Relations trigonométriques dans le triangle rectangle Sommaire : I- Les différents côtés d’un triangle rectangle : L’hypoténuse Le côté opposé à un angle Le côté adjacent à un angle Résumé II- Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle : Le sinus d’un angle Le cosinus d’un angle La tangente d’un angle Résumé III- Exemples d’utilisation : ex. n°1 ; ex. n°2 ; ex. n°3 IV- L’essentiel du cours. Suite Introduction Qu’appelle-t-on dans un triangle rectangle : - l’hypoténuse ? - le côté opposé à un angle ? - le côté adjacent à un angle ? Sommaire Suite L’hypoténuse B C A L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le côté le plus long. B BC est l’hypoténuse C A Le côté opposé à un angle B C A Le côté opposé à l’angle C est le côté de l’angle droit du triangle qui n’est pas un côté de l’angle C. B AB est le côté opposé C A Le côté adjacent à un angle B C A Le côté adjacent à l’angle C est le côté de l’angle droit du triangle qui est aussi un côté de l’angle C. B C AC est le côté adjacent A I - Définitions : Dans un triangle rectangle : - l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le côté le plus long. - le côté opposé à l’angle est le côté de l’angle droit du triangle qui n’est pas un côté de l’angle . - le côté adjacent à l’angle est le côté de l’angle droit du triangle qui est aussi un côté de l’angle . hypoténuse côté opposé côté adjacent Activité Sommaire doc Suite Relations trigonométriques Dans un triangle rectangle, qu’est-ce que : - le sinus d’un angle ? - le cosinus d’un angle ? - la tangente d’un angle ? Sommaire Suite Le sinus d’un angle Activité de découverte doc Généralisation avec GéoplanW g2w côté opposé sin hypoténuse AB sin Ĉ BC B hypoténuse côté opposé C Sommaire A Suite Le cosinus d’un angle Activité de découverte doc Généralisation avec GéoplanW g2w côté adjacent cos hypoténuse AC cosĈ BC B hypoténuse C Sommaire A côté adjacent Suite La tangente d’un angle Activité de découverte doc Généralisation avec GéoplanW g2w côté opposé tan côté adjacent AB tan Ĉ AC B côté opposé C Sommaire côté adjacent A Suite II - Relations trigonométriques : sin côté opposé hypoténuse AB sin Ĉ BC cos côté adjacent hypoténuse AC cosĈ BC tan côté opposé côté adjacent tan Ĉ AB AC B hypoténuse côté opposé C côté adjacent A Pour s’en souvenir : Sinus = Opposé / Hypoténuse SOH Cosinus = Adjacent / Hypoténuse CAH Tangente = Opposé / Adjacent TOA SOH CAH TOA Sommaire Suite III - Quelques applications : SOH CAH TOA 1) Exemple n°1 : 5 cm N 30° P On connaît le côté NP adjacent à l’angle P. M On connaît l’angle P. On peut donc calculer : - son sinus, - son cosinus, - sa tangente. Dans le triangle MNP, on demande de calculer la longueur du côté MN. On veut calculer le côté MN opposé à l ’angle P. La formule à utiliser est donc : Choix de la formule à utiliser MN tan P̂ NP III - Quelques applications : MN tan P̂ NP 1) Exemple n°1 : 5 cm N 30° P MN tan 30 5 5 tan 30 MN M MN 5 tan 30 Dans le triangle MNP, on demande de calculer la longueur du côté MN. MN 5 0,577 MN 2,89 cm Calcul de la longueur MN Sommaire Suite 2) Exemple n°2 : R SOH CAH TOA On connaît le côté ST opposé à l’angle R. 40° S 6 cm T Dans le triangle RST, on demande de calculer la longueur du côté RT. On connaît l’angle R. On peut donc calculer : - son sinus, - son cosinus, - sa tangente. On veut calculer le côté RT hypoténuse du triangle. La formule à utiliser est donc : Choix de la formule à utiliser ST sin R̂ RT 2) Exemple n°2 : R 40° S 6 cm T Dans le triangle RST, on demande de calculer la longueur du côté RT. Calcul de la longueur RT Sommaire ST sin R̂ RT 6 sin 40 RT RT sin 40 6 6 RT sin 40 6 RT 0 ,643 RT 9,33 cm Suite 3) Exemple n°3 : I SOH CAH TOA 11,3 cm J 6,5 cm K Dans le triangle IJK, on demande de calculer la mesure de l’angle J. On connaît le côté JK adjacent à l’angle J. On connaît le côté IJ hypoténuse du triangle. On veut calculer l’angle J. On doit donc calculer : - son sinus, - ou son cosinus, - ou sa tangente. La formule à utiliser est donc : Choix de la formule à utiliser JK cos Ĵ IJ 3) Exemple n°3 : 11,3 cm I J 6,5 cm K Dans le triangle IJK, on demande de calculer la mesure de l’angle J. JK cos Ĵ IJ 6 ,5 cos Ĵ 11,3 cos Ĵ 0 ,575 Ĵ 54,9 Calcul de la mesure de l’angle J Sommaire Suite EN RÉSUMÉ Dans un triangle rectangle, on utilise les relations trigonométriques : - pour calculer la longueur d’un côté quand on connaît la mesure d’un angle aigu et la longueur d’un autre côté. - pour calculer la mesure d’un angle aigu quand on connaît la longueur de deux des côtés. FIN