Analyse de la proposition d`enseignement du cercle circonscrit au

Analyse de la proposition d’enseignement du
cercle circonscrit au triangle
Type de tâches et tâches
 Un seul type de tâches T : « déterminer le nombre de
cercles passant par n ≥ 2 points distincts du plan »
 Se décline en 3 tâches :
- t1 : « déterminer le nombre de cercles passant par 2 points
distincts du plan »
- t2 : « déterminer le nombre de cercles passant par 3 points
distincts non alignés du plan » Remarque : les situations 2
& 3 engagent les élèves dans deux sous-tâches
correspondant respectivement à la détermination de
l’existence d’un cercle et à son unicité
- t3 : « déterminer le nombre de cercles passant par 3 points
distincts alignés du plan ».
Eléments théoriques
• Connaissances disponibles en géométrie plane en 5e :
axiomes d’incidence, axiome d’Euclide, unicité de la
perpendiculaire à une droite par un point, « deux
droites sécantes ont des perpendiculaires sécantes »,
unicité du milieu d’un segment,…
• Connaissances du plan affine euclidien qui semblent
aller de soi et généralement pas interrogées à ce
niveau ; par exemple, invariance de certaines
propriétés des figures par isométrie ou similitude.
• Connaissances disponibles en numérique ; par
exemple la transitivité de la relation d’égalité.
Eléments technologiques
• Définition 1 : on appelle cercle de centre O et de
rayon R l’ensemble des points du plan situés à la
distance R du point O, ou encore, on appelle cercle de
centre O passant par le point A l’ensemble des points
du plan situés à la distance OA du point O.
• Définition 2 : on appelle médiatrice d’un segment la
perpendiculaire à ce segment en son milieu
• Définition 3 : on dit que deux droites distinctes sont
parallèles si elles n’ont aucun point commun
Eléments technologiques
• Théorème (propriété caractéristique) : la médiatrice
d’un segment est l’ensemble des points équidistants
des extrémités de ce segment.
• Théorème : si deux droites sont perpendiculaires à
une même troisième, elles sont parallèles
Techniques
• 1 : d’après le « bilan » de la page 23 et
« l’observation » qui le précède
- convertir la question en : « si un cercle passe par 2
points, où est son centre ? »
- convertir la question en : « si un cercle passe par 2
points, quelle propriété vérifie son centre ? »
- convertir « si deux points sont sur le même cercle, ils
sont équidistants de son centre » en « si deux sont sur
le même cercle, son centre est équidistant de ces deux
points » (Déf. 1)
• utiliser la propriété caractéristique pour conclure que
le centre est sur la médiatrice de ces deux points
• réciproquement, en utilisant de nouveau la propriété
caractéristique, conclure que si un point est sur la
médiatrice, il est équidistant, donc est centre d’un
cercle passant pas ces deux points
• conclure des deux étapes précédentes que tout point
de la médiatrice est centre d’un cercle passant par les
deux points
• sachant (axiome) qu’une droite contient une infinité
de points, conclure qu’il y a une infinité de centres de
cercles passant par les deux points
• sachant qu’un cercle possède un unique centre,
conclure qu’il y a une infinité de cercles passant par
les deux points
• 2 : d’après le c) page 25
• constater qu’un point (D) est à la fois sur la
médiatrice d’un segment et aussi sur la médiatrice de
l’autre
• appliquer deux fois la propriété caractéristique de la
médiatrice d’un segment et conclure que ce point est
équidistant des extrémités de l’un et de l’autre des
segments ; ce qui permet d’écrire deux égalités de
longueurs, ou d’affirmer que deux triangles sont
isocèles
• constater que les deux égalités écrites portent sur une
longueur commune, ou que les triangles isocèles ont
un des côtés égaux en commun
• comme l’égalité est transitive, déduire l’égalité entre
trois longueurs de segments
• conclure qu’alors ce point (D) est équidistant des trois
extrémités des segments de la figure
• convertir « si un point (D) est équidistant de trois
autres (A, B et C) » en « trois points (A, B et C) sont
équidistants du même point (D) »
• utiliser la définition 1 pour conclure que comme les
trois extrémités sont équidistantes du même point
(D), alors elles sont sur le même cercle de centre D
• conclure qu’il passe au moins un cercle (celui de
centre D) par les trois points (A, B et C)
• 2+ : d’après situation 3 pages 26 & 27
• sur une figure isométrique de la précédente, construire
deux médiatrices des côtés dont l’une n’a pas été
antérieurement construite
• appeler K le point d’intersection de ces deux
médiatrices
• constater que parfois, sur certains des triangles dessinés
dans la classe, les trois médiatrices forment « un petit
triangle » dont deux des sommets sont D et K
• dessiner d’autres triangles pour essayer d’agrandir « le
petit triangle » des médiatrices
• constater que lorsque le triangle « grandit », le « petit
triangle » ne « grandit pas proportionnellement », et
parfois même pas du tout, voire « diminue »
• en utilisant l’un des éléments théoriques, conclure
que l’existence du « petit triangle » est due à
l’imprécision de la construction
• conclure que le « petit triangle » n’existe pas dans la
géométrie théorique (ou théorie géométrique que l’on
est en train de construire), même s’il existe parfois
sur les figures (géométrie expérimentale)
• conclure que les médiatrices n’ont qu’un point en
commun
• conclure que le cercle est unique (car s’il y a un autre
cercle, son centre O’ est équidistant des trois
sommets, donc est sur les trois médiatrices, or elles
n’ont qu’un point commun)
• 3 : d’après le texte en italique de la situation 4,
page 27
• constater que deux médiatrices sont perpendiculaires
à une même troisième
• appliquer alors le théorème pour conclure qu’elles
sont parallèles
• conclure, par définition de deux droites parallèles,
qu’elles ne peuvent se couper
• conclure que le point D centre du cercle dans la
situation précédente n’existe pas
• conclure que si le centre d’un cercle n’existe pas,
alors le cercle lui-même n’existe pas
Organisation didactique
• Une première rencontre avec T en plusieurs étapes à
travers la dévolution de t1, t2 et t3
• Une exploration de T concomitante d’élaboration de
techniques : cercles de rayon AB et de centres A et B,
cercle de diamètre [AB], de centres des points de ce
cercle, position variable des points (alignés, rectangle,
isocèle, équilatéral), médiatrice, « petit triangle des
médiatrices » (p. 26)
• Des institutionnalisations, partielles parfois :
« bilans » et « à retenir » (pages 23, 25, 27)
• La construction d’un bloc technologico-théorique :
équidistance (médiatrice, cercle), transitivité de =,
existence et unicité
Organisation didactique : remarques
• Laisser de la place et du temps à la recherche par les
élèves à travers de multiples dévolutions
• Mais une direction exercée par le professeur :
situation 2 (tracer 2 segments, tracer leurs
médiatrices, « suggérer » la transitivité), situation 3
(engager et diriger les élèves dans une dialectique
entre expérimentation et déduction, indiquer les
conséquences de l’observation)
• Une dialectique des milieux (rétroactions des figures
et constructions) et des médias (intervention du
professeur)