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Exemple
La fonction x 7→ x a une limite nulle en 0. On peut cependant être plus
précis et écrire :
lim x = 0−
lim x = 0+ .
x→0
<
x→0
>
ce qui montre par les règles de calculs étendues :
1
1
1
lim = − = −∞
lim = ∞.
0
x→0 x
x→0 x
<
>
On pouvait aussi le démontrer via la définition. Par exemple pour la
limite à droite : si K > 0, on prend δ un réel inférieur à 1/K , et alors
pour tout x vérifiant |x| < δ et x > 0 on a 1x > 1δ = K .
Landau
Il arrive souvent qu’on s’intéresse à comparer des fonctions « sur le
long terme ».
Exemple
Deux populations de bactéries peuvent avoir le même nombre
d’individus au début, mais ce nombre va-t-il rester comparable tout le
temps ?
Exemple
Si deux algorithmes pour factoriser le nombre n prennent
respectivement f (n) et g(n) secondes, comment savoir lequel est le
plus rapide lorsque n devient grand ?
Nous n’allons pas répondre à ces (vagues) questions, mais nous
présentons une définition utilisable dans ce cadre.
Petits et grand O
Définition
Soient f et g deux fonctions. Supposons qu’il existe r ∈ R et c ∈ R+
0
tels que pour tout x ∈ ]r, +∞[ on a
x ∈ dom f , x ∈ dom g et |f (x)| ≤ c · |g(x)|
On dit alors « f est un O (g) » (prononcer « f est un grand O de g »).
Petits et grand O
Définition
Soient f et g deux fonctions. Supposons qu’il existe r ∈ R et c ∈ R+
0
tels que pour tout x ∈ ]r, +∞[ on a
x ∈ dom f , x ∈ dom g et |f (x)| ≤ c · |g(x)|
On dit alors « f est un O (g) » (prononcer « f est un grand O de g »).
Remarque
Cette notion indique essentiellement que f /g reste borné.
Généralement on compare une fonction f intéressante à une fonction
g bien connue. On dira aussi que l’ordre de grandeur de f est inférieur
à celui de g.
Exemple
10x est O (x). En effet, si x > 0, on a bien 10x ≤ cx (par exemple
c = 10 fonctionne).
Inversement, x est O (10x) car x ≤ c10x
sin(x) + x 2 est en O (x 2 ) car sin(x) + x 2 ≤ x 2 + x 2 = 2x 2 si x > 2.
x 2 est O (x) mais x n’est pas O (x 2 ).
Résultat
f (x ) Considérons la limite limx→∞ g (x ) .
Si elle existe dans R, alors f (x) est O (g(x)).
Si elle est infinie, alors f (x) n’est pas O (g(x)).
Démonstration.
Si la limite existe et vaut L ∈ R, on prend = 1 dans la définition de
limite. Ceci assure alors l’existence d’un N > 0 tel que pour tout x ≥ N
on ait
f (x) − < 1
g(x) |L |
f (x )
Dès lors g (x ) < |L | + 1, ce qui prouve l’affirmation en prenant
c = |L | + 1 (et r = N ).
Dans le second cas, quel
que
soit M > 0, on sait qu’il existe N > 0 tel
f
(
x
)
que pour x > N , on a g (x ) > M . En particulier il ne peut pas exister de
c vérifiant la définition de « grand O ».
Exemple
Pour tout réel A : Ax n est O (x k ) si et seulement si n ≤ k . En d’autres
termes : x n est d’un ordre de grandeur inférieur à x k si et seulement si
n ≤ k.
En effet le quotient de la proposition précédente vaut Ax n−k :
Si n ≤ k alors l’exposant n − k est négatif ou nul, donc le quotient
tend vers 0 ou |A |.
Si n > k , alors l’exposant est strictement positif et donc le
quotient tend vers +∞.
Une définition similaire est la suivante :
Définition
f (x ) Lorsque limx→∞ g (x ) = 0, on dit alors que f (x) est o(g(x)).
Remarque
En particulier f (x) est en O (g(x)) mais ceci est plus fort.
Exemple
Une définition similaire est la suivante :
Définition
f (x ) Lorsque limx→∞ g (x ) = 0, on dit alors que f (x) est o(g(x)).
Remarque
En particulier f (x) est en O (g(x)) mais ceci est plus fort.
On remarque que si g(x) tend vers 0 et f (x) est un o(g(x)), alors
f tend vers 0 plus vite que g !
Exemple
Une définition similaire est la suivante :
Définition
f (x ) Lorsque limx→∞ g (x ) = 0, on dit alors que f (x) est o(g(x)).
Remarque
En particulier f (x) est en O (g(x)) mais ceci est plus fort.
On remarque que si g(x) tend vers 0 et f (x) est un o(g(x)), alors
f tend vers 0 plus vite que g !
Les définitions de o et O tiennent encore lorsque x tend vers
a ∈ R et vers −∞. Il faut alors préciser quelle est la limite pour x !
Exemple
Une définition similaire est la suivante :
Définition
f (x ) Lorsque limx→∞ g (x ) = 0, on dit alors que f (x) est o(g(x)).
Remarque
En particulier f (x) est en O (g(x)) mais ceci est plus fort.
On remarque que si g(x) tend vers 0 et f (x) est un o(g(x)), alors
f tend vers 0 plus vite que g !
Les définitions de o et O tiennent encore lorsque x tend vers
a ∈ R et vers −∞. Il faut alors préciser quelle est la limite pour x !
Exemple
x 2 est un o(x 3 ) (pour x → ∞),
Une définition similaire est la suivante :
Définition
f (x ) Lorsque limx→∞ g (x ) = 0, on dit alors que f (x) est o(g(x)).
Remarque
En particulier f (x) est en O (g(x)) mais ceci est plus fort.
On remarque que si g(x) tend vers 0 et f (x) est un o(g(x)), alors
f tend vers 0 plus vite que g !
Les définitions de o et O tiennent encore lorsque x tend vers
a ∈ R et vers −∞. Il faut alors préciser quelle est la limite pour x !
Exemple
x 2 est un o(x 3 ) (pour x → ∞),
x 3 n’est pas un o(x 2 ) (pour x → ∞),
Une définition similaire est la suivante :
Définition
f (x ) Lorsque limx→∞ g (x ) = 0, on dit alors que f (x) est o(g(x)).
Remarque
En particulier f (x) est en O (g(x)) mais ceci est plus fort.
On remarque que si g(x) tend vers 0 et f (x) est un o(g(x)), alors
f tend vers 0 plus vite que g !
Les définitions de o et O tiennent encore lorsque x tend vers
a ∈ R et vers −∞. Il faut alors préciser quelle est la limite pour x !
Exemple
x 2 est un o(x 3 ) (pour x → ∞),
x 3 n’est pas un o(x 2 ) (pour x → ∞),
x 3 est un o(x 2 ) (pour x → 0),
Une définition similaire est la suivante :
Définition
f (x ) Lorsque limx→∞ g (x ) = 0, on dit alors que f (x) est o(g(x)).
Remarque
En particulier f (x) est en O (g(x)) mais ceci est plus fort.
On remarque que si g(x) tend vers 0 et f (x) est un o(g(x)), alors
f tend vers 0 plus vite que g !
Les définitions de o et O tiennent encore lorsque x tend vers
a ∈ R et vers −∞. Il faut alors préciser quelle est la limite pour x !
Exemple
x 2 est un o(x 3 ) (pour x → ∞),
x 3 n’est pas un o(x 2 ) (pour x → ∞),
x 3 est un o(x 2 ) (pour x → 0),
x 2 n’est pas un o(x 3 ) (pour x → 0).
Continuité
Contenu de la section
1
Continuité
2
Dérivées
Continuité
Définition
Soit f : A → B une fonction réelle et a ∈ A . La fonction f est continue
au point a si
lim f (x) = f (a)
x→a
,
Remarque
Une fonction est continue en a si son comportement près de a tend
vers sa valeur en a.
Définition
f est discontinue au point a si f n’est pas continue au point a.
Définition
f est continue (sur son domaine) si elle est continue en chaque point a
de son domaine.
Continuité
Exemple
Par exemple, la fonction
1
x
est continue car f est continue en chaque a ∈ R0 .
f : R0 → R : x 7→
Définition
Une fonction f est discontinue si elle n’est pas continue, c’est-à-dire
s’il existe au moins un point a de son domaine en lequel f est
discontinue.
Continuité
Exemple
1
Les fonctions suivantes sont continues :
Continuité
Exemple
1
Les fonctions suivantes sont continues :
g : R → R : x 7→ x 2 , et
Continuité
Exemple
1
Les fonctions suivantes sont continues :
g : R → R : x 7→ x 2 , et
h : R → R : x 7→ |x|
Continuité
Exemple
1
Les fonctions suivantes sont continues :
g : R → R : x 7→ x 2 , et
h : R → R : x 7→ |x|
2
La fonction
i : R → Z : x 7→ bxc
est discontinue en a pour a ∈ Z, et continue en a pour a ∈ R \ Z.
Continuité
Exemple
1
Les fonctions suivantes sont continues :
g : R → R : x 7→ x 2 , et
h : R → R : x 7→ |x|
2
La fonction
i : R → Z : x 7→ bxc
est discontinue en a pour a ∈ Z, et continue en a pour a ∈ R \ Z.
3
Enfin, la fonction caractéristique des rationnels est discontinue
en chaque point a ∈ R.
Continuité
Continuité et opérations
Contenu de la section
1
Continuité
Continuité et opérations
Propriétés importantes des fonctions continues
Continuité
Continuité et opérations
Soient deux fonctions f et g continues en un point a. Soit c ∈ R une
constante. Alors
f + g est continue en a
cf est continue en a
fg est continue en a
Si, de plus, g(a) , 0, alors
f
est continue en a.
g
Continuité
Continuité et opérations
Résultat
Si f : A → B et g : C → D , avec A , B , C , D ⊂ R et Im f ⊂ C (de sorte que
la composée g ◦ f a du sens), si f est continue en a et g est continue
en f (a) alors
g ◦ f est continue en a.
Remarque
Ces règles de calculs sont des conséquences directes des règles de
calculs pour les limites.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Contenu de la section
1
Continuité
Continuité et opérations
Propriétés importantes des fonctions continues
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Théorème (Théorème des bornes atteintes)
Si f : A → R est continue alors pour tout a < b ∈ A il existe u, v deux
réels dans [a, b ] tels que f ([a, b ]) = [f (u), f (v)].
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Définition
Soit E ⊂ R un ensemble. On dit que m ∈ R est un majorant de E si
m ≥ e pour tout e ∈ E .
Théorème (Propriété de la borne supérieure)
Si E ⊂ R est majoré, alors il existe un plus petit majorant noté sup E .
Similairement si E est minoré, il possède un plus grand minorant noté
inf E .
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Définition
Soit E ⊂ R un ensemble. On dit que m ∈ R est un majorant de E si
m ≥ e pour tout e ∈ E .
Théorème (Propriété de la borne supérieure)
Si E ⊂ R est majoré, alors il existe un plus petit majorant noté sup E .
Similairement si E est minoré, il possède un plus grand minorant noté
inf E .
Cette propriété est une propriété fondamentale de l’ensemble des
nombres réels, que nous prenons comme axiome (admise sans
preuve).
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Définition
Soit E ⊂ R un ensemble. On dit que m ∈ R est un majorant de E si
m ≥ e pour tout e ∈ E .
Théorème (Propriété de la borne supérieure)
Si E ⊂ R est majoré, alors il existe un plus petit majorant noté sup E .
Similairement si E est minoré, il possède un plus grand minorant noté
inf E .
Cette propriété est une propriété fondamentale de l’ensemble des
nombres réels, que nous prenons comme axiome (admise sans
preuve).
Exemple
Si A = [0, 1[ ∪ [2, 5[, alors :
inf A = 0
sup A = 5
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve du théorème de la borne atteinte.
Nous n’allons nous intéressons qu’au cas de la borne supérieure. Le
cas de la borne inférieure s’en déduit.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve du théorème de la borne atteinte.
Nous n’allons nous intéressons qu’au cas de la borne supérieure. Le
cas de la borne inférieure s’en déduit.
Montrons d’abord que F B f ([a, b ]) est majoré. Pour N > 0,
considérons l’ensemble EN des éléments x ∈ [a, b ] vérifiant f (x) ≥ N .
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve du théorème de la borne atteinte.
Nous n’allons nous intéressons qu’au cas de la borne supérieure. Le
cas de la borne inférieure s’en déduit.
Montrons d’abord que F B f ([a, b ]) est majoré. Pour N > 0,
considérons l’ensemble EN des éléments x ∈ [a, b ] vérifiant f (x) ≥ N .
Notons que les ensembles EN diminuent lorsque N augmente. Si EN
est vide pour un certain N , alors N majore F . Sinon, EN n’est jamais
vide, et toujours minoré par a et majoré par b .
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve du théorème de la borne atteinte.
Nous n’allons nous intéressons qu’au cas de la borne supérieure. Le
cas de la borne inférieure s’en déduit.
Montrons d’abord que F B f ([a, b ]) est majoré. Pour N > 0,
considérons l’ensemble EN des éléments x ∈ [a, b ] vérifiant f (x) ≥ N .
Notons que les ensembles EN diminuent lorsque N augmente. Si EN
est vide pour un certain N , alors N majore F . Sinon, EN n’est jamais
vide, et toujours minoré par a et majoré par b .
Considérons alors l’ensemble E des valeurs sup EN pour N > 0. Cet
ensemble est minoré par a. Considérons donc c = inf E .
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve du théorème de la borne atteinte.
Nous n’allons nous intéressons qu’au cas de la borne supérieure. Le
cas de la borne inférieure s’en déduit.
Montrons d’abord que F B f ([a, b ]) est majoré. Pour N > 0,
considérons l’ensemble EN des éléments x ∈ [a, b ] vérifiant f (x) ≥ N .
Notons que les ensembles EN diminuent lorsque N augmente. Si EN
est vide pour un certain N , alors N majore F . Sinon, EN n’est jamais
vide, et toujours minoré par a et majoré par b .
Considérons alors l’ensemble E des valeurs sup EN pour N > 0. Cet
ensemble est minoré par a. Considérons donc c = inf E .
Par construction, c est arbitrairement proche de nombres dont
l’image est au delà de N , pour tout N . D’un autre côté par continuité,
les nombres proches de c ont des images proches de f (c). Ceci fournit
une contradiction.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve, partie 2.
L’ensemble F = f ([a, b ]) étant majoré, il possède un supremum,
notons le s.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve, partie 2.
L’ensemble F = f ([a, b ]) étant majoré, il possède un supremum,
notons le s.
Pour > 0, on s’intéresse maintenant aux ensembles E des x tels que
f (x) > s − . Il existe toujours de tels x puisque s − n’est pas un
majorant de F . Cet ensemble est toujours minoré par a et majoré par
b.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve, partie 2.
L’ensemble F = f ([a, b ]) étant majoré, il possède un supremum,
notons le s.
Pour > 0, on s’intéresse maintenant aux ensembles E des x tels que
f (x) > s − . Il existe toujours de tels x puisque s − n’est pas un
majorant de F . Cet ensemble est toujours minoré par a et majoré par
b.
On s’intéresse comme précédemment à l’ensemble des nombres
sup E , et plus précisément à leur infimum. Ce nombre est le nombre v
recherché.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve, partie 2.
L’ensemble F = f ([a, b ]) étant majoré, il possède un supremum,
notons le s.
Pour > 0, on s’intéresse maintenant aux ensembles E des x tels que
f (x) > s − . Il existe toujours de tels x puisque s − n’est pas un
majorant de F . Cet ensemble est toujours minoré par a et majoré par
b.
On s’intéresse comme précédemment à l’ensemble des nombres
sup E , et plus précisément à leur infimum. Ce nombre est le nombre v
recherché.
Ceci montre que f (v) est la plus grande valeur prise par f sur [a, b ].
Similairement on peut démontrer l’existence de u tel que f (u) est la
plus petite valeur. Le fait que f ([a, b ]) = [f (u), f (v)] suivra alors du
théorème suivant (de la valeur intermédiaire).
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Exemple
L’image de [0, 2π] par la fonction sinus est [−1, 1], qu’on peut
effectivement ré-écrire [sin(3π/2), sin(π/2)].
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Il est intuitivement clair que si le graphe d’une fonction continue
« démarre » en dessous d’une droite horizontale et se termine au
dessus de cette droite, il doit croiser la droite quelque part. C’est
l’objet du résultat suivant
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Il est intuitivement clair que si le graphe d’une fonction continue
« démarre » en dessous d’une droite horizontale et se termine au
dessus de cette droite, il doit croiser la droite quelque part. C’est
l’objet du résultat suivant :
Théorème (Théorème de la valeur intermédiaire.)
Soit f : [a, b ] → R une fonction continue. Pour tout γ ∈ R strictement
compris entre f (a) et f (b ), il existe c ∈ ]a, b [ tel que f (c) = γ.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve.
Nous supposons que f (a) < γ < f (b ) : le cas f (b ) < f (a) se déduit
d’arguments similaires.
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve.
Nous supposons que f (a) < γ < f (b ) : le cas f (b ) < f (a) se déduit
d’arguments similaires.
Considérons
S = {x : x ∈ [a, b ] et f (x) < γ}.
Cet ensemble S est non-vide puisque a ∈ S et S est majoré par b .
Donc S possède un supremum. Écrivons c = sup S . Évidemment
c ∈ [a, b ].
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve.
Nous supposons que f (a) < γ < f (b ) : le cas f (b ) < f (a) se déduit
d’arguments similaires.
Considérons
S = {x : x ∈ [a, b ] et f (x) < γ}.
Cet ensemble S est non-vide puisque a ∈ S et S est majoré par b .
Donc S possède un supremum. Écrivons c = sup S . Évidemment
c ∈ [a, b ].
Nous démontrons que f (c) = γ en raisonnant par l’absurde :
Si f (c) < γ, alors il existe un point x légèrement plus grand que c
tel que f (x) est encore plus petit que γ, ce qui contredit le fait que
c majore S .
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Non vu au cours
Idée de preuve.
Nous supposons que f (a) < γ < f (b ) : le cas f (b ) < f (a) se déduit
d’arguments similaires.
Considérons
S = {x : x ∈ [a, b ] et f (x) < γ}.
Cet ensemble S est non-vide puisque a ∈ S et S est majoré par b .
Donc S possède un supremum. Écrivons c = sup S . Évidemment
c ∈ [a, b ].
Nous démontrons que f (c) = γ en raisonnant par l’absurde :
Si f (c) < γ, alors il existe un point x légèrement plus grand que c
tel que f (x) est encore plus petit que γ, ce qui contredit le fait que
c majore S .
Si f (c) > γ, nous voyons qu’en fait f (x) > γ à partir d’un point
légèrement plus petit que c, ce qui contredit le fait que c est le
plus petit majorant de S .
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Résultat
Soit f une fonction réelle bijective définie sur un intervalle. Si f est
continue en a, alors sa réciproque est continue en f (a).
Continuité
Propriétés importantes des fonctions continues
Exemple
Voyons un exemple dont le domaine n’est pas un intervalle. Soit
(
x
si x < 1
f : [0, 1[ ∪ [2, 3[ : x 7→
x − 1 sinon.
Alors f est continue partout, mais f −1 n’est pas continue au point 1.
Ci-dessous, la fonction f et la fonction f −1 sont représentées :
y
y 3
2
y = f (x)
2
y = f −1 (x)
1
1
1
2
3
x
1
2
x
Dérivées
Contenu de la section
1
Continuité
2
Dérivées
Dérivées
Rappel
Considérons la droite D du plan passant par les points (x, y) et
(x + ∆x, y + ∆y), avec ∆x , 0. Cette droite possède une pente
∆y
mB
∆x
qui vaut, lorsque le repère est orthonormé, la tengente de l’angle
formé par la droite avec l’horizontale.
Dérivées
Rappel
Considérons la droite D du plan passant par les points (x, y) et
(x + ∆x, y + ∆y), avec ∆x , 0. Cette droite possède une pente
∆y
mB
∆x
qui vaut, lorsque le repère est orthonormé, la tengente de l’angle
formé par la droite avec l’horizontale.
Définition
Soit f : A ⊂ R → R une fonction, et soit a un point intérieur à A . Si la
limite
f (x) − f (a)
lim
x→a
x −a
x,a
existe dans R, on appelle cette limite le nombre dérivé de f en a et on
le note f 0 (a).
Dérivées
Rappel
Considérons la droite D du plan passant par les points (x, y) et
(x + ∆x, y + ∆y), avec ∆x , 0. Cette droite possède une pente
∆y
mB
∆x
qui vaut, lorsque le repère est orthonormé, la tengente de l’angle
formé par la droite avec l’horizontale.
Définition
Soit f : A ⊂ R → R une fonction, et soit a un point intérieur à A . Si la
limite
f (x) − f (a)
lim
x→a
x −a
x,a
existe dans R, on appelle cette limite le nombre dérivé de f en a et on
le note f 0 (a).
Quand cette limite existe, on dit que f est dérivable au point a, ou
encore que f 0 (a) existe.
Dérivées
6
y
P2
y = f (x)
∆y
P1
∆x
-
x
Dérivées
6
y
P2
P1
y = f (x)
-
x
Dérivées
Exemple
Si f (x) = x 2 , le nombre dérivé de f en a est 2a
Démonstration.
On remarque que
f (x) − f (a) x 2 − a 2 (x − a)(x + a)
=
=
= x +a
x −a
x −a
x −a
pour tout x , a. Dès lors lorsque x → a, la limite vaut bien
a + a = 2a.
On notera donc f 0 (a) = 2a, ou f 0 (x) = 2x.
Dérivées
Étant donnée f une fonction, la notion de dérivabilité ci-dessus donne
lieu à une nouvelle fonction, notée f 0 qui à chaque valeur x pour
laquelle f est dérivable associe le nombre dérivé de f en x, c’est-à-dire
f 0 (x). Cette fonction f 0 est appelée la fonction dérivée de f .
Dérivées