Travail d`une Force

Travail d'une Force
W
Travail d'une Force
T
Énergie de mouvement Énergie cinétique : Ec
V
Énergie potentielle (qui peut créer le mouvement) : Ep
E
Énergie mécanique totale d'un système :
E = T + V = Ec +Ep


Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement (élémentaire) d r
 
 
dW  F dr  F.drcos( F , dr )  F.drcos 
F
M 
dr
M2  
W   dW M
F d r
1
M2
Le travail W est égal à la circulation de la Force le long du parcours M1M2
M1
dr
dr



dr
F
dW = 0
F
dW < 0
Travail résistant
F
dW = F.dr cos 
dW > 0
Travail moteur
Travail en coordonnées cartésiennes:
Le travail est une grandeur scalaire, sa valeur peut être considérée comme la somme des travaux
effectués lors d'un déplacement quelconque décomposé en des trajets parrallèles aux axes x, y, z
respectivement.




dr  dx i dy j dz k




F  Fx i  Fy j  Fx k
dW  Fxdx  Fydy  Fz dzz
dW  dWx  dWy  dWz
Travail en coordonnées cylindriques:




dr  dr ur  rd u dz k




F  Fr ur  F u  Fz k
dW  Fr dr  F rd Fz dz
PUISSANCE INSTANTANEE
P  dW
dt


dW
d
r
P
 F
dt
dt
C'est le travail fourni par unité de temps:
 
Or : dW  F  dr
d'où

 
 
P  F dr  F v
dt
  
d
r
P  F
 F v
dt


Joules/seconde 
Watts
Dans un référentiel d’inertie, on considère un point matériel de masse m animé d’une vitesse v. Son
énergie cinétique est Ec  1 m v2et sa dérivée par rapport au temps est :
2
 d v    
dEc
 mv
 v  m  v  F  Puissance de la Force
dt
dt
Si la puissance est positive, la force est motrice, si la puissance est négative, la force est
résistante. Si plusieurs forces sont appliquées à m, on a :
 
dEc
  Fi  vi  Pi
dt
i
i
Exemple :
Amortissement visqueux :
Soit :
F  v
P  F  v  v2
dEc
 v2    (mv2 )   2 ( 1 mv2 )   2 Ec
dt
m
m 2
m
De l’équation différentielle
dEc
  2 Ec   2 Ec on obtient la solution :
dt
m

dEc
  2 dt
Ec
m
où


Ec 
 2 t
Eoe m
 Eoe 2t / 
  m est la constante de temps d' amortissement

À cause de la force de frottement visqueux, l’énergie cinétique décroît avec le temps.
TRAVAIL ELEMENTAIRE D'UN COUPLE (de Forces)

C
   
dW  F dr  F v dt
F
O
 

dW  F (  r )dt
d'où :

c'est un produit mixte du type :
  
  
  
A  (B  C)  B  (C  A)  C  (A  B)
dr
d
  
or : v    r
r
 
  
 

F  (  r )    r

F    C  C d C 
dt
Soit :
Couple C
F
d'où :
  
dW  F  (  r )dt dCdt  Cd
dt

Le travail d'un couple de forces C est égal au produit de l'intensité C du couple par la variation de
l'angle d au cours de la rotation autour de O.
2
W   Cd  C(2  1 )
1
Théorème de l’énergie cinétique :
La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B s’écrit :
tB
dE
Ec  Ec(B)  Ec(A)   c dt
t dt
A
tB
tB
tA i
tA i
tB
Ec    Fi  vi dt    Fi  d ri    Fi  d ri   WAB
i tA
i
La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B est
égale à la somme des travaux des forces appliquées effectués lors de ce déplacement.
Forces conservatives
Une force est dite conservative si pour tous les points A et B le travail pour aller de A en B
ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et ne dépend que de ces points.
Si la force est conservative on peut définir une fonction de l’espace V(x,y,z) qui ne dépend
que du point (x,y,z) de l’espace considéré telle que :
WA B  (VA  VB )
La fonction V(r) = V(x,y,z) est l’énergie potentielle au point M(x,y,z)
La relation suivante n’est vraie que si la force F(r) est conservative
B

VA  VB   F  dr
A
ENERGIE POTENTIELLE
L'énergie potentielle est une fonction scalaire V(OM) ou Ep(OM) qui ne dépend que de la position
OM du point M telle que
VA  VB  WA B
B

VA  VB   F  dr
A
où A est le point de départ et B le point d'arrivée.
La variation d'énergie potentielle V sera la différence entre l'énergie potentielle à l'arrivée moins
celle du départ :
B

V  VB  VA  (VA  VB )    F  dr
A
B

Si nous voulons définir l'énergie potentielle du point d'arrivée : VB  VA   F  dr
A
Si le point de départ ou référence est toujours le même (surface de la Terre par exemple en
mécanique, ou l'infini pour les forces électrostatiques) alors :VA = Cste = Vo soit :
B

VB  Vo   F  dr
O
L'énergie potentielle du point B est égale à une constante moins le travail pour aller du point de
référence au point B.
On dit que l'énergie potentielle n'est définie qu'à une constante additive
près.
Nous ne sommes intéressés que par les variations ou les différences d'énergie potentielle.
Remarque :
si

si

VB  VA  WA B
VA > VB
WA B > O
VA < VB
alors
VB - VA < O = - WA B
Travail moteur, le système fourni du travail
alors
VB - VA > O
WA B < O Travail résistant le système doit recevoir du travail pour aller de A à B.
Donc on peut donner ou prélever de l'énergie potentielle à un système. V est l'énergie en réserve
que le système peut donner.
Relation entre énergie potentielle V et Force
B

VB  VA  (VA  VB )    F  dr
A
Cette relation n'est vrai que si la force est conservative


On peut écrire : (VB-  VA )  V   F d r

d'où F   V

r

 dV

dr
V(xyz)    V(xyz)    V(xyz)  

dV  
 dx i   y  dy j   z  dz k
 x 




Si V = V(xyz), alors :
soit :




F    V i  V j  V k 
y
z 
 x
V(xyz ) 
avec 
 = dérivée partielle par rapport à x de V(xyz), y et z considérés constants.
 x 
On écrit encore :

F  grad V
(gradient de V, variation en fonction de la position)
Le théorème de l'énergie cinétique T, permet d'écrire:
WA B  Ec(B)  Ec(A)  TB  TA
Si les Forces sont conservatives, il existe une fonction énergie potentielle V telle que : WA B  VA  VB
VA  VB  TB  TA
 TA  VA  TB  VB  Cste
L'énergie mécanique se conserve (est constante) si les forces sont conservatives.
E  T  V  C ste
Remarque :
E  T  V  C ste


Ceci est une conséquence de F  m  . Multiplions scalairement par le vecteur vitesse
 

     dr
F
m   v  F v  F
  dr   dV
dt
dt
dt
 
 
d(v2 ) d 1 2
dv
1
mv  m v  m
 ( mv )  d (Ec )  d (T)
dt
2 dt
dt 2
dt
dt
d' où :
 dV  dT
dt
dt

d (T  V)  0
dt

(T  V)  Cste
Exemples de forces conservatives :
Ressort :


F  k(x  xo ) i
k
m
x
et
V    F dx
xo
x
x
x
xo
xo
xo
V = k  (x  xo )dx = k  xdx + k xo  dx
x
Soit :
o
V  1 k(x2  xo2 )  kxo(x  xo )  1 k(x2  xo2  2xox)  1 k(x  xo )2
2
2
2
Si nous appelons (x-xo) = X = élongation du ressort, alors :
V  1 kX 2
2
Force de gravitation :



F  kX i
avec

F  G mM
i
r2
B
B



VB  Vo   F  dr  Vo   F dr car F et dr sont de sens opposés
A
A
ici la référence Vo = 0 est prise en A, soit rA = RT
B
VB   G
A
1
mMT
1 

dr

GmM

T

r2
 rB RT 
Si la référence est prise à l’infini, Vo=0 pour rA=
B
VB   G

1
mMT
1   - GmMT

dr

GmM

T

rB
r2
 rB R 
Force électrostatique :

F 

1 q q' i
4o r2
S’il n’y a pas de charge électrique à l’infini, on peut prendre r =  comme point de référence. Alors :
r
r

q q'
1 q q'
V(r)   F  d r    1
dr

2
4o r

 4o r
Exemple d’application de la conservation de l’énergie :
Vitesse de libération d’un satellite :
L’énergie potentielle gravitationnelle d’un satellite de masse m est : V  -G
Son énergie mécanique est alors :
mMT
r
mMT
E  T  V  1 mv2  G
 Cste
2
r
Pour que, lancé à partir de la surface de la Terre (r = RT), il arrive à l’infini avec une vitesse v nulle,
sa vitesse de lancement vo doit satisfaire la relation :
mMT
mMT
E  1 mvo2  G
 C ste  1 mv2  G
0
2
RT
2

vo  G
24
2MT
 6,67  1011 2  6  106  11,18  106m / s  11180 km / s
RT
6,4  10
La vitesse de libération ne dépend pas de la masse de l’objet à libérer, elle est
inversement proportionnelle à la distance du point de lancement au centre de la Terre.