TP structures cristallines

TP cristallographie et minéralogie
Structures cristallines
La
cristallographie
est
la
science
des
cristaux,
au
sens
large.
Elle étudie : la formation, la croissance, la forme extérieure, la structure interne, et les
propriétés physiques de la matière cristallisée.
[Hist.] Le mot "cristal" est d'origine grecque, et provient de : kruos (froid) et
stellesoai (solidifier). En effet, les anciens croyaient que les cristaux des roches avaient été
solidifiés par un refroidissement général (comme la glace) et avaient conservé son état.
Après avoir fait partie de la minéralogie (qui est la description et l'étude des espèces
constituant les roches naturelles), dont elle était une introduction, la cristallographie est
devenue, depuis la fin du XIXe siècle, une science indépendante grâce aux développements de
la chimie (et surtout de la chimie organique) où il a été montré que de très nombreux corps
non-minéraux peuvent prendre la forme cristalline.
C'est maintenant une branche importante des Sciences Physico-Chimiques, destinée à pouvoir
mener l'étude de la morphologie, de la texture et de la structure des
cristaux :
- la morphologie : est la description complète de la forme extérieure (macroscopique) d'un
monocristal au moyen de la mesure et du repérage des angles des facettes limitantes de la
matière (dièdres) ;
- la texture : est la description de la forme, des dimensions, et de l'orientation
mutuelle des monocristaux dans un matériau polycristallin (constitué d'un ensemble de
monocristaux) tel qu'un métal, une poudre, un sol, une céramique, etc. ;
- la structure : est la description complète de l'empilement des individus (atomes, ions, ou
molécules) constituant le cristal lui-même (phase homogène).
La science moderne définit l'état cristallin comme l'un des états caractéristiques de la
matière, celui où elle apparaît avec un maximum d'ordre ; de cet ordre découlent des
propriétés physiques particulières.
3 lois primordiales régissent la cristallographie :
•
La toute première loi de la cristallographie est celle de la constance des angles entre les
faces des cristaux (c'est-à-dire des angles dièdres) : Les formes apparentes des cristaux
ne sont pas régulières car ils ne se développent pas librement. Cependant, l'angle dièdre
entre les faces est toujours égal à 120° (continuer sur transparent).
• La deuxième loi fondamentale de la cristallographie, est la Loi de la forme primitive:
ou des caractéristiques entières.
• Un cristal à la même forme que les parallélépipèdes élémentaires qui le
constituent.
• Cette forme est dite forme primitive.
• L'empilement des parallélépipèdes élémentaires suivant trois directions de
l'espace permet de reconstituer le cristal dans son entier
• Mais l'empilement s'arrête en formant des faces qui semblent planes
• Il se forme une sorte d'escalier, dont la limite semble plane du fait de la taille
particulièrement fine des cristaux élémentaires.
-
Loi de symétries : Une rotation d'un certain angle autour d'un centre (ou axe, ou plan)
de symétrie semble remettre le cristal dans une position identique à celle initiale.
TP cristallographie et minéralogie
I-
Quelques définitions :
-
Minéral : Solide naturel homogène possédant une composition chimique bien définie
et une structure atomique ordonnée. Toutefois il existe des exceptions à cette
définition: le mercure est un liquide ; les gels solidifiés (tels que les opales) n'ont pas
de structure atomique ordonnée. Pour faire simple, un cristal est un corps homogène
anisotrope constitué d'un empilement périodique d'atomes d'ions ou de molécules.
-
Cristal : correspond à un empilement tridimensionnel infini et régulier de motifs
identiques, un motif pouvant être un atome, plusieurs ou bien un groupe d’atome
(molécule). Ces groupes d’atomes ou atomes constituent la maille élémentaire qui est
répétée en 3D pour former le réseau cristallin.
On peut illustrer ces notions de motif et de réseau dans le cas d'un carrelage :
les carreaux sont les motifs, et leurs emplacements sont les noeuds d'un réseau.
II-
Les systèmes cristallins :
II.1) Notion de réseau
Les atomes qui composent un minérales ne sont pas arrangés de manière aléatoire.
Ces derniers sont disposés à la manière d’un réseau, tel un grillage. Le réseau
cristallin est le résultat de la répétition, dans les trois directions de l'espace, de la
maille cristalline élémentaire. Cette dernière correspond au plus petit volume
conservant toutes les propriétés géométriques, physiques et chimiques du cristal.
Le cristal qui apparaît à l’observateur correspond à une homothétie de cette maille
cristalline élémentaire.
TP cristallographie et minéralogie
Réseau linéaire (1D) et plan (2D)
Maille
Chaîne 1D :
Répétition périodique du motif (un seul type de
réseau linéaire)
Chaîne 2D :
Réseau plan, construit à partir de deux vecteurs
de translation de longueurs différente et d’angle
quelconque.
On voit que l'on peut découper le réseau en mailles, une maille étant la plus petite portion du
réseau ayant les mêmes symétries que le réseau lui-même. Une maille est donc un prisme
composé de plusieurs noeuds ; le réseau est un empilement de mailles élémentaires.
Def. Maille : la maille est l’enveloppe du plus
petit parallélépipède de matière cristallisée
conservant toutes les propriétés géométriques,
physiques et chimiques du cristal et contenant
suffisament d’atmoes pour respecter sa
composition chimique.
Chaîne 3D :
maille 2D + 1 vecteur
TP cristallographie et minéralogie
II.2) Les 7 systèmes cristallins en minéralogie
Compte tenu de leur symétrie, les solides cristallins peuvent être classé dans 7 systèmes
cristallins seulement. On associe à chaque système une maille élémentaire obtenue en
joignant un nœud origine à 3 autres nœuds. Les 3 vecteurs de la maille ainsi définie
conventionnellement désignés par les vecteurs a, b, c ainsi que leur module a b c et les
angles qu’ils font entres eux (α β γ).
A savoir : Sept systèmes cristallins,
• fondés sur la longueur et la disposition des axes des cristaux,
• lignes imaginaires passant par le centre du cristal,
• et coupant les faces, définissant les relations de symétrie du cristal.
Les minéraux de chaque système partagent certains détails de symétrie et de forme
cristalline ainsi que de nombreuses propriétés optiques. L'arrangement des atomes est
défini dans la maille élémentaire (plus petit arrangement définissant le réseau
cristallin), le cristal est une juxtaposition d'une multitude de mailles élémentaires.
Pour l’histoire, c’est en 1848, qu’Auguste Bravais montre qu'il ne peut exister que sept
types de mailles cristallines élémentaires. La théorie de Bravais sera confirmée en
1911 par les études de von Laue sur la diffraction des rayons X sur les cristaux.
Système cristallin
Paramètres
Croisement
fondamentaux Quelques formes cristallines caractéristiques
(nombre
de
des axes
et angles
divisions)
a≠b≠c
Triclinique
α ≠ β ≠ γ ≠
90°
a≠b≠c
Monoclinique
α = γ = 90°
β ≠ 90°
a≠b≠c
Orthorhombique
α = β = γ =
90°
TP cristallographie et minéralogie
a=b≠c
Quadratique
α = β = γ =
90°
a1 = a2 = a3
≠c
Hexagonal
α = β = 90°
γ = 120°
a1 = a2 = a3
Rhomboédrique
α1 = α2 = α3
≠ 90°
a=b=c
Cubique
α = β = γ =
90°
c
β
a
α b
γ
TP cristallographie et minéralogie
Les 7 systèmes cristallins
(Ou isométrique)
(Ou tétragonal)
(Ou trigonal)
TP cristallographie et minéralogie
Les 7 systèmes cristallins
Représentations géométriques
La maille
élémentaire ne
comprend
aucun axe de
symétrie.
L’axinite et les
feldspaths
plagioclases
(calcosodiques) sont
des minéraux
tricliniques.
La maille
élémentaire est
un prisme droit
à base carrée.
Le zircon, la
wulfénite et la
vésuvianite
cristallisent
dans ce
système.
La maille élémentaire est le
rhomboèdre: parallélépipède
dont les six faces sont des
losanges. Le quartz, la
tourmaline, le corindon, la
sidérite et la calcite
appartiennent au même
système rhomboédrique.
Il y a plus de 300 formes
différentes de cristallisation
de la calcite. Le quartz
cristallise à basse
température dans un système
rhomboédrique (filons) et à
haute température dans un
système hexagonal
(métamorphisme, comme le
quartz cristallise en dernier,
il occupe les interstices
disponibles et il n'a pas de
forme propre).
La maille
élémentaire est
un prisme
droit dont la
base est un
parallélogram
me. Ce
système
cristallin, le
plus fréquent,
comprend le
gypse,
l’azurite et
l’orthose.
La maille
élémentaire
est prisme
droit dont la
base est un
losange.
L’olivine, la
baryte et la
topaze
appartienne
nt au
système
orthorhomb
ique.
La maille
élémentaire a
la forme d'un
cube. La
pyrite de fer
et le grenat
sont classés
dans ce
système.
La maille
élémentaire
est un prisme
droit à base
hexagonale
(six faces).
TP cristallographie et minéralogie
•
Système cubique : 5 classes de symétrie.
Les 3 axes ont la même longueur et sont
perpendiculaires
2
à
2.
Les formes cristallines sont le cube et l'octaèdre (8
faces), le dodécaèdre rhomboïdal (12 faces carrées),
le dodécaèdre pentagonal (12 faces pentagonales),
l'icositétraèdre (24 faces) et l'hexaoctaèdre (48 faces)
•
Système tétragonal ou quadratique : 7 classes de symétrie.
Les 3 axes sont perpendiculaires deux à deux. Deux
axes sont de même longueur, le troisième (axe
principal) est de longueur différente. Les formes
cristallines sont le prisme tétragonal, la pyramide
tétragonale,
le
trapézoèdre,
la
pyramide
ditétragonale et la bipyramide tétragonale.
•
Système hexagonal : 7 classes de symétrie.
Trois des 4 axes sont dans le même plan, ont la
même longueur et se coupent selon un angle de
120°. Le quatrième axe, de longueur différente
est orthogonal par rapport aux 3 autres. Les
formes cristallines sont le prisme hexagonal, la
pyramide hexagonale, la pyramyde dihexagonale et la bipyramide hexagonale.
TP cristallographie et minéralogie
•
Système trigonal ou rhomboédrique : 5 classes de symétrie.
Les axes et les angles sont similaires au système
hexagonal. La seule différence concerne la
symétrie. Dans le Système hexagonal, la coupe
transversale de la base du prisme est hexagonale
tandis que dans le Système trigonal, elle est
triangulaire. Les formes cristallines sont le
prisme triangulaire, la pyramide, le rhomboèdre et le scalénoèdre.
•
Système orthorhombique : 3 classes de symétrie.
•
Système monoclinique : 3 classes de symétrie.
Deux des trois axes (tous de longueurs
différentes) sont perpendiculaires entre eux. Le
troisième axe forme un angle oblique. Les formes
cristallines sont le pinacoïde basal et le prisme
oblique.
•
Système triclinique : 2 classes de symétrie.
Les 3 axes sont de longueur différentes et forment
des angles obliques. Les formes cristallines se
caractérisent par la présence de faces paires.
TP cristallographie et minéralogie
En plus des sept mailles élémentaires, certaines admettent des ions supplémentaires qui
peuvent se loger au centre de la maille ou au milieu des faces. Les différentes possibilités
déterminent quatorze types de réseaux ou modes cristallins différents (les 14 réseaux de
Bravais). Les 14 réseaux de Bravais sont des expansions des 7 formes primitives de cristaux.
P= primitif,
un seul nœud
par maille.
C= faces
centrées
I= maille
intérieurement
centrée.
F= toutes
faces
centrées.
Chaque système, ou réseau élémentaire, peut se décliner de
quatre manières :
• primitive (notée P) : il y a une particule (ou motif) à
chaque sommet
• centrée (notée I, de l'allemand innenzentriert) : il y
a en plus une particule au centre de la maille
• à faces centrées (notée F) : il y a en plus une
particule au centre de chaque face
• à deux faces centrées (notée A, B ou C suivant l'axe
concerné) : il y a une particule au centre de deux
faces opposées
La forme primitive du système rhomboédrique peut
également être notée R.
Un seul mode est possible
dans ces deux systèmes.
Il est possible de construire une maille multiple hexagonale P, contenant une maille simple rhomboédrique R.
Les 14 réseaux de Bravais
TP cristallographie et minéralogie
Exemple 3D de trois modes cristallin dans le système cubique
Cubique
Cubique centré
Cubique à faces centrées
Exercice : Quelle est l’origine de la forme géométrique des cristaux ? Expliquer le
mode de construction d’un cristal.
Prenons l’exemple de l’arrangement atomique du cristal de la halite (NaCl)
Sur le schéma on peut voir apparaître ce qui est la caractéristique d’un cristal, c'est-à-dire, un arrangement régulier, des atomes
et plus exactement ce que l’on va appeler un arrangement périodique. Cette notion de périodicité est le fait que l’on retrouve
périodiquement le même atome (succession Na, Cl, …) avec une distance répétitive. L’arrangement périodique est décrit par des
distances caractéristiques mise en évidence par un repère vectoriel. Le vecteur définit une direction associé un module (ou une
norme) décrivant la longueur.
Si on prolonge ces vecteurs, on voit que nous pouvons répéter tout notre système de base (la
maille élémentaire).
=> On va donc fabriquer ce que l’on appelle un espace périodique dont l’unité de base est le
carré avec la définition des 2 vecteurs a, b qui donnent la direction des translations. L’ensemble
de ces mailles obtenues après translation, est ce que l’on nome un réseau cristallin.
TP cristallographie et minéralogie
L'état cristallin se distingue de l'état amorphe (verre, certains plastiques) par l'anisotropie qui
affecte la plupart de ses propriétés physiques. En clair, cela signifie que les propriétés sont
différentes suivant la direction dans laquelle on les considère.
L'aspect le plus évident de cette anisotropie est la vitesse de croissance des faces d'un
cristal. Si la vitesse de croissance était identique dans toutes les directions, on aboutirait à la
formation d'une sphère ! C'est justement la variation discontinue de la vitesse de croissance
d'un minéral selon la direction qui est responsable de la forme des cristaux. Le degré
d'anisotropie des propriétés physiques est différent d'une espèce minérale à l'autre. Il dépend
étroitement de leur structure et de leur symétrie.
Dans une certaine mesure, les minéraux appartenant au système cubique font exception
à cette règle : la plupart de leurs propriétés physiques sont isotropes.
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Exercice 1 :
Définissez et dessiner les 7 systèmes cristallins en jouant sur les paramètres de mailles.
(Vecteurs a, b et c et les angles α, β, et γ). Remplir le tableau 1.
Système
cristallin
Cubique
Paramètres prisme
de mailles
arêtes :
droit
a b c
base
Représentation graphique
carrée
L'élément de base est un cube
carrée
L'élément de base est un
prisme droit à base carrée
hexagonal
L'élément de base est un
prisme
droit
à
base
hexagonale celui-ci est formé
de
trois
sous-éléments
identiques (des prismes droits
de base losange), c'est de ces
sous-éléments que l'on tire les
valeurs des axes et des angles
L'élément de base est un
parallélépipède dont toutes les
faces sont des losanges
angles :
α β γ
Quadratique
droit
Hexagonal
droit
(base losangique à
120°)
Rhomboédrique
oblique
losangique
Orthorhombique
droit
rectangulaire
L'élément de base est un
parallélépipède rectangle
Monoclinique
oblique
rectangulaire
L'élément de base est un
prisme oblique à base losange
oblique
parallélépipédique
L'élément de base est un
parallélépipède à base losange
Triclinique
(prisme
quelconque)
Tableau 1 : paramètres de mailles et représentation cristalline
TP cristallographie et minéralogie
III- Les éléments de symétrie :
On appelle symétrie cristalline toute isométrie (transformation qui conserve les
distances) qui laisse globalement invariante la structure cristalline : un atome doit avoir
pour "image" un atome identique. Cette notion a de l'importance car elle se répercute
directement sur la forme extérieure (à une échelle macroscopique) du cristal, ainsi que sur
ses propriétés physiques. Les axes de symétrie se définissent par le nombre d’opération
qu’il est nécessaire d’effectuer pour revenir à l’état initial.
Les propriétés physiques peuvent varier avec la direction au sein du cristal. Mais, il
est possible de retrouver exactement les mêmes propriétés dans un certain nombre de
directions, dites équivalentes : on dit que le cristal possède des propriétés de symétrie.
D’une manière générale, on dit qu’un objet possède de la symétrie, s’il existe une ou
plusieurs opérations de symétrie qui le laisse (nt) invariant. Une opération de symétrie est
une opération qui transforme une figure « F » en une figure « F » indiscernable de « F ».
On va énumérer quelques exemples de symétrie.
III.1) Axe de rotation ou axe direct An
On définit n comme l’ordre de symétrie avec l’angle de répétition. Une
rotation d'un certain angle autour d'un centre (ou axe, ou plan) de symétrie semble
remettre le cristal dans une position identique à celle initiale.
Si la rotation est de
l'axe est dit
et se note
180°
BINAIRE
L2
120°
TERNAIRE
L3
90°
QUATERNAIRE
L4
60°
SÉNAIRE
L6
Axe A4
Rotation 90° (π/2)
Axe d’ordre 6
Axe ternaire
Axe d’ordre 2
Axe d’ordre 4
Axe A3
Rotation 120° (2π/3)
Axe A2
Rotation 180° (2π/2)
Exemples de différents axes de rotation
(principe, représentation et symbole).
TP cristallographie et minéralogie
Un axe de symétrie A d’un cristal est une ligne telle que, si on fait tourner ce
cristal d’un certain angle par rapport à cet axe, il y a substitution mutuelle des
sommets. Pour un observateur fixe, l’aspect du cristal après la rotation est
exactement le même qu’avant cette rotation. Par exemple, un axe de symétrie est
dit d’ordre 2, si l’angle de rotation nécessaire pour obtenir la substitution des
sommets est égal à une demi-rotation de 2π/2 ou 180°.
Rotation autour d'un axe A. Le point P a pour image le point P'.
Remarque : Pourquoi Seules les rotations (1) 2 3 4 et 6 sont permises dans la nature ?
Limitation de l’ordre des axes de rotation dans les cristaux
TP cristallographie et minéralogie
III.2) Axe inverse An
Rotation suivie par une inversion par rapport à un centre de symétrie située
sur l’axe. Les deux opérations de symétrie successives ne peuvent être dissociées.
III.3) Réflexion ou miroir m
Une moitié de la figure est l’image de l’autre par réflexion dans un miroir.
Tous les sommets du cristal se correspondent deux à deux sur des droites
perpendiculaires au plan de symétrie (ou miroir de symétrie). Chaque plan de
symétrie correspond à un axe de symétrie.
C’est la symétrie par rapport à un plan, qu'on appelle
une "réflexion". Le paramètre est le plan par rapport
auquel la symétrie a lieu, dont tous les points sont
invariants par la réflexion.
Le plan de symétrie sépare deux moitiés
homologues d’un objet à la manière d’un miroir.
TP cristallographie et minéralogie
Réflexion par rapport à un plan P. Le point M' est l'image du point M... et réciproquement !
III.4) Centre de symétrie ou inversion (notation i, c, 1)
Opération associant à tout point de la figure un point symétrique par rapport
au point central choisi comme origine. Le centre C de symétrie d’un cristal est un
point tel que tous les sommets de ce cristal se correspondent deux à deux sur une
ligne passant sur ce centre, et qu’ils soient à égale distance de ce centre.
IV-
Notion d’holoédrie et mériédries
On a vu qu’un système cristallin est un élément de nomenclature de la structure cristalline
d'un milieu cristallin, utilisé notamment pour classer les minéraux.
Il existe sept systèmes cristallins définis à partir des propriétés de symétrie du réseau.
Ces derniers se subdivisent en 32 classes de symétrie (groupes ponctuels de symétrie et 230
groupes d'espace.
TP cristallographie et minéralogie
- Le groupe d'espace d'un cristal est une description mathématique de la symétrie du réseau
microscopique. Il s'agit d'un groupe au sens mathématique du terme.
L'ensemble des 230 groupes d'espace en trois dimensions résulte de la combinaison des 32
groupes ponctuels de symétrie avec les 14 réseaux de Bravais.
- Un groupe ponctuel de symétrie est un groupe (au sens mathématique) formé par
l’ensemble des opérations de symétrie qui laissent invariant au moins un point de l'espace sur
lequel ces opérations de symétrie agissent.
En cristallographie un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent
invariants la morphologie d'un cristal et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure
atomique d'un cristal est décrite par les groupes d'espace). Ils sont classés en groupes
holoèdres, et mérièdres selon qu'ils décrivent la symétrie complète du réseau on qu'ils
soient des sous-groupes de ceux-ci.
• L'hémiédrie est l'anomalie apparente que présente un cristal qui ne possède que la moitié
des faces que la symétrie lui attribue.
Symétrie d'un cristal qui ne possède que la moitié des éléments de symétrie de son
réseau cristallin.
• L'holoédrie est la propriété d'un cristal dont la symétrie est exactement celle du réseau
périodique qui lui correspond.
On dit qu'un cristal est holoédrique lorsqu'il possède la totalité des éléments de
symétrie de son réseau cristallin.
TP cristallographie et minéralogie
Effets des degrés de symétrie sur le solide, holoédrie - hémiédrie
Les solides obtenus à partir d'une même forme sont fonction des degrés de symétrie.
Lorsque tous les éléments de symétrie existent (axes, centre, et miroirs), on est en
présence de la classe de symétrie holoédrique.
Les classes hémiédriques ont un degré de symétrie plus bas. Un des éléments de
symétrie est absent. Les solides sont moins riches en faces.
Exemples avec des solides du système cubique :
Solides avec forme {210}
- holoédrie : fluorite,
- hémiédrie : pyrite,
Solides avec forme {111}
- holoédrie : fluorite,
- hémiédrie : tétraédrite,
TP cristallographie et minéralogie
Exercice 2 :
A partir des dessins précédemment réalisés, trouvez les axes de symétries An et les miroirs m
des 7 systèmes cristallins.
Système cristallin
Axe de symétrie,
Plan de symétrie
Représentation graphique
Cubique
3A4, 4A3, 6A’2
3M, 6M’
Quadratique
A4, 2A’2, 2A’’2
M, 2M’, 2M’’
Hexagonal
A6, 3A’2, 3A’’2
M, 3M’, 3M’’
Rhomboédrique
A3, 3A2
3M
Orthorhombique
A2, A’2, A’’2
M, M’, M’’
Monoclinique
A2
M
Triclinique
Aucun axe et plan de
symétrie
Tableau 2 : paramètres des symétries des réseaux cristallins
TP cristallographie et minéralogie
Eléments de symétrie des 7 systèmes cristallins
TP cristallographie et minéralogie
Prisme orthorhombique
(de Miller et de Lévy)
Positionnement des différents axes de symétries pour chaque système cristallin.
TP cristallographie et minéralogie
Toute les formes présentes dans la nature dérivent de ces sept formes
géométriques de base grâce à des faces nouvelles qui apparaissent sur les arrêtes
et/ou sur les sommets, les faces nouvelles obéissant toujours au degré de symétrie
du solide initial
TP cristallographie et minéralogie
Quelques
terminologies
sur
la
géométrie
des
cristaux :
TP cristallographie et minéralogie
Forme cristalline
Une forme cristalline est un ensemble de faces d'un cristal qui sont dans un rapport de
symétrie.
Une forme cristalline est caractérisée par :
•
•
•
la multiplicité qui est le nombre des faces ; elle dépend de la symétrie du cristal
et de l'orientation de la face originale par rapport aux éléments de symétrie du
cristal
sa symétrie propre
son nom officiel. La nomenclature officielle française des formes cristallines
fut publiée dans : J.D.H. Donnay et H. Curien, « Nomenclature des 47 formes
cristallines » Bulletin de la Société française de Minéralogie et
Cristallographie, 81 (1958) XLIV-XLVII.
Bipyramide rhombique
Bipyramide rhombique
Forme fermée composée de huit triangles scalènes. Sa symétrie propre est mmm.
Bipyramide trigonale
Bipyramide trigonale
Forme fermée composée de six triangles isocèles. Sa symétrie propre est
.
Bipyramide tétragonale
Bipyramide tétragonale
Forme fermée composée de huit triangles isocèles. Sa symétrie propre est 4/'mm'm.
TP cristallographie et minéralogie
Bipyramide hexagonale
Forme fermée composée de douze triangles isocèles. Sa symétrie propre est 6/mmm.
Bipyramide ditrigonale
Forme fermée composée de douze triangles isocèles. Sa symétrie propre est
.
Bipyramide ditétragonale
Forme fermée composée de seize triangles isocèles. Sa symétrie propre est 4/'mm'm.
Bipyramide dihexagonale
Forme fermée composée de vingt-quatre triangles isocèles. Sa symétrie propre est 6/mmm.
Disphénoïde tétragonal
Forme fermée composée de quatre triangles isocèles. Sa symétrie propre est
appelée improprement "tétraèdre tétragonal" (le tétraèdre est une forme cubique).
. Parfois
Rhomboèdre
Rhomboèdre
Forme fermée composée de six losanges. Sa symétrie propre est
.
Cette forme peut présenter sous deux orientations différant de 180º autour de l'axe ternaire :
on parle alors de rhomboèdre direct et rhomboèdre inverse.
Scalénoèdre tétragonal
Forme fermée composée de huit triangles scalènes. Sa symétrie propre est
Scalénoèdre ditrigonal
Forme fermée composée de douze triangles scalènes.
Sa symétrie propre est
. Si les angles dièdres entre paires de faces sont
tous égaux, on parle de scalénoèdre hexagonal.
.
TP cristallographie et minéralogie
Trapézoèdre tétragonal
Forme fermée composée de huit trapèzes. Sa symétrie propre est 422.
Trapézoèdre trigonal
Forme fermée composée de six trapèzes. Sa symétrie propre est 32.
Trapézoèdre hexagonal
Forme fermée composée de douze trapèzes. Sa symétrie propre est 622.
Tétartoïde ou Pentagonotritétraèdre
Forme fermée composée de douze pentagones. Sa symétrie propre est 23.
Pentagonododecaèdre
Pentagonododecaèdre
Dite aussi dihexaèdre ou pyritoèdre, cette forme fermée est composée de douze pentagones.
.
Sa symétrie propre est
Diploèdre ou Didodécaèdre
Forme fermée composée de vingt-quatre trapèzes. Sa symétrie propre est
.
Gyroïde ou Pentagonotrioctaèdre
Forme fermée composée de vingt-quatre pentagones.
Sa symétrie propre est 432.
Tétraèdre
Forme fermée composée de quatre triangles équilatères. Sa symétrie propre est
.
Tétragonotritétraèdre
Tétragonotritétraèdre
Dite aussi deltoèdre ou trapézododécaèdre, cette forme fermée est composée de douze
.
trapèzes. Sa symétrie propre est
TP cristallographie et minéralogie
Trigonotritétraèdre
Forme fermée composée de douze triangles isocèles. Sa symétrie propre est
.
Hexatraèdre
Forme fermée composée de vingt-quatre triangles scalènes.
Sa symétrie propre est
.
Cube ou hexaèdre
Forme fermée composée de six carrés. Sa symétrie propre est
.
Octaèdre
Forme fermée composée de huit triangles équilatères. Sa symétrie propre est
.
Rhombododécaèdre
Forme fermée composée de douze losanges. Sa symétrie propre est
.
Trigonotrioctaèdre
Trigonotrioctaèdre
Forme fermée composée de vingt-quatre triangles isocèles. Sa symétrie propre est
.
Tétragonotrioctaèdre
Dite aussi icositétraèdre ou leucitoèdre, cette forme fermée est composée
de vingt-quatre trapèzes. Sa symétrie propre est
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Tétrahexaèdre
Forme fermée composée de vingt-quatre triangles isocèles.
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Sa symétrie propre est
Hexaoctaèdre
Forme fermée composée de quarante-huit triangles scalènes. Sa symétrie propre est
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TP cristallographie et minéralogie