R vision des d riv es et des int grales

Tutorat en bio-informatique
Le 28 octobre 2008
Au programme
• MAT1400
– Dérivées
– Introduction aux dérivées partielles
– Intégrales
Dérivées
• Dérivées de sommes, de produits et de quotients de fonctions
• Dérivées de fonctions composées
• Dérivées successives de fonctions
• Dérivées de fonctions trigonométriques
• Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques
• Dérivées de fonctions trigonométriques inverses
Dérivées de sommes, de produits
et de quotients de fonctions
• Fonction constante
Si f(x) = k, où k est une constante, alors f'(x) = 0.
• Fonction identité
Si f(x) = x, alors f'(x) = 1.
• Produit d'une constante par une fonction
Si f(x) = k * g(x), où k est une constante, alors f'(x) = k * g'(x).
Dérivées de sommes, de produits
et de quotients de fonctions
• Fonction de la forme xr, où r fait partie des
nombres réels
Si f(x) = xr , alors f'(x) = r * x (r-1)
Dérivées de sommes, de produits
et de quotients de fonctions
• Dérivées de sommes ou de différences de
fonctions
Si H(x) = f1(x) ± f2(x) ± f3(x) ± … ± fn(x), alors
H'(x) = f'1(x) ± f'2(x) ± f'3(x) ± … ± f'n(x)
Ex.: f(x) = 2x + 5x5 – √(x7)
f'(x) = 2 + 25x4 – 3.5(x5/2)
Dérivées de sommes, de produits
et de quotients de fonctions
• Dérivées de produits de fonctions
La notation u v :
Si f(x) = u * v, alors f'(x) = u' * v + u * v'
Ex.: f(x) = (4 - 2x) * (3x + 8)
u = (4 - 2x) et u' = -2
v = (3x + 8) et v' = 3
f'(x) = -2 * (3x + 8) + (4 – 2x) * 3
= -6x – 16 + 12 – 6x = -12x – 4
Dérivées de sommes, de produits
et de quotients de fonctions
• Dérivées de quotients de fonctions
La notation u v :
Si f(x) = u / v, alors f'(x) = (u' * v - u * v') / v2
Ex.: f(x) = (4x3) / (x2 + 1)
u = 4x3 et u' = 12x2
v = (x2 + 1) et v' = 2x
f'(x) = (12x2 * (x2 + 1) - 4x3 * 2x) / (x2 + 1)2
= (12x4 + 12x2 – 8x4) / (x2 + 1)2
= (4x4 + 12x2) / (x2 + 1)2 = 4x2(x2 + 3) / (x2 + 1)2
Dérivées de sommes, de produits
et de quotients de fonctions
• Exercice 1
f(x) = x3(5x2 - 4)(3 - x4)
= (5x5 - 4x3)(3 - x4)
u = (5x5 - 4x3) et u' = (25x4 - 12x2)
v = (3 - x4) et v' = -4x3
f'(x) = (25x4 - 12x2)(3 - x4) + (5x5 - 4x3)(-4x3)
= (75x4 - 36x2 - 25x8 + 12x6) + (-20x8 + 16x6)
= -45x8 + 28x6 + 75x4 - 36x2
Dérivées de fonctions composées
Si H(x) = [f(x)]r , où r est un nombre réel, alors
H'(x) = r * [f(x)]r-1 * f'(x)
Ex.: H(x) = √(x7 - 2x +1)
H'(x) = 0.5 * (x7 - 2x +1)-1/2 * (7x6 - 2)
=
7x6 - 2
2√(x7 - 2x +1)
=
3.5x6 - 1
√(x7 - 2x +1)
Dérivées successives de fonctions
Ex.: Pour f(x) = 2x3 + 4x2 + 1, on veut calculer f'''(x).
f'(x) = 6x2 + 8x
f''(x) = (f'(x))' = 12x + 8
f'''(x) = (f''(x))' = 12
Dérivées de fonctions trigonométriques
• Fonction sinus
Si H(x) = [sin f(x)], alors H'(x) = [cos f(x)] * f'(x)
Ex.: H(x) = sin (x6 + 4x2)
H'(x) = [cos (x6 + 4x2)] * (6x5 + 8x)
= (6x5 + 8x) * cos (x6 + 4x2)
Dérivées de fonctions trigonométriques
• Fonction cosinus
Si H(x) = [cos f(x)], alors H'(x) = [-sin f(x)] * f'(x)
Ex.: H(x) = [cos (x4 + 1)]5
H'(x) = 5[cos (x4 + 1)]4 * [-sin (x4 + 1)] * 4x3
= -20x3 * [cos (x4 + 1)]4 * [sin (x4 + 1)]
= -20x3 * cos4 (x4 + 1) * sin (x4 + 1)
Dérivées de fonctions trigonométriques
• Fonction tangente
Si H(x) = [tan f(x)], alors H'(x) = [sec2 f(x)] * f'(x)
Ex.: H(x) = tan(x3 + 4x)
H'(x) = sec2(x3 + 4x) * (3x2 + 4)
= (3x2 + 4)sec2(x3 + 4x)
Dérivées de fonctions trigonométriques
• Fonction cotangente
Si H(x) = [cotan f(x)], alors H'(x) = [-cosec2 f(x)] * f'(x)
Ex.: H(x) = cotan3(x4 + 5sin(2x)) = (cotan(x4 + 5sin(2x))3
H'(x) = 3cotan2(x4 + 5sin(2x)) * -cosec2(x4 + 5sin(2x)) *
(4x3 + 10cos(2x))
= -3(4x3 + 10cos(2x)) * cotan2(x4 + 5sin(2x)) * cosec2(x4 + 5sin(2x))
Dérivées de fonctions trigonométriques
• Fonction sécante
Si H(x) = [sec f(x)], alors H'(x) = [sec f(x) * tan f(x)] * f'(x)
Ex.: H(x) = (sec (sin x2))1/2
H'(x) = 0.5 * (sec (sin x2))-1/2 * (sec (sin x2)) * (tan (sin x2)) *
2x * cosx2
= x * cosx2 * (tan (sin x2)) * (sec (sin x2))1/2
Dérivées de fonctions trigonométriques
• Fonction cosécante
Si H(x) = [cosec f(x)], alors H'(x) = [-cosec f(x) * cotan f(x)] * f'(x)
Ex.: H(x) = 9cosec(x) - cosec(7x)
H'(x) = -9cosec(x) * cotan(x) + 7cosec(7x) * cotan(7x)
Dérivées de fonctions trigonométriques
• Exercice 2
f(x) =
x2
/ tan(√x)
*RAPPEL*
Si H(x) = [tan f(x)], alors H'(x) = [sec2 f(x)] * f'(x)
(u/v)' = (u' * v - u * v') / v2
u = x2 et u' = 2x
v = tan(√x) et v' = sec2(√x) * 0.5x-1/2
f'(x) = (2x * tan(√x) - x2 * sec2(√x) * 0.5x-1/2 )
tan2(√x)
= (2x * tan(√x) - x2 * sec2(√x)
2√x
tan2(√x)
Dérivées de fonctions
exponentielles et logarithmiques
• Fonction du type af(x)
Si H(x) = af(x), où a est élément de ]0, +∞ et a ≠ 1, alors
H'(x) = af(x) * ln(a) * f'(x)
Ex.: H(x) = 3 (x2 + 3x)
H'(x) = 3 (x2 + 3x) * ln 3 * (2x + 3)
Dérivées de fonctions
exponentielles et logarithmiques
• Fonction du type ef(x)
Si H(x) = ef(x), alors H'(x) = ef(x) * f'(x)
Ex.: H(x) = e (5sin(2x))
H'(x) = e (5sin(2x)) * 5 * cos(2x) * 2
= 10 * cos(2x) * e (5sin(2x))
Dérivées de fonctions
exponentielles et logarithmiques
• Fonction avec logarithme naturel
Si H(x) = ln f(x), alors H'(x) = 1/f(x) * f'(x)
Ex.: H(x) = ln (x2 - 5x)
H'(x) = 2x - 5
x2 - 5x
Dérivées de fonctions
exponentielles et logarithmiques
• Fonction avec logarithme du type logaf(x)
Si H(x) = logaf(x), alors H'(x) = 1/(f(x) * ln a) * f'(x)
Ex.: H(x) = log8(x3 - 10x)
H'(x) =
3x2 - 10
(x3 - 10x) * ln 8
Dérivées de fonctions
exponentielles et logarithmiques
*RAPPEL*
Si H(x) = ln f(x), alors H'(x) = 1/f(x) * f'(x)
Si H(x) = logaf(x), alors H'(x) = 1/(f(x) * ln a) * f'(x)
Si H(x) = ef(x), alors H'(x) = ef(x) * f'(x)
• Exercice 3
f(x) = ln(log ex)
f'(x) = 1/(log ex) * (1/(ex * ln 10)) * ex
=
ex
(log ex) * (ex * ln 10)
=
1
(log ex) * (ln 10)
Dérivées des fonctions
trigonométriques inverses
• Fonction arc sinus
Si H(x) = arcsin f(x), alors H'(x) =
f'(x)
√(1 - [f(x)]2)
• Fonction arc cosinus
Si H(x) = arccos f(x), alors H'(x) =
- f'(x)
√(1 - [f(x)]2)
Dérivées des fonctions
trigonométriques inverses
• Fonction arc tangente
Si H(x) = arctan f(x), alors H'(x) =
f'(x)
1 + [f(x)]2
• Fonction arc cotangente
Si H(x) = arccotan f(x), alors H'(x) =
- f'(x)
1 + [f(x)]2
Dérivées des fonctions
trigonométriques inverses
• Fonction arc sécante
Si H(x) = arcsec f(x), alors H'(x) =
f'(x)
f(x) * √([f(x)]2 - 1)
• Fonction arc cosécante
Si H(x) = arccosec f(x), alors H'(x) =
- f'(x)
f(x) * √([f(x)]2 - 1)
Dérivées partielles
• Il existe des fonctions à plus d'une variable.
– L'indice de chaleur en fonction de l'humidité
relative et de la température réelle par
exemple.
• Si on fixe une des deux variables, on peut
trouver le taux de variation par rapport à
l'autre variable.
Dérivées partielles
• Exemple :
f(x, y) = x2 + y2 + x2y
f'x(x, y) = 2x + 2yx
f'y(x, y) = 2y + x2
Pour trouver la dérivée de
f(x, y) par rapport à x (f'x),
on fait comme si y était
une constante et on
dérive par rapport à x.
On applique le principe
inverse pour trouver la
dérivée de f(x, y) par
rapport à y (f'y).
Dérivées partielles
• Exercice 4
Soit f(x, y) = xe-y + 3y, trouvez f'y(1, 0).
f'y(x, y) = -xe-y + 3
f'y(1, 0) = -1 * e-0 + 3 = 2
Intégrales
• Définition des intégrales
• Intégrales définies
• Propriétés des intégrales
• Intégrales « générales »
• Intégrales trigonométriques
• Intégrales itérées
• Changement de variables
Intégrales
• Une intégrale, c’est un peu comme la
fonction inverse d’une dérivée… on
commence avec la dérivée et on veut
retrouver la fonction de départ.
• Si f(x) = x, alors f'(x) = 1
• Alors, ∫1=x
Intégrales
• Si f(x) = xr , alors f'(x) = r * x (r-1)
• Alors ∫ r * x (r-1) = xr
Intégrales
À quoi peut correspondre une intégrale au
niveau mathématiques (ou graphique)?
À l’aire sous la courbe d’un graphique!
Source: wikipedia
Intégrales définies
On utilise les sommes de Riemann
b
n
a
i 1
*
 f ( x )x
 f ( x)dx  nlim
→∞
i
Intégrale double:

R
m
n
f ( x, y)dA  lim  f ( xij* , yij* )A
m,n →∞ i 1 j 1
Intégrales définies
Source:wikipedia
Somme de Riemann: la hauteur de chaque
rectangle est fournie et selon la largeur de
chaque rectangle, on calcule la somme des
aires de chaque rectangle
Propriétés des intégrales

a

a
b
f ( x)dx    f ( x)dx

b
c
c
b
a
a
a
f ( x)dx  0
b
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Propriétés des intégrales
b
b
a
a
 cf ( x)dx  c 
f ( x)dx pour x  réels
b
b
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx  
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
Intégrales « générales »
udv

uv

vdu


1 n 1
 u du  n  1 u  c, n  -1
n
du
 u  ln u  c
 e du  e
u
u
c
Intégrales « générales »
1 n
 a du  ln a a  c
u

du
u
 Arc sin  c
2
2
a
a u
du
1
u
 a 2  u 2  a Arc tan a  c
Intégrales « générales »
du
1
u
 u u 2  a 2  a Arc sec a  c
du
1
ua
 a 2  u 2  2a ln u  a  c
du
1
ua
 u 2  a 2  2a ln u  a  c
Exercice 5
Calculez

2
0
f ( x, y)dy et
f(x,y) = 2xy - 3x2
1

0
f ( x, y)dx
Exercice 5
xy – 3x y
1.
2
2
2
0
 ( x * 2 2  3x 2 * 2)  ( x * 0 2  3 * x 2 * 0)
 4x  6x2
2.
1

2 xy  3x 2 dx
0
 x 2 y  x 3 10
 1y  1  (0 y  0)
 y 1
Intégrales de fonctions trigonométriques
sin
udu


cos
u

c

cos
udu

sin
u

c

sec
udu

tan
u

c

2
Intégrales de fonction trigonométriques
 cosec udu  cotg u  c
2
 sec u tan udu  sec u  c
co
sec
u
cotg
u
du


cosec
u

c

Intégrales de fonctions trigonométriques
 tan udu  ln sec u  c
 cotan u du  ln sin u  c
 sec udu  ln sec u  tan u  c
 cosec udu  ln cosec u - cotan u  c
Intégrales doubles
 [ f ( x, y)  g ( x, y)]dA   f ( x, y)dA   g ( x, y)dA
R
R
 cf ( x, y)dA  c f ( x, y)dA
R
R
R
Intégrales itérées
On commence par l’intégrale à
l’intérieur puis, on fait celle à
l’extérieur.
b
d
a
c

d

f ( x, y)dydx    f ( x, y)dy dx

a 
c
b
Exercice 6
Calculez les intégrales suivantes:
4
2
0
0

x y dxdy
Exercice 6
4
2
0
0

x y dxdy
x2 y 2

0 dy
0
2
2
4 2
y
 (
 0)dy
0
2
4
4
  2 y dy
0
4
 y
3
3
2 4
0
3
2
4
32
 4 0 
3
3
Changement de variables

b
a
d
f ( x)dx   f ( g (u)) g ' (u)du
c
où x = g(u), a = g(c) et b = g(d).

b
a
f ( x)dx  
d
c
dx
f ( x(u )) du
du
Changement de variables
Transformer x et y en coordonnées polaires:
x = r cos θ
y = r sin θ
 f ( x, y)dA   f (r cos , r sin  )rdrd
R
S
Références
Les exemples et les exercices proviennent de :
• Charron G, Parent P (2002). Calcul Différentiel. 5e édition, Groupe
Beauchemin, Laval, 526 pages, chap. 4, 9, 10, 11.
• Stewart J (2005). Analyse. concepts et contextes. Volume 2 :
Fonctions de plusieurs variables. 1ère édition, De Boeck Université,
Bruxelles, 991 pages, chap. 11 et 12.
• Wikipedia.org