Cloture intégrale des anneaux R (X)

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DEPARTEMENT DE MArHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
THESE
Présentée pour obtenir le grade scientifique de Docteur
de 3ème cycle ès - Sciences Mathématiques
TITRE: CLOTURE INTEGRALE DES
ANNEAUX R(X)
Présentée et soutenue publiquement le 24 Juillet 2002 à 10 H à l'Amphi. 7
Par
El Hacen Ould BOKI
Sous la direction de Monsieur Mamadou SANGHARE
Devant le Jury composé de :
Président:
Chérif
BADJI
Professeur
UCAD
Membres:
Hamet SEYDI
Professeur
UCAD
Mamadou SANGHARE
Maître de Conférences UCAD
Mamadou Makhtar DIOP
Maître - Assistant
UCAD
C. Thiécoumba GUEYE
Maître - Assistant
UCAD
Oumar DIANKHA
Maître - Assistant
UCAD
A. Lamine FALL
Assistant
UCAD
Sidy Demba TOURE
Assistant
UCAD
Année Universitaire 2001 • 2002
DEDICACE
A la mémoire de mon père, feu Boki Ould Ely Roba,
A ma mère, Bakka Mint Sidi Yaaraf
A mon frère Sidi Baba OuId Boki
A mon fils Sidi Mohamed,
A toute ma famille,
A tous mes parents,
A tous mes amis,
A tous ceux qui m'aiment.
.
Je dédie ce modeste travail.
Enfin, je ne saurais oublier de faire une dédicace spéciale à
mon fidèle ami, Si di Ould Cheikh Saad Boub, Chef de
Service Sécurité du CHN de Nouakchott J.
REMERCIEMENTS
Tout d'abord, je voudrais exprimer toute ma gratitude à
Monsieur Mamadou SANGHARE qui a bien voulu diriger mon
travail de recherche. Sa disponibilité sans faille, ses conseils
ingénieux, sa gentillesse et son sens humain m'ont été d'un grand
secours pendant toute l'élaboration de cette thèse.
Je remercie vivement Monsieur Chérif BADJI d'avoir accepté
d'user de son temps précieux pour être le président du Jury.
Je voudrais également remercier Messieurs
Mamadou
. Makhtar DIOP, C. Thiécoumba GUEYE, Oumar DIANKHA, A.
Lamine FALL et Sidy Demba TaURE d'avoir accepté d'être
membres du Jury, malgré leur agenda sans doute chargé.
Je ne saurais oublier l'homme qui m'a soutenu sans réserve,
les moments les plus difficiles de ma vie et auquel je dois beaucoup,
il s'agit du Professeur Hamet SEYDI, je le remercie vivement.
C'est très chaleureusement, et avec plaisir, que je remercie tous les
membres de ce Jury.
Je remercie de tout mon cœur les Professeurs:
-
François Zara de l'Université
Picardie Jules Verne
d'Amiens (France)
-
Mohamed Tabaâ de l'Université Mohamed V de Rabat
(Maroc)
qui m'ont permis de démarrer ces travaux en m'octroyant la
documentation que cela suppose, et en me lançant dans cette
recherche.
-
G. Schwartz de l'Université de Brandei (U.S.A).
-
Claudio Procesi de l'Université de Rome (Italie) qui lors
de notre première rencontre à Monastir (Tunisie) m'ont
aidé
à
l'apprentissage
de
l'anglais
avec
les
enregistrements journaux et m'on donné de très bons
ouvrages.
Les Professeurs:
-
Ahmedou Ould Haouba, Doyen de la Faculté des
Sciences et Techniques de Nouakchott
-
Mohamed Ould Jiddou, Secrétaire Général de la Faculté
des Sciences et Techniques de Nouakchott
-
Ahmed
Ould
Bahya,
Chef
de
Département
de
Mathématiques et Informatique, et cousin personnel
m'ont toujours aidé et soutenu, qu'ils soient vivement remerciés ici.
Je ne saurais finir, sans remercier Mesdames Soda NDIAYE
et Seynabou MBAYE qui, avec les trésors de patience qu'elles ont
dû déployer, ont apporté toute leur compétence et dévouement à la
saisie informatique définitive de cette thèse.
Je remercie très chaleureusement Monsieur PROTIN et
Madame SANE de l'AUPELF - UREF qui ont facilité mon voyage à
Dakar pour finaliser cette thèse.
SOMMAIRE
1
INTRODUCTION
CHAPITRE 1- Préliminaires algébriques et notations......... 3
1.1. Propriété universelle de A[X h X2 ,
,X N]
3
1.2. Racine d'un idéal - Nilradical d'un anneau......... 4
1.3. Parties multiplicatives.................................... 5
lA. Anneaux et modules de fractions..................... 6
1.5. Anneaux factoriels - Anneaux principaux..........
9
1.6. Entiers algébriques - Dépendance intégrale.11
1.7. Dimension d'un anneau - Hauteur d'un idéal.....
14
1.8. Extensions de corps.....................................
15
1.9. Idéaux de A[X]............................................
17
1.10. Somme des sous - modules - Module produit...
19
CHAPITRE Il - Anneaux et modules noethériens - Anneaux
De Dedekind - Anneau des series formelles
11.1. Modules noethériens....................................
22
11.2. Anneaux noethériens....................................
24
11.3. Anneaux de polynômes sur un anneau noethérien.26
liA. Anneaux de Dedekind
:..........
30
11.5. Anneau des séries formelles........................... 31
CHAPITRE III - Clôture intégrale de R(X)
- Introduction.................................................... 38
- 1ère condition nécessaire et suffisante pour que R[X]
soit intégralement clos...................................... 39
- Fraction finie, Théorème 4................................. 39
-
Idéal semi - régulier, Définition 5........................
39
- Anneau des fractions finies sur R, Théorème 8......
41
- 2ème condition nécessaire et suffisante pour que R[X]
soit intégralement clos, Théorème 11
42
- Contenu d'un polynôme, Définition 12..................
42
- Partie multiplicative U(R), Théorème 14................
43
- L'anneau R(X), Notation et Lemme 15..................
43
- Condition nécessaire pour que R(X) soit intégralement
Clos, Exemple 16.............................................
44
- Condition suffisante pour que R(X) soit intégralement
Clos, Théorème 17..........................................
44
- Le R[X] - module M[X] - Définition et Notation 19..
45
- L'idéalisation d'un module, Définition 21 et
Théorème 22..................................................
46
- L'anneau total de l'anneau D(+)M, Théorème 23....
48
- Les anneaux (D(+)M)[X] et (D(+)M)(X),Théorème 24. 50
- Théorème de J. Huckaba, Théorème 26....
53
- Réciproque du Théorème de J. Huckaba, Exemple 27 53
CONCLUSiON............................................................
60
BIBLIOGRAPHIE.........................................................
61
INTRODUCTION
L'algèbre commutative est la discipline mathématique qui
traite des anneaux commutatifs. Elle a des liens étroits avec
plusieurs
théories
fondamentales
et,
notamment,
la
théorie
algébrique des nombres, la géométrie algébrique et la géométrie
analytique locale. Donc la prépondérance de plus en plus grande de
l'algèbre dans les mathématiques actuelles, n'est plus à prouver.
. " ..
Les polynômes et les séries formelles sont utilisés dans
presque tous les domaines scientifiques. Le travail que nous avons
..
"
entamé dans cette thèse axe essentiellement sur les anneaux des
polynômes et les anneaux des séries formelles. Pour un anneau R
qui n'est pas nécessairement intègre, il s'agit de trouver des
,
conditions nécessaires ou suffisantes pour qu'un anneau des
,-.',,'
fractions de l'anneau de polynômes R[X] par rapport à une partie
.....
multiplicative bien choisie, soit intégralement fermé dans son
anneau total des fractions; auquel cas nous dirons qu'ils est
.. "/'.'
'
'. ",'
intégralement clos. La partie multiplicative de
R[X] dont nous
..
J
,
.
parlerons ici est celle des polynômes à coefficients dans R et dont·
l'idéal de R engendré par ces coefficients soit égal à R.
'f "
1
Les
tentatives
les
plus
récentes
sont
dues
aux
mathématiciens J. LAMBEK, T. LUCAS et J. HUCKABA qui ont
1
,
"~.
... ;
d'abord tenté
de
résoudre
la' question:
quand
R[X]
',,"
est··
intégralement clos? En définissant l'anneau des fractions finies
'~.
Oo(R ) et en montrant que si R est réduit, R[X] est intégralement
'".
-,'
,
~
clos, si et seulement si, R est intégralement fermé dans Oo(R ).
~
.
.
;.'
:..
"
"
~
"
'.
..
J. HUCKABA a montré que si R est un anneau noethérien, R' sa
"
clôture intégrale, et si le nilradical de R' est de type fini, alors
l'anneau de fractions de R'[X], par rapport à la partie multiplicative
U(R') = {g
E
R'[X] / c(g) = R' } où c(g) est l'idéal de R' engendré par
les coefficients de g, est intégralement clos. Le travail que nous
nous proposons de faire ici est justement de montrer que la
réciproque du théorème précédent est fausse. Pour cela nous
utiliserons
l'anneau. K[[X,
Y]]
des
séries
formelles
à deux
indéterminées, et nous exploiterons à fond la théorie des modules
idéalisés.
Le Chapitre 1 nous sert de préambule
algébrique. Le.
Chapitre Il est consacré aux anneaux et modules noetllériens, aux
anneaux de Dedekind et à l'anneau des séries formelles. Le
Chapitre III est le chapitre clef de cette thèse; nous définissons
", .
~,
:
"".
~.
R(X) et nous montrons les résultats auxquels nous avons pu aboutir.
.
'
'.
2
"
....
CHAPITRE 1
.
.'
~.
.
PRELIMINAIRES ALGEBRIQUES ET NOTATIONS
1.1. - PROPRIETE UNIVERSELLE DE L'ANNEAU. DE
POLYNOMES A[X 1, X2 ,. •• , Xn ] ET SES ~ONSEaUENCES
,
"
....
. "",.: .
,.";
Théorème 1.1.1
'.
~
Soit <p : A ~ B un homomorphisme d'anneaux. Soient Y1,
Y2, .... , Yn E B . Alors il existe un unique homomorphisme d'anneaux:
. .
\If: A [X 1, X2,. .. , X n J~ B
.
,
",'
. tel que \If/A = <p et 't;j i E {1, 2, ... , n } , \If(X j ) = Yi.
Preuve
..
Tout élément f de A[X 1, X2,... , X n J ayant une expression
unique sous forme de somme 'finie de monômes distincts:
f
= Li
i i
a-;- X11 x~
1
.
.., x~ , l'application f ~ \If(f) =
.
bien dé'finie et \If(X j)
i
g
i
= L b-;- X11 x~ ...
-;-
J
= Yi et on a alors
..
.
L cp(a-;-) Y~ Y~,'''' YA
-
1
i
\If(f + g)
est
.
= \If(f)
+ \If(g) , si '.
.
x~ est un deuxième polynôme de A[X 1, X 2,... ,X n J.
1
vérifie aussi par un petit calcul que \If(h)
et d'une manière générale \If(a)
= \If(f)
= <p(a) si a E
De plus, tout autre homomorphisme
\If(g). On a \If(1)
.;
3
=1
A.
A[X 1, X 2,... , X n J ~ B,
coïncidant avec <p sur A et tel que Xi ~ Yi , i
coïncidera avec \If.
~.(
.. '!t.: .
= 1,
2, ... , n ,
,','
" Définition 1.1.2
Une A-algèbre B est de type fini, si elle est quotient d'un
anneau de polynômes en un nombre fini d'indéterminées à
coefficients dans A.
Définition 1.1.3
Si dans 1.1.1 A
'-7
B, c'est-à-dire A est un sous-anneau de
'.
B et <p: A ~ B est l'injection naturelle, si b1J b2 , ... , bn
est l'image de A[X 1 , X 2 , ..• , X n
':.
,.".,
"
.
par l'application f r---1 f(b 1 , b2 , ... ,
]
L-;- a-;-1 b~ b~ .... b~, on dit que l'anneau
bn ) =
B et si B
E
B. est engendré par A et
1
. les b j
.~ . '.
;
il n'existe pas de sous-anneau propre de B contenant A et
les b j •
On note alors
B
= A[b 1,
b2 , •.• , b n
]
et par la décomposition
"
',
..
,
canonique de l'application précédente (homomorphisme), B est une
A-algèbre de type fini qui contient
A comme sous-anneau. Les
éléments b 1 , b2 , .. " b~ sont dits algébriquement indépendants sur A
si B et isomorphe à A[X 1J X 2 , ... , X n
dans l'application précédente.
]
1.2 - RACINE D'UN IDEAL - NILRADICAL D'UN ANNEAU
Définition 1.2.1
Si
note
1
est un idéal de A,
.fi , l'intersection
La racine
de
1
1
* A , on appelle racine de
l, et on
des idéaux premiers de A qui contiennent 1.
est aussi l'ensemble des éléments x
lesquels il existe n E IN tel que x
n
E
E
A pour
,/.: ..
1.
Dé'finition 1.2.2
Un élément x
xn
E
A est nilpotent s'il existe n
E IN
=O. L'ensemble des éléments nilpotents d'un anneau
4
tel que
:
A est noté
.J(O) : on l'appelle nilradical de A. Un anneau réduit est un anneau
tel que (0)
= .J(O).
1.3 - PARTIES MULTIPLICATIVES
Définition 1.3.1
Une partie S d'un anneau A est dite multiplicative si 1 E S
et si le produit de deux éléments de S appartient à S.
Exemples 1.3.2
1 -
Soit
p
un idéal de A. Les assertions suivantes sont
équivalentes:
(i)
p est premier
(ii)
A\p est une partie multiplicative de A.
2 - L'ensemble des éléments réguliers (non diviseurs de zéro) d'un
anneau A es une partie multiplicative de A.
3 -
Une intersection de parties multiplicatives est une partie
multiplicative.
4 - Soit S une partie de A. L'intersection des parties multiplicatives
de A contenant
S
est la plus petite partie multiplicative de A
contenant S. Elle est l'ensemble des produits finis d'éléments de
S u {1}. On l'appelle la partie multiplicative engendrée par S.
Définition 1.3.3
Une partie multiplicative
S
de
A
est dite saturée si la
condition ss' E S (s, s' E A) implique la condition SES et s' E S.
.
/
Par exemple, soit p un idéal premier de A, la partie multiplicative
A\p est saturée; une intersection de parties multiplicatives saturées
est saturée.
Définition 1.3.4
Soit
S
une partie de
A. L'intersection des parties
multiplicatives saturées contenant S est la plus petite partie
5
'.
'.;.\'.
....
" multiplicative
saturée
contenant
S.
On
l'appelle
la
;""',
".
,'
partie
multiplicative saturée engendrée par S ou la saturation de la partie
,
".' .~.
,
:"' .
.... : -'.
multiplicative engendrée par S.
La partie multiplicative saturée engendrée par S est
.
.'
.
,'-
.... .,\..
l'ensemble {s E A / 3t E A et st ES}.
1.4 - ANNEAUX ET MODULES DE FRACTIONS
,j
:' ..~
",:'
Rappels 1.4.1
., ..
Soit S une partie multiplicative d'un anneau A, la relation
binaire définie dans A x S par:
(a, s) == (b, t), si et seulement si, il existe r E S / r(ta - sb)
une relation d'équivalence, dont on note
=0
est
S-1A l'ensemble des
classes, la classe de (a, s) étant notée a/s.
On munit S-1A d'une structure d'anneaux en posant:
ais + a'/s' = (as' + a's)/ss'
(a/s)(a'/s') = aa'/ss' .
L'anneau S-1A est appelé anneau des 'fractions de A par rapport à
S, il a pour élément unité 1/1 .
Si la partie multiplicative S contient l'élément 0, l'anneau S- 1A est
réduit à O. Dans la suite, les parties multiplicatives considérées ne
contiendront pas O.
L'application is : A ---) S-1A définie par a ~ a/1 est un
homomorphisme d'anneaux, pour tout SES, is(S}
est inversible
dans S-1 A et le couple (S-1 A , is) vérifie la propriété universelle
suivante: pour tout anneau 8 et tout homomorptlisme f : A---)8
tels que quelque soit SES, f(s) est inversible dans 8, il existe un
unique homomorphisme d'anneaux
g : S-1A---) 8 tel que: go is = f.
L'homomorphisme g est uniquement défini par:
6
...
(
=f(a) . f(sr 1.
g(a1s)
'.
Remarques et Dé-finition 1.4.2
1) L'application is n'est en général pas injective.
2) Si S es le groupe des unités de A, is est un isomorphisme de A
sur S-1A.
3) Si S est la partie multiplicative des non diviseurs de zéro dans
l'anneau
,-
,",'
".
A, is
est injective et dans ce cas l'anneau S-1A est
appelé l'anneau total des fractions de A.
4) Si l'anneau A est intègre et si S = A\(O), S-1A est un corps'
.
,,"
appelé: corps des fractions de A ; dans ce cas précis l'anneau
total des fractions de A par rapport à S = A\(0) coïncide avec le
......
corps des -fractions de A et is est injective.
Remarquons que dans les cas où is est injective, l'anneau A peutêtre plongé dans son anneau des fractions et·· on peut donc
considérer A comme sous-anneau de S-1 A.
.
.;
''\'.
Proposition et Définition 1.4.3
Soit M un A-module, S une partie multiplicative de A. Dans
l'ensemble M x S, on définit la relation d'équivalence:
(m, s) == (m', s') ~ ::3t E S 1 t(s'm - sm') = O.
On note
S-1 M
l'ensemble quotient et on désigne par mis la classe de (m, s). On
définit sur S-1M une structure de S1A-module en posant:
mis + m'Is'
=(s'm + sm')/ss'
et (a1s)(m It)
=amlst ,
où m, m'E M, s, s', tES et a E A.
L'application: J s : M
m
---7
S-1M
~m/1
est un homomorphisme de A-modules et le couple (S-1M, J s ) vérifie
la propriété universelle suivante:
7
- .
;.;'
..,
.
Si P est un S-1A-module et si M
~ P est un homomorphisme de A-
modules, il existe un unique homomorphisme de S-1 A-modules
1
S- M
9
~P
tel que f = goJ s .
Proposition 1.4.4
,',
Soit 1 un idéal de A, S une partie multiplicative de A. Alors
.....
"'l','
S-11 est l'idéal de S-1A engendré par is(l) dans S-1A et chaque idéal J
de S-1 A est de la forme S-11 où 1 est un idéal de A.
Preuve
•
.:
S-11 est un idéal, car un sous-module de S-1 A et il contient
.' ';.
,
l"
"
,
:
is(l) . Donc il contient l'idéal engendré par is(l) dans S-1 A.
'.:", '"
,.'
Soit
ais E S-11, on a : ais = 1/s . al1 élément de l'idéal de S-1 A
engendré par is(l) . Si J est un idéal de S-1A,
s
i 1(J)=
1est un idéal
.
. .' . .
. ,.>'; :
..
de A et, S-11 étant l'idéal de S-1 A engendré par is(l), on a : S-11 c J.
'"
,
L'autre inclusion est évidente.
Les résultats suivants sont utiles à connaître et. faciles à
démontrer; 1étant un idéal de A:
1) S-11 = (0) ~ 1c Ker(i s)
. t
2) S-11=S-1A~lnS,*0.
3) L'application 1 ~ S-11 est un bijection, de l'ensemble ordonné
des idéaux de A qui vérifient la condition: SES et a E A et'
saE I===> a El, sur l'ensemble ordonné des idéaux de S-1A. La
"
. \ .. : 1·~:.
"
bijection réciproque étant définie, en faisant correspondre à
chaque idéal J de S-1A, l'idéal is1(J) de A.
P ~ S-1 P est une bijection entre l'ensemble
4) L'application
ordonné des idéaux premiers P de A tells que P n S = 0 et les
idéaux premiers de S-1A , la bijection réciproque étant définie
par: P' ~ i 1(p') .
s
8
. .: t"
\'
"
/
i/:
Définition 1.4.5
On appelle radical de Jacobson d'un anneau A l'intersection
des idéaux maximaux de A; on le note: rad A.
Notons que la réunion des idéaux maximaux d'un anneau A est
l'ensemble des éléments non inversibles de A. Dans le cas où cette
réunion est un idéal, alors elle représente le radical de Jacobson de
A et elle est l'unique idéal maximal de A.
Définition 1.4.6
Soit A un anneau. A est un anneau local s'il vérifie
l'une des trois propriétés:
1) A ne possède qu'un idéal maximal;
2) A\rad A : est le groupe des éléments inversibles de A;
3) Il existe un idéal propre de A dont le complémentaire dans A
\.
est formé d'éléments inversibles.
Un corps est un anneau local.
Proposition 1.4.7 '
'.
Si P est un idéal premier de A et S = A\P , l'anneau
'
,,'
,
'
S- 1A est local d'idéal maximal S·1P. On note cet anneau Ap
: '
c'est l'anneau localisé de A en P.
1.5 - ANNEAUX FACTORIELS - ANNEAUX PRINCIPAUX
Définition 1.5.1
Un élément a, a i:- 0, d'un anneau intègre A est dit
irréductible si :
1) a n'est pas inversible dans A;
2) si a = bc, b et c
E
A, alors b ou c est inversible dans A.
Définition 1.5.2
Un anneau factoriel
lequel:
A
est un anneau intègre dans
,'
: j .: ,~
.. '.'
9
'.
.,::';. 'f
.;'
~.
.'
'.". ,
'; -':
',.
,
1) chaque élément non nul et non inversible a, est produit fini
. ,'."
d'éléments irréductibles de A;
2) si a
a
E
= P1
P2 .... Pm
= q1
.
';",
A, a =f. 0, a non inversible et si :
q2 .... qn où Pi, qj sont des éléments
,"
irréductibles de A, alors m = n et il existe une permutation cr
de {1, 2, ... , n} telle que Pi
= Ui qcr (i)
, 1 ~ i ~ n, Uj inversible
dans A.
'.: ,
;' ',;,
.,
!
.....
, ....
Théorème 1.5.3
Si l'anneau A est factoriel et si a
E
A, a =f. 0, il est équivalent
"
.
"1
de dire que a est irréductible ou que l'idéal (a) est premier.
. Preuve
Si (a) est premier alors, (a)
=f.
A, donc a
dans A. Supposons que a = bc, où b, c
Supposons b E (a) on a : b = ua, u
E
est non inversible
A, alors b ou c
E
(a).
A ; d'où a = bc = (uc)a, ce qui
entraîne puisque A est intègre 1 = uc et c = u- 1 est inversible dans
E
A. Réciproquement, supposons que a est irréductible. Soit
bc
E
(a) ; a divise bc et a irréductible donc, ou bien a divise b, ou
bien a est premier avec b auquel cas a divise c (Gauss), c'est-àdire b ou c
E
'"
.""
(a).
Dé'finition 1.5.4
Un anneau A est principal si :
1) A est intègre
2) Tout idéal de A est principal.
Les résultats suivants sont utiles à connaître:
1) Un anneau principal est factoriel, la réciproque est fausse: si K
est un corps, K[X, Y] est factoriel sans être principa.1.
2) Tout anneau de fractions d'un anneau factoriel (resp. principal)
est factoriel (resp. est principal).
10
'
" 3) Si l'anneau A est factoriel, alors A[ X1, X2,... , Xn J est factoriel;
mais A[ X1, X2,.", Xn Jn'est pas nécessairement principal si A est
principal; l'exemple de K[X, y J.
1.6 - ENTIERS ALGEBRIQUES - DEPENDANCE INTEGRALE
,
Définition 1.6.1
,',"
'.
Soit B un anneau, A un sous-anneau de B. Un élément x
est dit entier sur A, s'il
,','
est
E
B
racine d'un polynôme unitaire à
1
.'
........: .. ,
.....
coefficients dans A, c'est-à-dire s'il existe a1, a2,'''' an E A tel que:
xn + a1Xn-1 +....+ an-1 x + an = 0; une telle relation est appelée
'.:,;.,.'
,'"
;.
.. '
relation de dépendance intégrale de x sur A.
.
. Proposition 1.6.2
'.
'
.
. .. ':
,..
~,
Soit A un sous-anneau d'un anneau B ; soient X1, X2,'''' Xn E B ;
on suppose X1 entier sur A et pour 2:::; i :::; n , Xi entier sur l'anneau
"
'.';
.
...
A[x1' X2,.", Xi-1J . Alors l'anneau A[x1, X2,"" xnJ est un A-module de
type fini.
Preuve
On raisonne par récurrence sur n ; à l'aide de 1.6.1,
x~ ,
r ~ n,.
s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A de
x1 ,xf....., x~-1 , et donc A[ X1 J est un A-module de type fini engendré
par x1' xf.
xr·...,x~-1. Supposons n > 1
et que A[x1 , X2,"" Xn-1 J.
Soit un A -module de type nni, dont on notera {y; , Y2"'" Ys } un
système de générateurs. Puisque Xn est entier sur A[x1 , X2,'''' Xn-1],
donc A[ X1, X2,,,., Xn J= A[ X1, X2,"" Xn-1J[ XnJ est un A[ X1, X2,'" ,Xn-1 J.
Module de type fini. Soit {Z1' Z2,'''' ZI} un système générateur du
A[ X1' X2,"" Xn'1 ] -module A[ X1, X2,"" Xn ] •
Alors les {Yi Zj }1~i~s; 1~j~1 engendrent le A-module A[x1, X2,"" XnJqui
est donc de type fini.
11
..
,..
Proposition et Définition 1.6.3
Soit
A
un sous-anneau d'une anneau
B. L'ensemble
C
des éléments de B entiers sur A est un sous-anneau de B qui
contient A. C est la fermeture intégrale de A dans B. Si B
= C, on
dit que B est entier sur A. Si A = C, on dit que A est intégralement
fermé dans B.
Proposition 1.6.4
Soit A un sous-anneau d'un anneau B sur lequel B est
entier. Soit S une partie multiplicative de A. Alors S·l B est entier
. sur S- 1A.
Preuve
L'homomorphisme d'anneaux: S·1 A ----t S-1 B
a/s~a/s
est injectif naturellement et donc S-1 A est un sous-anneau de S·l B.
Soit bis E S-1 B, b E B, SES. On a donc: bn + a1 bn-1 +....+ an = 0 ,
ai E A. D'où (b/st + (a1/s)(b/s)n-1 +... + anls n = 0 dans S-1 B.
Proposition 1.6.5
Soit
A
un sous-anneau d'un anneau C, B la fermeture
intégrale de A dans C, S une partie multiplicative de A. Alors S-1 B
est la fermeture intégrale de S-1A dans S-1C.
En particulier, si A est intégralement fermé dans C, alors S-1 A est
intégralement fermé dans S- 1C.
.
,
~.
;.
Preuve
"
Par 1.6.4, il suffit de prouver que si cls E S-1C est entier sur
S- l A alors cls
E
S-1 B ; ce qui est facile.
12
.
'.
Définition 1.6.6
Soit K le corps des fractions d'un anneau intègre A. On
appelle clôture intégrale de A, la fermeture intégrale de A dans K.
Un anneau A est dit intégralement clos si :
1) A est intègre;
2) A coïncide avec sa clôture intégrale.
Proposition 1.6.7
Un anneau factoriel A est intégralement clos.
Preuve
Soit K le corps des fractions de A et x E K un élément
. entier sur A. Alors il existe a1, a2,"" an E A tels que
1
n
x + a1 xn- +... + an = O. Si n = 1, X E A et c'est terminé. Supposons
a
n ~ 2. Soit x = b/d, b, d E A, b, d "* tels que p.g.c.d. (b, d) = 1.
Alors Ab n Ad = Abd et bn = -d(a1 bn-1 +... + an dn-1) ; donc d = 1 et
xEA.
Proposition 1.6.8
Soit
A
un anneau intègre, les conditions suivantes sont
équivalentes:
(i)
l'anneau A est intégralement clos;
(ii)
pour tout idéal premier P de A, l'anneau local Ap est
intégralement clos.
Preuve
(i)
~
(ii) par 1.6.5
(ii)
~
(i) utilise Lemmes 2.5 et 2.6 M.P. Malliavin page 49.
Théorème 1.6.9
Soit A un anneau intègre. A est intégralement clos, si et
seulement si l'anneau de polynômes A[ X] est intégralement clos.
13
Preuve
Supposons
A[ X]
est intégralement clos. Alors
A
est
intègre et son corps de fractions K est contenu dans celui H de
A[ X ]. On voit que A
Soit x
E
=A[X] n
K. Puisque A c A[ X ], on a : K c H.
K un élément entier sur A, donc x est à fortiori entier sur
A[ X ] et par suite x
E
A[ X ] n K = A.
Pour la réciproque voir M.P. Malliavin - Théorème 3.12, page 62.
1.6.10- Schéma récapitulatif pour les anneaux intègres
~
S"l A principal
• A principal . / -
~~.lA factoriel
'- _
~
-lA intégralement clos,VS
A factoriel ~[XJ factoriel
A p intégralement clos,
~ A intégralement clos
Vp
E
Spect(A)
[X] intégralement clos
1.7 - DIMENSION D'UN ANNEAU-HAUTEUR D'UN IDEAL
PREMIER
Définition 1.7.1
Soit
A
un anneau.
On appelle longueur de la chaîne
suivante d'idéaux premiers de
nombre
A:
Po c P1
C
.... C
Pd
C
A
le
d. La dimension (de Krull) de A est définie comme le
suprémum (éventuellement infini) des longueurs de ses chaînes
d'idéaux premiers. Dire qu'un anneau est de dimension 0 revient
donc à dire que les idéaux premiers sont maximaux: tel est le cas
des corps. Un anneau principal qui n'est pas un corps est de
dimension 1.
14
Définition 1.7.2
Si
P
est un idéal premier d'un anneau
A
on appelle:
hauteur de P (en notation ht P) la dimension (finie ou infinie) de
l'anneau localisé Ap
.
La hauteur de P est aussi le supremum des
longueurs des chaînes d'idéaux premiers de A se terminant en P :
Po cP 1 C .... CP d =P.
1.8 - EXTENSIONS DE CORPS
Définition 1.8.1
Soit K un corps; une extension de K est un couple (L, i)
formé d'un corps L et d'un homomorphisme d'anneaux (nécessaire. ment injectif) i: K -------7 L . Par exemple, si K est un sous-corps du
corps L, L est une extension de K et on peut toujours se ramener
à ce cas en identifiant K à son image par i.
Soit L un corps et K un sous-corps de L. Soit bEL. Soit 8
l'unique homomorphisme de K-algèbres défini sur K[X] anneau de
polynômes en une indéterminée sur
K, à valeurs dans le sous-
anneau K[b] de L engendré par K et b
1
défini par :8(x) = b et
8(a) = a si a E K. Deux cas se présentent:
1) Il existe un polynôme non nul f E K[X] tel que 8(f) = f(b) = O.
Alors il existe un polynôme irréductible 9 E K[X] tel que g(b) = 0 ;
si on impose à 9 d'être unitaire, ce polynôme est alors unique,
car c'est le générateur unitaire de l'idéal principal
'*
(0) de K[X]
formé des h E K[X] tels que 8(h) = h(b) = O.
Dans le cas 1), l'élément bEL est dit algébrique sur K et le
polynôme unitaire 9 est appelé polynôme minimal de b sur K.
L'anneau K[b]
est un corps, puisque quotient de K[X] par l'idéal
maximal (g), contenant évidemment· K comme sous-corps; c'est
donc une extension de K. On rappelle que (g) est maximal puisqu'il
15
est premier car 9 est irréductible etqu'un anneau factoriel qui n'est
pas un corps est principal si et seulement si les idéaux premiers non
nuls sont maximaux.
Réciproquement, à partir d'un polynôme irréductibles 9 de K[X] on
construit une extension de K de la manière suivante; puisque 9
est irréductible, l'idéal
K[X]/(g)
(g)
de K[X] est maximal; donc l'anneau
= H est un corps et c'est une extension de
la restriction à K de la surjection canonique: K[X]
K au moyen de
~
K[X]/(g) ; en
tant qu'espace vectoriel sur K, H est de dimension égale au dégré
de g: en effet, par la division euclidienne dans K[X], une base de
. H sur K est formée des classes modulo (g) de 1, X, ... , X n-1 si n
=
deg g.
2) Pour tout polynôme f non nul de K[X] on a : 8(f)
ce
cas,
on
dit
que
b
est
transcendant
= f(b) :;t0.
Dans
sur
Alors
K.
l'homomorphisme d'anneaux 8 est un isomorphisme qui se
prolonge
en
un
homomorphisme du
corps
des fractions
rationnelles K(X) dans L et a pour image dans L le corps des
fractions de J'anneau K[b]. Si y ELon notera K(y) le plus petit
sous-corps de L contenant K et y; c'est aussi le corps des
fractions de l'anneau K[y].
Une extension de K du type K(y) est dite monogène ou
simple. On a donc vu dans le cas 1), K[b]
= K(b)
et dans le cas 2),
K(b) est isomorphe à K(X).
Une extension L de K est dite algébrique si tous les éléments
de L sont algébriques sur K. Elle est dite transcendante si non,
c'est-à-dire s'il existe au moins un élément de L qui n'est pas
algébrique sur K. Donc dire que L est algébrique sur K, c'est-à-dire
que l'anneau
L est entier sur K. De ceci et de 1.6 résulte les
résultats suivants:
16
Proposition 1.8.2
Soit L un corps, K un sous-corps de L; l'ensemble des
éléments de L algébriques sur K est un sous-corps K de L qui
contient K et K est algébrique sur K et est appelé la fermeture
algébrique de K dans L. Lorsque
K=K
, K est dit algébriquement
fermé dans L.
Proposition 1.8.3
Soit L un corps, K un sous-corps de L. Les deux conditions
suivantes sont équivalentes:
(i)
L est algébrique sur K
(ii)
Quels que soient
K[xl,
X2,''''
X1, X2,""
xn] de
L
Xn E
L,
le sous-anneau
est, en tant que K-espace
vectoriel, de dimension finie.
Définition 1.8.4
Une extension L de K est de degré finie si en tant qu'espace
vectoriel sur
K, la dimension de L, notée [L : K ] est finie. Le
degré de l'extension L de K est alors par définition [L : K].
Une extension de degré finie de K est algébrique sur K
d'après proposition 1.8.3.
Une extension algébrique monogène K[b] = K(b) de K est de
degré fini sur
K, son degré étant égal au degré du polynôme
minimal de b sur K et ce degré est aussi appelé le degré de b sur K.
1.9 - IDEAUX DE A[X]
Proposition 1.9.1.
Soit
C
un anneau,
1 un idéal de C, I[X] l'anneau des
polynômes à coefficients dans 1. Alors I[X] est un idéal de C[X] et la
réduction modulo
1 des coefficients fournit un isomorphisme
d'anneaux: C[X] / I[X]
~
(C/I)[X] ; donc, si 1 est premier, I[X] est un
17
idéal premier de C[X]. De plus si
1~
J sont deux idéaux de C, alors
on a:
I[X] ~ J[X]
Preuve
Evidemment I[X] est un idéal de C[X]. Soit <p : C[X]
~(C/I)[X]
l'homomorphisme surjectif de réduction modulo 1. Vérifions que Ker
cp
= I[X].
On a évidemment I[X] c Ker cp .
Soit a o + a1 X +... + an Xn E Ker <p. Alors:
. dans (C/I)[X] ; d'où
ai
E
1
pour i
= 0,
8a + ~
X +...+ 8n xn est nul
1, ... , n .Si l'idéal
1
est
premier, l'anneau Cil et par suite l'anneau (C/I)[X] est intègre; mais
la décomposition canonique de <p donne: C[X] II[X] ~ (C/I)[X] et
donc C[X] 1 I[X] est intègre et par suite I[X] est un idéal premier de
1c
C[X] . Si pour deux idéaux emboîtés:
J de C, on a : I[X]
un élément a E J s'écrira: a = bo + b 1 X +... + bn Xn , b j El;
n
d'où 0 = -a + bo + b 1X +... + bnX , a = bo , bj = 0 pour i ~ 1.
Donc a E
1 et 1
=J[X],
= J.
Corollaire 1.9.2
Soit K un corps et X 1, X2 ,
les idéaux suivants de K [X 1, X2 ,
(0), (X 1), (X 1, X2 ),
... ,
(X 1, X2 , Xi),
,X n n indéterminées sur K, alors
,
Xn] :
, (X 1, X2 ,
... ,X n
fsont emboîtés,
deux à deux distincts et sont premiers.
Preuve
Il est clair que l'on a :
(0) c (X 1) c ....
~t
C
(X 1 , ... , XI)
C ... C
(X 1 , X 2 ,
.... ,
Xn )
cette chaîne est strictement croissante, ce que l'on vérifie
facilement par des considérations de degrés. D'autre part,
18
(X 1,X 2, ... ,X n
)
est un idéal maximal de
K[X 1, X 2, .... , X n
],
donc
premier. Il suffit d'appliquer 1.9.1. et une récurrence facile sur n - i,
pour conclure que l'idéal engendré par X 1,. .. , Xi dans K[X 1 ,X 2,.. , X n ],
identifié à: K[X 1,... , Xi] [X i+1, ... , X n
],
est premier.
Théorème 1.9.3.
Soit K un corps. Alors la dimension de l'anneau de
polynômes K[X 1,... , X n
]
est égale à n, c'est à dire au degré de
transcendance sur K, du corps K(X 1,... , X n
l'idéal premier de K[X 1,... , X n
).
Et, pour i
engendré par
]
= 1, 2,
X 1, ... , Xi
... , n,
est de
hauteur i.
. Preuve: M.P. Malliavin, page 67, Th. 5.4, Corollaire 5.5.
1.10. Somme de sous - modules - Module Produit
Définition 1.10.1.
Soit K un anneau et L un K - module.
Soient M 1, M2, ... , Mp des sous - modules de L.
L'ensemble P des
que z
= X1
Z
E L tels qu'il existe X1 E M 1, ... , XpE Mp tels
+ X2 + ... + xp est le plus petit sous-module de L contenant
p
M1, M2, ... , Mp. C'est le sous - module de L engendré par
U M ; on
1
l'appelle: somme des sous - modules Mi. On note P
= M1+ ... +Mp.!.
Définition 1.10.2
Soient
M 1, ... , Mp
des K - modules, sa~s les supposer
obligatoirement contenus dans un même module. Construire un
module qui les contient tous à un isomorphisme près. Considérons
l'ensemble produit
L = M1
X
M2
X ...
x Mp formé des familles
(X1,X2""'Xp) avec Xi E Mi. Définir sur L un structure de K - modules
en posant:
(X1"" ,xp) + (Y1'''' ,Yp) = (X1 + Y1,'" ,xp + Yp) et À(X1"" ,xp)=( ÀX1'"'' ÀXp).
Lorsque M 1 =....
= Mp = K, on trouve le module KP. On dit que
19
M1 x ... x Mp = L muni de la structure de module est le produit direct
des modules Mi.
Remarquer que
Ui:
Mi --> M1x ... xM p défini par
XH (0, ... ,0 ,x ,0, ... , 0), x à la iième position est un homomorphisme
injectif de K - modules qui permet d'identifier Mi à son image; ce
qui prouve que le produit direct peut être considéré comme somme
de sous - modules de ce même produit direct.
Définition 1.10.3 - Somme directe de sous - modules.
Reprenons des sous-modules M 1, M2 , ... , Mp d'un K-module L.
Considérons l'application f: M 1 x ... x Mp --> L donnée par f(x1,
. X2, ... , xp) = X1 + X2 + ... + xp .
Il est facile de voir que f est un homomorphisme de K - modules et
Imf = M1 + M2 + ... + Mp .
M1, M2, ... , Mp sont linéairement indépendants, si et seulement si, f
est injectif; c'est à dire tout x E M1 + ... + Mp s'écrit d'une seule
façon sous la forme x
dire que Kerf
Xi E
Mi => X1
= X1
+ ... + xp avec Xi
E
Mi ; ce qui revient à
= (0), autrement dit que les relations X1 + X2+"'+ xp=0,
=... = Xp = O.
Définition 1.10.4.
Lorsque des sous - modules MlI
... ,
Mp d'un module L sont
linéairement indépendants, on dit que M1 + ... + Mp est la somme
directe des sous - modules donnés. On désigne cette somme
directe par la notation: M1 œ...œMp •
Remarquons que si M et N sont deux sous- modules d'un module
L, M et N sont linéairement indépendants si et seulement si
Mn N=(O).
20
Remarquons aussi que l'application
est un isomorphisme du module M1x ... x Mp sur le module
M1EB ... EBM p
•
21
CHAPITRE Il
ANNEAUX ET MODULES NOETHERIENS
ANNEAUX DE DEDEKIND
ANNEAU DES SERIES FORMELLES
Il.1 - MODULES NOETHERIENS
Définition 11.1.1
Soient A un anneau, M un A-module; M est noethérien si
chaque sous-module de M est de type fini.
Lemme 11.1.2
Soient U un A-module, V un sous-module de U. Si V et
UI V
sont de type fini, alors U est de type fini.
Preuve
V de type "fini, donc
V = <V1, V2,"" Vn> le sous-module
engendré par la famille finie (V1, V2, ... , vn). Soit (U1, U2 ,... , up) une
famille finie d'éléments de U dont les classes modulo V engendrent
UI V, c'est-à-dire U/V = <u" u2,· .. , Up >.
XE U
=}3(Oi)~1E
3(~')~=1
JJ
E
AP tel que x= fOi
An tel que x -
et par suite U
= <U1,
G donc
/=1
f
i=1
0'1 U'
I
=
~1V1 + ~2V2+"'+ ~nVn
U2, ... , uP' V1,V2 ... , Vn> et donc U est un A-
module de type 'fini.
Théorème 11.1.3
Soient A un anneau, M un A-module, N un sous-module de
M. Alors M est noethérien si et seulement si N et MIN le sont.
22
Preuve
Si M est noethérien, tout sous-module de N est un sousmodule de M, c'est donc un module de type fini. Et tout sous-module
de MIN est l'image par l'homomorphisme canonique (M
~M/N)
d'un sous-module de M, c'est donc un module de type fini.
Réciproquement, supposons N et MIN noethériens.
Soit U un sous-module de M. Alors U n N est un sous-module de
N, c'est donc un module de type fini. .
D'autre part U/(U n N) :::: (U + N)/N est un sous-module de MIN,
c'est donc un module de type fini. Il résulte du lemme 11.1.2 que U
. est de type fini.
Corollaire Il.1.4
Toute somme directe finie de modules noethériens est
noethérien .
Preuve
Par récurrence sur le nombre de termes de la somme directe,
on se ramène au cas où M
= M1
EB M2 , où M 1
et
M2 sont
noethériens.
On sait que
M2
est isomorphe à M/M 1 par la décomposition
canonique de la projection sur M2 . Alors, comme M1 et M/M 1 sont
noethériens, donc M est noethérien d'après le théorème Il.1.3.
Théorème 11.1.5
Soit
M
un A-module; les conditions suivantes sont
équivalentes:
(i)
M est noethérien ;
(ii)
Toute suite croissante de sous-modules de M, soit
N1 c N2
C ...
c Nn c... est stationnaire, c'est-à-dire, il
existe un indice no tel que Nn = Nn si n
o
23
~
no ;
(iii)
toute famille non vide de sous-modules de M possède
un élément maximal (pour rinclusion).
Preuve
(i)
~
(ii) Supposons M noethérien et soit: N1 c N2 c ... c Nn c ...
une suite croissante de sous-modules de M. Alors N=
UN. est
'>1
1-
1
un sous-module de M. Par hypothèse N possède un système
de générateurs fini, soit { X1, X2, ... , Xt}. Il existe alors no tel
que
(ii)
~
Xi E l'J
no
si i = 1, 2, ... , t ; d'où N = N
no
= Nn pour n ~ no.
(iii) Soit 3 une famille non. vide de sous-modules de M.
Soit N1 un élément de 3 ; si N1 n'est pas maximal dans 3, il
existe N2
E
3 tel que N1
~
N2 ; de proche en proche on obtient
ainsi une suite strictement croissante N1 ~ N2
~ ... ~
Np qui,
d'après (ii) est stationnaire, d'où l'existence d'un élément
maximal dans 3 .
(iii)
~(i)
Soit N sous-module de M. Il s'agit de prouver que N
est de type fini. Pour cela considérons la famille 3 de sousmodules de type fini de N. Elle n'est pas vide car (0)
E
3.
D'après (iii) 3 possède un élément maximal No. Il suffit de
vérifier que N = No. Si tel n'était pas le cas, on pourrait trouver
x E N, x e No et No + Ax seraitun élément de 3 contenant No
strictement, ce qui contredit l'hypothèse No maximal.
11.2 - ANNEAUX NOETHERIENS
Définition Il.2.1
Un anneau A est noethérien si chaque idéal de A est de
type nni, c'est-à-dire si A considéré comme module sur lui-même
est un module noethérien. D'après Théorème 11.1.5, il revient au
même de dire que A est noethérien, ou que toute famille non vide
24
d'idéaux de
A possède un élément maximal ou que toute suite
croissante d'idéaux de A est stationnaire.
Exemples
Tout anneau principal est noethérien car tous ces idéaux sont
principaux, c'est-à-dire chacun d'eux est engendré par un seul
élément de A. Et donc tout corps est un anneau noethérien car ses
deux idéaux sont principaux.
Proposition 11.2.2
Sur un anneau A noethérien, tout A-module
M de type fini
est noethérien. Et réciproquement, si tout A-module M de type fini
.est noethérien alors l'anneau A est noethérien.
Preuve
Soit M un A-module de type 'fini et {Xh X2,"" xn} un système
de générateurs de M. Soit L un A-module libre de rang n et de
base {e1, e2,"" en}' Soit f : L ~ M l'homomorphisme, évidemment
surjectif, défini par f(a1e1 + a2e2 +... + ane n) = a1X1 + a2X2 +... + anxn .
Alors M : : : UKer f . Par 11.1.4
11.1.3
M
L est un module noethérien et par
est un module noethérien. Réciproquement, si tout
A-module de type 'fini est noethérien, le module A lui-même est
noethérien.
Proposition 11.2.3
Si A est un anneau noethérien, alors tout anneau quotient
Ail et tout anneau de fractions S-1 A sont noethériens.
Preuve
En effet, les idéaux de Ail sont de la forme JII où J est un
idéal de A qui contient 1. Si J est de type fini engendré par
{j1, j2"'" jn} ,alors J/I est de type fini engendré par {11' 12"", ln }.
Les idéaux de S-1 A sont de la forme S- 11 où 1 est un idéal de A. Si 1
1
est de type fini engendré par {i 1, i2,... , in}, alors S- 1 est de type fini
25
engendré par is ({i 1, i2, ... , in}) dans S- 1A où is : A
S- 1A est
---7
l'homomorphisme d'anneaux tel que is(a) = a11.
Proposition Il.2.4
Le nilradical d'un anneau noethérien A est nilpotent.
Preuve
Soit {X1, X2,"" xn} un système de générateurs de .J{O) , donc
X1, X2,.", Xn sont
nilpotents dans A et il existe un entier, q tel que:
x~ = 0, pour i = 1, 2, ... , n. On montre facilement que
11.3
-
ANNEAUX
DE
POLYNÔMES
SUR
(.J{O) )n q = (0).
UN
ANNEAU
NOETHERIEN
Définition et Notation 11.3.1
Soit
A un anneau. Si
est un idéal de l'anneau de
polynômes A[X], on désigne par dn(l) le sous-ensemble de A formé
de 0 et des coefficients dominants des polynômes de degré n qui
appartiennent à 1.
Lemme 11.3.2
Pour n ~ 0, dn(l) est un idéal deA.
Preuve
Soient a, b E dn(l) ; si a + b = 0 ou si a
=0 ou b =0 il est clair
que a + b E dn(l). On peut donc supposer a + b
existe donc f, gEl, deg f
= deg 9 = n,
::j;
0, b
::j;
0, a ::j; O. Il
ayant a et b, respectivement
pour coefficient dominant.
Puisque a + b
::j;
0, deg(f + g)
=n
et a + b est coefficient dominant
de f + g. Donc a + b E dn(l) puisque f + gEl. D'autre part, soient
peut donc supposer ab
::j;
0 d'où nécessairement
26
a::j;
0 et, par
suite, il existe f E l, deg f
= n, et
a est coefficient dominant de f.
Puisque bf E 1 et ba ::j:. 0, le polynôme bf est de degré n et ba est
sont coefficient dominant; d'où ab E dn(l).
Lemme Il.3.3
Si 1 est un idéal de l'anneau A[X], on a, pour tout entier n ~O,
les inclusions: dn(l) c dn+ 1(1).
Preuve
Soit a E dn (1) ; il faut montrer que a Edn+ 1(1). On peut
évidemment supposer
a::j:. O. Soit alors
f E l, deg f = n, un
polynôme à coefficient dominant a. Puisque 1 est un idéal de A[X],
on a fX E l, deg(fX) = n + 1 et a est le coefficient dominant de Xf.
Donc a E dn+ 1 (1).
Lemme 11.3.4
Soient 1 et J deux idéaux de A[X]; si 1c J, alors on a, pour
tout n ~ 0, dn(l) c dn(J).
Preuve
C'est évident, car 1c J => I[X] c ..I[X].
Lemme Il.3.5
Soient 1 et J deux idéaux de l'anneau A[X] tels que 1c J.
Si pour tout n ~ 0, on a dn(l) = dn(J) alors 1= J.
Preuve
Soit f E J ; il s'agit de vérifier que f El; on peut évidemment
supposer f::j:. O. Si deg f = 0, f est une constante et f E do(l) = do(J) ;
donc f ELOn procède ensuite par récurrence sur le degré.
Supposons
deg f
=m
~
1, et supposons démontré que tout
polynôme de J de degré
~
m - 1, appartient à 1. Soit a le coefficient
dominant de f; alors a
E
dm(J) = dm(l). Il existe donc un polynôme
27
gEl, deg
9 =m, ayant a pour coefficient dominant. Puisque 1 c J,
on agE J et, puisque f E J , on a : f - 9 E J.
D'autre part deg(f - g) ~ m - 1, puisque fet 9 ont même coefficient
dominant. Donc, par l'hypothèse de récurrence f - gEl.
Comme gEl, on a f
= (f -
g) + gEl.
Théorème 11.3.6
Si l'anneau
A
est noethérien, alors l'anneau
A[X] est
noethérien.
Preuve
La démonstration du théorème 11.3.6 s'appuie sur les lemmes·
Il.3.2 et Il.3.5.
Soit
10
c 11 C
c ... c ln c... une suite croissante d'idéaux de
12
A[X]. Il s'agit de prouver qu'elle est stationnaire sachant que A est
noethérien.
Considérons le tableau suivant d'idéaux de A :
do(lo) c d o(l1) c ...... c do(ln) c ......
n
n
n
d 1(1o) c d 1(1 1) c ...... c d 1(1n) c ......
n
n
n
(V)
n
n
n
dp(l o) c dp(1 1) c ...... c dp(ln) c ......
n
n
n
28
Puisque l'anneau A est noethérien, il existe un élément maximal,
soit dp(l q)" dans la famille 1) ; cela signifie que dp(l q ) n'est contenu
strictement dans aucun dj(lj). D'autre part, toujours puisque A est
noethérien, la première ligne du tableau 1) est stationnaire à partir
d'un indice jo, la seconde à partir d'un indice
d'un indice jp., . Posons m
h, ... , la p-ième à
= sUPUo, j" ... , jp." q}.
partir
Nous allons vérifier
que l'on a : ds(ln) = ds(lm), pour tout s , si n ~ m ; il en résultera alors,
d'après 11.3.5, que ln = lm
pour
n
~
m et le théorème sera
démontré. D'après le choix des indices
j"
h,· .. , jp-,
=do(lm+') =
d,(l m) =d,(l m+,) =
on a: do(lm)
dp_,(l m)
=do(ln)
=d,(l n)
= dp-,(Im+,) = ...... = dp-,(In)
Donc l'assertion "d s(ln) = ds(lm) pour n ~ mil est véri'fiée si s ~ p-1.
Supposons p ~ s. On a par 11.3.3 et 11.3.4 :
dp(l q)
C
dp(l m) c ds(lm) c ds(ln) ;
du caractère maximal de dp(l q ) résultent les égalités:
dp(l q)
= ds(lm) = ds(ln).
Corollaire 11.3.7
Si l'anneau
A est noethérien (en particulier si
A
est un
corps ou si A = Z), l'anneau A[X" X 2 , ... , X n] est noethérien.
Preuve
On applique 11.3.6 à A[X" X 2 ,. .. , Xn-,][X n] en raisonnant par
récurrence sur n.
Corollaire 11.3.8
Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien est un
anneau noetl1ériem.
29
Preuve
Une algèbre de type fini sur un anneau A est un quotient
d'un anneau de polynômes A[X" X2,. .. , Xn]. 1/ suffit d'appliquer 11.3.7
et 11.2.3.
Proposition 11.3.9
Un anneau noethérien intègre et qui n'est pas un corps est
factoriel si et seulement si tout élément irréductible engendre un
idéal premier.
Preuve
Il est déjà dans la définition d'un anneau factoriel que tout
élément irréductible y engendre un idéal premier. 1/ suffit donc de
prouver que si A est un anneau noethérien intègre dont tout élément
irréductible engendre un idéal premier, alors tout élément a non nul
et non inversible peut se décomposer en un produit fini d'éléments
irréductibles; mais ceci résulte du fait que toute chaîne d'idéaux
emboîtés qui contiennent
a est stationnaire. En effet, si a
n'admettait pas une décomposition finie comme produit d'éléments
irréductibles, on pourrait écrire: a = b,a" a, et b, non inversibles et
a, véri"fierait la même propriété que a ; d'où a,= b2a2, a2 et b2 non
inversibles etc... , on construit ainsi une chaîne infinie d'idéaux
principaux: (a) ~ (a,) ~ (a2) ~ ... ,
11.4 - ANNEAUX DE DEDEKIND
Définition Il.4.1
Un anneau de Dedekind A est un anneau noethérien, intègre,
intégralement clos, de dimension ::; 1 .(c'est-à-dire que tout idéal
premier non nul est maximal),
Exemple Il.4.2
Un anneau principal est un anneau de Dedekind,
30
. Preuve
• A factoriel => A intégra.lement clos
A principal
=::}
•
A intègre
• A noethérien (car tout idéal est de type fini)
On sait en plus qu'un anneau factoriel qui n'est pas un corps est
principal, si et seulement si, les idéaux premiers non nuls sont
maximaux, et qu'un corps ne possède qu'un seul idéal premier qui
est (0) ; par suite dim A ~ 1 si A est principal.
Théorème Il.4.3 : (Krull - Akizuki)
Soient A un anneau intègre noethérien de dimension 1, K
. son corps de fractions, L une extension de dègré fini de K et B un
sous-anneau de L contient A . Alors B est noethérien de dimension
1 et pour tout idéal 1 *- (0) de B, le A-module B/I est de longueur finie
et, par suite, de type fini.
Preuve: (M.P. Malliavin - Théorème 6.6 Page 134).
Corollaire 11.4.4
La fermeture intégrale de
A dans
L est un anneau de
Dedekind. En particulier la fermeture intégrale d'un anneau de
Dedekind dans une extension de degré· fini de son corps de
fractions est un anneau de Dedekind.
Preuve: (M.P. Malliavin - Corollaire 6.7 Page 134).
11.5 - ANNEAU DES SERIES FORMELLES
Introduction 11.5.1
Soient A un anneau X1 , X2 , ... , X n n indéterminées sur A.
Considérons les suites (fi)iEIN où chaque fi, s'il n'est pas nul, est un
polynôme homogène de degré i en X 1 , X2 , ••• , X n à coefficients
dans A.
Dans l'ensemble de ces suites on dé'finit les opérations:
31
où
=
hn
~ fi Qj' n
= 0,
1, 2, .... Ces opérations définissent sur
I,j
i+j=n
l'ensemble des suites infinies précédentes une structure d'anneau
commutatif qui contient A[X 1 , X2 , ... , X n] comme sous-anneau.
L'anneau ainsi obtenu sera noté A[[X 1 , X2 , ... , Xn]].
Définition 11.5.2
Un élément de l'anneau A[[X 1 , X2 , ... , X n]]. est appelé une
série formelle à coefficients dans A.
Notation Il.5.3
00
L fi
On notera
la série formelle (fj)iEIN , cette notation justifie
i=O
le fait que, par exemple, le polynôme X 3 + X2 + 1 est la série
formelle: 1, 0, X2 , X3 , 0, ... , 0, .....
Dé'finition Il.5.4
Soit f
= (fi)iEIN
un élément de l'anneau A[[X 1 , X2 , ... , X n]]. Si f *0
on appelle ordre de f, en notation 8(f), le plus entier i pour lequel
1
fi * O. On pose; 8(0)
=+
00.
Proposition Il.5.5
Si f et g E A[[X 1 , X2 , ... , Xn]], on a :
1) 8(f + g) ~ inf(8(f), 8(g))
= 8(f) + 8(g) si fg * 0
3) 8(X = 1 pour i = 1, 2, ... , n
4) Soit f = (fj)jEIN ; on a 8(f) ~ 1 si et seulement si
2) 8(fg)
j)
fo
= O.
Preuve
Ces propriétés résultent immédiatement des définitions.
32
Proposition 11.5.6
Soit f E A[[X 1, X2,... , Xn]], f #- 0 et soit.7 l'idéal de
A[[X 1, X2,... , X n]] engendré par X 11 X 2l ... , Xn •
Les conditions suivantes sont équivalentes:
(1 ) f E .7 q , f Il .7 q+ 1 ;
(2) 8(f)
=q .
Preuve
Evidemment.7 q est l'idéal deA[[X 11X2l ... , Xn]] engendré
par les monômes de degré q en X 1, X2,... , X n . Si f E .7 q , alors f
est une combinaison linéaire finie à coefficients dans
~
Il résulte de 11.5.5 1) que 8(f)
f
= (ft.
ft+1,... ) où ft #- 0 , t
~
q. Supposons que 8(f)
s, et les fi
~
s, alors
sont, soit nuls, soit des
polynômes homogènes en X 1, X2,... ,Xn de degré i. Le polynôme ft
est somme finie de monômes de degré t en X 1, X2,... ,X n ; en faisant
apparaître chacun de ces monômes X~1 X~2 ...
xg
n
,
a1+a2+ ... + a n= t,
comme facteur d'un monôme de fil i ~ t, avec peut-être un coefficient
nul, on construit des suites
u(i) = (ug),
u~i),..., u~), ...)
,
i = 1, 2, ... , N , où
N est le nombre de monômes de degré t en X 11 X2,; .. ,X n ,de sorte
que f
= u(1) x1t +...+ u(8) X101
02
X2'"
xnOn +...+ u
(N)n
xt ' 0 one f Ei
. t
. 0 n vIen
alors de montrer que f E.7 s(f).
Comme JrA. -::J.7 q+1 -::J.7 q+2 -::J .... -::J.7 q+p -::J .. "'1 a1ors on a q -< 8(f) < q+ 1
33
Réciproquement, 8(f)
=q
~ f E:J q et f E:J q+1, car si f appartenait
à:J q+1 on aurait 8(f) ~ q + 1 ce qui est contradictoire avec 8(f)
= q.
Corollaire 11.5.7
n:J n
On a
=(0).
n~O
Preuve
f E n :J n ~ Vn ~ 0, f E:J n et donc 8(f) est supérieur ou égal
n~O
à tout n ~ 0 et donc 8(f) = +
00,
par suite f = O.
Proposition 11.5.8
On a A[[X 1, X 2,... , X n]] = A[[X 1, X 2,... , X n- 1]] [[X n]] si n ~ 2.
Preuve
Soit f
= fo +
f 1 + ... + fn + .... ; écrivons chaque polynôme fi
suivant les puissances décroissantes de X n
:
i1
. -- g(i)
Xin + g(i)
f1
0
1 Xn- +...+ g(i)
i .
Alors s'il n'est pas nul,
en X 1, X 2,
A[[X 1, X 2,
gJi) est un
polynôme homogène de degré
, X n-1 . On définit les séries formelles de
, X n]]
:
go = fo + g~1) +...+ g~n)+
g1
.
= g&1) + g~2) +...+ g~~ +
.
etc ... et on a : f = go + g1 X n + g2 x~ +.... cette écriture de la série f
est bien dans A[[X 1, X 2,... , X n-1]] [[X n]]
.
Théorème Il.5.9
Si A est intègre, l'anneau A[[X 1, X 2,. .. , X n ]] est intègre.
Preuve
D'après 11.5.8, il suffit de vérifier que A[[X]] est intègre. Soient
f, g E A[[X]] ,f, g:;t O.
Soient p = 8(f), q = 8(g). Alors f = f p + f P+1 + .... ,
34
fp = a XP , a E A , a "* 0 , 9 = gq + gq+1 + .... "
gq = b xq , b E A , b "* 0 .
Donc ab"* 0 et fg = fp gq +.... , donc 8(fg) = p+ q et fg "* O.
Définition 11.5.10
Si
K est un corps, on note K((X 1, X2,... , Xn)) le corps de
fractions de K[[X 1, X2,... , Xn ]]
•
Théorème 11.5.11
00
Une série formelle f
= I. fi
et telle que fa est inversible dans
i=O
A est inversible dans A[[X 1, X2,... , Xn ]]
.
. Preuve
Par Il.5.8, il suffit d'étudier le cas où n = 1 ; on a alors
2
m
f = aa + a1 X + a2 X + ... + am X +..... Pour construire l'inverse de f,
il suffit de déterminer de proche en proche les coefficients de la
m
2
série: 9 = a~ + b 1 X + b2 X + .... + b m X + ..... telle que
gf
= 1 + (aë1 a1 + aa b1) X + (aa b2 + a1 b1 + a2
2
a~) X + .....
Un calcul facile donne:
b1 = aë2 a1 , b2 = - a~ (a1 b 1 + a~ a2), etc ...
Proposition 11.5.12
Si A est un anneau local, l'anneau A[[X 1, X2,... , Xn ]] est
local et son idéal maximal est engendré par celui de A et par les Xi ,
iE
{
1, 2, ... , n } .
Preuve
Si
rad A
=m
l'unique idéal maximal de
A, une série f
inversible ne peut pas appartenir à l'idéal (m, X1, X2" .. , Xn)
engendré par m et les Xi d'après 11.5.11. Et réciproquement, si f
35
est non inversible alors fo
E
m car A \ m est le groupe des unités de
A , et donc
fo
E
(m, X 1 , X 2
X n). Donc l'idéal (m, X 1 , X 2 , ... , X n) est l'ensemble
, ... ,
des séries non inversibles de A[[X 1 , X 2 , ••• , X n ]], et par suite il est la
réunion des idéaux maximaux de A[[X 1 , X 2 , ... , X n]] ; et puisque c'est
un idéal qui représente la réunion de tous les idéaux maximaux de
A[[X 1 , X2 , ... , Xn]], il est l'unique idéal maximal de A[[X 1 ,X 2 , ... , Xn]J.
Corollaire Il.5.13
Si K est un corps, l'anneau K[[X 1 , X 2 ,. •• , Xn]] est un anneau
local d'idéal maximal (X 1 , X2 , ... , X n).
Preuve
Immédiate par la proposition 11.5.12.
Remarquer que le résultat de 11.5.13 n'est pas vrai pour l'anneau de
polynômes K[X 1, X 2 , •.• , X n ] . En effet, les idéaux (X 1 , X2 ,
(X r 1,X2 , ... ,X n) sont tous les deux maximaux dans K[X 1 ,X 2 ,
,
X n) et
,X n] et
en plus ils sont distincts.
Ce qui veut dire que K[X 1 , X 2 , ... , X n ] n'est pas un anneau local.
Proposition 11.5.14
Si l'anneau A est noethérien (resp. intégralement clos), il en
est de même de l'anneau des sériesformelles A[[X 1 , X 2 , ... , X n]] .
Preuve
Voir M. P. Malliavin, page 156, proposition 5.14.
Notons que si f
f
E
K[[X 1 , X 2 , ... , X n]] , on peut écrire:
= f(X 1 , X2 , ... , Xn).
Théorème 11.5.15
Soit K un corps; l'anneau local intègre noethérien
K[[X 1, X2 , ... , Xn]] est factoriel.
36
Preuve
Voir M.P. Malliavin, page 159, Théorème 6.5.
Remarquons que la factorialité ne se comporte pas bien par
passage aux séries formelles, c'est-à-dire qu'on peut'>trouver des
exemples d'anneaux factoriels tels que A[[X]] ne soit pas factoriel.
37
CHAPITRE III
CLOTURE INTEGRALE DE R(X)
INTRODUCTION
On sait que si A est un anneau intègre, A est intégralement
clos, si et seulement si, A est intégralement fermé dans son corps
de fractions. En plus, l'anneau de polynômes A[X] est intégralement
Clos, si et seulement si, A est intégralement clos.
Soit R
un anneau commutatif unitaire qui n'est pas
obligatoirement intègre.
Notons Z(R) l'ensemble des diviseurs de zéro dans R et S=R\Z(R)
la partie multiplicative des non diviseurs de zéro dans R, c'est à dire
des éléments réguliers de R. Désignons par T(R)=S-1 R l'anneau
total des fractions de R. Nous dirons que R est intégralement clos,
0
si et seulement si, R est intégralement fermé dans l'anneau T (R) .
Théorème 1
Si
R[X]: l'anneau de polynômes à coefficients dans Rest
intégralement clos, alors R est intégralement clos.
Preuve
Nous avons: R = R[X]
Si R[X]
n T(R) et T(R) c T(R[X]).
est intégralement clos, un élément de T(R) qui est entier
sur R est un élément de T(R[X]), qui est entier sur R[X]
donc un élément de R[X] et par suite un élément de R[X]
1
c'est
n T(R)
=
R. Donc R est intégralement clos ./.
La réciproque du Théorème 1 est fausse en général, d'où le
Théorème suivant:
38
Théorème 2 [ Lu 1. Corollary 5 ]
Si R est un anneau réduit (~(O)
=(0)),
R[X] est intégralement
clos, si et seulement si, R est intégralement fermé dans T(R[X]) .f.
Théorème 3
Si R est un anneau non réduit (~(0)"1:- (0)), R[X] n'est pas
intégralement clos en général.
Preuve
~(0)"1:- (0) => 3aE R / a "1:- 0 et 3nEIN, an = O.
Soit s ER, s régulier et s ne divise pas a.
. Alors ais ET(R[X]) \ R[X] et ais est une racine du polynôme Xn.
Donc ais appartient à la clôture intégrale de R[X] sans appartenir
à R[X] et, par suite R[X]
n'est pas intégralement clos .f.
Théorème 4 [Lu 1, Théorème 4 ]
Soit R un anneau réduit et f E T(R[X] ) \ R tel que f est
entier sur R, alors f peut s'écrire sous la forme:
n
f = a(x) / (b(X) où a(X) = anX + an-1 X n-1 + ... + ao ER[X] et
n
n
+ b E R[X] \ Z(R[X]) avec
b(X) = bnX + bn-1 X -1 +
o
Vi, j E {D, 1,
, n}, aibj = ajbi.f.
Un tel élément f est appelé une fraction finie sur R.
Remarquons qu'on peut avoir b(X)
e Z(R[X])
et l'idéal
(b o , b1,... ,b n) c Z(R ).
Définition 5
On dit qu'un idéal J de Rest semi - régulier, s'il contient un
idéal
1
de R, de type fini, et dont l'annulateur: Ann(l)
= (0) .1.
Théorème 6
L'ensemble des idéaux semi - réguliers de R est stable pour
les produits et les intersections finis.
39
Preuve
Montrons d'abord que si J 1 et J 2 sont deux idéaux semi réguliers de R, alors J 1J 2 est un idéal semi - régulier de . R.
En effet, soient 11 = (Xi)iE{1,2,.... n} et 12 = (Yj)jE{1,2,... ,p} , tels que:
11 c J 1 , 12 C J 2 et Ann(l1) = Ann(1 2) = (0).
On a: 1112 = (XiyJsi.sn
,donc 1112 est de type fini et 1112 c J 1J 2.
I:SJSp
Si Z E Ann (1 112), alors pour tout (x,y) E 11 X 12, z(xy) = O. Donc,
pour tout XE 11, ZX E Ann (1 2) = (0). Donc, Z E Ann (11) = (0). Ainsi,
z= 0 et Ann(l112) = (0), donc J 1J 2 est un idéal semi - régulier de R.
Comme 1112 c 11 (1 /2
C
J 1 (1 J 2, alors J 1 (1J 2 est également un
idéal semi - régulier de R.
On étend ce résultat par récurrence à tout produit et toute
intersection finis d'idéaux semi - réguliers de R./.
Définition 7
Soient J 1 et J 2 deux idéaux semi - réguliers de R.
Soient f 1 E Hom(J 1, R) et f2 E Hom(J 2, H) deux homomorphismes
de R - modules.
On définit f 1 + f2 et f 1 h E Hom (J 1J 2, R) de la manière suivante:
n
\JX=
La bi EJ J
i
1 2
,
;=1
f 1h(X) =
(f 1 +f2)(X) = f 1(X)+f2(X)
I. [fi (ai) • f (b;)].
2
et
On vérifie facilement que f 1 + f2 et f 1f2
;=1
sont des homomorphismes de R - modules. Nous dirons que f 1 et f2
sont équivalents s'ils coïncident sur un idéal semi - régulier 1 de R
tel que
1
c J 1 (1 J 2.
En particulier, f 1 et f2 seront équivalents s'ils coïncident sur l'idéal
semi - régulier J 1J 2 ./.
40
On vient donc de définir une relation d'équivalence dans l'ensemble
des homomorphismes définis sur des idéaux semi - réguliers de R
et à valeurs dans R.
Théorème 8 [La, Lemma 1, page 38]
L'ensemble des classes d'équivalence de la relation
précédente (Définition 7) possède une structure d'anneau, noté
Oo(R) et appelé l'anneau des fractions finies sur R .J.
Théorème 9 [Lu 2, Lemma 1 ]
= (b o, b1 , ... ,bn) est un idéal semi - régulier de R,
n
n1
b(X) = bnX + bn_1 X - + ... + b1 X + bo n'est pas un diviseur
Si J
alors
. de zéro dans R[X].J.
Théorème 10
L'anneau R est inclus dans Oo(R) et, l'anneau Oo(R) est
inclus dans l'anneau T(R [X] ).
Preuve
Soit
f E Qo(R). Il existe un idéal semi - régulier J de R tel
que f E Hom (J, R). Supposons J = (b o, b 1,. .. , bn).
n1
n
D'après [Lu 2, Lemma 1], b(X) = bnX + bn-1 X ' +... + bo n'est
pas un diviseur de zéro dans R[X] et on peut identifier f avec
n
n1
f = a(X) / b(X) où a(X) =anX + an-1 X - + ... + ao E R[X] et tel
que: Vi, j E {Q, 1,2, ... , n}, aibj
On a donc
= ajb
j•
Oo(R) c T(R[X] ).
Montrons maintenant que: R c Oo(R ).
Soit r E R, l'application <p: R -> Hom (R, R)
r
Où gr (x) = rx
f-t
gr
(Vx ER), est un homomorphisme injectif de
41
R-modules. On peut donc identifier r avec gr
E
Hom (R, R), et
comme R est un idéal semi - régulier de R, alors gr
E
Oo(R ) et,
par suite r E Oo(R).
On a ainsi R c Oo(R).
Théorème 11 [Lu 2, Corollary 4]
Si R est un anneau réduit, alors:
R[X] est intégralement clos, si et seulement si, R est intégralement
fermé dans l'anneau des fractions finies. Oo(R).
Définition 12
Soit g
E
n
R[X] tel que: g(X) = anX + an-1 Xn-1 + ... + a1X + ao.
. On appelle contenu de g, l'idéal de R engendré par les coefficients
de g. En notation C(g)
= (ao, a1, ... , an). Si
C(g)
= R, on dira que g
a un contenu unitaire ./.
Remarquons que si C(g)
= R, alors (d'après Théorème 9) g(X) n'est
pas un diviseur de zéro dans l'anneau R[X].
Dans la suite, on suppose que R n'est pas obligatoirement
un anneau réduit.
On notera: N = le nilradical de R et NT = le nilradical de T(R[X]).
Pour toute partie multiplicative S de l'anneau R[X] ,on désignera
par R[X]s : l'anneau S-1 R[X], c'est à dire R[X]s désignera l'anneau
de 'fractions de R[X] par rapport à S.
Si S
= R[X]
\ Z(R[X]), on aura: R[X]s
cas particulier, R[X]s est intégralement clos.
42
= T(R[X]).
Et, dans ce
Théorème 13 [G. Theorem 28.1]
Soient R et B une paire d'anneaux tels que: R c B c Qo(R),
et soient f(X) et g(X) une paire de polynômes à coefficients dans
B, c'est à dire: f(X) , g(X) E B[X]. Alors, il existe un entier positif: K
tel que: C(f)K . C(fg)
= C(f)K+1
. C(g).
C(f) et C(g) désignent respectivement le contenu de f et de 9 J.
Théorème 14
Soit U(R)
={g E R[X] /
C(g)
=R}.
U(R) est une partie multiplicative de R[X].
Preuve
•
= R.
1 E U(R) puisque (1)
• Soient f, 9 E U(R), on a: C(f) = C(g) = R.
Et, (d'après Théorème 13) il existe KEN tel que:
C(f( . C(fg) = C(f(+1 . C(g) ~ R . C(fg) = R~ C(fg) = R.
Donc, fg E U(R) J.
Remarquons que: U(R) c R[X] \ Z (R[X] ).
Notation
R(X)
= R[X]U(R):
l'anneau de fractions de l'anneau de
polynômes R[X] par rapport à U(R).
Lemme 15
R[X] c R(X) et T(R[X]) c T(R(X)).
Preuve
•
L'homomorphisme d'anneaux iU(R): R[X] ->R(X)
a(X)
H
a(X)/1
est injectif. En effet,
a(X) E Ker(iu(R)) ~ :JU(X ) E U(R) / U(X) a(X)
Mais c(U)
= R : idéal semi -
régulier de R ~ u(X)
43
{l:
= O.
Z(R[X]).
Donc a(X)
=0
et Ker (iU(R))
=(0).
On peut donc identifier a(X) avec a(X)/1 et R[X] c R(X).
• Chaque élément d(X) / t(X) E T(R[X] peut s'écrire:
d(X) / t(X)
= (d(X)/1) / (t(X)/1)
zéro dans R(X), car t(X)
et, t(X)/1 n'est pas un diviseur de
Z (R[X] ).
(l
Donc d(X)/ t(x) E T(R(X)) et T (R[X]) cT (R(X)) .1.
Exemple 16
Si R(X) est intégralement clos, alors tout idéal serni-régulier
A de R contient N.
Preuve
Soit A
= (ao, a1,
... , an) idéal semi - régulier et de type fini de
R, et r E N \ (0). Posons: a(x) = anX n + ... + ao E R[X] \ Z (R[X] ).
On a r/a(X) E T(R(X)) (Lemme 15). Mais R(X) est intégralement
clos et, r/a(X) est entier sur R(X), car nilpotent. Donc r/a(X) ER(X).
Alors, il existe U(X) E U(R) et b(X) E R[X], b(X) nilpotent
r/a(X)
= b(X) / u(X) =>
ru(X)
=a(X)b(X). Alors rc(u) cA=> r.1
EA
=> rE A, et par suite N est inclus dans A ./.
Théorème : 17 [A, Theorem 2.2]
Si R est un anneau noethérien et intégralement clos, alors
R(X) est intégralement clos ./.
On notera R': la fermeture intégrale de R dans Oo(R). Et on dira
que R' est la fermeture 0 0
-
intégrale de R.
Théorème 18: [cf. [GHO, Theorem 3] et [H, Theorem 16.1]
Soient R c B une paire d'anneaux, et soit S la fermeture
intégrale de R dans B. Alors U(S) est la saturation de U(R) dans
S[X]. En plus, S(X) = S[X]U(R) et B[X]u(s) = B[X]U(R)' Et on a : S[X]
est la fermeture intégrale de R[X] dans B[X] et S(X) est la
fermeture intégrale de R(X) dans B[X]U(R) ./.
44
Nous allons considérer des polynômes à coefficients dans des
R - modules.
Pour un R - module M, un polynôme sur M est simplement un
polynôme de la forme:
n1
n
g(X) = mnX + mn-1 X - + ... + m1X + mo où mo, mll ... , mn E M.
L'ensemble M[X] des polynômes à coefficients dans M est à la
fois un R - module et un R[X] - module.
Définition et Notations 19
Pour un polynôme 9
E
M[X], on note CM(g) : le R - module
engendré par les coefficients de g. On dira qu'un élément
. a(X)
E
R[X] est un diviseur de zéro sur M[X], s'il existe un élément
non nul m
E
M tel que a(X) . m = O.
L'ensemble des diviseurs de zéro sur M[X] sera noté Z (M[X], il est
inclus dans R[X]. Et en notation: W(M)= R[X] \ (Z (R[X] u Z(M[X])).I.
La formule du Théorème 13 [G, Theorem 28.1] peut être étendue
au cas où f(X) E R[X] et g(X) un polynôme à coefficients dans un
R-module M. C'est à dire donc qu'il existe un entier K positif tel
que: C(f)k . CM(fg) = C(f)K+1 . CM(g).
Exemple 20
Soit R un anneau, M un R - module et t un élément de M.
Si pour un polynôme a(X) E W(M) il existe:
S(X)
N1[X] et u(X)
E
E
U(R) tels que: t/a(X) = b(X)/u(X), alors il
existe un entier KE IN tel que: c(a)K. t = c(a)K+1 . CM(b).
Preuve
tla(X) = b(X)/u(x) => u(X). t = a(X). b(X).
Alors, CM(ab) = CM(ut) = Rt.
D'après la proposition précédente, il existe K E IN tel que:
45
Définition 21
Soient 0 un anneau et M un 0 - module. L'idéalisation de
M est un ensemble noté: O(+)M et construit à partir de la somme
directe 0
œM
(somme directe de 0 - modules). Dans O(+)M, on
définit le produit de deux éléments (r, a) et (s,b) où r, SEO et a,
b E M de la manière suivante: (r, a) . (s, b) = (rs, rb + sa) .1.
Théorème 22
L'ensemble
O(+)M
possède
une
structure
d'anneau
commutatif et unitaire. Les éléments inversibles de l'anneau O(+)M
sont les éléments de la forme (u, m) où u est inversible dans O.
. Les diviseurs de zéro dans l'anneau O(+)M sont les éléments de la
forme (r, m) où r E Z(O) u Z(M).
Preuve
• Il est clair qu'avec l'addition naturelle de la somme directe:
(r, a) + (s, b)
=
(r + s, a + b), O(+)M possède une structure de
groupe commutatif.
• Montrons l'associativité de la multiplication:
[(r,a) (s,b)](t, c) = (rs, rb + sa) (t,c)
= [(rs)t, (rs)c + t(rb + sa)]
= [r(st), r(sc + tb) + (st)a]
= (r, a) (st, sc + tb)
= (r,a) [(s,b)(t,c)].
• Montrons la distributivité de la multiplication par rapport à
l'addition:
(r,a) . [(s,b) + (t,c)]
= (r,a). (s + t,
b + c)
= [r(s + t), r(b + c) + (s + t)a]
= [rs + rt, (rb + sa) + (rc + ta)]
= (rs, rb + sa) + (rt, rc + ta)
46
= (r,a)(s,b) + (r,a)(t,c).
• Montrons que (1 D, OM) = (1, 0) est l'élément unité de D(+)M:
(r,a)(1,0) = (r,a).
• Evidemment la multiplication est commutative dans D(+)M:
(r,a)(s,b) = (rs, rb + sa)
= (sr, sa + rb)
= (s,b)(r,a).
• Montrons que (u, m) est inversible dans D(+)M, si et seulement
si, u est inversible dans D.
- Supposons (u,m) inversible dans 0 (+)M, alors il existe
(r,a) E D(+)M tel que: (u,m) (r,a) = (1,0), ce qui implique
ur = 1 => u inversible dans D.
- Supposons maintenant que u est inversible dans
D, alors u- 1
existe dans 0 et on a :
(u,m)(u· 1 , -u· 2 m) = (1,0) et donc (u,m) est inversible dans D(+)M et
(u,mr 1 = (u- 1, -u· 2 m).
• Montrons que (r,m) est un diviseur de zéro dans l'anneau
D(+)M, si et seulement si, r est un diviseur de zéro dans 0 ou r
est un diviseur de zéro sur M.
Rappelons d'abord que l'ensemble Z(M) des diviseurs de zéro sur
M est l'ensemble des éléments r de 0 tel qu'il existe m EMet m
non nul et r. m = O. Donc Z(M) c D.
- Supposons r EZ(D) => :3s E 0\(0) / rs = O.
De deux choses l'une:
• Soit sm
°
'* °
=
=> (r, m) . (s, 0)
= (0, 0)
et (s,O)
'* (0, 0)
donc
(r,m) est un diviseur de zéro dans D(+)M.
• Soit sm
=> (r, m) . (0, sm) = (0, 0) et (0, sm)
donc (r,m) est diviseur de zéro.
47
'* (0,0)
- Supposons maintenant r
que rp
E Z(M),
alors il existe p
E
M \ (0) tel
= O.
• Donc, (r, m) . (O,p)
= (0, 0)
avec (0, p) 1= (0, 0). Ainsi (r, m) est
un diviseur de zéro dans D(+)M. Réciproquement, supposons
(r, m) diviseur de zéro dans D(+)M.
Alors, il existe (s, p)
(r, m) . (s,p)
• Soit s
=
• Soit s 1=
(D(+)M \ ((0,0)) tel que:
E
= (0, 0). De deux choses l'une:
°
°
~ P 1=
° et rp =°
et rs =
°
~ r E Z(M).
~ r E Z(D) ./.
Retenons que dans tous les (r,m)
E
D(+)M qui sont des éléments
inversibles ou des diviseurs de zéro, l'élément m de M est tout à
fait arbitraire.
" est facile aussi de voir que si S = D \ [Z(D) u Z(M)], S est une
partie multiplicative de l'anneau D.
Théorème 23
Si S = D \ [Z(D) u Z(M), alors l'anneau total T(D(+)M) de
D(+)M est isomorphe à l'anneau idéalisé Ds(+)S-1 M.
Preuve
Considérons l'application <p : DS (+)S- 1M --> T(D(+)M) qui à
chaque élément (r/t, mis) de D (+)S- 1M où r E D, t, SES, mE M,
S
associe l'élément : (sr, tm) / (st, 0) de T(D(+)M).
• Montrons d'abord que <p est un homomorphisme d'anneaux.
<p [(rit, mis) + (r'/t', m'/s')]
= <p[(tr' + t'r)/tt', (sm' + s'm)/ss']
= [ss'(tr' + t'r), tt'(sm' + s'ml] / (tt'ss', 0):
Et <p(r/t, mis) + <p(r'/t', m'/s')
(1).
=[(sr,tm) / (st,O)] +
[(s'r', t'm') / (s't',O)]
= [(sr, tm) / (s't' ,0)] + (st,O)(s'r', t'm')] / (st,O)(s't' ,0)
= [(srs't', tms't') + (s'r'st, t'm'st)] / (sts't',O)
= [(srs't' + s'r'st) , (tms't' + t'm'st)] / (sts't' ,0)
48
= [ss'(rt'
+ r't), tt'(s'm + sm')] 1 (sts't',O)
ce qui est bien égal à
l'expression (1) précédente.
De plus: <p [(rit, mis) . (r'lt', m'/s')] = <p (rr'ltt', rm'/ts' + r'm/t's) =
= <p [rr'/tt', (t'srm' + ts'r'm) 1 ss'tt')]
=
[ss'tt'(rr'), tt'(t'srm' + ts'r'm)] 1 [sS'(tt')2,0]
=
(ss'rr', t'srm' + ts'r'm) 1 (ss'tt' ,0): (II)
Et
<p (rit, mis) . <p (r'It', m'/s')
= [(sr, tm) 1 st, 0)] [(s'r', t'm') 1 (sT ,0)
= [(sr, tm) 1 (st,O)] [(s'r', t'm') 1 (s't',O)]
= [(sr, tm) (s'r', t'm')] 1 [(st,O) (sT ,0)]
= (srs'r', srt'm' + s'r'tm) 1 (sts't',O)
Ce qui est bien égal à l'expression (II).
On vient alors de montrer que
est un homomorphisme
<p
d'anneaux.
• Montrons que <p est injectif, c'est à dire Ker <p = (0).
(rit, mis) E Ker <p
Alors r = a et m
~
(sr, tm) = (0,0)
=a car, s
~
sr = a et tm = O.
et t ne sont pas des diviseurs de
zéro dans D ni sur M. Donc (rit, mis) = (0,0).
• Montrons que: Im<p = T (D(+)M).
En effet, tout élément de T (D(+)M) est de la forme (r,m) 1 (t,n) où
r E D, m, n EMet tES.
Mais, <p [rit, (tm - rn) 1 t2]
= [t2r, t(tm -
= (tr, tm - rn) 1 (t2,0)
= (r,m)(t, -n) 1 (t, n)(t, -n)
= (r,m) 1 (t,n).
49
rn)] 1 (t3,0) =
Alors <p est surjectif, c'est donc un isomorphisme. Remarquons que
la simplification par t est équivalente à la simplification par (t,a) qui
est non nul .J.
Nous venons donc de montrer que les deux anneaux Os(+)S·1 M et
T(O(+)M) sont isomorphes, c'est à dire que tout élément de l'un
peut être identifier à un élément de l'autre suivant le Lien Verbal
de <p.
•
Tous les renseignements sur les anneaux idéalisés ont été
donnés dans [H , chapitres 25 et 27]. En particulier, tout idéal C
de R == O(+)M est de la forme IR == I(+)IM où
1
est un idéal de
O.
Et, si R == O(+)M et M un O-module de type fini, et si 0 est un
anneau local noethérien, alors R est un anneau local noethérien.
Théorème 24 [H] et [Lu 4, Theorem 11]
Si M et un 0 - module, M[X] est un OrX] - module et si
R == O(+)M,alors R[X] == OrX] (+) M[X] et R(X) == O(X)(+) U(0)"1M[X] .1.
Théorème 25
Soient 0 un anneau, M un 0 - module et R = O(+)M.
Si 3(0) est l'ensemble des idéaux semi - réguliers de type fini A de
o
tel que m EMet Am
= (0)
~
m
=0, alors:
(1) Un idéal C de Rest semi - régulier, si et seulement si, C
contient un idéal de type fini de la forme AR
=A(+) AM où
A E 3(0).
(2)
Pour chaque A E 3(0) et chaque h E Hom (AR, R), il existe
des homomorphismes de 0 - modules g E Hom (A, 0) et
f E Hom (A, M) tels que h puisque être identifié au couple
(g, f).
(3) Si E est le sous - anneau de 0 0 (0) tel que
50
E == {g E Hom (A, 0) / A E .g(D)} et si N est le E - module tel
que N
= U {Hom (A,M) / AE .g(D)},
Qo(R)
alors
peut être
-->
identifié à l'anneau idéalisé E(+)N.
Preuve
,
(1) Notons d'abord que: C est un idéal de R, si et seulement si, C
est de la forme: IR = 1(+)IM où 1 est un idéal de D.
•
Soient C = ((a1, b 1), (a2, b2), ... , (an, bn)) un idéal de type fini de
R engendré par les (ai, b i) où aj
A
=
(a1, a2, ... , an)
B
et
=
E
0 et b j
E
(ar, a~, ...., an
M.
deux idéaux de
0
respectivement engendrés par les. ai et les ar.
Un élément de l'idéal BR
a=
= B(+) BM
lt. t. ~!Il;)
d,al,
OÙ
est de la forme
d, E D, r, E B et m, E M.
Par définition de la somme dans R, on a a =
(d"a) (a, - b,) (a"b,) +
Mais, (d, al, f; m,) =
Où t j
E
0 et ri =
!
(t.
t
j=1
(d j aj2, ~ mi ).
lja;, a}a, m,)
tjaI E B.
j=1
Comme chaque (tjaI, 0) = (tj, 0) (aj, -bj) (aj, bj), alors (diar, li mi)E C
et par suite a
•
E
C, on en déduit que BR = B(+) BM c C.
Montrons que Ann(A):I= (0) dans D ==> Ann(C) :1= (0) dans R.
Supposons qu'il existe r E D\(O) tel que \fi, rai = O.
/\fi, rb j = a ==> (r,O) annulateur non nul de C.
S i / ou
~3i, rb, '" a=> (a,rb,) annulateur non nul de C.
D'où l'implication cherchée.
•
Montrons que C non semi - régulier ==> A Il .g(D) si A est
semi - régulier dans D.
51
Supposons A semi - régulier dans D et (d, m) un annulateur
non nul de C. Puisque A est semi - régulier dans D et
(d, m)(aj, bi)
'Vi, ajm =
°
= (daj, db
j
+ aim)
= (0,0), alors
d
=
°
et m -j;
°
et
=> A e3(D).
Donc A E3(D) => C semi - régulier dans R.
Supposons maintenant C semi - régulier dan~ R. On a donc
Ann(C) = (0) dans R et, d'après la contraposée de la 1ère
implication, Ann(A) = (0) dans D. Alors A est semi -régulier
dans D. Si Am
= (0), alors
'Vi, ajm
=
°
=> (ai, bi)(O,m)
donc (0, m) est un annulateur de C, par suite m =
semi-régulier. En conclusion: C semi-régulier
Comme A E3(D)
~
~
= (0, 0)
°
car C est
AE 3(D).
B E3(D) ,on a : C semi - régulier dans
R ~ B E3(D). Par suite, C contient un idéal de type fini de la
forme I(+)IM où 1 E 3(D).
C.Q.F.D.
(2) * Soit AE3(D) et 9 E Hom(A,D). On peut construire à partir
de 9 un homomorphisme de D - modules
n
définie par
9 (L
9E Hom(AM, M)
n
ajnJ =
i=1
L
g(ai)ni .
i=1
Ainsi, 'Va E A et 'V(s, n) ER, (g(a),O)(s, n)
= (g(as),
g(an)).
Pour chaque f E Hom(A,M), on peut définir une fonction h sur AR
par 'V(r,m) E AR, h(r,m)
= (g(r), f(r) +
g(rm)).
On montre facilement que h E Hom(AR,R).
• Réciproquement, soit h E Hom(AR,R) et soient
nD
et
nM
respectivement les projections de R sur D et M. On définit
les fonctions 9 et f par: 'Va E A, g(a)
=I1D [h(a,O)] et
f(a)
I1M [h(a,O)].
Evidemment, 9 EHom(A,D) et f E Hom(A,M). Donc h
52
=(g,f).
=
(1) Soit h
E
Oo(R ), alors il existe un idéal serTIi - régulier C de R
tel que h E Hom(C, R).
(1) => 3A
E ~(D)
/ C :) AR = A(+)AM.
(2) => h = (g,f) / g E Hom(A ,D) et f
E
Hom(A,M).
On en déduit que Oo(R) = E(+)N tels que:
E = {g E Hom(A ,D) / A E ~(D) et N =
U{Hom(A,M) / AE .g(D)} ./.
~
Théorème 26 [H, Theorem 16.6]
Soit R un anneau noethérien, R' sa clôture intégrale. Si le
nilradical de R' est de type fini, alors R'(X) est intégralement clos ./.
Nous allons construire un exemple pour montrer que la réciproque
du Théorème 26 est fausse.
Exemple 27
Soient
D=K[[X,Y]]:
l'anneau
des
séries
formelles
à
coefficients dans un corps K, à deux indéterminées X et Y et
P = (X 2 - y3) l'idéal de D engendré par X2 _ y 3.
Soit l'anneau idéalisé: R = D(+) D/P.
Alors R est un anneau local, noethérien, dont la clôture intégrale est
R' = D(+)L où L est le corps de fractions de D/P. Aussi, R'(X) est
intégralement clos, bien que le nilradical de R' n'est pas de type fini.
Démonstration
Notons D = D/P et DI la clôture intégrale de D. D n'est pas
intégralement clos. En effet: x/y
E
L \ D et x/y est racine du
polynôme en Z à coefficients dans D : Z2 - Y, c'est un polynôme
unitaire à coefficients dans D et qui s'annule pour Z = X/Y.
On a donc D'
*D
et D n'est donc pas intégralement clos, donc
D n'est pas factoriel.
• Par 11.5.13. D est un anneau local, d'idéal maximal: (X,Y) et
par Il.5.15. en plus D est un anneau noethérien, factoriel, et
53
donc D est intégralement clos. Mais D est un D - module de
type fini et, puisque D est local et noethérien, alors
R =D(+) D est un anneau local et noethérien.
• Cherchons Z(R).
D est factoriel et X2 - y3 est un élément "irréductible de D,
alors P = (X 2 - y3) est un idéal premier de D et P[X] est un
idéal premier de D[X].
Soit b E D tel que b E Z( D), alors il existe d E D et d:;t 0 ,
c'est à dire d ~ P, tel que b.
d = O.
Comme P est premier, c'est à dire D est intègre, alors b = 0 et
b E P. Donc Z( D) c P et il est évident que P c Z( D), et par
suite Z( D ) = P ==> Z(D) u Z( D) = P, car D est intègre.
Mais Z(R) = Z(D(+) D) = {(d, b) 1 d EP et bED}
Donc, Z(R) = P(+) D .
• Montrons que T(R) = Dp(+) L où Dp est l'anneau localisé de
D en P et L est le corps de fractions de D.
-1_
_
On sait que :T(R) = Ds(+)S 0 où S = D \ [Z(D) u Z(D)] = 0 \ P.
Mais S = D \ P, donc
-1_
_
Os = {dit 1 d E 0 et t E 0\ P} = Op , et S D = {dit Id E D et t E0\ P}=L,
car on peut identifier dit à dit.
• Montrons ma.intenant que Oo(R) = T(R).
Notons que, tout idéal de D, non nul est semi - régulier dans D. On
sait que Oo(R) peut s'écrire (d'après Théorème 25)
Oo(R) = {(g,f) 1 g E Hom(I,D) et f E Hom(J, D)}
où 1 et J sont deux idéaux non nuls de D, donc semi -réguliers et
de type fini et vérifiant:
54
VdE D,
Id =(0) => cl =0 et Id = (0) => d = O.
Ce qui équivaut à dire,
évidemment, que 1r:t P et J r:t P.
- Montrons que: 1r:t P => Hom(I,D) = Op le localisé de 0 en P.
9 E Hom(I,D) s'écrit: 9 = d(X)/ b(X) avec
n
n
d(X) = dnX + ... + do E D[X] et b(X) = bnX + ... + bo E D[X] et tel
que c(b)=(b o,b 1J
... ,bn)=1
et dibj=djb j Vi,jE {O, ... ,n}.
Notons que b(X) n'est pas un diviseur de zéro, car 1 semi-régulier.
Donc, Vi E {O, 1, ... , n} , 9 = d(X)/ b(X) = di / bj •
Mais 1 r:t P => 3i o
E
{O, 1,. 00' n} / b.'0 E P.
Et 9 = dio /b io E Op. Donc Hom(l,D) c Dpo
Réciproquement, si 9 E Op
9 = d/b avec dE 0 et b E D\P. Donc,
J
en posant 1= (b), alors 9 E Hom(I,D). Donc Op c Hom(I,D).
- Montrons maintenant que: J r:t P => Hom(J, D) = L.
Notons que si J est un idéal de 0 tel que J r:t P, son image
o
telle que
Si f
E
J = {x
J
dans
/ x E J} est un idéal semi-régulier de D.
f E Hom(J, D) par:
Hom(J, D), on définit
\id
On vérifie facilement que
E
J,
f (cl)=f(d).
f est un homomorphisme de 0 modules.
L'application Hom(J, D)~ Hom (J, D) est
fHf
un homomorphisme injectif de 0 - modules.
On peut donc identifier f à son image
f.
Alors f peut s'écrire: f = d(X) / b(X) où d(X)
et
b(X) sont les
n
images dans D[X] des polynômes d(X) = dnX + ... + do et
b(X) = bnX n +
C( b)
= (bo• b
1
+ bo E D[X] et tels que:
,
bn)
=J, en plus
55
Vi,j
E
{D, 1, 2, ... , n},
J et. P => ::Jjo
Donc b.Jo
7=
E
°
a; fi,
= ~ E; et f =
{D, 1,2, ... , n} tel que b.Jo
et f
= d(X) 1b(X) = d. 1 b.
Jo
d/b E
Réciproquement, tout élément
fE
~
Jo
Ibj
~
P.
E
L. Qonc
Hom(J, O)c L.
'.
L, peut être considéré comme
Hom(J, 0) tel que J = (b) : l'idéal de 0 engendré par
b.
Donc
L c Horn(J, 0).
Par suite: Oo(R)
=Op(+)L = T(R).
Remarquons que dans ce cas, la clôture intégrale de R est la
fermeture 0 0
•
-
intégrale de R.
Montrons que si R' est la clôture intégrale de R, alors
R' = O(+)L.
Soient (dit, q/u) E T(R) = Op(+)L
où d, q
E
0 et t, u
E
O\P. Si cet
élément est entier sur R, il est donc racine d'un polynôme unitaire à
coefficients dans R, alors dit sera racine d'un polynôme unitaire à
coefficients dans 0 et puisque 0 est intégralement clos et
dit
E
T(O), on a : dit
E
0 et par suite R' c O(+)L.
Réciproquement, tout élément (d, qlt) E O(+)L est racine du polynôme unitaire à coefficients dans R: X 2
-
(2d, O)X + (d 2,O). (vérifiable
par un petit calcul). En plus, O(+)L c T(R).
Ainsi, O(+)L est entier sur R, et puisque O(+)L c T(R), on a :
O(+)Lc R'.
•
Notons que L(X)
= L[X]U(L) = Fract (L[X]) : le corps de
_-1_
fractions de l'anneau de polynômes L[X] et que L(X) = W( 0) 0 [X]
où W( 0) = O[X]\ [Z(O[X]) u Z( o [X] )] = O[X] \ P[X].
Mais P[X] est un idéal premier de O[X], donc W( 0) est une partie
multiplicative de O[X]. Alors le localisé de O[X] en P[X] est: o[X]W(D) .
56
" D'après Théorème 23 et 24, R[X] = D[X] (+) D[X].
_
-1_
Donc, T(R[XJ) = D[X]W(D)(+) W(D) D[X].
= D[X]w(D)(+) L(X).
•
Montrons maintenant que NT le nilradical de T(R[X]) est tel
que: NT = (0) (+) L(X).
Notons d(X) l'image de d(X) E D[X] dans D[X].
Soit (a(X) / t(X), d(X) / b(X)) E T(R[X]) où a(X), d(X) E D[X] et
t(X), b(X) E W( D).
Si cet élément de T(R[X]) est élément de NT, alors,
:lp E [N / (a(X) / t(X), d(X) / b(X))P = (0, 0), d'où (a(X)t= 0 ~ a(X)=O.
Donc NT c (0) (+) L(X).
Réciproquement, tout élément de la forme (0, a) où a E L(X), est,
par définition du produit, bipotent et donc nilpotent. Donc
NT => (0) (+) L(X).
•
Montrons maintenant que R'(X) est intégralement clos.
D'après les Théorèmes 23 et 24, R'(X) = D(X) (+) U(Dr 1 L[X] et
T(R'(X)) = D(X)s (+) 8- 1 [U(Dr 1 L[X]] où 8 est la partie multiplicative
de D(X) telle que:
8 = D(X) - [Z(D(X)) u Z [U(Dr 1 L[X]] = D(X) \ U(Dr 1 p[X].
- Soit ((d(X) / u(X))/ (t(X) / v(X)), (e(X) / u(X))/ (t'(X) / v'(X)))ET(R'(X))
où d(X) E D[X], u(X), u'(X), v(X), v'(X) E U(D), t(X), t'(X) ED[X] \P[X]
et f(X) E L[X]. 8i cet élément de T(R'(X)) est entier sur R'(X), alors
l'élément: (d(X) v(X)) / (u(X) t(X)) est entier sur D(X) et cet élément
appartient au corps de fractions de D(X) qui est un anneau intègre.
Mais D intégralement clos ~ D[X] intégralem,ent clos
~
D(X) intégralement clos.
57
Donc l'élément (d(X)v(X)) / (u(X)t(X)) E D(X).
On vient donc de montrer que si on désigne par g la clôture
intégrale de R'(X) alors on a :
g c D(X) (+) S-1[U(D)"1 L[X]].
- Montrons que NT est inclus dans R'(X).
Un élément de NT est de la forme (0, c(X) / a(X)) où c(X) E L[X]
et a(X) = anX n + an_1Xn-1 + '" + a o E D[X] \ P[X].
Donc ['idéal
1
= (a o, a1, ... , an) n'est pas inclus dans P.
Notons que dim 0
= 1. En effet:
(X,Y) est un idéal maximal de D de hauteur égale à 2.
Donc, si J est un idéal premier de D tel que:
(0) c P c J c (X,Y), alors J
=P
ou J
=(X,Y).
Mais, tout idéal premier de D est de la forme J/P où J est un idéal
premier de D . contenant P, comme dim D est le suprémum des
longueurs de chaînes d'idéaux premiers de D, alors dim D = 1.
D'après Il.4.4., si D'est la clôture intègrale de D, alors D'est un
anneau de Dedekind.
=
L'idéal 1 (a o, a1, ... , an) cz:. P => Cao, 81 , ..... 80) = L. Donc,
On a dans dans le corps L(X) : l/a(X) = u(X) / a(X)u(X) , où
Mais le coefficient de X n dans le polynôme a(X)u(X) est égal à 1.
Donc, :3 v(X) =a(X)u(X)E o [X]
et
b(X) = u(X) E L(X) tels que:
1/a(X) = b(X) / v(X) et c(v) = D .
Soit v(X) l'élément de D[X] correspondant à v(X) dans D[X].
Alors, (0, 1/a(X) = (0, b(X) / V(X))E R'(X) et c(v) = D. Donc
58
V(X)E U(D).
Il en résulte que:
V'c(X) E L(X), (0, c(X) / a(X))
= (0, c(X) b(X) / v(X))
est un élément
de R'(X) et par suite NT c R'(X).
Mais, NT = (0) (+) L(X) c R'(X) = D(X) (+) U(Dr 1 L[X], ceci implique
1
L(X) c U(Dr L[X] c L(X) => L(X)
R'(X) c Q c D(X) (+)S- 1L(X)
=U(Dr1L[X]. Alors,
=D(X)(+) L(X) =R'(X) => Q =R'(X).
Donc, R'(X) est intégralement clos.
•
On sait que L n'est pas de type fini en tant que D - module,
puisque L n'est pas un D-module noethérien.
Soit N' le nilradical de R'. Supposons N' de type fini. Comme
N'
={O, f) / f
EL}, il existerait: f 1 , f 2l ... , f n E L tels que
N' = ((0, f 1 ), (0, f 2 ),
... ,
(0, f n)).
Donc V'f E L, 3(U1. ~1), (U2, ~2), ... , (un, ~n) E R' tels que
n
(0, f)
= L (ai, ~i )(O,fi)
i~l
n
=> f
=
L Ojf
j
ce qui veut dire que le
i~l
D-module L est engendré par (f11 f 2 , ... , f n ), donc que L est un
D-module de type fini, ce qui est contradictoire. Par suite N' n'est
pas de type fini et R'(X) est intégralement clos.
C.Q.F.D.
59
CONCLUSION
En derniers renseignements, Monsieur T. Lucas est entrain
d'étudier si les conditions: R est intégralement fermé dans Qo(R)
et le nilradical de
T(R[X])
est contenu dans
R(X)
sont
nécessaires et suffisantes pour que R(X) soit intégralement clos.
Ce qui peut être très intéressant pour nos recherches à l'avenir dans
ce domaine. Ce travail de recherche mérite d'être poursuivi
ultérieurement.
On peut également considérer d'autres parties multiplicatives
de R[X], en l'occurrence celle des polynômes monômiaux et faire la
même étude J.
60
BIBLIOGRAPHIE
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61
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[11] - Jean Pierre LAFON : Algèbre commutative, language
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géométrie et théorie des nombre. Masson.
[18] - [N] M. NAGATA: Local Rings, Interscience, New York and
London, 1962.
62
RESUME
Titre: Clôture intégrale des Anneaux R(X)
Nom et Prénom: El Hacen Ould BOKI
Date de soutenance: le 24 Juillet 2002 à 10 H - amphi 7
Nature du document: Thèse de doctorat de 3ème cycle
ès Mahématiques
JURY:
Président: Chérif
BADJI
Professeur UCAD
Membres
Hamet
SEYDI
Professeur UCAD
Mamadou SANGHARE Maître de Conférences
Mamadou Makhtar DIOP Maître - Assistant UCAD
C. Thiécoumba GUEYE Maître - Assistant UCAD
Oumar DIANKHA
Maître - Assistant UCAD
A. Lamine FALL
Assistant UCAD
Sidy Demba TaURE
Assistant UCAD
Soit R un anneau qui n'est pas nécessairement intègre, T(R) : l'anneau
total des fractions de R. R est intégralement clos, si et seulement si, Rest
intégralement fermé dans T(R).
Soit R[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans R,
U(R) = {g E R[X] 1 C(g) = R} où C(g) est l'idéal de R engendré par les
coefficients de g. U(R) : est une partie multiplicative de R[X]. Notons R(X) :
l'anneau des fractions de R[X] par rapport à U(R).
Il s'agit de trouver des conditions nécessaires ou suffisantes pour que
R(X) soit intégralement clos.
Les tentatives les plus récentes sont celles des mathématiciens
J. Lambek, T. LUCAS ET J. Huckaba qui ont d'abord tenté de résoudre la
question: quant est ce que R[X] est intégralement clos? Ils ont défini un
anneau noté Qo(R) appelé: anneau des fractions finies sur R et ils ont montré
que; R[X] est intégralement clos, si et seulement si, R est intégralement fermé
dans Qo(R).
J. Huckaba a montré que si R est un anneau noethérien, R' sa clôture
intégrale, et si le nilradical de R' est de type fini, alors R'(X) est intégralement
clos.
Nous avons montré que la réciproque du Théorème de J. Huckaba est
fausse.
Exemple: Soient 0= K[[X,Y]] : l'anneau des séries forrnelles à coefficients
dans un corps K, à deux indéterminées X et Y et P = (X2 - y 3) l'idéal de 0
engendré par: X2 - y 3 • Soit l'anneau idéalisé:
R = 0 (+) D/P. Alors R est un anneau local, noethérien, dont la clôture intégrale
est R' = 0 (+)L OIJ L est le corps des fractions de D/P. Aussi, R'(X) est
intégralement clos, bien que le ni/radical de R' n'est pas de type fini ./.
Mots clés:
anneau réduit, série formelle, contenu unitaire, clôture intégrale, idéal semi régulier, fraction finie, anneau idéalisé, hauteur d'un idéal, dimension d'un
anneau, nilradical.