Génération de colonnes

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Génération de colonnes
ENSIIE-Master MPRO
Alain Faye

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On considère le problème:
(Pb) max f(x) s.c. gj(x)0 jJ , xX
Avec f linéaire, gjaffines
Avec X={xZn: h(x)0 }
X partie de Zn, contraintes quelconques h(x) 0
On fait les hypothèses suivantes :
•X contient un nombre fini de points
•Max f(x) s.c. xX se résout facilement f linéaire même si Xest grand
Autrement dit, si on enlève les contraintes gj(x)0 on sait résoudre le
problème
On va tout de même tenir compte des contraintes mais considérer une autre
relaxation.
Introduction

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On considère la relaxation de (Pb) suivante :
(P) max f(x) s.c. gj(x)0 jJ , xConvX
On écrit : x=iixiavec i0, ii=1, xiX
On reporte dans (P) et par linéarité les isortent de f et des gj :
(P') max iif(xi)
s.c.
iigj(xi) 0 jJ
i0, ii=1
Maintenant les variables sont les itandis que f(xi), gj(xi) sont les coefficients
de l’objectif et des contraintes.
(P') est un programme linéaire que l’on va résoudre par un algorithme similaire
au simplexe.
(P') a généralement un nombre exponentiel de variables, on n’introduit que
celles qui sont utiles , celles non introduites sont considérées hors-base et
sont nulles.
A une itération on introduit la variable de coût réduit>0 le plus grand.
On s’arrête quand toutes les variables ont leur coût réduit 0
Relaxation de X à ConvX

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On démarre avec un sous ensemble restreint de points de X t.q. au moins un
satisfait les contraintes. On note I les indices de ces points.
1- On résout le problème restreint :
(PR') maxiIif(xi)
s.c.
-iIigj(xi) 0 jJ
iIi=1 (convexité)
i0 iI
On note j0 jJ, les variables duales associées aux contraintes jJ et à la
contrainte convexité.
2- Sous-problème: on recherche une variable de coût réduit>0. Pour cela on
résout :
cred=maxxXf(x)+jjgj(x) - 
Si cred>0 alors soit xiX la solution du sous-pb, on ajoute son indice i à I
I:=I{i} (nouvelle colonne) et on retourne en 1.
Sinon on arrête car tous les coûts réduits sont 0 et (P') est résolu
Algorithme de génération de colonnes

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Encadrement de la valeur optimale de (P)
A chaque itération de l’algorithme de génération de colonnes , on a l’encadrement
suivant:
f(x*)+cred
Où x* est la solution de (P) et la variable duale associée à la contrainte de
convexité.
Par dualité, est égale à la valeur du problème restreint courant (PR)
Exercice: démontrer cet encadrement.