1 - Phychim

Évolution de la charge d’un condensateur sous tension constante
Étude qualitative
Étude expérimentale
Exploitation des mesures
• Étude de la tension aux bornes du condensateur
• Étude de l’intensité du courant électrique
• Étude de la somme des tensions aux bornes de R et C
• Étude graphique de la constante de temps du circuit
Mise en équation du système
Lancer le diaporama
F5
• ETUDE QUALITATIVE •
Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.
R
C
18 V
12 V
9 V
1
0
3 V
• La
brillance
de la lampe se
permet
l’intensité
du courant
Lorsque
l’interrupteur
fermed’évaluer
la lampe qualitativement
brille vivement et
instantanément
• avec le temps •
Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.
R
C
18 V
12 V
9 V
1
0
3 V
• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •
La lampe brille de moins en moins avec le temps .
R
C
18 V
12 V
9 V
1
0
3 V
• L’intensité du courant électrique diminue progressivement •
La lampe s’éteint au bout de quelques secondes.
R
C
18 V
12 V
9 V
1
0
3 V
• L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle •
Sommaire
• ETUDE EXPERIMENTALE •
La lampe est retirée, elle est remplacée par un ampèremètre.
i (t)
R
0.00
A
C
18 V
12 V
9 V
1
0
3 V
• L’ampèremètre mesure i (t), l’intensité du courant dans le circuit électrique •
Un voltmètre est placé aux bornes de l’alimentation stabilisée.
0.00
A
R
5.00
18 V
12 V
9 V
1
0
U
C
V
3 V
• Le voltmètre mesure U, la tension aux bornes de la source de tension, constante et égale à 5 volts •
Un voltmètre est placé aux bornes du condensateur.
0.00
A
R
0.00
5.00
V
18 V
12 V
9 V
C
1
0
3 V
• Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •
V
Un voltmètre est placé aux bornes de la résistance.
0.00
V
0.00
A
R
0.00
5.00
V
18 V
12 V
9 V
C
1
0
3 V
• Le voltmètre mesure uR (t), la tension aux bornes de la résistance •
V
Un chronomètre donne le temps entre deux mesures.
0.00
00:00
min:sec
V
0.00
A
R
0.00
5.00
V
18 V
12 V
9 V
C
1
0
3 V
• L’évolution des grandeurs i (t), U, uc (t) et uR (t) est donnée en fonction du temps t •
V
L’interrupteur se ferme à l’instant « t = O ».
0.00
00:00
min:sec
V
0.00
A
R
0.00
5.00
V
18 V
12 V
9 V
C
1
0
3 V
• On relève toutes les grandeurs proposées, elles seront placées dans un tableau.
V
• Pour t = 0 s
uR (t) = 5 V
5.00
V
00:00
i (t) = 0,22 mA
min:sec
0.22
A
R
uC (t) = 0 V
U=5V
5.00
C
V
18 V
12 V
9 V
0.00
1
0
3 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 10 s
uR (t) = 4,17 V
4.17
V
00:10
i (t) = 0,19 mA
min:sec
0.19
A
R
uC (t) = 0,83 V
U=5V
5.00
C
V
18 V
12 V
9 V
0.83
1
0
3 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 20 s
uR (t) = 3,48 V
3.48
V
00:20
i (t) = 0,16 mA
min:sec
0.16
A
R
uC (t) = 1,52 V
U=5V
5.00
C
V
18 V
12 V
9 V
1.52
1
0
3 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 60 s
uR (t) = 1,68 V
1.68
V
01:00
i (t) = 0,08 mA
min:sec
0.08
A
R
uC (t) = 3,32 V
U=5V
5.00
C
V
18 V
12 V
9 V
3.32
1
0
3 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 120 s
uR (t) = 0,56 V
0.56
V
02:00
i (t) = 0,03 mA
min:sec
0.03
A
R
uC (t) = 4,44 V
U=5V
5.00
C
V
18 V
12 V
9 V
4.44
1
0
3 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 180 s
uR (t) = 0,19 V
0.19
V
03:00
i (t) = 5 mA
min:sec
0.005
A
R
uC (t) = 4,81 V
U=5V
5.00
C
V
18 V
12 V
9 V
4.81
1
0
3 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 240 s
uR (t) = 0,06 V
0.06
V
04:00
i (t) = 3 mA
min:sec
0.003
A
R
uC (t) = 4,94 V
U=5V
5.00
C
V
18 V
12 V
9 V
4.94
1
0
3 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
L’ensemble de toutes les valeurs relevées sont rassemblées dans un tableau
t [s]
uc (t) [V]
i (t) [mA]
uR (t) [V]
0
0
0,22
5
10
0,83
0,19
4,17
20
1,52
0,16
3,48
30
2,1
0,13
2,9
40
2,58
0,11
2,42
50
2,99
0,09
2,01
60
3,32
0,08
1,68
70
3,6
0,06
1,4
80
3,83
0,05
1,17
90
4,03
0,04
0,97
120
4,44
0,03
0,56
150
4,67
0,02
0,33
180
4,81
0,01
0,19
210
4,89
0,005
0,11
240
4,94
0,003
0,06
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 1 •
• Évolution de la tension aux bornes du condensateur
uC (t) = f (t)
Toutes les valeurs des mesures de la tension aux bornes du condensateur
sont consignées dans un tableau
t [s]
uc (t) [V]
0
0
10
0,83
20
1,52
30
2,1
40
2,58
50
2,99
60
3,32
70
3,6
80
3,83
90
4,03
120
4,44
150
4,67
180
4,81
210
4,89
240
4,94
Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
0
10
0,83
20
1,52
30
2,1
40
2,58
50
2,99
60
3,32
70
3,6
80
3,83
90
4,03
120
4,44
150
4,67
180
4,81
210
4,89
240
4,94
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
0
10
0,83
20
1,52
30
2,1
40
2,58
50
2,99
60
3,32
70
3,6
80
3,83
90
4,03
120
4,44
150
4,67
180
4,81
210
4,89
240
4,94
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
0
10
0,83
20
1,52
30
2,1
40
2,58
50
2,99
60
3,32
70
3,6
80
3,83
90
4,03
120
4,44
150
4,67
180
4,81
210
4,89
240
4,94
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
0
10
0,83
20
1,52
30
2,1
40
2,58
50
2,99
60
3,32
70
3,6
80
3,83
90
4,03
120
4,44
150
4,67
180
4,81
210
4,89
240
4,94
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
L’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
0
10
0,83
20
1,52
30
2,1
40
2,58
50
2,99
60
3,32
70
3,6
80
3,83
90
4,03
120
4,44
150
4,67
180
4,81
210
4,89
240
4,94
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• L’ensemble de ces croix permet de traduire l’évolution de la tension aux bornes du condensateur.
t [s]
La courbe de la charge d’un condensateur soumis à un échelon de tension est la suivante
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0
50
100
150
200
250
t [s]
uc (t) = f (t)
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 2 •
• Évolution de l’intensité du courant dans le circuit électrique
i (t) = f (t)
Toutes les valeurs des mesures de l’intensité du courant électrique
sont consignées dans un tableau
t [s]
i (t) [mA]
0
0,22
10
0,19
20
0,16
30
0,13
40
0,11
50
0,09
60
0,08
70
0,06
80
0,05
90
0,04
120
0,03
150
0,02
180
0,01
210
0,005
240
0,003
Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.
L’évolution de l’intensité du courant électrique en fonction du temps
i(t) [mA]
t [s]
i(t) [mA]
0
0,22
10
0,19
20
0,16
30
0,13
40
0,11
50
0,09
60
0,08
70
0,06
80
0,05
90
0,04
120
0,03
150
0,02
180
0,01
210
0,005
240
0,003
0,225
0,180
0,135
0,090
0,045
0
10
50
100
150
200
• L’évolution de l’intensité du courant électrique est tracée comme précédemment.
250
t [s]
La courbe de l’intensité du courant dans un circuit capacitif
soumis à un échelon de tension est la suivante
i (t) [mA]
0,225
0,180
0,135
0,090
0,045
0
50
100
150
200
250
t [s]
i (t) = f (t)
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 3 •
• Évaluation de la somme des tensions aux bornes des composants
uC (t) + uR (t)
Toutes les valeurs des mesures des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
sont consignées dans un même tableau
t [s]
uc (t) [V]
uR (t) [V]
0
0
5
10
0,83
4,17
20
1,52
3,48
30
2,1
2,9
40
2,58
2,42
50
2,99
2,01
60
3,32
1,68
70
3,6
1,4
80
3,83
1,17
90
4,03
0,97
120
4,44
0,56
150
4,67
0,33
180
4,81
0,19
210
4,89
0,11
240
4,94
0,06
Tracé des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
uR(t) [V]
0
10
50
100
150
200
250
t [s]
• Les tensions aux bornes du condensateur et de la résistance en concordance des temps
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
uR(t) [V]
0
10
50
100
150
200
• Prenons un point quelconque sur la courbe de uc (t)
250
t [s]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
uR(t) [V]
0
10
50
100
150
200
• Prenons le point correspondant sur la courbe de uR (t)
250
t [s]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
uR(t) [V]
0
10
50
100
150
200
• Repérons les deux valeurs sur l’axe des tensions.
250
t [s]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
uR(t) [V]
0
10
50
100
150
200
• Faisons la somme des deux valeurs obtenues.
250
t [s]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
uR(t) [V]
0
10
50
100
150
200
250
• La somme des deux tensions est égale à la tension d’alimentation U.
t [s]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
uR(t) [V]
0
10
50
100
150
200
• Cette propriété reste vraie à n’importe quel instant.
250
t [s]
La somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
R
C
uC (t)
18 V
12 V
9 V
1
0
U
3 V
Nous venons de vérifier expérimentalement la loi additive des tensions
U = uC (t) + uR (t)
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 4 •
• Détermination graphique de la constante de temps du circuit
t = R.C
• EXPLOITATION DES MESURES •
• Détermination graphique de la constante de temps du circuit
PREMIERE METHODE
Tangente à l’origine
t = R.C
La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de la courbe uC (t)
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
• Tracer la tangente à l’origine de la courbe uC (t).
150
200
250
t [s]
Il est nécessaire de tracer la droite d’équation U égale à la tension d’alimentation
constante.
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
t [s]
• Repérer le point d’intersection de cette tangente avec la droite caractérisant la tension d’alimentation.
La constante de temps du circuit s’obtient par projection.
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
• Ce point d’intersection permet de déterminer la constante de temps du circuit.
250
t [s]
La constante de temps du circuit s’obtient par projection sur l’axe des temps.
uc(t) [V]
5
4
3
La constante de temps du circuit est notée t.
Elle est égale au produit
2
t = R.C
1
0,5
0
10
50t
100
150
200
250
Seconde méthode :
t [s]
Clic
• EXPLOITATION DES MESURES •
• Détermination graphique de la constante de temps du circuit
DEUXIEME METHODE
Pourcentage de la tension finale
t = R.C
La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de deux droites
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
t [s]
La première droite est celle qui correspond à la tension finale de uc (t)
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
• Tracer l’asymptote à la courbe uC (t) lorsque t tend vers l’infini.
250
t [s]
Cette droite donne la tension finale de uc (t)
uc(t) [V]
Valeur finale de la tension uc (t)
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
• la valeur de la tension finale de uc (t) est égale à la valeur de l’alimentation.
250
t [s]
La seconde droite correspond à 95 %la tension finale de uc (t)
uc(t) [V]
100 % de la valeur finale
5
95 % de la valeur finale
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
• Calculer la valeur égale à 95 % de la valeur de l’alimentation.
200
250
t [s]
Cette droite coupe la courbe uc (t) à un instant particulier correspondant à 3.t
uc(t) [V]
5
95 % de la valeur finale
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150 3.t
200
• L’instant t permet de déterminer la valeur du triple de la constante de temps.
250
t [s]
La grandeur t peut donc être déterminée avec cette seconde méthode
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
t
100
150
200
• Un simple calcul permet de déterminer la valeur de la constante de temps.
250
t [s]
Sommaire
L’instant 3.t permet de différentier deux modes de fonctionnement
uc(t) [V]
Régime transitoire
Régime établi
5
4
3
2
3.t
1
0,5
0
10
50
100
150
200
• Les deux régimes, transitoire et permanent, sont déterminés graphiquement.
250
t [s]
• ETUDE MATHEMATIQUE •
Le montage à étudier est le suivant
uR (t)
R
i (t)
R
C
U
q (t)
C
uC (t)
18 V
12 V
9 V
1
0
U
3 V
Le montage réel
Le montage équivalent électrique
Les grandeurs électriques utilisées sont les suivantes
uC (t)
Quelques définitions :
Les éléments du circuit électrique
R
La valeur de la résistance en ohms [W]
C
La capacité du condensateur en farads [F]
• Dans l’étude expérimentale :
•
R = 22 kW
•
C = 2 5OO mF
Quelques définitions :
La source de tension du circuit électrique
U
La valeur de la tension d’alimentation en volts [V]
• Avant l’instant initial :
La tension U est nulle
• A l’instant t = O
La tension prend instantanément la valeur constante E
Dans l’étude expérimentale :
La tension E est égale à 5 volts
Quelques définitions :
L’intensité du courant dans le circuit électrique
i (t)
La valeur instantanée de l’intensité du courant électrique en ampères [A]
Les deux composants R et C du circuit électrique sont en série
Ils sont donc traversés par la même intensité du courant électrique.
Quelques définitions :
Les tensions aux bornes des composants R et C
uC (t)
La valeur instantanée de la tension aux bornes du condensateur en volts [V]
uR (t)
La valeur instantanée de la tension aux bornes de la résistance en volts [V]
Quelques définitions :
La charge instantanée dans le condensateur C
q (t)
La valeur instantanée de la charge dans le condensateur en coulombs [C]
Lorsque le courant i (t) circule dans le circuit, le condensateur se charge
Il accumule des charges positives et négatives sur ses différentes plaques
La charge q (t) rend compte de l’état électrique de cette charge.
Appliquons la loi des mailles sur ce circuit
uR (t)
i (t)
R
q (t)
C
U
Suivant le sens de parcours donné :
uC (t)
U - uR (t) - uC (t) = O
Nous obtenons donc la relation :
U = uR (t) + uC (t)
Quelques relations utiles :
uR (t)
i (t)
R
U
C
q (t)
La loi d’Ohm aux bornes de la résistance :
uR (t) = R.i (t)
uC (t)
Quelques relations utiles :
uR (t)
i (t)
R
q (t)
C
U
La charge du condensateur :
q (t) = C.uC (t)
uC (t)
Quelques relations utiles :
uR (t)
i (t)
R
q (t)
C
U
L’intensité du courant électrique :
i (t) =
dq (t)
dt
uC (t)
uR (t)
U = uR (t) + uC (t)
i (t)
uR (t) = R.i (t)
R
U
q (t)
C
q (t) = C.uC (t)
uC (t)
i (t) =
U = uR (t) + uC (t) = RC
dq (t)
duc (t)
= C
dt
dt
duc (t)
+ uC (t)
dt
A t = O, la tension U prend la valeur E, l’équation différentielle devient :
uC (t) + RC
duc (t)
dt
= E
1ère étape
Rappel mathématique
L’équation est de la forme
La solution s’écrit donc
dy
dt
:
:
y
= a.y + b
= K.e
a.t
-
b
a
Pour K, a et b  
Ici
:
1
duc (t)
= 
u (t) +
dt
RC C
La tension uc (t) s’écrit donc :
uC (t) = K.e
t
 RC
+ E
E
RC
2ème étape
Étude des conditions initiales
La tension aux bornes du condensateur est nulle à l’instant initial donc
uC (O) = O
donc
A+E=O
Nous en déduisons la valeur de A = - E
uC (t) = E.( 1 –
t
 RC
e
)
Étude de l’intensité du courant i (t)
i (t) =
duc (t)
dq (t)
= C.
dt
dt
t
 RC
e
uC (t) est de la forme
uC (t) = E.(1 –
duc (t)
est donc de la forme
dt
duc (t)

E
=
.e
dt
RC
i (t) =
E
e
R
t
RC
)
)
t
 RC
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