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Exemple
La fonction x7→ xa une limite nulle en 0. On peut cependant être plus
précis et écrire :
lim
x→0
<
x=0−lim
x→0
>
x=0+.
ce qui montre par les règles de calculs étendues :
lim
x→0
<
1
x=1 0−=−∞ lim
x→0
>
1
x=∞.
On pouvait aussi le démontrer via la définition. Par exemple pour la
limite à droite : si K>0, on prend δun réel inférieur à 1/K, et alors
pour tout xvérifiant |x|<δet x>0 on a 1
x>1
δ=K.

Landau
Il arrive souvent qu’on s’intéresse à comparer des fonctions « sur le
long terme ».
Exemple
Deux populations de bactéries peuvent avoir le même nombre
d’individus au début, mais ce nombre va-t-il rester comparable tout le
temps?
Exemple
Si deux algorithmes pour factoriser le nombre nprennent
respectivement f(n)et g(n)secondes, comment savoir lequel est le
plus rapide lorsque ndevient grand?
Nous n’allons pas répondre à ces (vagues) questions, mais nous
présentons une définition utilisable dans ce cadre.

Petits et grand O
Définition
Soient fet gdeux fonctions. Supposons qu’il existe r∈Ret c∈R+
0
tels que pour tout x∈]r,+∞[on a
x∈dom f,x∈dom get |f(x)|≤c·|g(x)|
On dit alors « fest un O(g)» (prononcer « fest un grand Ode g»).
Remarque
Cette notion indique essentiellement que f/greste borné.
Généralement on compare une fonction fintéressante à une fonction
gbien connue. On dira aussi que l’ordre de grandeur de fest inférieur
à celui de g.

Petits et grand O
Définition
Soient fet gdeux fonctions. Supposons qu’il existe r∈Ret c∈R+
0
tels que pour tout x∈]r,+∞[on a
x∈dom f,x∈dom get |f(x)|≤c·|g(x)|
On dit alors « fest un O(g)» (prononcer « fest un grand Ode g»).
Remarque
Cette notion indique essentiellement que f/greste borné.
Généralement on compare une fonction fintéressante à une fonction
gbien connue. On dira aussi que l’ordre de grandeur de fest inférieur
à celui de g.

Exemple
10xest O(x). En effet, si x>0, on a bien 10x≤cx (par exemple
c=10 fonctionne).
Inversement, xest O(10x)car x≤c10x
sin(x) + x2est en O(x2)car sin(x) + x2≤x2+x2=2x2si x>2.
x2est O(x)mais xn’est pas O(x2).