Couche limite atmosphérique

Couche limite atmosphérique
Micrométéorologie
Équations aux fluctuations
Les termes de Reynolds sont des corrélations doubles:
________
f 'g'
f et g symbolisant ui (i = 1, 2 ou 3) ou 
or
 _____
' '
  f g  ________' ________'

  f ' g  g ' f
t
t
t
Équations aux fluctuations
 _____
' '
  f g  ________' ________'

  f ' g  g ' f
t
t
t
g  gg
'
g ' g g


t
t t
Équations aux fluctuations
Généralisation : Keller et Friedmann
f1 f 2
fN
 f1 f 2 f N
  f1 f 2
t
j
f j 1
f j
t
f j 1
fN
Équations aux fluctuations
u i,
xi
0
u i,
,
,
ui,

u

u

u
 u j
 u ,j i  u ,j i  u ,j i
t
x j
x j
x j
x j
 2ui,
1 p , g '

  
 2 ijk j uk'
 0 xi  0
x j x j
(i  1, 2,3)
2 '
 '






'
,
, '
, '

u j 
u j 
u j 
u j  
t
x j
x j
x j
x j
x j x j
Équations aux corrélations doubles :
quantité de mouvement
   u u  u u
 ui,uk,
t
,
,
k
i
t
,
i
,
k
t
u i,
,
,
ui,

u

u
1

p
g '
,
,
i
i
 uj
 uj
 uj

 
t
x j
x j
x j
0 xi  0
ui,u ,j
u
2 ijk  u  

x j x j
x j
'
j k
(i  1, 2,3)
2 ,
i
Équations aux corrélations doubles :
quantité de mouvement
   u u  u u
 ui,uk,
,
,
k
t
,
,
,

u

u

u

u
uk, i  uk, u j i  uk, u ,j i  uk, u ,j i
t
x j
x j
x j
,

p
g
  uk,
 uk,  '
 0 xi  0
,
i
i
t
,
k
t
,
,
,

u

u

u

u
ui, k  ui, u j k  ui,u ,j k  ui,u ,j k
t
x j
x j
x j
,

p
g
  ui,
 ui, '
 0 xk  0
1
1
ui u j
 2ui,
, '
,
,
2 ijk j uk uk   uk
 uk
x j x j
x j
, ,
, ,
2 ,

u

u
ku j
, ,
,
,
k
2 ijm j umui   ui
 ui
x j x j
x j
Équations aux corrélations doubles :
quantité de mouvement
,
ui,
ui,
,
, ,  ui
, , ui
u
 uk u j
 uk u j
 uk u j
t
x j
x j
x j
,
k
,

p
g
  uk,
 uk,  '
 0 xi  0
,
uk,
uk,
,
, ,  uk
, , uk
u
 ui u j
 ui u j
 ui u j
t
x j
x j
x j
,
i
,

p
g
  ui,
 ui, '
 0 xk  0
1
1
ui u j
 2ui,
, '
,
,
2 ijk j uk uk   uk
 uk
x j x j
x j
, ,
, ,
2 ,

u

u
ku j
, ,
,
,
k
2 ijm j umuk   ui
 ui
x j x j
x j
ui uk u j
ui,uk,
ui,uk,
, ,  ui
, ,  uk
uj
 uk u j
 ui u j

t
x j
x j
x j
x j
, ,
,
uk, p , ui, p ,
g
g


  i 3 uk,  '   k 3 ui, '
 0 xi  0 xk
0
0
2 ,
 2ui,
,  uk
2 ijm j u u  2 ijm j u u   u
  ui
x j x j
x j x j
, '
m k
, ,
m i
,
k
Équations aux corrélations doubles :
quantité de mouvement
u p


0 xi
,
k
,
u p


0 xk
,
i
,
 p u
, ,
k
xi
 p u
, ,
i
xk
  p u
,
k
,
xi
p
,
u
xk

u
u


u

u
 uk,
 ui,

2
x j x j
x j x j
x j
2 ,
i
2 ,
k
2
, ,
i k
,
i
  2 u
___________
,
,
i
k
u
x j x j
Équations aux corrélations doubles :
quantité de mouvement
u u u
u u
u u
, ,  ui
, , uk
uj
 uk u j
 ui u j

t
x j
x j
x j
x j
, ,
i k
, ,
i k
, ,
i k
,
j
g 

 i 3 uk,  '   k 3 ui, '   2 ijm j um, uk'  2 ijm j um, ui,

0 
,
, 



u

u
1  p ,uk, p ,ui,
,
i
k
 

p 


 0  xi
xi
 xk xi  
 u u
2

, ,
i k
x 2j
  2 u u
,
i
x 2j
,
k
Équations aux corrélations doubles :
flux de chaleur
    u  u 
 ui, '
,
'
i
t
t
,
i
'
t
u ,j '
 'ui,u ,j
u 
, , 
' ,  ui
uj
 ui u j
 u j

t
x j
x j
x j
x j
,
i
'
,

p
'
'
  i 3  
0
 0 xi
g
2
1
u
,  

   ui 2  2 inm n um,  '
x
x j
'
2 ,
k
2
j
2
'
Équations aux corrélations doubles :
variance de la température
   2 
 
'2
'
'
t
t
 u


, ' 
uj
 2u j

t
x j
x j
x j
'2
'2 ,
j
'2


 
 2  2
2
x j
x j
2
'2
2
'
Équations aux corrélations doubles :
quantité de mouvement
u u u
u u
u u
, ,  ui
, , uk
uj
 uk u j
 ui u j

t
x j
x j
x j
x j
, ,
i k
, ,
i k
, ,
i k
,
j
g 

 i 3 uk,  '   k 3 ui, '   2 ijm j um, uk'  2 ijm j um, ui,

0 
,
, 



u

u
1  p ,uk, p ,ui,
,
i
k
 

p 


 0  xi
xi
 xk xi  
 u u
2

, ,
i k
x 2j
  2 u u
,
i
x 2j
,
k
Équations aux corrélations doubles :
la variance des composantes de la vitesse
,2 ,
i
j
u u
u
u
, ,  ui
, ,  uk
uj
 ui u j
 ui u j

t
x j
x j
x j
x j
,2
i
,2
i
g 

 i 3 ui, '   i 3 ui, '   2 ijm j um, ui'  2 ijm j um, ui,

0 
,
, 



u

u
1  p ,ui, p ,ui,
,
i
i
 

p 


 0  xi
xi
 xi xi  

   2 u
,2
i
 u
2
x 2j
ui,
x j x j
,
i
Équations aux corrélations doubles :
la variance des composantes de la vitesse
,2 ,
i
j
u u
u
u
, ,  ui
uj
 2ui u j

t
x j
x j
x j
,2
i
,2
i
g 
2
 i 3 ui, '   4 ijm j um, ui'

0 
, 



u
1  p ,ui,
,
i
 2
2p 

 0  xi
 xi  

   2 u
,2
i
 u
2
x 2j
ui,
x j x j
,
i
Types de fermeture
Empiriques : ou d ’ordre 1 à 1 1/2
Fermetures d ’ordre supérieure : ordre 2 ou 3
En résumé
À cause de la non linéarité des équations de la mécanique
des fluides, le système décrivant l ’évolution statistique des
mouvements turbulents est en réalité une hiérarchie infinie
d ’équations aux moments : tout système finie est ouvert,
c ’est-à-dire que le système contient toujours plus
d’inconnues que d ’équations.
Dans la pratique on peut envisager de traiter
qu ’un nombre fini d ’équations, décrivant l ’évolution
des moments d ’ordre 1, 2, 3… N. Il sera donc nécessaire
de formuler une hypothèse de fermeture reliant les moments
d ’ordre (N+1) aux moments d ’ordre inférieur;
Échelles typiques de la turbulence
Turbulence dynamique
longueur
L

g
3
*
______
, ,
u
k w
, k  0.4
s
vitesse
u* 
w,u ,
température
 *SL
______
, ,
w

u*
Turbulence thermique
L  zi
 g  _____

, ,
w*   zi  w   
 


s

1
3
 *CL
______
, ,
w

w*
s
s
Échelles typiques de la turbulence