Langage Ensembliste

LOGIQUE MATHEMATIQUE
et ENSEMBLES
Eléments de Logique Mathématique
Et Langage Ensembliste
Campus-Booster ID : 368
www.supinfo.com
Copyright © SUPINFO. All
rights reserved
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Votre formateur…
Nom: NICOLELLA SONIA
Titre : Professeur de
MATHEMATIQUES à SUPINFO.
Formation : D.E.A. en physique,
option laser-matière à l’Université de
Milan (Italie).
Professeur dans la formation en
alternance niveau BTS.
Contact :
[email protected]
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Objectifs de ce module
En suivant ce module vous allez :
 Vous familiariser avec les
terminologies de base de la
Logique Mathématique et donc
de la Théorie des Ensembles
Changez par une photo
ou illustration adaptée
Respectez l’emplacement
et la taille et supprimez
ce papillon jaune
une fois terminé.
 Apprendre à maîtriser les
propositions et les prédicats
mathématiques
 Connaître les secrets des tables
de vérité.
 Apprendre à manipuler les
connecteurs binaires et les
quantificateurs mathématiques.
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Plan du module
Voici les parties que nous allons aborder:
 Présentation et Historique de la
Logique Mathématique
 Les Propositions : Définition, tables
de vérité et connecteurs binaires
 Les Quantificateurs usuels et leurs
propriétés
 Le Langage ensembliste : Cadre
d’étude, vocabulaire de la Théorie
des Ensembles, les symboles et
leurs propriétés
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Présentation et Historique
de la Logique Mathématique
Présentation et Historique de la Logique Mathématique
Plan de la partie
Voici les chapitres que nous allons aborder:
 La Logique Mathématique
 Quelques données d’Histoire
 Les notions qui seront
abordées dans ce module
Présentation et Historique de la Logique Mathématique
La Logique Mathématique
Ou comment Logique et Mathématique vont
s’assembler…..
 Débuts marqués par 2 idées
nouvelles
 Volonté d’établir des principes,
et leur vérité, à partir desquels
on va pouvoir développer des
connaissances mathématiques
 Découverte de l’existence de
structures algébriques
permettant de définir un “calcul
de vérité”
Présentation et Historique de la Logique Mathématique
La Logique Mathématique
Pour donner naissance à…..la logique mathématique
Raisonnement
en Mathématique
Restreinte
Systèmes Logiques
Logique
mathématique
Langage
des mathématiques
Étude du raisonnement
Objectif de la logique :
Présentation et Historique de la Logique Mathématique
Quelques données d’Histoire
Présentation et Historique de la Logique Mathématique
Quelques données d’Histoire
CURRY
HOWARD
Logique
CHURCH-TURIN
HILBERT
BOOLE
FREGE
LEIBNIZ
Chronologie
Présentation et Historique de la Logique Mathématique
Quelques données d’Histoire
 LEIBNIZ : Notation mathématique moderne
 BOOLE (XXème siècle) : Logique mathématique avec calcul
de vérité
 FREGE (Début XXème.) : extension tenant compte de la
notion de variable  Systèmes logiques formalisés
 HILBERT (1900) : 23 problèmes non résolus
 Nombreux travaux en logique : Axiomes de Peano en
arithmétique, Théorie des ensembles, Théorie des modèles
 CHURCH , TURING (années 30) : Algorithmique
 Lambda-Calcul et Machine de Turing : Naissance du premier
langage de programmation
 CURRY-HOWARD : Correspondance entre preuves formelles
et Lambda-Calcul
Présentation et Historique de la Logique Mathématique
Les notions abordées dans ce module
 Eléments
 Ensembles
 Appartenance
 Symboles et lettres
 Qui, assemblés selon certaines règles, forment les
propositions
 Connecteurs et Nouvelles Propositions
 Combinaisons de propositions
 Construction de Raisonnements
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Les Propositions
Où apparaissent un nouvel alphabet et des
règles de formation, pour donner naissance à un
langage formel…
Les Propositions
Plan de la partie
Voici les chapitres que nous allons aborder :
 Définitions
 Tables de Vérité
 Négation d’une proposition
 Connecteurs Binaires
 Propriétés
Les Propositions
Définitions
Exemple introductif…
Considérons les 3 énoncés suivants, concernant des
nombres ou des faits :
 A : 210 = 1024
 B:5<4
 C : “3 est un nombre impair”
Le contenu de A est vrai, celui de B est faux et celui de C est
vrai.
A, B et C sont trois exemples de propositions d’arithmétiques
Les Propositions
Définitions
Proposition : On appelle proposition
tout énoncé dont on peut dire sans
ambiguïté s'il est vrai ou s'il est faux.
Les Propositions
Tables de Vérité
Plaçons nous dans un cadre général…
P
 Notons P une proposition
 Soit P est vraie : elle sera
alors notée V
 Soit P est fausse : elle sera
alors notée F
V
F
 Autre notation :
P
 1 pour Vrai
1
 0 pour Faux
0
Les Propositions
Négation d’une Proposition
Négation d’une Proposition :
On appelle négation de la proposition P la
proposition Q telle que
Q est fausse si et seulement si P est vraie.
Les Propositions
Négation d’une Proposition
Reprenons les exemples précédents
 A : 210 = 1024
(V)
 Négation : 210  1024 (F)
 B:5<4
 Négation : 5 ≥ 4
(F)
(V)
 C : “3 est un nombre impair” (V)
 Négation : “3 n’est pas un nombre impair” (F)
Les Propositions
Négation d’une Proposition
Plus Généralement,
A toute proposition P, on peut associer une nouvelle
proposition, notée
P ou encore P
dont la valeur de vérité est donnée dans la table de vérité
ci-dessous
 P est la négation de P
  est le connecteur négation
P
P
 On notera encore
V
F
F
V
Q  P  P
 « non P » , ou “P barre”
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Où comment relier deux propositions…
 La négation est un connecteur unaire
 Connecteur Binaire : permet de relier deux
propositions pour former une nouvelle proposition.
 Connecteurs Binaires usuels :
 La Conjonction
 La Disjonction
 L’Implication
 L’Equivalence
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Conjonction de deux propositions : Connecteur logique ET
Conjonction :
On appelle conjonction des propositions
P et Q, et l'on note
PQ
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Conjonction de deux propositions : Connecteur logique ET
Conjonction (Suite) :
Cette nouvelle proposition est vraie
si et seulement si
P et Q sont vraies simultanément.
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Conjonction de deux propositions : Connecteur logique ET
A tout couple de propositions (P,Q), la conjonction ‘’ET’’
associe la proposition
PQ
dont la valeur de vérité est donnée dans la table ci-contre :
P
Q
PQ
P
Q
PQ
V
V
V
1
1
1
V
F
F
1
0
0
F
V
F
0
1
0
F
F
F
0
0
0
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Disjonction de deux propositions : Connecteur logique OU
Disjonction :
On appelle disjonction des propositions
P et Q, (Dit “P ou Q”)
la nouvelle proposition qui est vraie
si et seulement si l’une au moins des 2
propositions est vraie.
“P ou Q”:Nouvelle Proposition notée P Q
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Disjonction de deux propositions : Connecteur logique OU
A tout couple de propositions (P,Q), la disjonction “OU”
associe la proposition P Q
dont la valeur de vérité est donnée dans la table ci-contre :
P
Q
PQ
P
Q
PQ
V
V
V
1
0
1
V
F
V
1
1
1
F
V
V
0
1
1
F
F
F
0
0
0
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Reprenons les propositions des exemples précédents
 A : 210 = 1024
(V)
 B:5<4
(F)
 C : “3 est un nombre impair” (V)
Première application :
A  B : (210 = 1024)  (5 < 4)
(210 = 1024) ET (5 < 4)
Est une proposition fausse car B est fausse.
A  C : (210 = 1024)  (3 est un nombre impair)
(210 = 1024) ET (3 est un nombre impair)
Est une proposition vraie car A est vraie et C est vraie.
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Reprenons les propositions des exemples précédents
 A : 210 = 1024
(V)
 B:5<4
(F)
 C : “3 est un nombre impair” (V)
Seconde application :
A  B : (210 = 1024)  (5 < 4)
(210 = 1024) OU (5 < 4)
Est une proposition vraie car A est vraie.
A  C : (210 = 1024)  (3 est un nombre impair)
(210 = 1024) OU (3 est un nombre impair)
Est une proposition vraie. (A et C sont vraies).
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Implication : Connecteur logique  (Si…..alors…)
Implication :
A tout couple de propositions (P,Q),
l’implication associe une nouvelle
proposition :
PQ
“Si P, alors Q”, notée
qui n'est fausse que dans le seul cas où
la proposition P est vraie
et la proposition Q fausse.
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Implication
La valeur de vérité du connecteur “implication” est donnée
dans la table ci-contre :
P
Q
PQ
P
Q
PQ
V
V
V
1
1
1
V
F
F
1
0
0
PQ
F
V
V
0
1
1
F
F
V
0
0
1
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Reprenons les exemples précédents
A  B : (210 = 1024)  (5 < 4)
est une proposition fausse car A est vraie et B est fausse.
A  C : (210 = 1024)  (3 est un nombre impair)
Est une proposition vraie car A est vraie et C est vraie.
Il ne faut cependant pas chercher un lien de cause à
effet entre 210 = 1024, et “3 est un nombre impair” .
Ici, on a introduit l’implication, c'est-à-dire le connecteur
indépendamment du contenu des propositions situées
de part et d’autres du symbole  .
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Equivalence : Connecteur logique 
qui se traduit par
“si et seulement si” ou “est équivalent à”
Equivalence :
Soient P et Q deux propositions.
La proposition “P est équivalente à Q”,
notée P  Q
(lue “P si et seulement si Q”)
n’est vraie que si l’on a simultanément
P  Q et Q  P
Les Propositions
Connecteurs Binaires
Equivalence :
La valeur de vérité du connecteur “équivalence” est donnée
dans la table ci-contre :
P
Q
PQ
Q P
PQ et
Q P
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
PQ
Les Propositions
Propriétés
Les premières propriétés de ces connecteurs sont :
 La Commutativité de “et” et “ou”
 La Double distributivité
 La Complémentarité
 L’implication et l’équivalence
 La négation de propositions
“connectées”
Les Propositions
Propriétés
La commutativité
Pour toutes propositions P et Q
P Q  Q P
PQ  QP
Les Propositions
Propriétés
La double distributivité
Pour toutes propositions P,Q et R
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
(Mêmes tables de vérité)
Les Propositions
Propriétés
La complémentarité :
Pour toute proposition P
P  (P) est toujours vraie
P  (P) est une proposition toujours fausse
Les Propositions
Propriétés
L’implication et l’équivalence “imbriquées” :
Pour toutes propositions P et Q
 P  Q    P  Q 
 P  Q   P  Q  Q  P
 P  Q    Q   P 
Les Propositions
Propriétés
La négation d’une proposition avec connecteurs :
Pour toutes propositions P et Q
(P)  P
  P  Q    P    Q 
  P  Q    P    Q 
Les Propositions
Propriétés
La négation d’une proposition avec connecteurs :
Autrement dit, en français :
 non(nonP) est la proposition P
 non(P et Q) est la proposition
((nonP)ou(nonQ))
 non (P ou Q) est la proposition
((nonP)et(nonQ))
Les Propriétés
Pause-réflexion sur cette 2ème partie
Avez-vous des questions ?
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Les Quantificateurs
Les Quantificateurs
Plan de la partie
Voici les chapitres que nous allons aborder :
 Introduction
 Quantificateurs Usuels
 Quantificateurs Multiples
 Propriétés des Quantificateurs
 Résumé
 Pour S’entraîner…
Les Quantificateurs
Introduction
Trait Caractéristique de la Logique du 1er Ordre (Calcul
des Prédicat) :
 Ensemble de symboles désignant des variables
 Ensemble de symboles désignant des fonctions
 Des connecteurs logiques
 Deux symboles appelés quantificateurs
Les Quantificateurs
Introduction
Trait Caractéristique de la Logique du 1er Ordre (Calcul
des Prédicats) :
Grammaire suffisamment riche pour formuler un
grand nombre de raisonnements logiques
Formulation des énoncés du type :
“il existe un x tel que pour tout y, x ≥ y”
Formules logiques applicables à n’importe quel
modèle
Les Quantificateurs
Introduction
Un énoncé de mathématique est grandement simplifié
par l’emploi de 2 symboles, appelés quantificateurs :
 Le symbole “” qui signifie
“Quel que soit’’
ou
“Pour tout”
 Le symbole “” correspondant à “Il existe”.
Il est souvent suivi, d’assez près par le symbole “ / ” qui
signifie “tel que”.
Les Quantificateurs
Quantificateurs Usuels
Le quantificateur universel : 
“Pour tout”, “Quelque soit”
 x  E, P(x)
Est une proposition qui est vraie si pour
tous les éléments x d’un ensemble E, les
proposition P(x) sont vraies.
Elle est fausse sinon.
Quel que soit l’élément x (Pour tout x) appartenant à l’ensemble E,
on a la proposition P(x).
Ou encore : Tout élément x appartenant à E vérifie la propriété P(x);
Tout élément x appartenant à E est tel que P(x).
Les Quantificateurs
Quantificateurs Usuels
Le quantificateur universel : 
EXEMPLE : Les propositions suivantes sont-elles vraies?
x  , x 0
 
_______________
2
fausse
 _____

x

,
x

1

0
 _______________
2
vraie
 _____
Les Quantificateurs
Quantificateurs Usuels
Le quantificateur existentiel : 
“Il existe…..”:
 x  E, P(x)
Est une proposition qui est vraie si pour
au moins un des éléments x de
l’ensemble E, P(x) est vrai; elle est fausse
dans le cas contraire.
Lu : “ il existe au moins un élément x de l’ensemble E pour
lequel on P(x)’’.
Les Quantificateurs
Quantificateurs Usuels
Le quantificateur existentiel : 
REMARQUES :
1
Cette proposition peut être vraie sans qu’il existe
nécessairement un élément de E pour lequel P(x) serait
fausse.
Il en existe au moins UN pour lequel la proposition P(x)
est vraie, mais il peut en exister d’autres appartenant à E
pour lesquelles la proposition P(x) est fausse…
2
Si l’on veut que la proposition soit vraie s’il existe un
unique élément x pour lequel P(x) est vraie, on écrit alors :
! x  E, P(x)
Les Quantificateurs
Quantificateurs Multiples
 Plusieurs quantificateurs dans une proposition
mathématique
 Signification de l’énoncé mathématique régie par
l’ordre des quantificateurs
 Démonstration par un exemple
Les Quantificateurs
Quantificateurs Multiples
EXEMPLES COMPARATIFS :
1
x  ,y  ,
x<y
Cette proposition est vraie car x = 0 et y = 1 conviennent.
2
x  ,  y  ,
x<y
Cette proposition est fausse car,
pour x=3 et y=2, la proposition est fausse.
3
x  ,  y  ,
x<y
C'est une proposition fausse car dans ,
il n'existe pas de nombre strictement inférieur
à tous les nombres
4
x  ,y  ,
x<y
C'est une proposition vraie.
Les Quantificateurs
Propriétés des Quantificateurs
Propriété 1 :
Deux quantificateurs de même
nature peuvent s’interchanger
 x
,  y ,
x 2  y2  0
x 
,  y  , x  2y  0
  y
, x ,
  y ,  x
x 2  y2  0
x  2y  0
Les Quantificateurs
Propriétés des Quantificateurs
Propriété 2 :
Dans une proposition
comportant 2 quantificateurs
différents, l’ordre dans lequel ils
sont placés est fondamental !!
Les changer peut complètement changer le sens de la proposition !!!
L’ordre des quantificateurs va permettre de comprendre le sens de
l’énoncé
Les Quantificateurs
Propriétés des Quantificateurs
PROPRIETE 2 : Exemples
 x,  y / (tel que) x + y = 0
est une proposition vraie.
x, / y
x+y=0
est une proposition fausse.
Les Quantificateurs
Propriétés des Quantificateurs
Négation de propositions quantifiées
Propriété 3 :
On a les équivalences suivantes :
 ( x 
, P(x) )   x 
, P(x)
 ( x 
, P(x) )   x 
, P(x)
Les Quantificateurs
Résumé
“RECETTE” pour passer d’une proposition à sa négation
Changer (.....P)
en ( .....tel que non P)
Changer (....tel que P) en (.....nonP)
Changer  en  , et  en 
Changer (P  Q) en (P et (nonQ))
Et RECIPROQUEMENT...
Les Quantificateurs
Pour S’entraîner…
1
Dire si les assertions suivantes sont vraies ou
fausses, puis donner leur négation
x 
, y 
x 
, y 
xy  0
x 
, y 
xy  0
x 
, y 
,
,
xy  0
y2  x
Les Quantificateurs
Pour S’entraîner…
2
Donner la négation des propositions suivantes :
x 
,
x>0  n  ,x<n
x 
, y 
,
x+y>0  y>0
x 
, y 
,
x+y 
Les Quantificateurs
Pause-réflexion sur cette 3ème partie
Avez-vous des questions ?
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Langage Ensembliste
Langage Ensembliste
Plan de la partie
Voici les chapitres que nous allons aborder :
 Introduction
 Définitions
 Cardinal d’un Ensemble
 Les Symboles : Définitions
 Les Symboles : Propriétés
 Les Symboles : Synthèse
 Les Symboles : Rappel des Propriétés
 Les Symboles : Quelques compléments
 Les Symboles : Un exemple d’utilisation
 Produit Cartésien de 2 ensembles : Définition, propriétés
et cardinal
Langage Ensembliste
Introduction
Il y a deux moyens d’écrire les ensembles :
1
En extension : On écrit tous les éléments de
l’ensemble A considéré “entre crochets” : {… . .}
 L’ensemble des Booléens : B = {0 ; 1}
 L’ensemble des 10 chiffres servant à la numérotation décimale :
D = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;9 }
2
En compréhension : On définit l’ensemble A comme étant
constitué de tous les éléments d’un autre ensemble B qui
vérifient une propriété P : A = { x  B / P(x) }
 [1 ; 3]  { x 

A { x 
/
1 x  3}
/ x2  2  8 }
Langage Ensembliste
Définitions
Ensemble vide
C’est un ensemble qui ne contient
aucun élément.
Il est noté .
Langage Ensembliste
Définitions
Un Singleton
est un ensemble A qui contient un
unique élément.
Il est noté “entre crochet” : A = { x }
Langage Ensembliste
Définitions
Une Paire
est un ensemble A qui contient deux
éléments, et deux seulement.
Il est noté : A = { x,y }
Langage Ensembliste
Cardinal d’un Ensemble
Cardinal d’un ensemble :
Un ensemble E est dit fini s’il contient un
nombre fini d’éléments.
Le cardinal de E, noté Card(E), ou
encore |E|, est le nombre d’éléments
contenus dans E.
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Voici la dénomination des symboles du langage
ensembliste que nous allons étudier dans la suite de ce
chapitre :
 L’Inclusion et l’égalité
 Le Complémentaire
 L’intersection
 L’union (ou la réunion)
 Différence
 Différence Symétrique
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Inclusion :
Un ensemble A est inclus dans E
si et seulement si
 x, x  A  x  E
Notation : A  E
Lu : “A inclus dans E”
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Inclusion : Illustration
E
A
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Inclusion : Cas Particuliers
E  E car  x , x  E  x  E
 E
E  F si et seulement si
x, x E  x F
E = F si et seulement si
 x ,  x E  x F   x F  x E 
Ce qui se traduit par les deux inclusions :
 E  F   F  E 
Donc :
E = F   E  F   F  E 
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Complémentaire d’une partie A d’un
ensemble E :
Soit A une partie d’un ensemble E.
Le complémentaire de A dans E est
l’ensemble des éléments de E qui
n’appartiennent pas à A.
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Complémentaire de A dans E :
Le complémentaire de A dans E
(de A par rapport à E) est donc
l’ensemble :
{x E , x A}
Notation : CE (A) = E \ A = A = AC
Lu : “E moins A”
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Complémentaire : Illustration
E
A
A
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Intersection de deux ensembles :
Pour deux ensembles A et B, on appelle
intersection de A et B, l’ensemble des
éléments communs à A et à B :
{x / (x  A)  (x  B) }
Notation : A  B
Lu : “A inter B ”
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Intersection : Illustration
AB
A
B
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Intersection : REMARQUES
Si A  B = , A et B sont dits disjoints
(A  B)  A
et
(A B)  B
Si A  B, alors : A B = A
De même : B  A  A B = B
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Union, Réunion de deux ensembles :
La réunion de deux ensembles A et B
désigne l’ensemble des éléments
appartenant au moins à l’un des
ensembles A et B.
{x, (xA) (xB)}
Notation : A  B
Lu : “A union B ”
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Union : Illustration
A
B
AB
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Union : REMARQUES
A  (A  B)
et
B  (A  B)
Si A  B, alors : A B = B
De même : B  A  A B = A
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
La Différence
de deux ensembles A et B est l’ensemble
des éléments de A qui n’appartiennent pas
à B.
x, (xA)(xB)
Notation : A\B, où "\" est l'opérateur "différence"
Lu : “A moins B”
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Différence : Illustration
A\B
A
B
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
La Différence Symétrique
de deux ensembles A et B est l’ensemble
des éléments qui sont dans un des deux
ensembles, sans être dans les deux à la
fois.
x,
x  (A\B) ou x  (B\A)
Notation : A  B
où "" est l'opérateur "différence symétrique"
Langage Ensembliste
Les Symboles : Définitions
Différence symétrique : Illustration
AB
A
B
Langage Ensembliste
Les Symboles : Propriétés
Commutativité de l’intersection et de la réunion
Pour tout ensemble A et B,
A B = B  A
A B = B  A
Langage Ensembliste
Les Symboles : Propriétés
Associativité de l’intersection et de la réunion
Pour tout ensemble A, B et C
(A B)  C = A (B  C)
(A B)  C = A (B  C)
Langage Ensembliste
Les Symboles : Propriétés
Distributivité de l’intersection et de la réunion
Pour tout ensemble A, B et C
A  (B C) = (A B) (A  C)
A  (B C) = (A B) (A  C)
Langage Ensembliste
Les Symboles : Propriétés
Cas Particuliers :
  est l’élément neutre pour l’union :
A  = A
  est l’élément absorbant pour
l’intersection :
A  = 
Langage Ensembliste
Les Symboles : Propriétés
Cas Particuliers – Bis :
 E est l’élément absorbant pour
l’union :
A E = E
 E est l’élément neutre pour
l’intersection :
A E = A
Langage Ensembliste
Les Symboles : Synthèse
Soient A et B deux parties d’un ensemble E;
Nous venons de définir :
Inclusion
: A  B = { x E / (x A)  (x B)}
Union
: A  B = { x E / (x A) ou (x B)}
Intersection : A  B = { x E / (x A) et (xB)}
Différence : A \ B = { x E / (x A) et (x B )}
Différence Symétrique : A  B = (A \ B) (B \ A)
Complémentaire de A dans E :
CE (A)  { x E, x A} = E \ A
Langage Ensembliste
Les Symboles : Synthèse
Union
Inclusion
Complémentaire
Différence
Et
Différence
Symétrique
Intersection
Langage Ensembliste
Les Symboles : Rappel des Propriétés
Ces opérateurs possèdent les propriétés suivantes :
Pour E, un ensemble,
et A, B, C 3 sous-ensembles de E :
Langage Ensembliste
Les Symboles : Rappel des Propriétés
Ces opérateurs possèdent les propriétés suivantes :
A B = B  A
A B = B  A
(A  B)  C = A  (B  C)
(A B)  C = A  (B  C)
A E = A
A   A
A  = 
A E = E
AA = A
AA = A
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A B)  (A  C)
Langage Ensembliste
Les Symboles : Quelques compléments
Ces opérateurs possèdent les propriétés suivantes :
A  A= E
A B= A  B
A=A
A  (A B) = A = A  (A B)
A  A= 
AB = A  B
Langage Ensembliste
Les Symboles : Un exemple d’utilisation
Soient A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } et B = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 } des
sous-ensembles de E = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}.
Alors :
 AB = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9}
 AB = {1 ; 3 ; 5}
 A \ B = {2 ; 4 ; 6 }
 A  B = {2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 }
 CE(A) = { 7 ; 8 ; 9 }
Langage Ensembliste
Produit Cartésien de deux ensembles
Voici les notions que nous allons aborder dans ce
chapitre :
 Définition du produit cartésien
de deux ensembles
 Exemple
 Cardinal d’un produit cartésien
Langage Ensembliste
Produit Cartésien de deux ensembles
Produit cartésien de deux ensembles :
Etant donné deux ensembles E et F, on
appelle produit cartésien de E par F, que
l’on note ExF, l’ensemble des couples
d’éléments (x,y), tels que x appartient à E
et y appartient à F.
ExF = {(x,y) / (xE) (yF)}
Langage Ensembliste
Produit Cartésien de deux ensembles
EXEMPLE :
Soit E = {1,2,3} et soit F = {1,2 }
Alors : ExF = { (1,1) ; (1;2) ; (2,1) ; (2,2) ; (3,1) ; (3,2) }
Attention : FxE  ExF
En effet, (2,3)  FxE
alors que
(2,3)  ExF
Langage Ensembliste
Produit Cartésien de deux ensembles
Cardinal d’un Produit cartésien de deux
ensembles :
Si E et F sont deux ensembles finis, alors :
Card(ExF) = Card(E) x Card(F)
Langage Ensembliste
Pause-réflexion sur cette 4ème partie
Avez-vous des questions ?
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Résumé du module
Quantificateurs
Table de Vérité
Négation
d’une
proposition
Symboles du
Langage
Ensembliste
Connecteurs Binaires
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Introduction au Quiz
Voici les règles de ce Quiz:
Obligatoire
Oui
Diplomant
Non
Questions
10 questions
Barème
Validation
1 point par question
75 % correct
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q1 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?
 x  +, f(x)  1
 x  +, f(x) > 1
 x  +, f(x) > 1
 x  +, f(x) > 1
 x  +, f(x)  1
 x  +, f(x)  1
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R1 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?
 x  +, f(x)  1
 x  +, f(x) > 1
 x  +, f(x) > 1
 x  +, f(x) > 1
 x  +, f(x)  1
 x  +, f(x)  1
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q2 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?
 x  ,  y  , x + y  0
 x  ,  y  , x + y  0
 x  ,  y  , x + y < 0
 x  ,  y  , x + y < 0
 x  ,  y  , x + y < 0
 x  ,  y  , x + y  0
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R2 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?
 x  ,  y  , x + y  0
 x  ,  y  , x + y  0
 x  ,  y  , x + y < 0
 x  ,  y  , x + y < 0
 x  ,  y  , x + y < 0
 x  ,  y  , x + y  0
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q3 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?
 x  +,  y  , (x2 = y2  x = y)
 x  +,  y  , (x2 ≠ y2  x ≠ y)
 x  +,  y  , (x ≠ y  x2 ≠ y2)
 x  +,  y  , (x2 = y2 ∧ x ≠ y)
 x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∧ x = y)
 x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∨ x = y)
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R3 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?
 x  +,  y  , (x2 = y2  x = y)
 x  +,  y  , (x2 ≠ y2  x ≠ y)
 x  +,  y  , (x ≠ y  x2 ≠ y2)
 x  +,  y  , (x2 = y2 ∧ x ≠ y)
 x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∧ x = y)
 x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∨ x = y)
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q4 : Soit la table de vérité ci-dessous.
Indiquer à quelle expression correspond R ?
PQ
P
Q
R
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
PQ
P¬Q
¬PQ
¬P¬Q
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R4 : Soit la table de vérité ci-dessous.
Indiquer à quelle expression correspond R ?
PQ
P
Q
R
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
PQ
P¬Q
¬PQ
¬P¬Q
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q5 : Soit la table de vérité ci-dessous.
Indiquer à quelle expression correspond R ?
PQ
P
Q
R
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
PQ
P¬Q
¬PQ
¬P¬Q
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R5 : Soit la table de vérité ci-dessous.
Indiquer à quelle expression correspond R ?
PQ
P
Q
R
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
PQ
P¬Q
¬PQ
¬P¬Q
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q6 : Etant donnés A = {1;2;3;4;5;6} et B = {1;3;5;7;9},
deux sous-ensembles de E = {1;2.3;4;5;6;7;8;9}.
Lier les expressions entre elles.
AB
{1;2;3;4;5;6;7;9}
AB
{2;4;6}
AB
{7;8;9}
A\B
{1;3;5}
CE(A)
{2;4;6;7;9}
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R6 : Etant donnés A = {1;2;3;4;5;6} et B = {1;3;5;7;9},
deux sous-ensembles de E = {1;2.3;4;5;6;7;8;9}.
Lier les expressions entre elles.
AB
{1;2;3;4;5;6;7;9}
AB
{2;4;6}
AB
{7;8;9}
A\B
{1;3;5}
CE(A)
{2;4;6;7;9}
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q7 : Lier les symboles et leur signification

Tel que
/
Il existe

Il existe un unique

Et
!
Pour tout
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R7 : Lier les symboles et leur définition

Tel que
/
Il existe

Il existe un unique

Et
!
Pour tout
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q8 : Lier les symboles et leur désignation

Négation

Disjonction

Implication

Conjonction

Equivalence
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R8 : Lier les symboles et leur désignation

Equivalence

Disjonction

Implication

Conjonction

Négation
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q9 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7} et F = {7;5},
à quoi est égal le cardinal de E x F ?
32
23
2x3
3x3
2x2
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R9 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7} et F = {7;5},
à quoi est égal le cardinal de E x F ?
32
23
3x2
3x3
2x2
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
Q10 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7}
et F = {7;5}, à quoi est égal E x F ?
{(4;7) , (4;5) , (5;7) , (5;5) , (7;5) , (7;7)}
{(7;4) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)}
{(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (4;4) , (7;5)}
{(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (7;5)}
{(4;7) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)}
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Quiz
R10 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7}
et F = {7;5}, à quoi est égal E x F ?
{(4;7) , (4;5) , (5;7) , (5;5) , (7;5) , (7;7)}
{(7;4) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)}
{(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (4;4) , (7;5)}
{(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (7;5)}
{(4;7) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)}
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Pour aller plus loin…
Si vous voulez approfondir vos connaissances:
Modules de cours connexes
 Module 2 : Applications
 Module 3 : Relations Binaires
 Module 4 : Principe du Raisonnement Mathématique
 Module 5 : Algèbre de BOOLE
Sites web
www.supinfo.com
www.campus-booster.com
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique
Félicitations
Vous avez suivi avec succès le
module de cours n°1
LOGIQUE MATHEMATIQUE
Et ENSEMBLES
LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES
Fin
 S’entraîner à manipuler Connecteurs et Quantificateurs
 S’entraîner à nier (écrire la négation) des propositions mathématiques
 Savoir construire la table de vérité d’une proposition