Calcul des matrices de Jones dans les cristaux

Groupe Polarisation
Jeudi 18 janvier 2007
Marion REMY
Alexandra DAUTREAUX
Laure LAGO
Alice MULIN
Génel FARCY
Tatiana LE COR
Calcul des matrices de Jones
dans les cristaux
Marion Rémy
Caractéristiques des cristaux
La biréfringence : liée à l’anisotropie
-
Création d’un retard de phase entre rayon ordinaire
et extraordinaire
-
Biréfringence = no – ne
-
Circulaire et linéaire
ne
no
Caractéristiques des cristaux
Le dichroïsme : différence d’absorption entre 2
axes.
-
Dichroïsme linéaire
-
Dichroïsme circulaire
Dichroïsme circulaire
Les matrices de base Θ
-
8 matrices représentant un comportement cristallin :
Θ1 = -η  i
0  → propagation, η dépend de n


0
i


Θ2 = -κ  1 0  → absorption, κ dépend de k


0
1


Θ3, Θ5 et Θ7 → biréfringence circulaire et linaire
Θ4, Θ6 et Θ8 → dichroïsme circulaire et linéraire
La matrice N
-
Matrice 2x2 définissant un point z du cristal
→ Etude d’une tranche du cristal découpée en 8
lamelles schématisant les 8 propriétés du cristal.
-
Regroupe les propriétés du cristal à travers les 8
matrices Θk tel que :
N

k
k
-
Pour un cristal homogène
k = 1, 2,…8
NN
Relation entre matrices M et N
- M matrice de Jones du cristal:
N = d M M-1 et M = exp (Nz)
d z
- Matrice M en fonction des éléments de N (n1, n2, n3
et n4):
Propagation des ondes dans les
milieux multicouches
anisotropes
Alexandra Dautreaux
8
Milieux isotropes / anisotropes

Milieu isotrope:



Ses propriétés mécaniques sont les mêmes dans toute les
directions
A un seul indice de diffraction
Milieu anisotrope:


Ses caractéristiques mécaniques sont différentes selon les
directions
A 2 ou plusieurs indice de diffraction
=> Tout rayon incident est séparé en deux rayons, cela se
traduit par un ou deux axes privilégiés dans la structure du
cristal => biréfringence
9
Biréfringence et milieux multicouches périodiques


Biréfringence: Cas de milieux anisotropes se caractérisant par
l’existence de deux indices de réfraction différents
qui
sont différents selon la polarisation de la lumière
Milieux multicouches périodiques: Successions de N couches ou
lames alternées :



d’un matériau ou d’un cristal avec des orientations cristallines différentes
De deux matériaux ou cristaux différents
Tenseur diélectrique correspondant:
10
Méthode des matrices

Champ électromagnétique dans la nième couche:

1 cellule unitaire n:

Où D(n) est la matrice de transmission et contient les informations sur la polarisation et P(n) est la
matrice de propagation de contient les informations sur la phase
N cellules unitaires:
11
Miroirs de Bragg


Qu’est-ce que c’est?
 Une succession de
surfaces planes
transparentes avec des n
différents
99,5% de capacité à
réfléchir la lumière car:
 Onde incidente proche de
l’incidence normale
 Interférences
constructives ( δ=nλ avec
n entier)
 Épaisseur des couches
de l’ordre de λ/4
12
Application: VCSEL
VCSEL=Vertical cavity surface emitting
laser (diode laser à cavité verticale
émettant par la surface)
Une diode laser est un composant
optoélectronique à base de semiconducteurs et qui émet une
lumière monochromatique.
Les miroirs de Bragg sont des DBR
(distributed Bragg reflector) => semiconducteur  cavité laser
Différents matériau pour
différentes couleurs
AlGaInP/GaAs diode laser émettant à 650 nm
13
Application: VCSEL (2)
Spectre d’émission / Diagramme E
(k)
Première bande de conduction
Bande interdite (avec émissions
spontanées)
Dernière bande de valence
DBR avec deux matériaux de
largeurs L1 et L2
14
Conclusion


Utilisation de la biréfringence
Nombreuse applications des milieux
multicouches périodiques:




Filtres, Filtres de Sôlc
Diodes lasers
Lasers
Hautes réflectances dans les miroirs de
Bragg
15
“Capteur Optronique
Théorie de l’Effet FARADAY”
Laure Lago
Courant et champ magnétique
Loi de Biot et Savart
Félix Savart 1791-1841
« Notons C la courbe géométrique représentant le circuit filiforme, et soit S un point
de cette courbe . On note dl le vecteur déplacement élémentaire tangent à la courbe
au point S. Dans le vide, le circuit parcouru par un courant continu d'intensité I crée
en tout point M de l'espace le champ magnétique :
C
dl
S
M
I
Où μ0 est une constante fondamentale, appelée perméabilité magnétique du vide. »
Courant et champ magnétique
Théorème d’Ampère
« En intégrant la loi de Biot et Savart sur une boucle fermée Γ quelconque, on
démontre le théorème d’Ampère :
Où Iinterieur est l'intensité algébrique enlacée par la courbe Γ. »
Effet d’un champ magnétique

Tout courant électrique produit un champ magnétique.

Les champs induits par la simple circulation de
courant créent des perturbations au niveau des
appareils de mesures qui contiennent des pièces
métalliques. Il est parfois même impossible de
procéder à des mesures sans court-circuiter une
partie du système industriel.
Effet Faraday
Michael Faraday
1791 - 1867
De même qu’un champ électrique modifie les propriétés optiques des
matériaux, un champ magnétique induit des anisotropies
Origine : Introduction d’une polarisation P, liée à la force de Laplace subie par les électrons.
L’expérience montre la rotation du plan de
polarisation, comme illustré ci-contre.
ν : constante de Verdet, en rad.T-1.m-1
Effet Faraday
Propagation de la lumière dans un matériau plongé dans un champ magnétique, et chemin
optique une boucle, nous avons l’équation suivante, qui est de la même forme que le
théorème d’Ampère :
Ce pouvoir rotatoire magnétique s’explique au moyen de l’expression de la polarisation
induite par le champ magnétique :
Pi = ε0 γijk Ej Bk
Un milieu initialement isotrope devient anisotrope, et un milieu anisotrope voit son
anisotropie modifiée.
« Recent progress in optical current sensing techniques »
Détection par polariseur
M = Analyseur * Rotateur * Polariseur* Vecteur d’entrée
φ : angle de rotation de Faraday
Amplitude finale :
I = I0/2 (1 + sin 2φ) avec I01/2 amplitude du champ incident passant.
Afin de s’acquitter de la dépendance en I0 nous nous intéresserons au rapport suivant:
S = sin 2φ
« Recent progress in optical current sensing techniques »
Catégories d’ampèremètre optique
« Optical Current Sensor »
Principe d’un OCS : Il consiste en l’utilisation d’un élément optique pour mesurer
l’intégrale du champ magnétique le long d’une boucle optique qui entoure le courant à
mesurer.




OCSs qui utilisent une fibre optique comme sonde
OCSs qui utilisent un unique volume de verre pour sonder le courant
OCSs qui utilisent des appareils optroniques hybrides
OCSs qui utilisent des appareils sur les propriétés des champs magnétiques
« Recent progress in optical current sensing techniques »
Separating the Faraday rotation from linear birefringence by using time multiplexing of
two different states of polarization of the input light
Par Rent et Robert, multiplexage temporel de deux états de polarisation
« Recent progress in optical current sensing techniques »
S1 pour une polarisation linéaire, avec la relation suivante :
S1 = 2φ . {sin[(δ²+(2φ)²)1/2] / (δ²+(2φ)²)1/2}
δ : biréfringence intrinsèque
φ : angle de rotation de Faraday
Et S2 pour une polarisation circulaire, telle que :
S2 = δ . {sin[(δ²+(2φ)²)1/2] / (δ²+(2φ)²)1/2}
2φ = Arcsin {(S1)² + (S2)² } / {(1 + (S2/ S1)²)1/2 }
Au lieu d’essayer de supprimer la biréfringence linéaire, ce montage permet d’avoir une
relation directe de la rotation de Faraday, indépendante de cette biréfringence.
En revanche, ce résultat n’est valable que pour des états de polarisation S1et S2 parfaitement
définis.
L’interferomètre de Malus FabryPérot
Alice Mulin
The Malus Fabry Pérot Interferometer
Présentation
d’un capteur capable de mesurer
une très petite anisotropie d’un milieu
Il
s’agit d’un interféromètre Fabry Pérot placé
entre deux polariseurs
L’intensité
résultante est fonction de
l’anisotropie
Interféromètre Fabry Pérot

Le Fabry-Pérot (FP) se compose de deux miroirs partiellement
réfléchissants se faisant face.

La lumière incidente effectue de multiples aller-retour à l’intérieur,
et ressort partiellement à chaque réflexion
M1
M2
M = T2∙Σ(M0)n ∙ T1
M = T2∙ A+ ∙ Σ(M0)n ∙ T1 avec un milieu anisotrope
avec Σ(M0)n = ( I - M0) -1
Le capteur
P1 polariseur
M1
Ein
Ein
x
x
P2 analyseur
M2
Anisotrope
Eout x
Cavité Fabry Pérot
(Exy)out = P2xy ∙ M ∙ P1x ∙ (Ex)in
Sachant que |E|2 = I
Il est facile d’en déduire Ixout et Iyout
Eout y
Les intensités résultantes
I
I
out
x
out
y
T 
2
T 
2
a11  a12 m21  a11m22
2
(1  m11 )(1  m22 )  m21m12
a 22  a 21m12  a 22 m11
2
 I 0in
2
(1  m11 )(1  m22 )  m21m12
2
 I 0in
La mesure de l’anisotropie
Dépend de l’anisotropie intra-cavité

I yout
I
Dépend des coefficients de réflexion
des miroirs
out
x
Indépendant de l’intensité incidente
Après quelques calculs :

4F

2
2

2
avec
F

2
(1  R)
2
et

a21  a21
2
La Biréfringence circulaire non réciproque :
Effet Faraday

L’effet Faraday implique une variation d’isotropie du milieu selon
un angle θf
 cos F
A  A  
 sin F



 sin F 

cos F 
Calcul expérimental de ρ en posant θF=VBLs
Avec F = 7000, L = 30cm,
Vair=1.9 ∙10-9 rad.G-1.cm-1
La Biréfringence circulaire réversible:
Activité optique

Ce sont les matériaux présentant une
anisotropie naturelle

Le passage des ces milieux génère une polarisation circulaire
θA

La réversibilité implique l’utilisation de deux lames quart d’onde
La Biréfringence linéaire non réciproque:
Effet Cotton

L’anisotropie intra-cavité est caractérisé par un retard de phase
Ψ

Expérimentalement, il a été mesuré une anisotropie associée à
un retard de phase de l’ordre de 10-6 rad

Pour attendre de telles résolutions => mise en place d’une
anisotropie calibrée intra-cavité
Miroirs interférentiels et leurs
revêtements
Génel Farcy
Miroirs Interférentiels





Iridescent
Multicouches
Alternance indice fort et
indice faible
Couches d’épaisseur
environ λ/4
Ont des propriétés de
biréfringence
Miroirs Interférentiels
Réflexion sur une seule couche : de l’ordre de 4 à 8%
Plus le nombre de couches est grand, plus le facteur de réflexion est élevé
Par contre, la bande passante se réduit sensiblement.
Leur revêtements

Polymère rajouté pour
augmenter la reflectance et
diminuer les pertes. (LL & HR)

Spin Coater

Faire sécher dans un four

Ces revêtements n’ont pas que
des avantages, ils entraînent
aussi des défauts sur la
polarisation.
Effets des coatings


Polarisation rectiligne => Polarisation
elliptique après réflexion sur le miroir.
Source de bruits et d’erreurs dans les
expériences

Le responsable : la biréfringence des revêtements des miroirs de
cavités

Altération de ces couches quand ils reçoivent une forte
puissance
Modification de la polarisation



On fait tourner l’analyseur
On détermine l’intensité
de lumière transmise
On calcule l’ellipticité ψ



I ext
IT
Relation entre l’ellipticité et l’anisotropie des coatings
On peut alors déterminer l’anisotropie de ces coatings qui est
responsable de la modification de l’ellipticité de la polarisation.
Distorsion de surface






Lorsque la température augmente, la courbure du miroir est
altérée.
Pour faire augmenter la température,
on tape sur le miroir avec un faisceau
laser de plus en plus puissant
Fréquences de résonance
TMR (Transverse Mode Range)
Rayon de courbure
Quand l’intensité du faisceau qui tape le miroir augmente, le
miroir s’aplanit (le rayon de courbure augmente)
Seuil de dommages






A quel point les coatings sont-ils résistants ?
A partir d’une certaine intensité, on a une distorsion des coatings
qui perturbe l’orientation du faisceau laser dans la cavité.
Egalement un effet de saturation encore non expliquée
Cette distorsion est temporaire.
Les chercheurs n’ont pas réussi à endommager les coatings de
façon permanente => grande résistance
Le seuil n’a pas été atteint même à une puissance de
100MW/cm²
Mesure des vibrations dans une cavité grâce
aux miroirs interférentiels

Méthode pour extraire le signal du à la vibration des miroirs

Utilisation de miroirs interférentiels




L’effet de la biréfringence est bonifié par la résonance de la cavité
Pas besoin de rajouter d’éléments optiques supplémentaires
Possibilité de faire une cavité ultracourte
Moins de pertes
Birefringence imaging with
imperfect benches: Application
to large-scale birefringence
measurements
Tatiana Le Cor
Introduction
Instrument optique mesurant la biréfringence d’échantillons larges et
transparents sans se soucier des défauts des composants (non-idéaux, nonalignés…).
Utilisation d’une barrette de CCD.



Détection avec une barrette CCD
Système Optique
Performance
Source
lumineuse
détecteur
échantillon
Détection avec une barrette CCD
Intensité reçue par un pixel: I(t)×M(t)
Où I(t) est l’intensité après le système optique
I (t )  I t ,dc  I t ,
M(t) est la modulation de la source lumineuse
Comme la fréquence de la barrette CCD (200Hz) est plus petit que la
fréquence de modulation (50KHz) alors
Intensité reçue par un pixel:
 I (t )  M (t )
Real-Time reflectivity and topography imagery of depth-resolved microscopic surfaces, A. Dubois, A.C. Boccara,
Mars 1999.
Système optique
Deux parties: Système créant une image de la LED et Système mesurant la
biréfringence
MO: Objectif microscopique
P: Polariseur
FM: Miroir
Q: ¼ d’onde
Mod: Modulateur
A: Analyseur
O: Objectif
S: échantillon
CM: Miroir concave de rayon
de courbure R=2m
Système optique
S: Echantillon
Q: ¼ d’onde
M: Modulateur
A: Analyseur
Obj: Objectif
R: Région de l’échantillon
P: Pixel
O1: LED
02: Image de la LED
Chaque pixel de la barrette CCD représente une région de l’échantillon.
Performance

Instrument capable de mesurer des zones de biréfringence pour des
échantillons larges et transparents.

Un pixel correspond à une région de 470µm de l’échantillon.

La sensibilité de cet instrument est de 3  10
performance de la barrette CCD.

Précision de 1% limitée par la calibration du modulateur.
4
rad . Limitée par la