Energetique2

Energétique 2
I-Energie potentielle Ep
Pour ces cas, le travail réalisé est indépendant des trajectoires et dépend uniquement des positions initiale et finale des
forces encore appelées forces conservatives.
I-1 Energie potentielle de pesanteur
L'énergie potentielle dépend de l'altitude z de l'objet, plus l'objet est haut et plus il y a d'énergie potentielle.
EP = mgz
EP1 – EP2 = mg (z1 - z2) = mgh
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I - 2. Energie potentielle élastique.
F=k.f
F = charge sur le ressort
f = flèche du ressort
Aire W1/2
Charge sur le ressort :
avec :
F = kf = (k(l0-x)
l0 longueur libre ou longueur au repos ;
x longueur du ressort sous charge ;
f déformation ou flèche du ressort ;
k raideur du ressort.
Travail élémentaire développé par une charge F comprimant le ressort.
Si x1 – x2 = dx est très petit, F1 ≈ F2 = F varie très peu et le travail élémentaire s'exprime par :
ΔW = F dx = k (lo - x) dx
Le travail total est donné par :
2
W1/2 k(l0x)dx k (f22 f12)
1
2
Énergie potentielle du ressort
Ep 
kf ²
2
E p 2  E p1
k
 (f2 2  f1 2 )
2
(Epen J ; k en N.m
-1 ;
f en m)
La compression du ressort permet d'accumuler de l'énergie potentielle. Pour les ressorts de torsion :
Ep =1/2kα² (α en rad ; k en Nm.rad-1 ).
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II Energie cinétique Ek
On peut considérer l'énergie cinétique comme étant une sorte d'énergie potentielle liée à la vitesse de déplacement.
Plus un solide se déplace rapidement, plus il accumule de l'énergie cinétique.
II – 1 . Solide en translation rectiligne
Tous les points du solide se déplacent à la même vitesse :
V VG VM  ...
L'énergie cinétique d'un solide en translation rectiligne est égale à la moitié
du produit de la masse m du solide par le carré de sa vitesse V.
Ek T 
1
mV
2
2
avec
Ek en J (joules) ; m en kg ; V en m.s-1
Exemple
Énergie cinétique d'un camion de masse égale à 14 000 kg roulant à 108 km.h-1
V = 108/3,6 = 30 m.s
-1
Ek = 2 x 14000x 302
=6 300 000J
Ek = 6300 kJ
Remarque : si la vitesse du véhicule est divisée par deux (54 km.h-1), l'énergie cinétique est divisée par 4 (6 300/4 = 1 575 kJ) et
inversement. Le travail des freins consiste à absorber de l'énergie cinétique pour ralentir le véhicule. En cas de chocs, l'énergie
cinétique accumulée est brutalement convertie en déformations (carrosserie, etc.).
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II -2. Solide en rotation par rapport à un axe fixe
Pour l'élément M de masse dm dont la vitesse est VM = ωr, l'énergie cinétique est :
Ei = ½(ωr)2 dm = ½ω² r2 dm.
Pour l'ensemble du solide : Ek =½ ω ²Σr²dm.
Le terme J = Σr²dm représente le moment d'inertie par rapport à l'axe de
rotation (voir cours « moment d'inertie »).
L'énergie cinétique d'un solide en rotation est égale à la moitié du produit du
moment d'inertie J du solide (par rapport à son axe de rotation) par le carré
de sa vitesse angulaire ω.
Ek = T = ½Jω2
avec
Ek en J (joules) ; J en m2. kg ; ω en rad.s-1
Exemple
Déterminons l'énergie cinétique d'un volant de presse cylindrique
(Ø 2m, h= 0,5 m) tournant à 1 000 tr.min-1 autour de son axe de révolution.
La masse volumique de l'acier est ρ = 7 800 kg.m -3.
m = masse du volant = masse volumique x volume.
= ρ x (π R2h) =7800x π x 0,5 = 12 252 kg
mR 2 12252x 1²
J 

 6126m².kg
2
2


Ek  1 J² 6126 x 1000 33590kJ
2
2
30
2
Ek 33590kJ
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II - 3. Solide en mouvement plan
Définition 1
E k T 
Ek (ou T) : énergie cinétique en J (joules)
VG : vitesse (absolue) du centre de gravité G du solide (m.s -1)
ω: vitesse angulaire du solide (rad.s-1)
m : masse du solide (kg)
JG : moment d'inertie du solide par rapport à un axe perpendiculaire au plan du mouvement et
passant par G (m2.kg).
1
1
mVG2  JG ²
2
2
Définition 2
E k T 
1
J ²
2 I
avec
Ji  JG  mAG²
Le point I est le centre instantané de rotation du mouvement
et JI le moment d'inertie par rapport à l'axe instantané de rotation (axe passant par I et perpendiculaire au plan du mouvement).
Exemple : prenons le cas d'un disque plein, masse m, rayon R, roulant sans glisser sur un plan horizontal à la vitesse angulaire ω,
déterminons son énergie cinétique.
Le mouvement est un mouvement plan de centre instantané de rotation I.

VG  R
JG 
mR ²
2
VG
Ek  1 mVG2 1 JG² 1 m²R² 1 mR²²
2
2
2
2 2
Remarque :
Ek  3m²R²
4


Ek  1 J I²
2
Ek  1 mR² mR² ²
2 2
Ek  1 JGmIG²²
2
Ek  3m²R²
4
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III- Conservation de l’énergie
L’énergie totale d’un système isolé reste constante.
Un système est isolé si aucune matière, ni rayonnement, ni chaleur ne s’échappe, ni ne rentre.
Il est impossible d’avoir création ou disparition d’énergie.
L’énergie ne peut que se transformer d’une forme en une autre,
se transférer d’un système à un autre ou se stocker.
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IV- Théorème de l’énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant
un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à
la somme des travaux W des forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide considéré :
où EkA et EkB sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B.