S0 soit un système stable !!!
47
4. METHODE DES FORCES
4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h
On peut faire des coupures
soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis).
Appui à rouleau: 1 force inconnue ┴ à la fondation
xj
48
4. METHODE DES FORCES
4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h
On peut faire des coupures
soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis).
Appui à rotule: 2 forces inconnues de direction quelconque.
xj
49
4. METHODE DES FORCES
4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h
On peut faire des coupures
soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis).
Encastrement: 2 forces inconnues de direction quelconque
+ 1 moment = 3 inconnues.
xj
50
4. METHODE DES FORCES
4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h
On peut faire des coupures
soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis)
soit à l’intérieur de la structure.
Barre de treillis: 1 paire de forces inconnue.
Xj
51
4. METHODE DES FORCES
4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h
On peut faire des coupures
soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis)
soit à l’intérieur de la structure.
Barre de type poutre: 1 paire de forces inconnue si coupure
sur une seule sollicitation.
N
M
V
52
4. METHODE DES FORCES
4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h
On peut faire des coupures
soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis)
soit à l’intérieur de la structure.
Barre de type poutre: 3 paires d’inconnue si coupure totale.
N, M, V
53
4. METHODE DES FORCES
4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h
3
3
3 3
3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
h = 14 x 3 = 42
54
4. METHODE DES FORCES
4.2 Equation générale
55
F1P
F2P
1 1
F11
F21
F12
1
F22
56
F1P
F2P
1 1
F11
F21
F12
1
F22
u1 = F11 X1 + F12 X2 + F1P = 0
u2 = F21 X1 + F22 X2 + F2P = 0
h
 Fij X j  Fip  0
j 1
 F  X    A
57
4. METHODE DES FORCES
4.3 Détermination des coefficients de flexibilité Fij et des Fip
Fij et Fip = déplacements en un point
=> Théorème de la force unité.
Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous
l’action de forces appliquées.
On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie
par un champ de forces virtuelles:
unitaire en d et dans la direction d,
nulles ailleurs.
 N N1
M M1
V V1 
1d  


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
58
4. METHODE DES FORCES
4.3 Détermination des coefficients de flexibilité Fij et des Fip
1
1
F1P
Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous
l’action de forces appliquées.
On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie
par un champ de forces virtuelles:
unitaire en d et dans la direction d,
nulles ailleurs.
 N N1
M M1
V V1 
1d  


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
F1 p  
N p N1
EA

M p M1
EI

Vp V1
GA
59v
4. METHODE DES FORCES
4.3 Détermination des coefficients de flexibilité Fij et des Fip
1
1
F2 = 1
F12
Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous
l’action de forces appliquées.
On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie
par un champ de forces virtuelles:
unitaire en d et dans la direction d,
nulles ailleurs.
 N N1
M M1
V V1 
1d  


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
F12  
N 2 N1
M M
VV
 2 1  2 1
EA
EI
GA
60v
Fip  
N p Ni
Fij  
Ni N j
EA
EA

M p Mi

Mi M j
EI
EI

Vp Vi

Vi V j
GAv
GAv
61
4. METHODE DES FORCES
4.4 Tables pour les coefficients de flexibilité Fij et des Fip
4.5 Distribution des efforts intérieurs
u1 = F11 X1 + F12 X2 + F1P = 0
u2 = F12 X1 + F22 X2 + F2P = 0
M(x) = M1(x) X1 + M2(x) X2 + MP(x)
N(x) = N1(x) X1 + N2(x) X2 + NP(x)
V(x) = V1(x) X1 + V2(x) X2 + VP(x)
}
dans S0
62
4. METHODE DES FORCES
4.6 Choix des coupures
V=0
M,N = 0
63
4. METHODE DES FORCES
4.6 Choix des coupures
64
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
FN Fp
5.0 Principe général
FN
Note: le principe général est d’abord expliqué dans le cadre
restreint d’une structure:
plane,
formée de barres de type poutres (M,N,V),
chargée dans son plan.
On généralisera par la suite.
65
Méthode des forces
FN Fp
FN
Rendre le système isostatique
FN Fp
FN
Méthode des déplacements
FN Fp
FN
Bloquer les noeuds
FN Fp
FN
66
Forces
FN Fp
FN
Rendre le système isostatique
FN Fp
FN
Déplacements
FN Fp
FN
Bloquer les noeuds
FN Fp
FN
67
Rendre le système isostatique
FN Fp
FN
Identifier puis trouver
les h efforts hyperstatiques
Bloquer les noeuds
FN Fp
FN
Identifier puis trouver
les m déplacements bloqués
D1,D2,D3
D4,D5,D6
D7,D8
X1
68
Identifier puis trouver
les h efforts hyperstatiques
Identifier puis trouver
les m déplacements bloqués
D1,D2,D3
D4,D5,D6
D7,D8
X1
Pour la structure:
Fij = Déplacement en i créé par
une force unitaire en j
FiP = Déplacement en i créé par
les forces P
Coefficients de flexibilité
Pour chaque barre:
Kij = Réaction en i créée par
un déplacement unitaire en j
KiP = Réaction en i créée par
les forces P
Coefficients de rigidité
69
D1,D2,D3
D4,D5,D6
D7,D8
X1
Pour la structure:
Fij = Déplacement en i créé par
une force unitaire en j
FiP = Déplacement en i créé par
les forces P
Coefficients de flexibilité
Les lèvres des coupures ne
s'écartent pas.
=> Pour chaque coupure i
h
F
j 1
ij
X j  Fip  0
Pour chaque barre:
Kij = Réaction en i créée par
un déplacement unitaire en j
KiP = Réaction en i créée par
les forces P
Coefficients de rigidité
Il y a équilibre des efforts à
chaque nœud.
=> Pour chaque déplacement i
m
K
j 1
ij
D j  Kip  FNi
70
Les lèvres des coupures ne
se déplacent pas.
=> Pour chaque coupure i
h
F
j 1
ij
X j  Fip  0
On détermine les Xj
Dans la structure de référence S0
h
M( x )  M 0 ( x )   X i M i ( x )
i 1
h
Il y a équilibre des efforts à
chaque nœud.
=> Pour chaque déplacement i
m
K
j 1
ij
D j  Kip  FNi
On détermine les Dj
Dans chaque barre
m
Fi   k ij D j  k iP
j 1
N( x )  N 0 ( x )   X i N i ( x )
i 1
h
V ( x )  V0 ( x )   X i Vi ( x )
i 1
71
Les lèvres des coupures ne
se déplacent pas.
=> Pour chaque coupure i
h
F
j 1
ij
Il y a équilibre des efforts à
chaque nœud.
=> Pour chaque déplacement i
m
K
X j  Fip  0
j 1
ij
D j  Kip  FNi
Comment déterminer les Fij ou les Kij ?
Théorème de la force unité
dans la structure S0
 N N1
M M1
V V1 
1d  


 ds
EA
EI
GAv 
0
S
Théorème du déplacement unité
dans chaque barre
du du1
d d1
dv dv1 

P 1    EA
 EI
 GAv
 ds
ds ds
ds ds
ds ds 72

0
S
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.
73
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.
74
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.
On peut en ajouter.
75
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
On peut traiter les efforts intérieurs indépendamment
si centre de gravité = centre de torsion
Barre 3D: 2 axes de symétrie dans la section
Barre 2D: 1 axe de symétrie dans le plan de l’étude
OK 3D et 2D
OK 2D
≠ OK
76
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.1 Systèmes d’axes et signes
Système global:
unique, arbitraire, dans lequel la structure est positionnée,
cartésien dextrorsum.
Yy
Z
x
z
Y
X
X
Système local:
un système pour chaque barre,
en général, x suivant l'axe de la barre.
77
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.1 Systèmes d’axes et signes
qz
w
Z
qx
qz
w
u
v qy
qx
u
v qy
Y
X
{uA,vA,wA, qXA, qYA, qZA, uB,vB,wB, qXB, qYB, qZB}
78
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure?
Poutre continue 2D (sans charge axiale).
2 déplacements par noeud: w et qz
=> 2 forces par noeuds.
2 efforts intérieurs: V et M
Y
X
79
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure?
Treillis plan.
2 déplacements par noeud: u et v
=> 2 forces par noeuds.
1 effort intérieur: N
Y
A
B
D
C
E
F
L
H
G
I
J
K
X
80
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure?
Structure plane chargée dans son plan.
3 déplacements par noeud: u, v et qz
=> 3 forces par noeuds.
3 efforts intérieurs: M, N, V
Y
X
81
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure?
Structure plane chargée perpendiculairement à son plan
(pas de force dans le plan).
3 déplacements par noeud: w, qx et qy
=> 3 forces par noeuds.
3 efforts intérieurs: M, V, T Y
Z
X
c) Structure plane chargée transversalement à son plan
82
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure?
Treillis spatial.
3 déplacements par noeud: u, v et w
=> 3 forces par noeuds.
1 effort intérieur: N
Y
Z
X
83
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.0 Principe général
Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure?
Structure spatiale.
6 déplacements par noeud: u, v, w, qx, qy et qz
=> 6 forces par noeuds.
6 efforts intérieurs: N, Vy, Vz, T, My, Mz
Z
Y
X
84
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
y
5.2 Matrice de rigidité
D5
Il faut l'établir pour chaque barre,
d'abord en axes locaux.
D2
D1
D11
D7
D8
x
D3
D4
D6
z
D9
D10
D12
Cas le plus général: barre 3D : 2 x 6 = 12 DDL
Pour chaque DDL j qui a un déplacement unitaire,
il y a 12 réactions Kij.
k1,12
k1,1 k1,2 ......
=> 12 x 12 = 144
Maxwell: Kij = Kji

k 2,1 k 2,2 .....
k   .......... ..
.......... ....
.
k12,1 k12,2 .....
k 2,12
k12,12








85
Théorème du déplacement unité (= cas particulier du théorème des
déplacements virtuels)
Soit une structure déformée (u, Φ, v) par l’action de forces appliquées.
On peut trouver la force P appliquée en un point de la structure
qui assure son équilibre
par un champ de déplacement virtuel C.A. dont les déplacements sont:
unitaire en P et dans la direction de P,
nuls pour les autres forces appliquées.
du du1
d d1
dv dv1 

P 1    EA
 EI
 GAv
 ds
ds ds
ds ds
ds ds 
0
S
86
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité
y
L
L
k1,1
Calcul de Ki1
x
D1 = 1
k7,1
z
S
P 1    EAu ' u '  EI y v '' v ''  EI z w '' w ''  ds
0
Champ de déplacements vrai: u = 1-x/L ; v = 0 ; w = 0
87
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité
y
L
L
k1,1
Calcul de Ki1
x
k7,1
D1 = 1
z
S
P 1    EAu ' u '  EI y v '' v ''  EI z w '' w ''  ds
0
Champ de déplacements vrai:
u = 1-x/L ; v = 0 ; w = 0
u' = -1/L ; v' = 0 ; w' = 0
K11 : champ virtuel = champ vrai
2
EA
 1 
K11   EA   dx 
L
 L
0
L
88
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité
y
L
L
k1,1
Calcul de Ki1
x
D1 = 1
k7,1
z
S
P 1    EAu ' u '  EI y v '' v ''  EI z w '' w ''  ds
0
Champ de déplacements vrai:
u = 1-x/L ; v = 0 ; w = 0
u' = -1/L ; v' = 0 ; w' = 0
K71 : champ virtuel
u = x/L ; v = 0 ; w = 0
u' = 1/L ; v' = 0 ; w' = 0
L
1 1
 EA
K71   EA
dx 
89
L
L
L
0
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité: K71
Champ vrai
Champ virtuel
u
v
w
1 1
 EA
K71   EA
dx 
L L
L
0
L
90
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité: K21
Champ vrai
Champ virtuel
u
v
w
K21 = 0
91
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité: K51
Champ vrai
Champ virtuel
u
v
w
K51 = 0
92
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité: K2i
y
k6,2
k2,2
L
D2 = 1
k12,2
x
k8,2
z
Champ de déplacement vrai
v = 2(x/L)³ - 3(x/L)² + 1
v’’ = (6/L²)(2x/L-1)
93
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.2 Matrice de rigidité: K22
Champ de déplacement vrai
v = 2(x/L)³ - 3(x/L)² + 1
v’’ = (6/L²)(2x/L-1)
Champ de déplacement virtuel = champ de déplacement vrai
2
2
EI
 6 
 2x 
K 22    EI   1 dx  12 3
L
L
 L² 

0
L
94
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.3 Matrices de rigidité Kip
y
P
L
k6P
x
k3P
z
k2P
k5P
a
b
Soit théorème du déplacement unité,
soit RDM.
kP
0





Pb
²
L

2
a
)
L
³




  Pab ² L ²



0


  Pa ² L  2b) L ³ 

 

 Pa ²b L ²

95
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
Principe:
A chaque DDL de chaque noeud,
les efforts qui viennent des barres
équilibrent
les efforts extérieurs nodaux.
m
k
j 1
ij , s
b
D j   kip , j  FN ,i
i  1,..., M 
j 1
 K D  PN   k p 
96
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
A) Construction de la matrice de rigidité de la structure
Assemblage des matrices de rigidité de chaque élément
97
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
D1,D2,D3
D4,D5,D6
1
Barre 1
D7,D8
10
1
0
10

0

K
0

0
0

0
10 10 0 0
10 10 0 0
10 10 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0 
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0 
98
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
D1,D2,D3
1
2
Barre 1
Barre 2
1  2
1  2

1  2

2
K 
K
 2

 2
 0

 0
D4,D5,D6
D7,D8
1 12
1 12
1 12

20

20

20
00

00
1  21 20 20 20 0 0 
1  21 20 20 20 0 0 
1  21 20 20 20 0 0 

0 2 0 20 20 20 00 00
0 2 0 20 20 20 00 00

0 2 0 20 20 20 00 00
0 0 0 00 00 00 00 00

0 0 0 00 00 00 00 00
99
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
D1,D2,D3
1
2
Barre 1
Barre 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2
1  2 1  2 1  2 2 2 2
1  2 1  2 1  2 2 2 2

2
2
2
2  32
K 
 2
2
2
2  32

2
2
2  32
 2
 0
0
0
03 0

0
0
03 0
 0
Barre 3 
22 0 02
22 0 02
22 0 02

22 30 20 3
22 30 20 3

22 30 20 3
03 0 03

03 0 03
D4,D5,D6
3
0 0
0 0 
0 0

3 3
3 3

3 3
3 3

3 3 
D7,D8
100
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
B) Rotation des matrices d'élément dans les axes globaux
de la structure
N.B.: Il faut effectuer cette opération avant celle du point A,
c'est-à-dire avant l'assemblage.
101
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
Z
Matrice de rotation R de 3x3
R(i,j) = projection de l'axe i sur l'axe J
Y
X
Ex:
R(1,1) = (XB-XA) / L
R(1,2) = (YB-YA) / L
102
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
Transformer une matrice M de 3x3 d'un système local
au système global:
Mg = RT ML R
Transformer un vecteur V de 3x1 d'un système local
au système global:
Vg = RT VL
103
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
Dans une barre de l'espace, travailler par blocs de 3x3
 

 
 

 
 

 

 
 

 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
   
   

 
   
   
   

 
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
  
  
 
  
  
 
  
  
    
    


    

    
    


    

   
   


   

    
    


    
104
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.5 Calcul d'une structure
Dans une barre plane, travailler par blocs de2x2
ou vecteurs de 2x1
 

 
 

 
 

 
     

     
     

     
     

     
105
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.4 Relations forces-déplacements d'une barre
RDM: Dans une barre,
à partir
des charges appliquées sur la barre,
des déplacements des extrémités,
déterminer:
les déplacements en toute abscisse x,
les efforts intérieurs en toute abscisse x.
Il faut obtenir les efforts aux extrémités de chaque barre.
106
5. METHODE DES DEPLACEMENTS
5.4 Relations forces-déplacements d'une barre
Principe de superposition appliqué barre par barre
m
Fi   kij D j  kip
j 1
Fb    Kb Db   K p 
Deux possibilités pour le système d'axes à utiliser:
• D et K en globaux => F en globaux, à transformer en F locaux.
• Transformer D en locaux => D et K locaux donnent F locaux.
107
6. METHODE DES ROTATIONS
6.1 Hypothèses de base
Déformations sous N et V <<< déformations sous M
O.K. pour barres de type poutre non sensible à V, structures
à maille rectangulaire chargée dans leur plan.
Pas O.K. dans treillis, arcs surbaissés, tirants, haubans, ….
Utile pour calculs à la main.
108
Structures à nœuds fixes:
Tous les nœuds sont fixes.
Ils ne peuvent se déplacer, seulement subir une rotation.
Structures à nœuds mobiles:
Au moins un nœud mobile.
Il peut se déplacer.
109
Principe du nœud fixe
Y
A
B
C
X
Déplacement de A possible seulement si AB ou AC varient:
a) Raccourcissement de la corde sous M
b) Raccourcissement de la corde sous V
c) Raccourcissement de la corde sous N
b) et c) sont négligés par hypothèse.
a) << c)
110
Application récurrente du principe du nœud fixe
111
Application récurrente du principe du nœud fixe
112
Degré de mobilité d'une structure
Déf.: Nombre de blocages simples à ajouter à une
structure pour la rendre fixe.
Procédure: mettre une rotule à chaque nœud.
113
Structure symétrique
114
Méthode des Rotations appliquée aux structures planes
à nœuds fixes en translation
Inconnues cinématique: 1 rotations à chaque nœud
Cette rotation est perpendiculaire au plan de la structure
=> 1 seul système d'axe en ce qui concerne les rotations.
Y
D2 = B
Y
x
Y
x
B
y
y
B
A
A
D1 = A
D1 = A
Z
X
X
X
115
D2 = B
Y
y
x
B
A
D1 = A
X
2
k   2EI 
ki,1
EA
L
0
ki,2
ki,3
ki,4
ki,5
ki,6
0
0
0
0
0
12EI z
0
L3
0
0
12EI y
0
0
0
6EI y
L3
[k]
=

0
0
0
0
0
6EI z
0

0
0
0
6EI z
L2
L2

EA
L
6EI z
L²

0
0
0
0
0
12EI z
0
0
0
6EI z
L²
12EI y
0
6EI y
0
L3
0
0
0
GJ
L
0
0
4EI y
0
0
0
6EI y
0
2EI y
0
4EI z
0
0
0
0
0
6EI y
L3
0

6EI z
L2
0

6EI z
L2
EA
L
0
0
12EI z
0
0
L3
L2

GJ
L
0
L2
L3

0
0
0
0
0
0
0
12EI y
0
6EI y

L2
0
L2
0
GJ
L
0
0
2EI y
0
0
0
6EI y
0
4EI y
0
L2
6EI z
L2
y
0
6EI z
0

B
L
0
0
x
2EI z
0
2EI z
L
Y
L
0
0
0
L 1
L2
0
L3
L
0

L2
0
12EI y
0
ki,12
0
0
6EI y
ki,11
0
0

ki,10
0
L2
0
0
ki,9
L
0
0

ki ,8
0

L
L3
0
6EI y
GJ
L
0
0
12EI z
0
0

L2
0
EA
L
0
0
ki,7
1
2

R


2
1
0
A
D1 = A
X
L
0
0
4EI z
L
k   3EI
L

3R
2
116
1

2
Nœud i avec q1 barres encastrées et q2 barres articulées
q1
kii , structure
i
4 Ek I k q2 3Ek I k
  kii  

Lk
Lk
barres
k 1
k 1
 2 EI 
kij , structure  kij  

 L 
k
j
ij , structure

q1  q2
2E j I j
j 1
Lj

ou
0
k ii   k ij
117
Vecteurs des charges extérieures: ne contiennent que les
termes associées aux rotations (= moments d'encastrement
parfait).
Relations forces déplacement des barres
2
 R 
MB
1
MA
k AP
1 DA


2 D
k BP
B
118
Détermination des efforts internes
Lx
x
M ( x )  M A
 M B  ( x )
L
L
M  MB
T( x )  A
 ( x )
L
y
y
TA
MB
TB
TA
MB
TB
x
MA
A
B
a) Méthode des Déplacements (Rotations)
x
MA
A
B
b) Mécanique des Matériaux
Eforts normaux par équilibre de translation aux nœuds
(si nbarre ≤ 2 nnoeuds)
119
Méthode des Rotations appliquée aux structures planes à
nœuds mobiles et à mailles rectangulaires
Inconnues cinématiques
• rotation en chaque nœud (16);
• déplacement horizontal de
chaque plancher (4);
• déplacement vertical (éventuel)
des files de colonne (1).
120
Y
X
a) Structure à noeuds mobiles et
à mailles rectangulaires
c) Blocages des déplacements horizontaux
b) Blocages des noeuds en rotation
d) Blocages des déplacements verticaux
121
3
1
4
2
ki,1
EA
L
0
ki,2
ki,3
ki,4
ki,5
ki,6
0
0
0
0
0
12EI z
0
L3
0
0
12EI y
0
0
0
6EI y
L3
[k]
=
0
0
0
0
0
6EI z
0

0
0
0
6EI z
L2
L2

EA
L
6EI z
L²
0
L2

0

ki,12
0
0
0
0
0
12EI z
0
0
0
6EI z
L²
12EI y
0
6EI y
0
L3
0
0
0
4EI y
0
0
0
6EI y
0
4EI z
0
0
0
0
0
6EI y
L2
0

6EI z
L2
0

6EI z
L2
GJ
L
0
L2
L2
0
0
2EI y
0
L
0
0
0
0
0
0
0
12EI z
0
0
0
0
6EI y
L3
0
0
12EI y
L3

6
L²
 3L
0
GJ
L
0
0
2EI y
0
0
0
6EI y
0
4EI y
0
L2
L2
 3L
L2
0
6EI z
 3L
L2
0

2L²
3L 

L² 
 3L 

2L² 

6EI z
0
0
6
0
0
2EI z
L
3L
2EI z
0
0
 6

3L
2EI 
k  

L³  6
 3L

L
0
L
0

EA
L
L2

L3
0
0
L3

0
0
0
ki,11
0
0
6EI y
ki,10
L
12EI y

ki,9
0
0
0
ki ,8
GJ
L
L
L3
0
6EI y
0
12EI z
0
0

L2
0
EA

L
0
0
GJ
L
0

ki,7
0
L
0
0
4EI z
L
122
4
3
1
3
4
2
1
2
 6

3L
2EI 
k  

L³  6
 3L

3L
6
2L²
 3L
 3L
6
L²
 3L
3L 

L² 
 3L 

2L² 

 6

 3H
2EI 
k  

H³   6
  3H

 3H
6
2H ²
3H
3H
6
H²
3H
 3H 

H² 
3H 

2H ² 

123
3
1
4
2
 6

3L
2EI 
k  

L³  6
 3L

3L
6
2L²
 3L
 3L
6
L²
 3L
D3  D1

L
3L 

L² 
 3L 

2L² 

124
4
3
1
2
D  D3
 1
H
 6

 3H
2EI 
k  

H³   6
  3H

 3H
6
2H ²
3H
3H
6
H²
3H
 3H 

H² 
3H 

2H ² 

125
M A  R(2 A  B  3 )  M A
M B  R( A  2B  3 )  M B
3R
VA 
( A  B  2 )  VA
L
3R
VB  
( A  B  2 )  VB
L
126
7. Méthode de Cross
Cross = méthode manuelle pour appliquer la méthode des
rotations (ici, dans les structures à nœuds fixes).
Méthodes itératives:
 Approximations successives
 Relaxations (Cross)
127
Méthode des déplacements
• Calculer les matrices de rigidité locales des éléments
• Les amener dans les axes globaux de la structure
• Assembler la matrice générale [K]
• Calculer les vecteurs Kp sur les éléments
• Les amener dans les axes globaux de la structure
• Assembler le vecteur général {kp}
• Résoudre le système général [K] {D} = {kp}
• Ramener les D en axes locaux
• Calculer les efforts aux nœuds.
Méthode de Cross
• Calculer les matrices de rigidité locales des barres
• Calculer des rapports scalaires entre elles
• Calculer les vecteurs Kp
• Résoudre par itérations successives les efforts aux nœuds.
128
Pour appliquer Cross, 2 règles principales
1. La règle de transmission d'un moment appliqué à une
extrémité d'une barre vers l'autre extrémité.
2. La règle de répartition d'un moment nodal entre les
barres aboutissant à ce nœud.
129
1. La règle de transmission d'un moment appliqué à une
extrémité d'une barre vers l'autre extrémité.
M A  R(2 A  B  3 )  M A
M A  R 2 A
M B  R( A  2B  3 )  M B
M B  R A
MA
1
MB  M A
2
MB ?
a)
A
B
130
2. La règle de répartition d'un moment nodal entre les
barres aboutissant à ce nœud.
MA
A
Soit,
un nœud A,
n1 barres encastrées,
n2 barres articulées,
un moment nodal MA,
Comment MA se répartit-il entre les n1+n2 barres?
131
2. La règle de répartition d'un moment nodal entre les
barres aboutissant à ce nœud.
k AA, structure A  k AP  PA
MA
A
k AA, structure  A  M A
n1
4 Ek I k n2 3Ek I k


Lk
Lk
k 1
k 1
n
k AA, structure   k AA,barre k
k 1
A 
MA
n
k
k 1
AA,barre k
M Ak  k AA,barre kA  M A
k AA,barre k
n
k
k 1
AA,barre k
132
2. La règle de répartition d'un moment nodal entre les
barres aboutissant à ce nœud.
MA
M Ak
A
4 Ek I k
Lk
 M A n1
4 Ei I i n2 3Ei I i


Li
Li
i 1
i 1
ou
M Ak
3Ek I k
Lk
 M A n1
4 Ei I i n2 3Ei I i


Li
Li
i 1
i 1
133
P
Mise en œuvre de Cross: voir exemple

PL
8

PL
8

pL2
12

3PL
16

pL2
8
PL
8
L
p

pL2
12
pL
24
L
P
5PL
32
L
p
pL
16
L
134
A
L = 9,30. EI = 0,61
B
L = 8,80. EI = 0,73
C
L = 5,30. EI = 2.12
L = 6,10. EI = 0,73
E
D
KAB = 4 x 0.73 / 6.10 = 0.479
KBC = 4 x 0.73 / 8.80 = 0.332
KBD = 3 x 0.61 / 9.30 = 0.197
KCE = 4 x 2.12 / 5.30 = 1.600
135
A
B
C
Nœud B: ΣK
Σii =Bi 1.008
= 1.008
BA = 0.479 / 1.008 = 0.475
BC = 0.332 / 1.008 = 0.330
0.329
BD = 0.197 / 1.008 = 0.195
E
Nœud C: ΣK
Σii =Ci 1.932
= 1.932
CB = 0.332 / 1.932 = 0.172
CE = 1.600 / 1.932 = 0.828
D
KBA = 4 x 0.73 / 6.10 = 0.479
KBC = 4 x 0.73 / 8.80 = 0.332
KBD = 3 x 0.61 / 9.30 = 0.197
KCE = 4 x 2.12 / 5.30 = 1.600
136
p = 322.5
A
B
C
Nœud B: Σii = 1.008
BA = 0.479 / 1.008 = 0.475
BC = 0.332 / 1.008 = 0.330
BD = 0.197 / 1.008 = 0.195
E
Nœud C: Σii = 1.932
CB = 0.332 / 1.932 = 0.172
CE = 1.600 / 1.932 = 0.828
D
MA = -322.5 x 6.1² / 12 = - 1000
MB = 322.5 x 6.1² / 12 = 1000
137
0.330
0.475
1000
0.172
-1000
0.828
A
B
C
0.195
Nœud B: Σii = 1.008
BA = 0.479 / 1.008 = 0.475
BC = 0.332 / 1.008 = 0.330
BD = 0.197 / 1.008 = 0.195
Nœud C: Σii = 1.932
CB = 0.332 / 1.932 = 0.172
CE = 1.600 / 1.932 = 0.828
E
D
MA = 322.5 x 6.1² / 12 = 1000 138
MB = -322.5 x 6.1² / 12 = -1000
1000
0.475
0.330
-1000
330
0.172
475
0.828
A
B
C
0.195
195
E
D
139
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
0.828
A
B
C
0.195
195
E
D
140
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
-28
0.828
A
B
C
-137
0.195
195
E
D
141
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
-14
-28
0.828
A
B
C
-137
0.195
195
E
D
-68
142
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
-14
-28
7
4
0.828
A
B
C
-137
0.195
195
3
E
D
-68
143
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
-14
-28
3
7
4
2
0.828
A
B
C
-137
0.195
195
3
E
D
-68
144
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
-14
-28
3
7
4
2
0.828
0
A
B
C
-137
-2
0.195
195
3
E
D
-68
145
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
-14
-28
3
7
4
2
0.828
0
A
B
C
-137
-2
0.195
195
3
E
D
-68
-1
146
0.475
0.330
0.172
1000
-1000
330
165
238
475
-14
-28
3
7
4
2
0.828
0
A
1241
-518
B
320
139
C
0.195
-137
-2
-139
195
3
198
-68
E
-1
-69
D
147
Calcul des rotations aux nœuds
 M ek ,
 k ,i 
équil
k ii ,b arre k

M ek ,
k ii ,b arre k
148
Vérification des résultats
1. Statique: à chaque nœud, Σ Mbarres = Mext
2. Cinématique: à chaque nœud,
 est le même dans toutes les barres .
149
8. TREILLIS PLANS
• Différence en termes d’efforts intérieurs entre
Structure à poutres
ET
Treillis
M, N, V
N
• Idéalisation habituelle d’un treillis
– Constituants : barres rectilignes à section constante.
– Liaisons : articulations aux extrémités (nœuds) des
barres (axes concourants).
– Charges extérieures directement appliquées :
agissant seulement aux nœuds.
Pré-requis pour pouvoir admettre l’existence de seuls
efforts normaux dans les barres.
150
8. TREILLIS PLANS
• ISOSTATICITE et HYPERSTATICITE
• Isostaticité EXTERIEURE
– Réactions d’appui déterminables par les
seules équations de l’équilibre statique
(treillis = « patate » liée au monde
extérieur).
• Isostaticité INTERIEURE
– Tous les efforts intérieurs (N) dans les
barres déterminables dès lors que les
réactions sont connues.
151
8.1 Treillis plan isostatique
Détermination des efforts intérieurs
• Treillis isostatique est isostatique intérieurement ET
extérieurement.
• Méthodes de détermination des efforts intérieurs N
–
–
–
–
Méthode de l’équilibre des nœuds (CULMANN).
Méthode des coupes (RITTER).
Méthode graphostatique (CREMONA), tombée en désuétude.
Logiciels d’analyse (initiation à OSSA2D).
• Méthodes applicables que les charges soient fixes ou
mobiles.
• Utilité des lignes d’influence lorsque les charges sont
mobiles.
152
8.1 Treillis plan isostatique
Détermination des déplacements des noeuds
• En raison de la définition d’un treillis, la configuration
déformée est définie complètement par la position
déformée de tous les noeuds.
• Travail intérieur de déformation intérieur constitué des
seules contributions de type effort normal N.
• Déplacement d’un nœud j dans la direction j sous un
chargement donné par application du principe de la
force unité :
n
dj 

i 1
Ni ,P Ni ,1
Ei Ai
Li
Ni,P effort dans barre i (d’aire Ai et de longueur Li) sous P
Ni,1 effort dans barre i sous P*= 1 appliqué en j dans direction j
Direction du déplacement d’un nœud en général INCONNUE
153
8.1 Treillis plan isostatique
Détermination des déplacements des noeuds
• Déplacement d’un nœud j sous un chargement donné
– Appliquer PH* = 1 selon l'HORIZONTALE
d’où dV
– Appliquer PV* = 1 selon la VERTICALE
d’où dH
– Composer vectoriellement les deux déplacements
d  dH  dV
d’où valeur du déplacement et orientation du
déplacement
PH* = 1
PV* = 1
154
8.1 Treillis plan isostatique
Détermination des déplacements des noeuds
• Déplacement relatif entre deux nœuds A et B d’une
même structure sous un chargement donné, par
application successive du cas précédent :
– Appliquer P* = 1 dans direction de A vers B
d’où dA .
– Appliquer P* = 1 dans direction de B vers A
d’où dB .
– Calculer dA= dA + dB.
• On peut obtenir directement ce résultat en appliquant
simultanément une paire de forces opposées P* = 1 de A
vers B et P* = 1 de B vers A.
155
8.1 Treillis plan isostatique
Exemple de calcul de déplacement relatif
P2
A
A
P3
P1
P4
1
?
B
B
1
156
8.1 Treillis plan isostatique
Remarque sur les déplacements des noeuds
• Hypothèse implicite qu’il n’y a pas de jeu dans les
assemblages
• Hypothèse assez réaliste si assemblages soudés mais
peu réaliste si assemblages boulonnés
• Nécessité d’évaluer aussi correctement que possible :
Vérification aux ELS
• Prise en compte du jeu dans les assemblages:
– Calcul complexe où les jeux, supposés connus en
valeurs et distribution, sont modélisés
– Approche plutôt grossière mais souvent suffisante :
réduire le module d’élasticité du matériau à une
valeur fictive, de l’ordre de 10% inférieure à la valeur
réelle.
157
8.2 Treillis plan hyperstatique
Hyperstaticité
• Hyperstaticité EXTERIEURE
= Nombre de réactions excédentaires.
et/ou
• Hyperstaticité INTERIEURE
= Nombre de barres excédentaires
• Hyperstaticité TOTALE = INTERIEURE + EXTERIEURE
h = hi + he
158
8.2 Treillis plan hyperstatique
Détermination des efforts intérieurs
• Utilisation d’une méthode d’analyse hyperstatique: ici on
adopte la Méthode des Forces.
• Examen successivement de :
– Treillis extérieurement hyperstatique.
– Treillis intérieurement hyperstatique.
159
8.2 Treillis plan hyperstatique
Treillis extérieurement hyperstatique he = 1
• Définition du système de référence isostatique S0
P2
P2
P1
P1
n
f11  
2
N i,1
i 1 EAi
Li
f11 X1  f1P  0
compatibilité
n=5
n
N i ,1N i,p
i 1
EAi
f1,P  
X1= H
Li
n=5
f1P
H  X1  
f11
Ni  Ni ,P  HNi ,1
160
8.2 Treillis plan hyperstatique
Treillis intérieurement hyperstatique hi = 1
• Définition du système de référence isostatique S0
P2
P2
A
P1
A
B
n
f11  
2
N i,1
i 1 EAi
n=6
n
N i ,1N i,p
i 1
EAi
f1,P  
B
Li
f11 X1  f1P  0
compatibilité
X=F P1 X=F
Li
n=6
mais NiP,AB = 0
F  X1  
f1P
f11
Ni  Ni ,P  FNi ,1
161
8.2 Treillis plan hyperstatique
Comparaison des deux treillis similaires
P2
f11 X1  f1P  0
X1(  H,F )  
P1
X1= H
5 Ni,P  0
f1P
f11
A
n
5 Ni,1  0
P2
f11  
2
N i,1
X=F P1 X=F
Li
6 Ni,1  0
n
N i ,1N i,p
5 Ni,P  0
i 1
EAi
i 1
f1,P  
EAi
Li
f11
,

f11
,
f1,P

f1,P
H

F
B
162
8.2 Treillis plan hyperstatique
• Méthode décrite reste d’application si les actions ne
sont pas des forces extérieures directement
appliquées mais résultent de déplacements
imposés tels que :
• Effets thermiques
• Tassements d’appuis
• Bridages de montage.
• Il suffit d’adopter les quantités appropriées pour les
termes
indépendants
des
équations
de
compatibilité. ( voir travaux pratiques).
163
8.2 Treillis plan hyperstatique
Treillis hyperstatique de degré h quelconque
•
Définition du système de référence isostatique S0
h
X f
j 1
j ij
 fi ,P  0
( i  1, h )
n
f ij  
N k,i1 N k, j1
k 1
n
f i ,P  
k 1
E k Ak
N k ,i 1N k,p
E k Ak
Lk
Nbre d’équations =
Nbre de coupures simples =
Nbre d’inconnues = h
Lk
Nbre de barres = n
X j ( j  1,h )
h
Nk  Nk ,P   X j Nk , j 1
j 1
164
8.2 Treillis plan hyperstatique
Détermination des déplacements des noeuds
n
dj  
i 1
N i ,P N i ,1
E i Ai
Li
• Une des distributions Ni,P ou Ni,1 peut être
déterminée dans une structure rendue
isostatique.
• L’autre distribution doit être déterminée dans la
structure hyperstatique.
165
9. LIGNES D'INFLUENCE
Diagramme de moment de flexion sous un chargement
x
M(x)
Ligne d'influence
• du moment
• en α
α
166
La hauteur de la ligne d'influence à un endroit x
• donne le moment qui serait généré en α
• par une force unitaire appliquée en x.
Ligne d'influence
• du moment
• en α
1
α
M(α)
x
167
A quoi ça sert?
1) Trouver la position la plus défavorable d'un
convoi de charges mobiles.
y
α
Et, en plus, avoir directement la valeur de l'effet pour
cette position.
n
E (  )   Pi y i
i 1
n
b
i 1
a
E(  )   Pi y i   p( x )y ( x )dx
168
A quoi ça sert?
2) Trouver les zones à charger par une charge
distribuée pour avoir l'effet maximum.
y
p1
p2
l2 α
l1
Et, en plus, avoir directement la valeur de l'effet pour ce
chargement.
l
2
i
i 1
0
E ( )   pi  Li(t )dt
169
Li M(α)
α
Li V(α)
α
Effets
mécaniques
Li R(α)
α
Li d(α)
α
Li Φ(α)
Effets
géométriques
α
170
Comment on les calcule?
1) Par calculs élémentaires successifs
1
M(x)
α
Li M(α)
α
Note: par cette technique, on peut construire plusieurs
lignes d'influence en même temps.
171
Comment on les calcule?
2) Directement, par les théorèmes de Land
Li (effet mécanique) dans une structure isostatique.
1. Coupure simple relative à l'effet.
2. Déplacement des lèvres de la coupure.
3. Déformée de la structure coupurée = Li
Li (RA)
Exemple:Li(RA)
1
A
172
Comment on les calcule?
2) Directement, par les théorèmes de Land
Li (effet mécanique) dans une structure hyperstatique.
1. Coupure simple relative à l'effet.
2. Déplacement des lèvres de la coupure.
3. Déformée de la structure coupurée = Li
(mais c'est plus difficile)
Li (RA)
Exemple:Li(RA)
1
A
173
"Démonstration" par un exemple
P=1
Li (H1) sous charges verticales ???
2
1
Coupure horizontale en 1
P=1
d12
2
2’
1’
d22
1
Etat A
Sous l'effet de P=1 appliqué en 2 dans la structure coupurée,
le point 1 se déplace de d12
174
P=1
d12
2
d22
2’
1’
1
Etat A
Sous l'effet de P=1 appliqué en 2 dans la structure coupurée,
le point 1 se déplace de d12
2’’
d11
d21
2
H
1
1’’
Etat B
Sous l'effet de H appliqué en 1 dans la structure coupurée,
le point 1 se déplace de d11
Dans la vraie structure, H créé par P=1 est donné par d12  d11  0
Théorème de réciprocité de Maxwell
dans la structure coupurée,
H d 12  P d 21  1d 21
175
P=1
d12
2
d22
2’
1’
1
Etat A
2’’
d11
d21
2
H
1
1’’
Etat B
H est donné par
d12  d11  0
Théorème de réciprocité de Maxwell
H d 12  P d 21  1d 21
 H d11  1 d 21
H  1
d 21
d 11
d 21
H
d 11
CQFD si d11 = 1
176
Example sur une structure de poutre
V
1
d12
1
2
1
d22
V
d11
d21
d 21
V 
d11
177
V
d11
1
d21
d 21
V 
d11
• V est adimensionnel.
• d11 ne dépend pas de la position de la charge P.
• d11 donne l'échelle de la Li.
Ce théorème permet de trouver, de manière intuitive,
l'allure générale d'une Li
178
C
1
ux
11
uM
D
d21
Unité de mesure dans le cas d’une ligne d’influence d’un
moment de flexion (appliquer une paire de moments
unitaires).
Um est distant du point 1 d'une longueur Ux qui est l'échelle
du dessin.
179
Comment on les calcule?
2) Directement, par les théorèmes de Land
Li (effet géométrique)
180
1
Li(d1) ???
2
(a)
2
d12
d22
(b) Etat A
P=1
1 d
11
d21
(c) Etat B
Théorème de réciprocité de Maxwell
=>
1 d12  1 d 21
d12  d 21
181
M=1
Li (ΦB) ???
182
Dérivées des lignes d'influence
avec α position de la section et
x position de la charge unitaire P
Li = f(α,x)
  Li 
x
 Li( M  1)
dM
T 
dx
d 2v
M  EI
dx²
=>
=>
Li T 
d ( Li M )
d
d ²( Li v )
Li M  EI
d²
183
Lignes d'influences primaires et secondaires
Dans une structure h fois hyperstatique, il suffit de
déterminer h Li, dites primaires, pour trouver toutes les
autres Li, dites secondaires, par équilibre.
• On fait choix de h grandeurs hyperstatiques indépendantes
(efforts intérieurs) dont les lignes d’influence sont établies par
application du premier théorème de Land (lignes d’influence
primaires) ;
• On déduit les autres lignes d’influence (lignes d’influence
secondaires) par combinaisons linéaires des h lignes
d’influence primaires, selon les règles de la statique.
184