DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES 1. Divisibilité dans Z

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Cours
Terminale S
1. Divisibilité dans Z
1) Multiples et diviseurs d’un entier relatif
a) Définition
Définition 1 : Soient a et b deux entiers. On dit que a divise b si, et seulement s’il existe un
entier k tel que b = ka. On dit aussi que a est un diviseur de b.
On dit encore que b est un multiple de a.
a divise b s’écrit a \ b .
b) Exemple
6 divise 42 car 42 = 7 × 6 avec 7 entier ; 6 est un diviseur de 42, et 42 est un multiple de 6.
c) Remarques
• La définition ci-dessus conduit à écrire, lorsque a et b sont non nuls, les deux équivalences
suivantes : « a est multiple de b » équivaut à « b est diviseur de a »
équivaut à « il existe q entier tel que a = bq ».
2) Propriétés
Propriétés 1 :
• 1 divise a pour tout entier a.
• a divise a pour tout entier a.
• Si a divise b et b divise c, alors a divise c ; on dit que la relation de divisibilité est transitive.
On peut aussi énocer : S i b est un multiple de a et si c est un multiple de b, alors c est un
multiple de a.
• Si a divise b et m est entier, alors a divise mb.
• Si a divise b et a divise c, alors a divise b + c et plus généralement a divise mb + nc, où m
et n sont des entiers quelconques.
Démonstrations :
• 1 divise a car a = a × 1.
• a divise a car a = a × 1.
• Si a divise b et b divise c, alors il existe des entiers k et k’ tels que b = ka et c = k’b. On en
déduit c = k’(ka) = (k’k)a. Comme k’k est un entier en tant que produit de deux entiers, on en
déduit que a divise c.
• Si a divise b, alors il existe un entier k tel que b = ka.
Alors, mb = mka = (mk)a, soit a divise mb, car mk est un entier.
• Si a divise b et a divise c, il existe des entiers k et k’ tels que b = ka et c = k’a. Donc mb +
nc = mka + nk’a = (mk + nk’)a. Le nombre mk + nk’ est un entier comme somme de produit
d’entiers, donc a divise mb + nc.
3) Application : résolution d’une équation diophantienne
Déterminer les entiers x et y tels que x2 – y2 = 9.
On peut d’abord remarquer que si, x et y sont solutions alors – x et – y sont aussi solutions.
On peut donc rechercher uniquement les naturels x et y tels que x2 – y2 = 9. On sait que
x2 – y2 = (x – y)(x + y). Ainsi, x – y et x + y sont des diviseurs de 9.
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Or l’ensemble des diviseurs de 9 est : {-9 ; -3 ; -1 ; 1 ; 3 ; 9}.
Comme x2 –y2 est positif, x > y et donc x – y et x + y sont strictement positifs, et x – y ≤ x + y.
D’où :
• Si x – y = 1, alors x + y = 9, et par addition, 2x = 10, soit x = 5 et y = 4 ;
• Si x – y = 3, alors x + y = 3, soit 2x = 6, d’où : x = 3 et y = 0.
En tenant compte de la remarque initiale, il y a donc six couples de solutions :
(5 ; 4) ; (-5 ; -4) ; (-5 ; 4) ; (5 ; -4) ; (3 ; 0) et (-3 ; 0).
2. Division euclidienne des entiers
On étudie dans ce paragraphe de façon approfondie la division entre deux nombres entiers
de notre école primaire.
1) Théorème
Théorème 1 : Soit a un entier naturel non nul, il existe un unique entier q et un unique entier
r tels que a = bq + r, avec o ≤ r < b.
Démonstration :
• Existence
On considère les multiples de b :
B, - kb, - (k - 1)b, B, - 2b, - b, 0, b, 2b, B, kb, (k + 1)b, B avec k entier naturel non nul.
→ Si a un multiple de b dans Z, a est un élément de la liste ci-dessus et il existe un entier
relatif q tel que : a = bq (1).
→ Si a n’est pas un multiple de b dans Z, il existe des multiples de b inférieurs à a et d’autres
supérieurs à a. Soit bq le multiple de b immédiatement inférieur à a, on peut écrire :
bq < a < b(q + 1) (2).
On réunit les cas (1) et (2) en un seul par la double inégalité : bq ≤ a < b(q + 1).
La double inégalité : bq ≤ a < b(q + 1) équivaut à 0 ≤ a – bq < b.
Posons r = a – bq, on obtient a = b.q + r avec 0 ≤ r < b .
• Unicité
Démontrons que l’écriture obtenue est unique.
Supposons qu’il existe q et r d’une part, q’ et r’ d’autre part tels que :
a = bq + r (3) avec 0 ≤ r < b et a = b’q’ + r’ (4) avec 0 ≤ r ' < b .
Supposons de plus, par exemple, qur r’ > r. Des relations (3) et (4), on déduit que
r’ – r = b.(q’ – q) (5).
La relation (5) et r’ > r signifie que r’ – r est un multiple non nul de b. Or, c’est impossible
puisque 0 ≤ r < r ' < b ; par suite, r’ – r est nécessairement nul donc r’ = r et q’ = q.
2) Définition
Définition 2 : Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
• Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer q et r tels que :
a = b.q + r avec 0 ≤ r < b
• Les entiers a, b, q et r sont appelés respectivement dividende, diviseur, quotient et reste
de la division euclidienne.
3) Exemples
• 65 × 22 < 1473 < 65 × 23 .
• 65 × ( −23 ) < −1473 < 65 × ( −22) .
On a : 1473 = 65 × 22 + 43 .
On a : −1473 = 65 × ( −23 ) + 22 .
4) Remarques
• Si 0 ≤ a < b , le quotient est nul et le reste est égal à a.
• Si le reste est nul, le nombre a est multiple de b et q s’appelle alors quotient exact de a
par b.
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5) Propriétés
Propriétés 2 :
• b divise a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
• On peut étendre le théorème au cas où a est un entier et b entier non nul :
il existe un unique entier q et un unique entier r tels que : a = bq + r, avec 0 ≤ r < b .
Exemple : 19 = (-5) × (-3) + 4, avec 0 ≤ 4 < 5, donc la division euclidienne de 19 par (-5) a
pour quotient -3 et pour reste 4.
6) Applications
a) Application 1
Le reste de la division euclidienne de 557 par la naturel b est 89.
Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.
On a 557 = bq + 89, avec b 89.
468
, soit q ≤ 5.
D’où bq = 468. Et ainsi q <
89
Or 468 = 22 × 32 × 13. ainsi, q peut valoir 1, 2, 3 ou 4.
Les valeurs corrspondantes de b sont 468, 234, 156 et 117.
b) Application 2
Montrer que tout entier n non divisible par 5 a un carré de la forme : 5p + 1 ou 5p – 1 (avec p
entier).
Puisque n n’est pas divisible par 5, le reste de sa division euclidienne par 5 est 1, 2 , 3 ou 4.
On opère donc en distinguant quatre cas distincts : c’est un raisonnement par disjonction des
cas. D’où :
• Si n = 5k + 1 (k є Z), alors n2 = 25k2 +10k + 1.
Soit n2 = 5(5k2 + 2k) + 1 = 5p + 1, en posant p = 5k2 + 2k ;
p est un entier comme somme de produit de deux entiers.
• Si n = 5k + 2 (k є Z), alors n2 = 5(5k2 + 4k + 1) – 1 = 5p – 1, en posant p = 5k2 + 4k + 1.
• Si n = 5k + 3 (k є Z), alors n2 = 5(5k2 + 6k + 2) - 1 = 5p - 1, en posant p = 5k2 + 6k + 2.
• Si n = 5k + 4 (k є Z), alors n2 = 5(5k2 + 8k + 3) - 1 = 5p - 1, en posant p = 5k2 + 8k + 3.
Dans tous les cas, le carré de n est de la forme 5p + 1 ou 5p – 1.
4. Congruences dans Z
1) Définition
Définition 4 : Soit n un naturel non nul. On dit que a et b sont congrus modulo n ssi a et b
ont même reste dans la division euclidienne par n. On note : a ≡ b (n) , ou bien a ≡ b
(modulo n).
On dit aussi que a est congru à b modulo n. On en déduit : a est congru à r modulo n, avec
0 ≤ r < n ssi r est le reste de la division euclidienne de a par n.
Exemple : 25 ≡ 14 (11) , car le reste de la division de 25 et 14 par 11 est le même : 3.
De même : 25 ≡ 3 (11).
2) Théorème
Théorème 3 : Soit a et b deux entiers et n un naturel non nul ; a et b ont même reste dans la
division euclidienne par n ssi a – b est divisible par n.
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Démonstration :
• Supposons que a et b aient le même reste r dans la division euclidienne par n.
Donc : a = nq + r et b = nq’ + r, avec q et q’ entiers et 0 ≤ r < n.
Alors : a – b = n(q – q’).
Comme q – q’ est un entier, on en déduit que a – b est divisible par n.
• Réciproquement :
supposons à présent que a – b est divisible par n : il existe k entier tel que a – b = kn. Soit r
le reste de la division euclidienne de b par n. On a donc l’égalité : b = nq + r, avec q entier et
0 ≤ r < n.
Alors : a = b + kn = nq + r + kn = (q + k)n + r, avec 0 ≤ r < n.
Puisque q + k est un entier, ceci prouve que la division euclidienne de a par n donne pour
quotient q + k et pour reste r.
D’où a et b ont bien même reste dans la division euclidienne par n.
On peut écrire également :
a et b sont congrus modulo n ssi a – b est divisible par n.
3) Propriétés
Propriétés 6 :
(1) a est divisible par n ssi a ≡ 0 (n).
(2) n ≡ 0 (n).
(3) a ≡ a (n).
(4) Si a ≡ b (n) et b ≡ c (n), alors a ≡ c (n) ; on dit que la relation de congruence modulo n
est transitive.
(5) Si a ≡ b (n) et a’ ≡ b’ (n), alors a + a’ ≡ b + b’ (n).
(6) Si a ≡ b (n) et a’ ≡ b’ (n), alors aa’ ≡ bb’ (n).
(7) Si a ≡ b (n) et p є N* , alors ap ≡ bp (n).
Démonstrations :
(2) n a pour reste 0 dans la division euclidienne par n, donc n ≡ 0 (n).
(3) a et a ont bien le même reste dans la division euclidienne par n.
(4) Si a et b ont même reste dans la division euclidienne par n et b et c aussi, alors a et c ont
même reste dans la division euclidienne par n.
(5) Si a ≡ b (n) et a’ ≡ b’ (n), alors il existe des entiers q et q’ tels que a – b = qn et
a’ – b’ = q’n.
Par addition, (a + a’) – (b + b’) = qn + q’n = (q + q’)n.
Ainsi, (a +a’) – (b + b’) est divisible par n, ce qui prouve que a + a’ et b + b’ sont congrus
modulo n.
(6) Si a ≡ b (n) et a’ ≡ b’ (n), alors il existe des entiers q et q’ tels que a – b = qn et
a’ – b’ = q’n.
Par produit, aa’ = (b + qn)(b’ + q’n) . D’où aa’ – bb’ = (bq’ + b’q + qq’n)n ; comme bq’ + b’q +
qq’n est un entier, aa’ – bb’ est divisible par n, ce qui montre que aa’ et bb’ sont congrus
modulo n.
4) Applications
a) Application 1
• Déterminer l’ensemble E des entiers x tels que x + 5 ≡ 3 (8) .
•• Déterminer l’ensemble F des entiers x tels que 3x ≡ 5 (8).
• On se sert de la compatibilité de la congruence avec l’addition.
x + 5 ≡ 3 (8) ⇔ x + 5 – 5 ≡ 3 – 5 (8) ⇔ x ≡ -2 (8) ⇔ x ≡ 6 (8), car – 2 est congru à 6
modulo 8.
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D’où E est l’ensemble des entiers de la forme 8k + 6, avec k entier.
•• On fait un tableau de valeurs prises par 3x quand x est égal aux 8 restes possibles modulo
8:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
3x
0
3
6
1
4
7
2
5
On a : 3x ≡ 5 (8) ⇔ x ≡ 7 (8).
Donc F est l’ensemble des entiers de la forme 8k + 7, avec k entier.
b) Application 2
Déterminer le reste de la division euclidienne par 3 de 2n, n étant un naturel.
En déduire le reste de la division par 3 de 214607.
Si n = 2p (p naturel), alors 22p = 4p . Or 4 ≡ 1 (3), d’où 4p ≡ 1 (3).
Si n = 2p + 1, alors 22p +1 = 4p × 2 . D’où 22p +1 ≡ 1× 2 (3) ≡ 2 (3) .
Ainsi, le reste de la division euclidienne de 2n par 3 est 1 si n est pair, et 2 si n est impair.
14 607 est impair, donc le reste de la division par 3 de 214607 est 2.
c) Application 3
Déterminer les entiers n tels que l’entier N = n2 – 3n + 6 soit divisible par 5.
n ne peut être congru qu’à 0, 1, 2, 3 ou 4 modulo 5.
Si n ≡ 0 (5), alors N ≡ 1 (5).
Si n ≡ 1 (5), alors N ≡ 4 – 6 + 6 (5) ≡ 4 (5).
Si n ≡ 2 (5), alors N ≡ 4 – 6 + 6 (5) ≡ 4 (5).
Si n ≡ 3 (5), alors N ≡ 9 – 9 + 6 (5) ≡ 1 (5).
Si n ≡ 4 (5), alors N ≡ 16 – 12 + 6 (5) ≡ 10 (5). D’où N ≡ 0 (5).
Ainsi, N est divisible par 5 pour les entiers n tels que n est congru à 4 modulo 5, c’est-à-dire
pour les entiers de la forme 5k + 4, avec k є Z.
5. Critères de divisibilité
Le calcul des congruences permet d’obtenir de nombreux critères de divisibilité ; voici les
principaux.
1) Propriétés
Propriétés 7 :
1. Un entier est divisible par 10 s’il se termine par 0.
2. Un entier est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair.
3. Un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
4. Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.
5. Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
6. Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres de n est
divisible par 4.
Démonstrations :
Soit N = anan −1...a2a1a0 .
Cela signifie que N s’écrit de la forme an × 10n + ... + a2 × 102 + a1 × 10 + a0 , les coefficients ai
étant des entiers compris entre 0 et 9 (an non nul).
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• prop. 1 : 10 ≡ 0 (10), d’où 10p ≡ 0 (10) ; donc N ≡ a0 (10).
N est divisible par 10 ssi a0 est divisible par 10, c’est-à-dire a0 est nul.
• prop. 2 : 10 ≡ 0 (2), d’où 10p ≡ 0 (2) ; donc N ≡ a0 (2).
N est divisible par 2 ssi a0 est divisible par 2, c’est-à-dire pour a0 égal à 0, 2, 4, 6 ou 8, car
0 ≤ a0 ≤ 9.
• prop. 3 : 10 ≡ 0 (5), d’où 10p ≡ 0 (5) ; donc N ≡ a0 (5).
N est divisible par 5 ssi a0 est divisible par 5, c’est-à-dire pour a0 égal à 0 ou 5, car
0 ≤ a0 ≤ 9.
• prop. 4 : 10 ≡ 1 (3), d’où 10p ≡ 1 (3) ; donc N ≡ an + ... + a 2 + a1 + a 0 (3).
Ce qui montre le résultat annoncé, car an + ... + a 2 + a1 + a 0 est bien la somme des chiffres de
N.
• prop. 5 : 10 ≡ 1 (9), d’où 10p ≡ 1 (9) ; donc N ≡ an + ... + a 2 + a1 + a 0 (9).
Ce qui montre le résultat annoncé, car an + ... + a 2 + a1 + a 0 est bien la somme des chiffres de
N.
• prop. 6 : 10 ≡ 2 (4), d’où 10p ≡ 0 (4) pour p ≥ 2 ; donc N ≡ 10a1 + a0 (4).
Or, 10a1 + a0 n’est autre que a1a0 , donc N est divisible par 4 ssi a1a0 est divisible par 4.
2) Applications
a) Application 1
Déterminer les naturels a et b tels que le nombre N = 6a9b soit divisible par 45.
N doit être divisible par 5, donc b = 0 ou b = 5.
N doit être aussi divisible par 9, donc la somme de ses chiffres doit être divisible par 9, c’està-dire 15 + a + b est divisible par 9.
• Si b = 0, 15 + a + b = 15 + a, et 15 + a est divisible par 9 ssi 15 + a = 18, soit a = 3. En
effet, 0 ≤ a ≤ 9, d’où 15 ≤ 15 + a ≤ 24.
• Si b = 5, 15 + a + b = 20 + a, et 20 + a est divisible par 9 ssi 20 + a = 27, soit a = 7. En
effet, 0 ≤ a ≤ 9, d’où 20 ≤ 20 + a ≤ 29.
Ainsi, si le problème a des solutions, ces solutions ne peuvent être que les couples (3 ; 0) et
(7 ; 5).
Pour a = 3 et b = 0, N = 6 390 et on vérifie que 6 390 est bien divisible par 45.
Pour a = 7 et b = 5, N = 6 795 et on vérifie que 6 795 est bien divisible par 45.
Le nombre N est soit égal à 6 390, soit à 6 795.
On verra dans le chapitre suivant une propriété qui nous évitera de faire cette vérification.
b) Application 2
• En utilisant la congruence 10 ≡ -1 (11), déterminer un critère de divisibilité par 11.
•• L’appliquer aux nombres 25 418 792 et 851 047 932 152.
••• Montrer que, pour tout naturel n, le nombre 25 418 7923n – 5n est divisible par 11.
• Soit N = anan −1...a2a1a0 .
Comme 10 ≡ -1 (11), on en déduit : N ≡ ( −1)n an + ... + a2 − a1 + a0 (11).
On en déduit un critère de divisibilité par 11 : N est divisible par 11 ssi la somme alternée
a0 − a1 + a 2 − a 3 + ... est divisible par 11.
•• Pour 25 418 792 : 2 – 9 + 7 – 8 + 1 – 4 + 5 – 2 = - 8 . Or -8 n’est pas divisible par 11 ; donc
25 418 792 n’est pas divisible par 11.
Pour 851 047 932 152 : 2 – 5 + 1 – 2 + 3 – 9 + 7 – 4 + 0 – 1 + 5 – 8 = -11, qui est divisible
par 11 ; donc 851 047 932 152 est divisible par 11.
••• D’après la question précédente, 25 418 792 ≡ -8 (11). Or -8 ≡ 3 (11), d’où
6
25 418 792 ≡ 3 (11).
Alors 25 418 7923n ≡ 33n (11). Or 33n = 27n et 27 ≡ 5 (11), d’où 25 418 7923n ≡ 5n (11).
Donc 25 418 7923n – 5n ≡ 0 (11).
Ce qui montre que cet entier est divisible par 11 quel que soit le naturel n.
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