Onde cyclotronique électronique

- Onde à la fréquence cyclotronique électronique -
Pour rappel, on cherche avec l’onde cyclotronique électronique
à rentrer en résonance avec le mouvement de giration des
électrons transverse au champ magnétique local:
 n
ce

 k//v //  0
On peut s’intéresser aux harmoniques n = 1 ou n = 2, et si
l’électron possède une vitesse parallèle non nulle v//, il y a un
effet Doppler qui modifie la condition de résonance qui reste
cependant dominée par la valeur locale du champ (k//v// << )
Le processus de génération de courant par l’onde cyclotronique
électronique est basé sur un transfert résonant d’impulsion
perpendiculaire, mais qui dépend de l’impulsion parallèle.
Onde cyclotronique électronique :
   1
 2pe
 2   2ce
 2pe
 // 1 2

2
ce  pe
 xy  
  2   2ce
   pi, ci
Il est d’usage de poser
 2pe
X 2

Y
ce

Deux modes propagatifs:
2
n,0
1 X
Mode ordinaire
2
2
n,x
XY
1 X 
1 X  Y 2
Mode extraordinaire
• Le mode ordinaire est caractérisé par un champ électrique
dirigé parallèlement au champ magnétique de confinement et
transverse (polarisation linéaire):
r
E / / B
et
r
E  k
Le mode ne peut se propager que pour  > pe (coupure) , et
ne possède pas de résonance dans le modèle plasma froid.
• Le mode extraordinaire est polarisé elliptiquement dans le plan
perpendiculaire au champ magnétique. Il possède deux coupures
respectivement droite et gauche définies par
2
2
n,x
XY
1 X 
2  0  Y  1 X 
1 X  Y
 ce
ce 
2
  
    pe
 2 
2
2
Signe + [-]: droite [gauche]
Le mode X possède en plus une résonance froide lorsque
1 X  Y 2  0
ce qui correspond à  uh  ce   pe
2
2
qui est la résonance
hybride haute.Comme pe ≈ ce dans les tokamaks, uh ≈ ce où
comme au voisinage de toute résonance l’onde devient
quasiélectrostatique (Onde de Bernstein Electronique, EBW)
En propagation oblique, le plasma se présente également comme
un milieu biréfringent. Les propriétés de l’onde sont un mélange
entre celles du mode X et celles du mode O (continuité analytique):
2

Y
1n

XY
// 
2
2
n,q0 1 n//  X 
2 1 X Y 2
2

Y
1
n

XY
// 
2
2
n,qX 1 n//  X 
2 1 X Y 2
où
  1 n
2
2
2
Y

4n

// 1 X 
2 2
//
Il y a confluence entre les modes X et O dans le cas  = 0:
X c  1
1 n 
4n
2 2
//
2
//
Y2
Pour X > Xc, les deux solutions sont complexes conjuguées. Ce
cas de figure est cependant assez marginal puisqu’il implique
un intervalle de n// très réduit au voisinage de n// = 1 ainsi
qu’une densité élevée et un champ magnétique bas. On ne le
rencontre quasiment jamais dans un tokamak.
A partir de la connaissance des coupures et des résonances, il
est possible de déterminer le domaine de propagation possible
en fonction de la polarisation, et donc les lieux envisageables
pour la génération non-inductive de courant pour un profil de
densité éelctronique et de champ magnétiques donnés
Diagrammes (r) et diagramme CMA
Région inaccessible
=0
L’onde cyclotronique électronique présente une propriété essentielle :
moyennant un choix judicieux de la fréquence, elle ne rencontre pas
de coupure au bord du plasma (comme l’onde hybride), et de ce fait,
l’antenne qui excite l’onde n’a pas besoin d’être en contact direct
avec le plasma: GROS AVANTAGE technologique, puisqu’il est
toujours désagréable de placer un objet solide dans le plasma. C’est
une des raisons pour laquelle ce type de chauffage est prioritairement
choisi pour ITER.
Couplage optique à l’aide de miroirs:
Onde EC, Mode X2
Cas TORE SUPRA: ne0 = 410+19 m-3, Te0 = 5keV, Bt0 = 2T
Courbe de résonance:
On définit:
v // 
p//
n// 
k //c


 n
et
et
ce

 k//v //  0
  1 p2
y
(unités relativistes)
n ce

Dans l’espace des impulsions (p//,p):   n // p//  y
2
2
que l’on peut réécrire sous la forme:
2


yn
y
//
p2  1 n 2// p// 
2  
2 1
1
n
1
n

// 
//
yn//
qui est une ellipse centrée sur p//  1 n 2
et
//
2
p 0
L’absorption de l’onde est donc significative s’il y a suffisamment
d’électrons au voisinage de l’ellipse de résonance, et en particulier si
elle s’approche assez près du cœur de la distribution Maxwellienne
Onde cyclotronique électronique: mode X2
10
n = 0.97
r/a = 0.71 ( = 0.23)
=0
p/pth
8
6
n//res = 0.38
0.36
0.34
0.30 0.32
0.28
0.26
4
2
C-MOD
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
p///pth
2
4
6
8
10
L’opérateur quasilinéaire calculé par Kennel et Engelmann vaut
sous la forme la plus générale:
1
Q f   lim
V V
d 3 k 
2
L
p
 23   1
n 
où    n k//v// 
2
Dk   n  k //v //L f 
p//
est la condition de résonance, v //  m
e
et
 1 A
1 A  k // p
LA  
 
  2
p p me
p 
Le coefficient de diffusion quasilinéaire Dk est donné par la relation
Dk  e E k,e
2
 i
J n 1  E k ,e
i
p//
J n1 
E k,// J n
p
2
Où le champ électrique est décomposé en ses composantes de
Fourier selon la règle
 d 3k i kr  xr  t  r 
r
E x,t   Re  
Ek 
3 e
 2 

que l’on exprime dans les coordonnées de champ tournant
E k, 
1
E k ,x  iE k,y 

2
La composante transverse à k est projetée sur les axes x et y selon
les règles kx = kcos et ky ksin L’argument des fonctions de
Bessel Jn est le rayon de Larmor normalisé à l’inverse de la
composante perpendiculaire du vecteur d’onde
k v 

Le choix de la polarisation résulte de la valeur du coefficient de
diffusion quasilinéaire. Pour des électrons, la condition de
résonance nécessite de considérer des harmoniques négatifs (n < 0).
Sachant que J-n = (-1)nJn,
Dk  e E k, 1 e
n 1  i
2
J n 1  E k, 1 e
n 1  i
p//
n
J n 1 
E 1 J n
p k,//
2
k v 
Dans la limite   1 la fonction de Bessel pouvant être
n
approximée par
1 z 
J n z   
n! 2 
on obtient
2
2
2
2
p
p
1 kv  
On 
2 //
2
2 //
Dk  e 2 E k ,// J n  e 2 E k ,//
2 

p
p
n!
    
2n
 X n
Dk
2
 e E k, J n 1  e E k ,
2
2
2
2
2  n 1
k v  
2 




 n  1!
1
(E// non nul)
(E non nul)
Comme seuls les harmoniques |n| ≥ 2 peuvent atteindre le cœur du
plasma depuis le côté champ faible, on ne considèrera que ceux-ci.
Comme pour les petits arguments |z| < 1, la valeur de la fonction de
Bessel décroît très vite avec |n|, il est évident qu’à amplitude
constante du champ électrique de l’onde,
 n! k v  
Dk
 1
On  
2 



Dk
n 1! 
 Xn
2
2
Il est donc plus intéressant de travailler en mode X2 pour générer
du courant dans le plasma, car le coefficient de diffusion
quasilinéaire est plus grand (meilleure efficacité). A noter que
kv 
p 
p 
 N  
 
car N ~ 1

mc
mc
e
e
et
p
 0.25
me c
(C-MOD, r/a = 0.68)
La puissance dans un faisceau d’ondes EC est supposée de forme
Gaussienne transversalement à celui-ci. La transformée de Fourier
est donc aussi Gaussienne en k// avec une largeur k//. Le
coefficient de diffusion vaut ainsi
Dk  E k ,
Dépôt très localisé
2
 k//  k // 0  
p  
exp 
N 

2
2
k
m
c





//
e
A partir de la condition de résonance, on peut estimer la
direction de diffusion dans l’espace des impulsions. La
condition de résonance peut être réécrite sous la forme:

yn// 
p// 
2 
2
1
n


p
//


2
2 1
p//
p
  2 

p  me c 
2 1


1 n //

2
2


   
1

p//  me c
2 1
2
1 n// 

 1 n//

2
2
avec
De l’expression de l’opérateur quasilinéaire,
 1 A
1 A  k // p
LA  
 
  2
p p me
p 
1
p

on déduit que
p
 k// p
 1
  2
et   
me
 p
En exprimant ces termes en fonction de p// et p
k
p//  //
me
d’où
et
1  k // p//  1 
p 
1

p  me  p 
p// k // p
p 

 
N //
p me me c 
La diffusion est pratiquement perpendiculaire lorsque N// << 1 et
p ~ mevthe << mec, ce qui est le cas pour l’onde EC.
Avec le formalisme de Fisch-Boozer, il est possible d’évaluer
l’efficacité de génération de courant par onde EC.
r r
3
S


v
v/ /
J
e
w
v
r r

P 5  Z  0 Sw  v Ec
r

Sachant que dans ce cas: Sw   v   v


 EC 

J
3e

vv//
PEC 5  Z  0
r

S



Pour comparaison, le cas de l’hybride vaut w v  v
//
 LH
D’où
J
e
v 3  3vv//2


PLH 5  Z 0
v //
 LH v 3  3vv//2 4


 EC
3vv 2//
3
lorsque v ≈ v//
10
p/pth
8
6
4
2
0
1.0
4
0.0
n//res = 0.37
-0.5
2
0.35
0.33
0.31
0.29
0
-1.0
4
0
2
p///pth
With EC
Without EC
5
4
From ref. S.D. Schultz (1999)
From the code
180 deg.
2
F1 (10-3)
0.5
6
p/pth
DEC = 0.14
n = 0.97
n//res = 0.28, n// = 0.02
r/a = 0.71 ( = 0.23)
=0
<J//> [MA/m ]
8
C-MOD
3
2
1
0
2.8
6
90 deg.
<Js yn(EC)> = 0.13 MA.m-2
<Js yn(t)> = 0.011 MA.m-2
b = 0 deg.
(t = 0.042569
keV)
3.0
3.2
8
-8
-4
0
p///pth
Okhawa effect
4
3.4
3.6
3.8
n//res
8
Effet des particules piégées
L’effet des particules piégées est dans un premier temps de
réduire la fraction ft de particules circulantes qui peuvent
contribuer au courant. On peut l’estimer simplement à partir de
la théorie de Fish-Boozer en modifiant le calcul de l’intégrale


ev // dt
qui intervient dans
0



r r 
Sw   v  ev/ / dt
J
r 0r

P
Sw   v Ec
ev // dt
0

ev // dt
0
Où  est le temps nécessaire pour qu’une particule circulante
devienne piégée:
Fraction piégée
 EC eff ectif
 J 
e
 1 T  
 T
vv//
5  Z 0
PEC circulant
Effet Ohkawa: le signe du courant EC change de sens lorsque la
résonance cyclotronique est proche de la frontière entre les
particules circulantes et piégées. Approche simplifiée:
où
avec
Calcul de la densité de puissance EC absorbée
Hypothèses:
-limite non-relativiste
-Absorption linéaire
sur la Maxwellienne f0
v// << v//0
Taux de piégeage induit par l’onde EC
Courant Ohkawa généré
Description fluide
d’où
avec
et
Expression du courant Ohkawa EC
Figure de mérite courant EC Ohkawa
Synergie avec le courant bootstrap
10
p/pth
8
6
4
2
0
1.0
F1 (10-3)
0.5
DEC = 0.14
n = 0.97
n//res = 0.28, n// = 0.02
r/a = 0.71 ( = 0.23)
=0
With EC
Without EC
0.0
<Js yn(EC)> = 0.13 MA.m-2
-0.5
<Js yn(t)> = 0.011 MA.m-2
(t = 0.042569 keV)
C-MOD
-1.0
-8
-4
0
p///pth
4
8
f1  f˜  g
5
p/pth
4 C-MOD
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
p///pth
2
3
4
5
Effet Fish-Boozer 2-D
sur la correction
néoclassique
<JEC> [MA/m2]
10
C-MOD
5
0
• L’amélioration diminue
lorsque l’absorption
intervient côté champ fort
(b = 180 deg.)
-5
Okhawa effect
-10
<Jsyn> [MA/m2]
1.2
1.0
0.8
0.6
b = 0 deg.
b = 45 deg.
b = 90 deg.
b = 135 deg.
b = 180 deg.
0.4
• Cette amélioration a
toujours le même signe
même lorsque l’effet
Okhawa devient important
(sens du courant plasma)
0.2
0.0
<Jsyn>/<JEC>
1.5
DEC = 0.14
n = 0.97
n// = 0.02
r/a = 0.71 ( = 0.23)
1.0
0.5
0.0
-0.5
0.26
0.28
0.30
0.32
n//res
0.34
0.36
0.38

ne  1 r /a


2 n
Te  1 r /a
2
Bootstrap Current Density (MA/m )
5
5.5
5
80
2
1
0
0.0
+
3
2.5
1.5
1
2
0.5
70
4
60
3
50
T
T
3
neTe = Cte
Synergistic Fraction <J syn>/<Jrf> (%)
6
5
4.5
4
3.5
4

2 T
2
+
40
30
C-MOD 1
20
10
1.0
n
1.5
2.0
0
0.0
0.5
1.0
1.5
n
r/a = 0.71 , Zi = 1, DEC = 0.14, n//res = 0.28, n// = 0. 02, 2/= 0.97
• <Jsyn>/<JEC> augmente avec le gradient de Te ( 80%)
e
• <Jsyn>/<JEC> proportionnel à J boot th.
• Pas d’effet du gradient de densité ne
2.0
5
C-MOD
4
T
3
2
0.01956
+
1
0
0.0
0.5
Figure of Merit (Am/W)
0.034
0.033
0.032
0.031
0.03
0.029
0.028
0.027
0.026
0.025
0.024
0.023
0.022
0.021
1.0
n
1.5
• L’efficacité de génération de courant EC croit
e
proportionnellement à J boot
th. ( 75 %)
• Faible effet du gradient de densité
2.0
Les applications de l’onde EC sont nombreuses, et tirent en
général profit du caractère très localisé du dépôt de puissance
de l’onde. On l’emploie ainsi pour stabiliser des ilôts de
déchirement résistifs (NTM) dont le taux de croissance de la
taille est donnée par l’équation de Rutherford
DIII-D
Recherche et stabilisation dynamique de l’ilôt avec l’onde EC
DIII-D