DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES 1. Divisibilité dans Z

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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Cours Terminale S
1. Divisibilité dans Z
1) Multiples et diviseurs d’un entier relatif
a) Définition
Définition 1 : Soient a et b deux entiers. On dit que a divise b si, et seulement s’il existe un
entier k tel que b = ka. On dit aussi que a est un diviseur de b.
On dit encore que b est un multiple de a.
a divise b s’écrit a \ b .
b) Exemple
6 divise 42 car 42 = 7 × 6 avec 7 entier ; 6 est un diviseur de 42, et 42 est un multiple de 6.
c) Remarques
• La définition ci-dessus conduit à écrire, lorsque a et b sont non nuls, les deux équivalences
suivantes : « a est multiple de b » équivaut à « b est diviseur de a »
équivaut à « il existe q entier tel que a = bq ».
2) Propriétés
Propriétés 1 :
• 1 divise a pour tout entier a.
• a divise a pour tout entier a.
• Si a divise b et b divise c, alors a divise c ; on dit que la relation de divisibilité est transitive.
On peut aussi énocer : S i b est un multiple de a et si c est un multiple de b, alors c est un
multiple de a.
• Si a divise b et m est entier, alors a divise mb.
• Si a divise b et a divise c, alors a divise b + c et plus généralement a divise mb + nc, où m
et n sont des entiers quelconques.
Démonstrations :
• 1 divise a car a = a × 1.
• a divise a car a = a × 1.
• Si a divise b et b divise c, alors il existe des entiers k et k’ tels que b = ka et c = k’b. On en
déduit c = k’(ka) = (k’k)a. Comme k’k est un entier en tant que produit de deux entiers, on en
déduit que a divise c.
• Si a divise b, alors il existe un entier k tel que b = ka.
Alors, mb = mka = (mk)a, soit a divise mb, car mk est un entier.
• Si a divise b et a divise c, il existe des entiers k et k’ tels que b = ka et c = k’a. Donc mb +
nc = mka + nk’a = (mk + nk’)a. Le nombre mk + nk’ est un entier comme somme de produit
d’entiers, donc a divise mb + nc.
3) Application : résolution d’une équation diophantienne
Déterminer les entiers x et y tels que x
2
– y
2
= 9.
On peut d’abord remarquer que si, x et y sont solutions alors – x et – y sont aussi solutions.
On peut donc rechercher uniquement les naturels x et y tels que x
2
– y
2
= 9. On sait que
x
2
– y
2
= (x – y)(x + y). Ainsi, x – y et x + y sont des diviseurs de 9.

2
Or l’ensemble des diviseurs de 9 est : {-9 ; -3 ; -1 ; 1 ; 3 ; 9}.
Comme x
2
–y
2
est positif, x > y et donc x – y et x + y sont strictement positifs, et x – y ≤ x + y.
D’où :
• Si x – y = 1, alors x + y = 9, et par addition, 2x = 10, soit x = 5 et y = 4 ;
• Si x – y = 3, alors x + y = 3, soit 2x = 6, d’où : x = 3 et y = 0.
En tenant compte de la remarque initiale, il y a donc six couples de solutions :
(5 ; 4) ; (-5 ; -4) ; (-5 ; 4) ; (5 ; -4) ; (3 ; 0) et (-3 ; 0).
2. Division euclidienne des entiers
On étudie dans ce paragraphe de façon approfondie la division entre deux nombres entiers
de notre école primaire.
1) Théorème
Théorème 1 : Soit a un entier naturel non nul, il existe un unique entier q et un unique entier
r tels que a = bq + r, avec o ≤ r < b.
Démonstration :
• Existence
On considère les multiples de b :
B, - kb, - (k - 1)b, B, - 2b, - b, 0, b, 2b, B, kb, (k + 1)b, B avec k entier naturel non nul.
→ Si a un multiple de b dans Z, a est un élément de la liste ci-dessus et il existe un entier
relatif q tel que : a = bq (1).
→ Si a n’est pas un multiple de b dans Z, il existe des multiples de b inférieurs à a et d’autres
supérieurs à a. Soit bq le multiple de b immédiatement inférieur à a, on peut écrire :
bq < a < b(q + 1) (2).
On réunit les cas (1) et (2) en un seul par la double inégalité : bq ≤ a < b(q + 1).
La double inégalité : bq ≤ a < b(q + 1) équivaut à 0 ≤ a – bq < b.
Posons r = a – bq, on obtient a = b.q + r avec br0 <≤ .
• Unicité
Démontrons que l’écriture obtenue est unique.
Supposons qu’il existe q et r d’une part, q’ et r’ d’autre part tels que :
a = bq + r (3) avec br0 <≤ et a = b’q’ + r’ (4) avec b'r0 <≤ .
Supposons de plus, par exemple, qur r’ > r. Des relations (3) et (4), on déduit que
r’ – r = b.(q’ – q) (5).
La relation (5) et r’ > r signifie que r’ – r est un multiple non nul de b. Or, c’est impossible
puisque b'rr0 <<≤ ; par suite, r’ – r est nécessairement nul donc r’ = r et q’ = q.
2) Définition
Définition 2 : Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
• Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer q et r tels que :
a = b.q + r avec 0
r b
≤ <
• Les entiers a, b, q et r sont appelés respectivement dividende, diviseur, quotient et reste
de la division euclidienne.
3) Exemples
• 236514732265 ×<<× . On a : 4322651473 +×= .
•
)22(651473)23(65 −×<−<−×
. On a :
22)23(651473 +−×=−
.
4) Remarques
• Si ba0 <≤ , le quotient est nul et le reste est égal à a.
• Si le reste est nul, le nombre a est multiple de b et q s’appelle alors quotient exact de a
par b.

3
5) Propriétés
Propriétés 2 :
• b divise a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
• On peut étendre le théorème au cas où a est un entier et b entier non nul :
il existe un unique entier q et un unique entier r tels que : a = bq + r, avec 0 ≤ r <
b
.
Exemple : 19 = (-5) × (-3) + 4, avec 0 ≤ 4 < 5, donc la division euclidienne de 19 par (-5) a
pour quotient -3 et pour reste 4.
6) Applications
a) Application 1
Le reste de la division euclidienne de 557 par la naturel b est 89.
Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.
On a 557 = bq + 89, avec b 89.
D’où bq = 468. Et ainsi q <
89
468
, soit q ≤ 5.
Or 468 = 2
2
× 3
2
× 13. ainsi, q peut valoir 1, 2, 3 ou 4.
Les valeurs corrspondantes de b sont 468, 234, 156 et 117.
b) Application 2
Montrer que tout entier n non divisible par 5 a un carré de la forme : 5p + 1 ou 5p – 1 (avec p
entier).
Puisque n n’est pas divisible par 5, le reste de sa division euclidienne par 5 est 1, 2 , 3 ou 4.
On opère donc en distinguant quatre cas distincts : c’est un raisonnement par disjonction des
cas. D’où :
• Si n = 5k + 1 (k є Z), alors n
2
= 25k
2
+10k + 1.
Soit n
2
= 5(5k
2
+ 2k) + 1 = 5p + 1, en posant p = 5k
2
+ 2k ;
p est un entier comme somme de produit de deux entiers.
• Si n = 5k + 2 (k є Z), alors n
2
= 5(5k
2
+ 4k + 1) – 1 = 5p – 1, en posant p = 5k
2
+ 4k + 1.
• Si n = 5k + 3 (k є Z), alors n
2
= 5(5k
2
+ 6k + 2) - 1 = 5p - 1, en posant p = 5k
2
+ 6k + 2.
• Si n = 5k + 4 (k є Z), alors n
2
= 5(5k
2
+ 8k + 3) - 1 = 5p - 1, en posant p = 5k
2
+ 8k + 3.
Dans tous les cas, le carré de n est de la forme 5p + 1 ou 5p – 1.
4. Congruences dans Z
1) Définition
Définition 4 : Soit n un naturel non nul. On dit que a et b sont congrus modulo n ssi a et b
ont même reste dans la division euclidienne par n. On note : a
≡
b (n) , ou bien a
≡
b
(modulo n).
On dit aussi que a est congru à b modulo n. On en déduit : a est congru à r modulo n, avec
0 ≤ r < n ssi r est le reste de la division euclidienne de a par n.
Exemple : 25
≡
14 (11) , car le reste de la division de 25 et 14 par 11 est le même : 3.
De même : 25
≡
3 (11).
2) Théorème
Théorème 3 : Soit a et b deux entiers et n un naturel non nul ; a et b ont même reste dans la
division euclidienne par n ssi a – b est divisible par n.

4
Démonstration :
• Supposons que a et b aient le même reste r dans la division euclidienne par n.
Donc : a = nq + r et b = nq’ + r, avec q et q’ entiers et 0 ≤ r < n.
Alors : a – b = n(q – q’).
Comme q – q’ est un entier, on en déduit que a – b est divisible par n.
• Réciproquement :
supposons à présent que a – b est divisible par n : il existe k entier tel que a – b = kn. Soit r
le reste de la division euclidienne de b par n. On a donc l’égalité : b = nq + r, avec q entier et
0 ≤ r < n.
Alors : a = b + kn = nq + r + kn = (q + k)n + r, avec 0 ≤ r < n.
Puisque q + k est un entier, ceci prouve que la division euclidienne de a par n donne pour
quotient q + k et pour reste r.
D’où a et b ont bien même reste dans la division euclidienne par n.
On peut écrire également :
a et b sont congrus modulo n ssi a – b est divisible par n.
3) Propriétés
Propriétés 6 :
(1) a est divisible par n ssi a
≡
0 (n).
(2) n
≡
0 (n).
(3) a
≡
a (n).
(4) Si a
≡
b (n) et b
≡
c (n), alors a
≡
c (n) ; on dit que la relation de congruence modulo n
est transitive.
(5) Si a
≡
b (n) et a’
≡
b’ (n), alors a + a’
≡
b + b’ (n).
(6) Si a
≡
b (n) et a’
≡
b’ (n), alors aa’
≡
bb’ (n).
(7) Si a
≡
b (n) et p є N
*
, alors a
p
≡
b
p
(n).
Démonstrations :
(2) n a pour reste 0 dans la division euclidienne par n, donc n
≡
0 (n).
(3) a et a ont bien le même reste dans la division euclidienne par n.
(4) Si a et b ont même reste dans la division euclidienne par n et b et c aussi, alors a et c ont
même reste dans la division euclidienne par n.
(5) Si a
≡
b (n) et a’
≡
b’ (n), alors il existe des entiers q et q’ tels que a – b = qn et
a’ – b’ = q’n.
Par addition, (a + a’) – (b + b’) = qn + q’n = (q + q’)n.
Ainsi, (a +a’) – (b + b’) est divisible par n, ce qui prouve que a + a’ et b + b’ sont congrus
modulo n.
(6) Si a
≡
b (n) et a’
≡
b’ (n), alors il existe des entiers q et q’ tels que a – b = qn et
a’ – b’ = q’n.
Par produit, aa’ = (b + qn)(b’ + q’n) . D’où aa’ – bb’ = (bq’ + b’q + qq’n)n ; comme bq’ + b’q +
qq’n est un entier, aa’ – bb’ est divisible par n, ce qui montre que aa’ et bb’ sont congrus
modulo n.
4) Applications
a) Application 1
• Déterminer l’ensemble E des entiers x tels que x + 5
≡
3 (8) .
•• Déterminer l’ensemble F des entiers x tels que 3x
≡
5 (8).
• On se sert de la compatibilité de la congruence avec l’addition.
x + 5
≡
3 (8)
⇔
x + 5 – 5
≡
3 – 5 (8)
⇔
x
≡
-2 (8)
⇔
x
≡
6 (8), car – 2 est congru à 6
modulo 8.

5
D’où E est l’ensemble des entiers de la forme 8k + 6, avec k entier.
•• On fait un tableau de valeurs prises par 3x quand x est égal aux 8 restes possibles modulo
8 :
x
0 1 2 3 4 5 6 7
3x
0 3 6 1 4 7 2 5
On a : 3x
≡
5 (8)
⇔
x
≡
7 (8).
Donc F est l’ensemble des entiers de la forme 8k + 7, avec k entier.
b) Application 2
Déterminer le reste de la division euclidienne par 3 de 2
n
, n étant un naturel.
En déduire le reste de la division par 3 de 2
14607
.
Si n = 2p (p naturel), alors
pp2
4
2
=
. Or
1
4
≡
(3), d’où
1
4
p
≡
(3).
Si n = 2p + 1, alors
2
4
2
p1p2
×
=
+
. D’où
(3) 2 (3) 212
1p2
≡×≡
+
.
Ainsi, le reste de la division euclidienne de 2
n
par 3 est 1 si n est pair, et 2 si n est impair.
14 607 est impair, donc le reste de la division par 3 de 2
14607
est 2.
c) Application 3
Déterminer les entiers n tels que l’entier N = n
2
– 3n + 6 soit divisible par 5.
n ne peut être congru qu’à 0, 1, 2, 3 ou 4 modulo 5.
Si
≡
n
0 (5), alors N
≡
1 (5).
Si
≡
n
1 (5), alors N
≡
4 – 6 + 6 (5)
≡
4 (5).
Si
≡
n
2 (5), alors N
≡
4 – 6 + 6 (5)
≡
4 (5).
Si
≡
n
3 (5), alors N
≡
9 – 9 + 6 (5)
≡
1 (5).
Si
≡
n
4 (5), alors N
≡
16 – 12 + 6 (5)
≡
10 (5). D’où N
≡
0 (5).
Ainsi, N est divisible par 5 pour les entiers n tels que n est congru à 4 modulo 5, c’est-à-dire
pour les entiers de la forme 5k + 4, avec k є Z.
5. Critères de divisibilité
Le calcul des congruences permet d’obtenir de nombreux critères de divisibilité ; voici les
principaux.
1) Propriétés
Propriétés 7 :
1. Un entier est divisible par 10 s’il se termine par 0.
2. Un entier est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair.
3. Un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
4. Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.
5. Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
6. Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres de n est
divisible par 4.
Démonstrations :
Soit N
0121nn
aaa...aa
−
=
.
Cela signifie que N s’écrit de la forme
01
2
2
n
n
a10a10a...10a +×+×++×
, les coefficients a
i
étant des entiers compris entre 0 et 9 (a
n
non nul).