Bergeron_Geoffroy_2015_memoire

Université de Montréal
Coefficients de Clebsch-Gordan de la super-algèbre osp(1|2)
par
Geoffroy Bergeron
Département de physique
Faculté des arts et des sciences
Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures
en vue de l’obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.)
en physique
Août, 2015
c
Geoffroy Bergeron, 2015.

Université de Montréal
Faculté des études supérieures
Ce mémoire intitulé:
Coefficients de Clebsch-Gordan de la super-algèbre osp(1|2)
présenté par:
Geoffroy Bergeron
a été évalué par un jury composé des personnes suivantes:
Richard Mackenzie, président-rapporteur
Luc Vinet, directeur de recherche
Manu Paranjape, membre du jury
Mémoire accepté le: 16 septembre 2015

RÉSUMÉ
Les fonctions génératrices des coefficients de Clebsch Gordan pour la superalgèbre
de Lie osp(1|2) sont dérivées en utilisant deux approches. Une première approche
généralise une méthode proposée par Granovskii et Zhedanov pour l’appliquer dans
le cas de osp(1|2), une algèbre dont le coproduit est torsadé. Une seconde approche
repose sur la réalisation de osp(1|2) en tant qu’algèbre dynamique d’un oscillateur
parabosonique et utilise une équivalence dans cette réalisation entre le change-
ments de coordonnées polaires à cartésiennes et le problème de Clebsch-Gordan.
Un chapitre moins formel précède ces dérivations et présente comment le problème
de Clebsch-Gordan s’interprète en tant que réalisation d’une algèbre de fusion. La
notion abstraite de fusion est introduite, soulignant son importance en physique,
pour en venir au cas particulier du problème de Clebsch-Gordan. Un survol du cas
de l’algèbre osp(1|2) et de ses utilisations en physique mathématique conclut ce
chapitre.
Mots clés: Superalgèbre de Lie, Coefficients de Clebsch-Gordan, Al-
gèbre de Hopf, Oscillateur parabosonique, Oscillateur de Dunkl, Fonc-
tions génératrices, États cohérents, Coproduit torsadé.

ABSTRACT
The generating functions for the osp(1|2) Lie superalgebra Clebsch-Gordan co-
efficients are derived using two approaches. The first one consists of generalizing
a method first proposed by Granovskii and Zhedanov to apply it to the case of
osp(1|2), an algebra with a twisted coproduct. The second one is based on the
realization of the osp(1|2) as the dynamical algebra for a parabosonic oscillator
and used an equivalence in this realization between a change of basis from polar
to cartesian coordinates and the Clebsch-Gordan problem. A less formal chapter
precedes those derivations and present how the Clebsch-Gordan problem can be
interpreted as a realization of a fusion algebra. The abstract notion of fusion is
introduced, mentionning its importance in physics, and leads to the particular case
of the Clebsch-Gordan problem. A brief review of the problem for the osp(1|2)
algebra and its uses in mathematical physics concludes this chapter.
Keywords: Lie superalgebra, Clebsch-Gordan coefficients, Hopf al-
gebra, Parabosonic oscillator, Dunkl oscillator, Generating functions,
Coherent states, Twisted coproduct.

TABLE DES MATIÈRES
RÉSUMÉ .................................... iii
ABSTRACT .................................. iv
TABLE DES MATIÈRES .......................... v
REMERCIEMENTS ............................. vii
CHAPITRE 1 :INTRODUCTION .................... 1
1.1 Contributions de l’auteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CHAPITRE 2 :COEFFICIENTS DE CLEBSCH-GORDAN .... 4
2.1 Algèbres dynamiques et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Conceptdefusion............................ 10
2.2.1 Fusion de systèmes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Réalisations de la fusion et bialgèbres . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Coefficients de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Applications........................... 16
2.3.2 Lien avec les polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Superalgèbre osp(1|2) .......................... 20
CHAPITRE 3 :GENERATING FUNCTIONS FOR THE OSP(1|2)
CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS ....... 23
3.0 Abstract................................. 23
3.1 Introduction............................... 23
3.2 Dual -1 Hahn Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Algebraicapproach........................... 29
3.3.1 The case of su(1,1) ....................... 29
3.3.2 The case of osp(1|2) ...................... 35
3.3.3 Signed coherent states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35