x 1

Chapitre Six
Effet des prix et de la
richesse sur la Demande
Propriétés générales du
comportement de choix rationnel
du consommateur
 Analyse
par statique comparée des
demandes Marshalliennes = l’étude
des réactions des quantités
demandées xi*(p1,…,pn,R) à des
changements dans les prix p1,…, pn
et dans la richesse
 On suppose que les changements
dans les prix n’affectent pas la
richesse.
Effet-Prix propre
 Comment
la quantité xi*(p1,…,pn,R)
réagit à une variation du prix pi
changes, toutes choses égales par
ailleurs ?
 Supposons que p1 augmente, de p1’ à
p1’’ et puis de p1’’ à p1’’’.
Effet prix propre
x2
p2 et R fixés
p1x1 + p2x2 = R
p1 = p1’
x1
Effet prix propre
x2
p2 et R fixés.
p1x1 + p2x2 = y
p1 = p1’
p1= p1’’
x1
Effet-Prix Propre
x2
p2 et R fixés.
p1x1 + p2x2 = R
p1 = p1’
p1=
p1’’’
p1= p1’’
x1
Effet prix propre
x2
p2 et R fixés
p1 = p1’
x1
Effet prix propre
x2
p2 et R fixés.
p1 = p1’
x1*(p1’)
x1
Effet-Prix propre
x2
p1
p2 et R fixés
p1 = p1’
p1’
x1*(p1’)
x1*(p1’)
x1
x 1*
Effet-Prix Propre
x2
p1
p2 et R fixés.
p1 = p1’’
p1’
x1*(p1’)
x1*(p1’)
x1
x 1*
Effet-Prix Propre
x2
p1
p2 et R fixés.
p1 = p1’’
p1’
x1*(p1’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1
x 1*
Effet-prix propre
x2
p1
p2 et R fixés.
p1’’
p1’
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1
x 1*
Effet-Prix propre
x2
p1
p2 et R fixés.
p1 = p1’’’
p1’’
p1’
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1
x 1*
Effet prix propre
x2
p1
p2 et R fixés.
p1 = p1’’’
p1’’
p1’
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1
x 1*
Effet-prix propre
x2
p2 et R fixés.
p1
p1’’’
p1’’
p1’
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1
x 1*
Effet-prix propre
x2
p2 et R fixés.
p1
Courbe de
Demande Marshal
lienne de bien 1
p1’’’
p1’’
p1’
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1
x 1*
Effet-Prix propre
x2
p2 et R fixés.
p1
Courbe de
demande Marshal
lienne de bien 1
p1’’’
p1’’
p1’
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x1
x 1*
Effet-Prix propre (préférence
Léontieff)
R
x ( p1 , p2 , R)  x ( p1 , p2 , R) 
.
p1  p2
*
1
*
2
Effet-Prix propre (préférences
Léontieff)
R
x ( p1 , p 2 , R)  x ( p1 , p 2 , R) 
.
p1  p 2
*
1
*
2
Avec p2 et R fixés, une augmentation de
p1 réduit les quantités
x1* et x2*.
Effet-prix propre (préférence
Léontieff)
R
*
*
x1 ( p1 , p2 , R)  x2 ( p1 , p 2 , R) 
.
p1  p2
avec p2 et R fixés, une augmentation de p1
Réduit les quantités x1* and x2*.
Si
R
p1  0, x  x  .
p2
*
1
*
2
Effet-prix propre (préférence
Léontieff)
R
*
*
x1 ( p1 , p2 , R)  x2 ( p1 , p 2 , R) 
.
p1  p2
avec p2 et R fixés, une augmentation de p1
Réduit les quantités x1* and x2*.
Si
Si
R
p1  0, x  x  .
p2
*
1
p1   ,
*
2
*
*
x1  x 2  0.
Effet-Prix Propre
p2 et R fixés.
x2
x1
Effet-Prix propre
p1
p2 et R fixés.
x2
p1 = p1’
R/p2
x 
*
2
p1’
R
p1’  p 2
R
x 
p1  p 2
*
1
R
x 
p’1  p2
*
1
x1
’
x 1*
Effet-Prix propre
p1
p2 et R fixés.
x2
p1 = p1’’
R/p2
p1’’
p1’
x 
*
2
R
p’’1  p 2
R
x 
p’’1  p 2
*
1
R
x 
p1’’ p 2
*
1
x1
x 1*
Effets-prix propres
p2 et R fixés.
x2
R/p2
p1 = p1’’’
p1
p1’’’
p1’’
p1’
x 
*
2
R
p’’’
1  p2
R
x 
p1’’’
 p2
*
1
R
x 
p1’’’
 p2
*
1
x1
x 1*
Effet-Prix propre
p2 et R fixés.
p1
Courbe de
demande
de bien 1
est
p1’’’
x2
p1’’
R/p2
x 2* 
p1’
R
p1  p 2
R
x 
.
p1  p 2
*
1
R
p2
R
x 
p1  p2
*
1
x1
x 1*
Effets-Prix propres
 Cas
des substituts parfaits
U( x1 , x 2 )  x1  x 2 .
On sait que demandes marshalliennes
De bien 1 et 2 sont
Effet-prix propre
0, si p1  p2
x ( p1 , p2 , y)  
 y / p1 , si p1  p2
*
1
et
0
,
si
p

p

1
2
*
x2 ( p1 , p2 , y)  
 y / p2 , si p1  p2 .
Effet-prix propre
p2 et y fixés.
x2
x*2  0
p1 = p1’ < p2
y
*
x1 
p1’
x1
p1
Effet prix-propre
p2 et y fixés.
x2
p1 = p1’ < p2
p1’
y x*
*
1
x1 
p1’
x*2  0
y
*
x1 
p1’
x1
Effet-Prix propre
p1
P2 et y fixé.
x2
p1 = p1’’ = p2
p1’
x 1*
x1
Effet-Prix propre
p1
p2 et y fixés.
x2
p1 = p1’’ = p2
p1’
x 1*
x1
Effet-prix propre
p1
p2 et y fixés.
x2
y
*
x2 
p2
p1 = p1’’ = p2






*
x 2  0 

y
*
*
x1 
x1  0
p1’’
p1’
x 1*
x1
p1
Effet-Prix propre
p2 et y fixés.
x2
p1 = p1’’ = p2
p2 = p1’’
y
*
x2 
p2






*
x 2  0 

y
*
*
x1 
x1  0
p2
p1’


y
*
0  x1 
p2
x1
x 1*
Effet-Prix Propre
p2 et y fixés.
p1
p1’’’
x2
p2 = p1’’
y
*
x2 
p2
p1’
x*1  0
x*1  0
x1
x 1*
Effet-Prix propre
p2 et y fixés.
p1
demande MarshalLienne de
bien 1
y
*
x1 
p1
p1’’’
x2
p2 = p1’’
y
p2
p1’


y
*
0  x1 
p2
x1
x 1*
Demande inverse
 On
se pose d’habitude la question:
“Etant donné le prix du bien i, quelle
est la quantité de ce bien que désire
le consommateur ?”
 Mais on pourrait également se poser
la question inverse “pour quel prix
du bien i un consommateur
souhaiterait-il consommer une
quantité donnée de ce bien ?”
Demande inverse
p1
Etant donné p1’, quelle quantité
de bien 1 est demandée ?
p1’
x 1*
Demande inverse
p1
Etant donné p1’, quelle quantité
de bien 1 est demandée?
Réponse: x1’ unités.
p1’
x1’
x 1*
Demande inverse
p1
Etant donné p1’, quelle quantité
de bien 1 est demandée ?
réponse: x1’ unités.
La question inverse est:
Etant donné que x1’ unités
sont demandées, quel
est le prix du bien 1 ?
x1’
x 1*
Demande inverse
p1
P1’
Etant donné p1’, quelle quantité
de bien 1 est demandée ?
réponse: x1’ unités.
La question inverse est:
Etant donné que x1’ unités
sont demandées, quel
est le prix du bien 1 ?
x1’
x 1*
Réponse: p1’
Demande inverse (CobbDouglas)
*
x1 
ay
( a  b)p1
Est la demand marshallienne et
p1 
ay
*
( a  b)x1
Est la demande inverse.
Changement de richesse
 Comment
x1*(p1,p2,R) varie t-il
lorsque as R varie, toutes choses
égales par ailleurs?
Changement de richesse
x2
p1 et p2 fixés.
R’ < R’’ < R’’’
x1
Changement de richesse
x2
p1 et p2 fixés
R’ < R’’ < R’’’
x1
Changement de richesse
x2
p1 et p2 fixés.
R’ < R’’ < R’’’
x2’’’
x2’’
x2’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
Changement de richesse
x2
p1 et p2 fixés
y’ < y’’ < y’’’
sentier
d’expansion richesse
x2’’’
x2’’
x2’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
Changement
 Le
graphe de la relation entre la
quantité demandée et la richesse du
consommateur, toutes choses égales
par ailleurs est appelée courbe
d’Engel.
Changement de richesse
x2
p1 et p2 fixés
R’ < R’’ < R’’’
sentier
d’expansion richesse
x2’’’
x2’’
x2’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
Changement de richesse
x2
p1 et p2 fixés
R’ < R’’ < R’’’
Sentier
d’expansion
richesse R
x2’’’
x2’’
x2’
R’’’
R’’
R’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
x1’ x1’’’
x1’’
x1*
Changement de richesse
x2
p1 et p2 fixés
R’ < R’’ < R’’’
Sentier
d’expansion
richesse R
x2’’’
x2’’
x2’
R’’’
R’’
R’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
Courbe
D’Engel
Du bien 1
x1’ x1’’’
x1’’
x1*
Changement de richesse
R
p1 et p2 fixés
x2
x2’’’
x2’’
x2’
R’’’
R’ < R’’ < R’’’ R’’
Sentier
R’
D’expansion
x2’ x2’’’
richesse
x2’’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
x2*
Changement de richesse
R
p1 et p2 fixés
x2
x2’’’
x2’’
x2’
R’’’
Courbe
R’ < R’’ < R’’’ R’’
D’Engel
Sentier
R’
Bien 2
D’expansion
x2’ x2’’’
x2*
richesse
x2’’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
Changement de richesse
R
p1 et p2 fixés
x2
x2’’’
x2’’
x2’
R’’’
Courbe
R’ < R’’ < R’’’ R’’
D’Engel
Sentier
R’
Bien 2
D’expansion
x2’ x2’’’
x2*
richesse R
x2’’
R’’’
Courbe
R’’
D’Engel
R’
Du bien 1
x1’ x1’’’
x1’’
x1
x1’ x1’’’
x1’’
x1*
Changement de richesse et
préférences Cobb-Douglas
 Un
exemple de calcul des équations
des courbes d’Engel: Le cas CobbDouglas.
a b
U( x1 , x 2 )  x1 x 2 .
 Les demandes Marshalliennes sont
(y désigne la richesse)
*
x1 
ay
by
*
; x2 
.
( a  b)p1
( a  b)p2
Changement de richesse et
préférences Cobb-Douglas
*
x1 
ay
by
*
; x2 
.
( a  b)p1
( a  b)p2
Isolant y, nous obtenons:
( a  b)p1 *
y
x1
a
( a  b)p2 *
y
x2
b
courbe d’Engel pour
Le bien 1
Courbe d’Engel pour
Le bien 2
Changement de richesse et
préférences Cobb-Douglas
y
y
( a  b)p1 *
y
x1
a
Courbe d’Engel
Du bien 1
x1*
( a  b)p2 *
y
x2
b
x2*
Courbe d’Engel
du good 2
Changement de richesse et
préférences Léontieff
 Préférences
Léontieff.
U( x1 , x 2 )  minx1 , x 2.
 Les
demandes Marshalliennes sont
R
x x 
.
p1  p 2
*
1
*
2
Changement de richesse et
préférences Léontieff
R
x x 
.
p1  p 2
*
1
*
2
En isolant R on obtient:
R  ( p1  p 2 ) x
*
1 courbe d’Engel de bien 1
R  ( p1  p 2 ) x
*
2 courbe d’Engel de bien 2
Changement de richesse
 Les
deux exemples que nous venons
de considérer présentent des
courbes d’Engel linéaires ?
Q: Est-ce là une propriété générale
des courbes d’Engel ?
 A: Non. Les courbes d’Engel sont
linéaires si les préférences du
consommateur sont homothétiques.
Homothéticité
 Une
préférences est homothétique si
et seulement si
( x1 ,..., xn )  ( z1 ,..., z n )  (kx1 ,..., kxn )  (kz1 ,..., kzn )
pour tout k > 0.
 De manière équivalente, une
préférence homothétiques a un TMS
constant le long de tout rayon
partant de l’origine.
Homothéticité
 Une
préférences est homothétique si et
seulement si
elle peut être représentée par une fonction
d’utilité homogène de degré 1

Les préférences appartenant à la famille
CES sont homothétiques car elles peuvent
être représentée par la fonction d’utilité
U(x1,…xn) = [(x1) +…+ (xn) ]1/ qui est
homogène de degré 1
Effets richesses dans le cas de
préférences non-homothétiques
 Un
exemple simple: les préférences
quasilinéaires.
U( x1 , x 2 )  f ( x1 )  x 2 .
 Par
exemple,
U( x1 , x 2 )  x1  x 2 .
x2
Les courbes d’indifférence de
préférence quasi-linéaires
Les courbes sont des copies par
translation verticale des autres.
Chaque courbe intersecte
les deux axes.
x1
Changement de richesse;
préférences Quasi-linéaires
x2
~
x1
x1
Changement de richesse;
Préférences Quasi-linéaires
x2
y
~
x1
x1
courbe
D’Engel
du
bien 1
x1*
~
x1
Changement de richesse;
Préférences Quasi-linéaires
y
x2
~
x1
x1
Courbe
d’Engel
de
bien 2
x2*
Changement de richesse;
Préférences Quasi-linéaires
y
x2
y
~
x1
x1
Courbe
d’Engel
de
bien 2
x2*
Courbe
d’Engel
de
bien 1
x1*
~
x1
Effets richesse
 Un
bien pour lequel la quantité
demandée augmente avec la
richesse est appelé normal.
 Par conséquent la courbe d’Engel
pour un bien normal a une pente
positive.
Effets Richesse
 Un
bien pour lequel la quantité
demandée diminue lorsque la
richesse augmente (toutes choses
égales par ailleurs) est appelé
inférieur.
 Par conséquent, la courbe d’Engel
d’un bien inférieur a une pente
négative.
Changements de richesse; biens 1 &
Courbe
y
2 Normaux
d’Engel
y’’’
y’’
y’
x2
sentier
d’expansion y
x2’’’
x2’’
x2’
y’’’
y’’
y’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
Bien 2
x2’ x2’’’
x2*
x2’’
Courbe
D’Enge
bien 1
x1’ x1’’’ x1*
x1’’
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
Inférieur
x1
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
Inférieur
x1
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
Inférieur
x1
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
Inférieur
x1
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
Inférieur
x1
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
Inférieur
Sentier
d’expansion
x1
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
Inférieur
y
Courbe d’Engel
bien 1
x1
x1*
x2
Changement de richesse; le bien 2
est Normal, le bien 1 devient
y
Inférieur
Courbe d’Engel
bien 2
y
x2*
Courbe d’Engel
bien 1
x1
x1*
Loi de la demande
 On
dit d’un bien qu’il respecte la loi
de la demande si la quantité
demandée de ce bien est en relation
négative avec son prix, toutes
choses égales par ailleurs.
Loi de la demande
p2 et R fixés.
x2
x1
Loi de la demande
p2 et R fixés.
x2
Sentier
d’expansion
prix
x1
Loi de la demande
p2 et R fixés.
x2

sentier
d’expansion
prix
Courbe de demande
p1 à pente négative
Loi de la
demande
x 1*
x1
Biens de Giffen
 On
appelle bien de Giffen tout bien
tel que pour certaines valeurs de son
prix, la quantité demandée du bien
varie dans le même sens que son
prix
Biens de Giffen
p2 et R fixés.
x2
x1
Biens de Giffen
p2 et R fixés.
x2
Sentier
d’expansion
prix
x1
Biens de Giffen
Courbe de demande
a une partie à
p1
pente positive
p2 et R fixés.
x2

Sentier
d’expansion
prix
bien 1 est un
bien de Giffen
x 1*
x1
Effets-prix croisés
 Si
une augmentation du prix du bien j
– augmente la quantité demandée de
bien i, alors le bien i est un substitut
brut du bien j.
– réduit la quantité demandée de bien
i, alors le bien i est un complément
brut du bien 2.
Effets-prix croisés
Complémentarité brute entre deux biens:
*
x1 
donc
y
p1  p2
*
 x1
y

 0.
2
 p2
p1  p2 
Le bien 1 est un complément
brut au bien 2.
Effets-prix croisés
p1
p1’’’
Augmenter le prix du
bien 2 de p2’ à p2’’
et
p1’’
p1’
y
p 2’
x 1*
Effets-prix croisés
p1
Augmenter le prix du
bien 2 de p2’ to p2’’
et la courbe de demande
de bien 1 se déplace vers
Le nord-est- le bien 1 est
un complement brut
Du bien 2.
p1’’’
p1’’
p1’
y
p 2’’
x 1*
Effets-prix croisés
Cas Cobb- Douglas:
*
x2 
donc
by
( a  b)p2
Effet-Prix croisés
Cas Cobb- Douglas:
*
x2 
donc
by
( a  b)p2
*
 x2
 0.
 p1
Par conséquent, le bien 1 n’est ni un
complément brut, ni un substitut brut
pour le bien 2.