ARITHM´ETIQUE DES REVˆETEMENTS DE LA DROITE

Pierre D`ebes
ARITHM´ ETIQUE DES
REVˆ ETEMENTS DE LA DROITE

Pierre D`ebes
Laboratoire Paul Painlev´e, Universit´e Lille 1,
59655 Villeneuve d’Ascq CEDEX, France.
E-mail : [email protected]
Url : http://math.univ-lille1.fr/~pde/

ARITHM´ ETIQUE DES REVˆ ETEMENTS DE LA
DROITE
Pierre D`ebes

TABLE DES MATI` ERES
Preface.................................................................. vii
1. Pr´elude alg´ebrique................................................. 1
1.1. Anneaux, id´eaux : g´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Anneaux de Dedekind et anneaux de valuation discr`ete. . . . . . . . . . . 9
1.3. Extensions alg´ebriques............................................ 21
1.4. Th´eorie de Galois................................................. 31
1.5. Extensions r´esiduelles et ramification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6. Rel`evement dans les extensions int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.7. Nullstellensatz.................................................... 56
1.8. B-A-BA de la g´eom´etrie alg´ebrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.9. Sp´ecialisation..................................................... 65
2. Introduction `a l’arithm´etique des revˆetements. . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1. Probl`eme inverse de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2. Th´eor`eme d’irr´eductibilit´e de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3. Forme r´eguli`ere du probl`eme inverse de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4. Th´eor`eme d’existence de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5. Approche de Noether et autres perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3. Revˆetements alg´ebriques.......................................... 95
3.1. Extensions r´eguli`eres de k(T)..................................... 95
3.2. Repr´esentations du groupe fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3. Revˆetements alg´ebriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4. Revˆetements topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5. Th´eor`eme d’existence de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4. Th´eorie inverse de Galois.........................................129
4.1. Crit`ere de descente du corps de d´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129