Comme précédemment, la version discrète s’obtient en remplaçant les dérivées par la différence entre la quantité au
temps n+ 1 et celle au temps n.
La mise en oeuvre sous tableur, quoique un peu plus compliquée, sera cette fois le seul moyen d’avoir l’allure de
solutions.
3.3 Un résultat fondamental : le théorème du seuil
Même si on ne peut pas résoudre le système d’équations différentielles, on peut tirer plusieurs renseignements quali-
tatifs, en faisant le raisonnement simple suivant :
il y a épidémie lorsque Iaugmente.
exercice 3.
1. Expliquer pourquoi, lorsque λS > γI, l’épidémie s’amplifie alors que si λS < γI, l’épidémie s’atténue.
2. Montrer que cela revient à comparer la proportion d’individus Sdans la population à 1
R0, où R0est une
constante qu’on exprimera en fonction de βet de γet qu’on appelle le taux de reproduction de base.
R0représente le nombre moyen d’infections secondaires dues à l’introduction d’un individu I
dans une population entièrement S.
3. Montrer qu’une maladie pour laquelle R0<1ne déclenchera pas d’épidémie. Que penser de telles maladies ?
4. Dans le cas d’une maladie pour laquelle R0>1, décrire qualitativement le déroulement d’une épidémie. Tout
le monde aura-t-il été infecté à la fin de l’épidémie ?
5. Calculer le nombre de personnes S lors du pic d’épidémie, c’est à dire juste avant que l’épidémie ne devienne
moins virulente.
3.4 Version discrète sur tableur
exercice 4.
1. Adapter le fichier du modèle SI au modèle SIR. On créera un second curseur pour le coefficient γ, afin de le
faire varier entre 0 et 1. On sauvegardera le fichier sous un autre nom. On écrira au préalable les formules
permettant d’avoir les différentes populations au temps n+en fonctions de celles au temps n. Commenter.
2. Inclure un processus de natalité/mortalité dans le modèle à l’aide d’un taux µ(troisième curseur) variant entre
0et 0.05. On supposera que :
(a) La population reste constante (natalité=mortalité)
(b) Chaque catégorie de population est touchée à l’identique par la mortalité.
(c) Tous les natifs sont S.
Commenter les résultats dans le cas où β= 1, γ = 0.2et µ= 0.02. Puis lorsque β= 4, γ = 0.9et µvariant
entre 0.02 et 0.06. Commenter.
3.5 Commentaires sur les modèles avec démographie et sur les limites du modèle
3.5.1 Persistance de la maladie et âge moyen à l’infection
On peut montrer les résultats suivants :
•L’espérance de vie est égale à 1
µ.
•Dans ce cas de figure, on a R0=β
γ+µ, ce qui généralise le cas sans démographie.
•A la fin de l’épidémie, on a S
N=1
R0.
exercice 5.
1. Démontrer les deux derniers résultats.
2. Proposer une méthode d’estimation de β, sachant que γet µsont faciles à estimer et q’il est possible d’estimer
une proportion de suceptible par analyse sérologique.
3. Si on appelle Al’âge moyen à l’infection et qu’on suppose , pour simplifier, que tous les individus d’âge inférieur
àAsont suceptibles et les autres infectés ou guéris, en déduire une approximation de Aen fonction de R0et
de L.
4. On estime le R0de la coqueluche à 17. Calculer l’âge moyen à l’infection dans un pays ou l’espérance de vie
est 72 ans.