4.3 Le mouvement d`un projectile

4.3 Le mouvement d’un projectile
Comme nous l’avons vu précédemment, certaines personnes
supposaient que le mouvement d’un projectile avait la forme
suivante.
On pensait que la force interne de l’objet s’épuisait
peu à peu. Même Newton au début pensait de
cette façon.
1
4.3 Le mouvement d’un projectile
On sait aujourd’hui qu’en absence de la résistance de
l’air, que le projectile est uniquement soumis à la force
gravitationnelle vers le bas.
La trajectoire du projectile est donc de la forme parabolique
suivante
v
y
F
Observons les caractéristiques importantes de ce
mouvement avec l’animation sur le site de Benson
x
2
4.3 Le mouvement d’un projectile
vx
vx
y
vx
vx
Fg
vx
x
- Un mouvement horizontal à vitesse constante
3
4.3 Le mouvement d’un projectile
vy
vy =0
y
vy
vy
Fg
x
vy
- Un mouvement vertical dû à la force gravitationnelle vers le bas
4
4.3 Le mouvement d’un projectile
vx
y
Fg
x
C’est Galilée qui, après quelques années, comprit un des premiers,
l’importance de voir le mouvement du projectile comme résultant deux
mouvements perpendiculaires indépendants
- Un mouvement horizontal à vitesse constante
- Un mouvement vertical dû à la force gravitationnelle vers le bas
5
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Fg
L’étude de mouvement se fera donc avec
-
les équations du m.r.u selon l’axe des x.
-
les équations du m.r.u.a selon l’axe des y
6
4.3 Le mouvement d’un projectile
Les équations de la cinématique dont
nous aurons besoin pour répondre aux
questions et pour résoudre les
problèmes du mouvement d’un projectile
sont les suivantes:
y
D’abord, les deux équations paramétriques x(t) et y(t)
Position selon l’axe des x avec xo =o
Position selon l’axe des y
Ensuite les équations
pour les vitesses
Paramètre :
temps ( t )
x f (t )  voxt
1
y f (t )  yo  voyt  a g t 2
2
v fy (t )  voy  ag t
Vox =cte
v 2fy  v 2oy  2ag ( y f  yo )
7
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
ymax
Quels types de questions allez-vous rencontrer?
Déterminer la hauteur maximale?
8
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
qo
R
x
Déterminer la portée R?
La vitesse de retour au sol ?
L’angle de lancement
pour avoir la position en
x maximale?
Le temps pour revenir au sol ?
9
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
qo
xmax
La position maximale en x ?
L’angle de lancement
pour avoir la position en
x maximale?
Le temps pour revenir au sol ?
Déterminer le déplacement
maximal?
10
4.3 Le mouvement d’un projectile
Lisez attentivement les exemples 4.1 à 4.5
Exemple: Lors d’une partie de base-ball, vous frappez la balle à
25 m/s à une hauteur de 1,0 m selon une angle de 35o
au dessus de l’horizontale.
a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle?
J’illustre la
situation :
y
x
11
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
vo
q 35
Problème :
Je connais
ymax
Je cherche le y (max) ? Autrement dit « y »
lorsque vy = 0
Xo =0
Solution possible :
yo = 1,0 m
J’utilise
vo = 25 m/s
x
qo = 35o
v 2fy  vo2y  2a g ( y  yo )
La position y est maximale lorsque la vitesse
en y est nulle.
12
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
vyo
q 35
ymax
x
Solution possible :
J’utilise
v 2fy  vo2y  2a g ( y  yo )
vf y  0
0  (vo sin q o ) 2  2a g ( y  yo )
2a g ( y  yo )  (vo sin q o )
2
13
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
q 35
Solution possible :
ymax
2a g ( y  yo )  (vo sin q o )
(vo sin q o )
y  yo 
2a g
2
x
2
(25 sin 35)
y  yo 
2  9,81
2
14
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
ymax
2
x
(25 sin 35)
y  yo 
2  9,81
y  11,48 m
y  yo  10,48
Solution possible :
Résultat
probable :
J’obtiens pour la hauteur maximale atteinte par la balle une
valeur de 11,5 m
15
4.3 Le mouvement d’un projectile
B) Quelle est la vitesse de la balle lorsqu’elle atteint la hauteur
maximale? Quelle est alors son accélération?
J’Illustre la
situation :
y
x
Problème : Je cherche v et ag à la hauteur maximale
Je connais
Xo =0
yo = 1,0 m
vo = 25 m/s
qo = 35o
16
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
B)
Solution possible:
L’accélération ne change pas ag = 9,81
J’utilise pour la vitesse, nous avons vy = 0
m/s2
x
et vx = vo cosqo
v x  v0 cosq 0  25  cos 35  20,48


Résultat probable :
J’obtiens à la hauteur
v  20,5i m/s
maximale une

vitesse

2
a


9
,
81
j
m/s
Et l’accélération est donnée par
17
4.3 Le mouvement d’un projectile
C) Déterminer la position en xf de la balle lorsque y=yo
y
Situation :
x
xf
Problème: Je cherche xf
Je connais
Xo =0
y= yo = 1,0 m
vo = 25 m/s
qo = 35o
18
4.3 Le mouvement d’un projectile
Trouvons d’abord le
temps pour que
y f  yo
1 2
y  yo  v yo t  a g t
2
J’utilise
Deux possibilités
t=0
x f  v xo t
J’utilise
Solution possible
et
1
y  yo  0  (v yo  a g t )t
2
1
(v yo  a g t )  0
t0
2
t
2v yo
ag
2vo sin q 0

ag
19
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
x
xf
La position finale xf est donnée
par
Avec
2vo sin q 0
t
ag
t = 2 fois le temps
de montée
x f  vo cos q 0 t
x f  vo cos q 0
2v0 sin q o
ag
20
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
x
xf
2v sin q o
x f  vo cos q 0 0
ag
2v02 cos q 0 sin q 0
xf 
ag
2  25 2  cos 35  sin 35
xf 
 59,87
9,81
Résultat probable : J’obtiens une position finale de 59,9 m
21
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
c)
x
Xmax
Attention, pour trouver « x max » la position où la balle touche
le sol, il faut utiliser :
x f  vo cos q 0 t
Et
1
y f  y o  voyt  a g t 2
2
On trouve le temps pour lequel y = 0,
On obtient:
t1= - 0,0681 s et
t2 =2,99 s finalement
xmax = 62,6 m
Portée horizontale
22
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Dans la situation suivante, partant du sol : botté
c)
R
Benson écrit , lorsque yf = yo , la
portée R de la façon suivante :
Au lieu
de
2v02 cosq 0 sin q 0
R
ag
x
v02 sin 2q 0
R
ag
puisque
sin 2q o  2 cosq 0 sin q 0
Attention : Il faut toujours partir des équations de base.
23
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
45o
c)
x
Rmax
Lors d’un botté, pour quel angle la portée
R est-elle maximale?
v02 sin 2q 0
R
ag
R est maximum lorsque sin 2q0 1
Autrement dit lorsque
2q0 900
Par conséquent R est maximum lorsque qo = 45o
24
4.3 Le mouvement d’un projectile
D)
À quelle vitesse devez-vous frapper la balle pour réaliser un
circuit par-dessus la clôture de 12 m de hauteur du champ
gauche située à une distance de 100 m du marbre?
J’illustre la
situation :
y
q  35o
x
Problème :
Je connais
Je cherche vo pour faire un circuit
Xo =0 x= 100 m yo = 1,0 m
y = 12 m
qo = 35o
25
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Situation :
vo
q  35o
100 m
Problème :
Je connais
Je cherche vo pour faire un circuit
Xo =0 x= 100 m yo = 1,0 m
Solution possible :
J’utilise
x
y = 12 m
qo = 35o
1 2
y  yo  v yo t  a g t
2
x  vxo t
26
4.3 Le mouvement d’un projectile
Solution possible :
J’utilise
1 2
y  yo  v yo t  a g t
2
x  vxo t
Deux équations deux inconnues
x
t
v xo
1 2
y  yo  v yo t  a g t
2
x 1
x 2
y  yo  v yo 
 ag (
)
vxo 2
vxo
27
4.3 Le mouvement d’un projectile
Solution possible :
J’utilise
x 1
x 2
y  yo  v yo 
 ag (
)
vxo 2
vxo
vxo  vo cosq o
v yo  vo sin q o
x
1
x
y  yo  vo sin q o 
 ag (
)2
vo cosq o 2
vo cosq o
28
4.3 Le mouvement d’un projectile
x
1
x
y  yo  vo sin q o 
 ag (
)2
vo cosq o 2
vo cosq o
On obtient l’équation de la trajectoire
y(x)
1
x2
y ( x)  yo  x  tan q o  a g
2
(vo cos q o ) 2
y
vo
yf
qo
yo
x
29
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
vo
yf
qo
yo
On obtient l’équation de la trajectoire
y(x)
x
1
x2
y ( x)  yo  x  tan q o  a g
2
(vo cos q o ) 2
2
1
(
100
)
12  1  100  tan 35o   9,81
2
(vo ) 2  (cos 35) 2
7,312 104
12  1  70 
(vo ) 2
30
4.3 Le mouvement d’un projectile
7,312 104
12  1  70 
(vo ) 2
7,312 104
 59  
(vo ) 2
vo 
 59  (vo ) 2  7,312 10 4
7,312  10 4
 35,2 m/s
59
Résultat probable : Pour réussir un circuit, j’obtiens une vitesse initiale de
35,2 m/s
31
4.3 Le mouvement d’un projectile
Résumé
Équations paramétriques
Équations de la vitesse
Équation de la trajectoire
Exemple Hyperphysics
Mechanics, velocity and
acceleration, trajectories,
general trajectory
32